2024北京一零九中初二（下）期中数学试题及答案

试题PAGE1试题2024北京一零九中初二（下）期中数学一、选择题（本题共30分，每小题3分）1.以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（）A.4，8，12 B.6，8，10 C.4，6，8 D.4，5，62.下列二次根式中，最简二次根式是（）A. B. C. D.3.如图，为测量池塘边A、B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA、OB的中点分别是点D、E，且DE＝14m，则A、B间的距离是（）．A.18m B.24m C.28m D.30m4.在下列命题中，正确的是（）A.有一个角是直角的四边形是矩形B.有一个角是直角且一组邻边相等的四边形是正方形C.有两边平行的四边形是平行四边形D.两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形5.在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是（）A.∠ABC＝90° B.AC⊥BD C.AB＝CD D.AB∥CD6.如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为2和10，则b的面积为（）A.8 B. C. D.127.如图，在▱ABCD中，已知AD=5cm，AB=3cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于（）A.1cm B.2cm C.3cm D.4cm8.矩形的面积为，一边长是，那么矩形的对角线长是（）A. B. C. D.9.如图，四边形ABCD是菱形，其中A，B两点的坐标为A（0，3），B（4，0），则点D的坐标为（）A.（0，1） B.（0，-1） C.（0，2） D.（0，－2）10.中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家是公元3世纪三国时期的赵爽，他为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由“弦图”变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．将图中正方形MNKT，正方形EFGH，正方形ABCD的面积分别记为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=18，则正方形EFGH的面积为（）A. B.5 C.6 D.9二、填空题（本题共16分，每小题2分）11.式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______．12.如图，在▱ABCD中，再添加一个条件_____（写出一个即可），▱ABCD是矩形（图形中不再添加辅助线）13.已知，，那么代数式的值_____．14.在菱形中，若，周长是16，则菱形的面积是_______________．15.如图，有一块边长为4的正方形塑料模板ABCD，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A点，两条直角边分别与CD交于点F，与CB延长线交于点E．则四边形AECF的面积是____．16.现在人们锻炼身体的意识日渐增强，但是一些人保护环境的意识却很淡薄．右图是昌平滨河公园的一角，有人为了抄近道而避开横平竖直的路的拐角∠ABC，而走“捷径AC”，于是在草坪内走出了一条不该有的“路AC”．已知AB=40米，BC=30米，他们踩坏了_______米的草坪，只为少走_______米的路．17.在数学课上，老师提出如下问题：已知：如图1，线段，求作：平行四边形．小明的作法如下：如图2：（1）以点C为圆心，长为半径画弧；（2）以点A为圆心，长为半径画弧；（3）两弧在上方交于点D，连接，四边形为所求作平行四边形．老师说：“小明的作法正确．”请回答：四边形是平行四边形的依据是___________________________．18.中，，P为边上一动点，于E，于F，M为中点，则的最小值为_________．三、解答题（本题共54分）19.计算：（1）；（2）20.如图，在中，，是对角线上的两个点，且，求证：四边形是平行四边形．21.如图，在中，，平分．四边形是平行四边形，交于点，连接．求证：四边形是矩形．22.如图，四边形中，，，，．求的度数．23.已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，AE∥CF，且分别交对角线BD于点E，F．（1）求证：△AEB≌△CFD；（2）连接AF，CE，若∠AFE=∠CFE，求证：四边形AFCE是菱形．24.已知：如图，正方形中，对角线的交点为O，E是上的一点，于G，交于F．求证：．25.阅读材料，回答问题：（1）中国古代数学著作《周髀算经》有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五”．这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边为3和4时，那么斜边的长为5．”上述记载表明了：在在中，如果，，，，那么a，b，c三者之间的数量关系是：_______________________；利用此数量关系解决以下问题：（2）我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽．问绳索长是多少？”示意图如图所示，设绳索的长为x尺，根据题意，可列方程为_____________________；（3）如图，把矩形折叠，使点C与点A重合，折痕为，如果，求的长．26.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．（1）在图1中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为；（2）如图2，点A、B、C是小正方形的顶点，求∠ABC的度数．27.在正方形中，点是边上一个动点，连结，，点，分别为，的中点，连结交直线于点E．（1）如图1，当点与点重合时，的形状是_____________________；（2）当点在点M的左侧时，如图2．①依题意补全图2；②判断的形状，并加以证明．28.如图1，点A(a，b)在平面直角坐标系xOy中，点A到坐标轴的垂线段AB，AC与坐标轴围成矩形OBAC，当这个矩形的一组邻边长的和与积相等时，点A称作“垂点”，矩形称作“垂点矩形”.(1)在点P(1，2)，Q(2，－2)，N(，－1)中，是“垂点”的点为；(2)点M(－4，m)是第三象限的“垂点”，直接写出m的值；(3)如果“垂点矩形”的面积是，且“垂点”位于第二象限，写出满足条件的“垂点”的坐标；(4)如图2，平面直角坐标系的原点O是正方形DEFG的对角线的交点，当正方形DEFG的边上存在“垂点”时，GE的最小值为.

参考答案一、选择题（本题共30分，每小题3分）1.【答案】B【分析】此题考查了勾股定理逆定理的应用，解题的关键是熟记，勾股定理逆定理：如果三角形的三条边长，，，满足，那么这个三角形是直角三角形．找出每个选项中的两个较小的数，求他们的平方和，再求这组数据中最大数的平方，比较两个数是否相等，若相等，就能构成直角三角形，不相等就不能构成直角三角形．【详解】解：、，此选项不能构成直角三角形，不符合题意；、，此选项能构成直角三角形，符合题意；、，此选项不能构成直角三角形，不符合题意；、，此选项不能构成直角三角形，不符合题意；故选：B．2.【答案】A【分析】根据被开方数不含分母、被开方数不含开得尽的因数或因式，可得答案．【详解】A、被开方数不含分母、被开方数不含开得尽的因数或因式，故A符合题意；B、被开方数含开得尽的因数或因式，故B不符合题意；C、被开方数含分母，故C不符合题意；D、被开方数含开得尽的因数或因式，故D不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数不含开得尽的因数或因式．3.【答案】C【详解】解：连接AB，根据中点可得DE为△OAB的中位线，则AB=2DE=28米．故选：C．【点睛】本题考查了三角形中位线的定义和性质．4.【答案】D【分析】本题主要考查了判断命题真假，正方形的判定，菱形的判定，平行四边形的判定，矩形的判定，熟知特殊平行四边形的判定定理和平行四边形的判定定理是解题的关键．【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，原命题是假命题，不符合题意；B、有一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形是正方形，原命题是假命题，不符合题意；C、有两边平行且相等的四边形是平行四边形，原命题是假命题，不符合题意；D、两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，原命题是真命题，符合题意；故选：D．5.【答案】B6.【答案】D【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理；由正方形的性质得，，，，由可判定，由全等三角形的性质得，由即可求解；掌握判定方法及性质是解题的关键．【详解】解：如图直线l上有三个正方形a，b，c，，，，，，，，在和中，（），，，；故选：D．7.【答案】B【详解】解：如图，∵AE平分∠BAD交BC边于点E，∴∠BAE=∠EAD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC=5cm，∴∠DAE=∠AEB，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE=3cm，∴EC=BC-BE=5-3=2cm．故选B．8.【答案】C【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理；由矩形的面积得，由勾股定理得，即可求解；掌握勾股定理是解题的关键．【详解】解：如图，由题意得：，，，四边形是矩形，，，故选：C．9.【答案】D【分析】菱形在坐标系中，已知两点坐标，可根据勾股定理确定AB长度，菱形四边都相等，所以可得OD长度，依据点D在坐标系中的位置即可得坐标．【详解】解：∵A、B两点的坐标分别为（0，3），（4，0），∴在中，，，∴，∵四边形ABCD为菱形，∴，∴，又∵点D位于y轴的负半轴，∴点D的坐标为：（0，-2），故选：D．【点睛】题目主要考查菱形的性质及勾股定理、确定点的坐标等，利用勾股定理确定边长是解题关键，同时，应注意所求点的位置．10.【答案】C【分析】据图形的特征得出四边形MNKT的面积设为x，其余八个全等的三角形中，每一个三角形面积设为y，从而用x，y表示出S1，S2，S3，得出答案即可．【详解】解：将四边形MTKN的面积设为x，其余八个全等的三角形中，每一个三角形面积设为y，∵正方形MNKT，正方形EFGH，正方形ABCD的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3=18，∴S3=8y+x，S2=4y+x，S1=x，∴S1+S2+S3=3x+12y=18，∴3x+12y=18，即x+4y=6，∴S2=x+4y=6，即正方形EFGH的面积为6．故选：C【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据已知得出用x，y表示出S1，S2，S3，再利用S1+S2+S3=18求出是解决问题的关键．二、填空题（本题共16分，每小题2分）11.【答案】x≥3【分析】直接利用二次根式有意义的条件得到关于x的不等式，解不等式即可得答案.【详解】由题意可得：x—3≥0，解得：x≥3，故答案为：x≥3【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键.12.【答案】AC=BD【分析】根据矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形）推出即可．【详解】添加的条件是AC=BD，理由是：∵AC=BD，四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为AC=BD【点睛】本题考查了矩形的判定定理的应用，注意：对角线相等的平行四边形是矩形．13.【答案】【分析】本题考查了因式分解与平方差公式，根据即可求解．【详解】解：，∵，，∴∴故答案为：14.【答案】【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，菱形的面积；由菱形的性质得，，由直角三角形的特征得，由勾股定理得，求出，由即可求解；掌握菱形的性质及面积的求法是解题的关键．【详解】解：如图，与交于，四边形是菱形，，，，，，，，，；故答案：．15.【答案】16【分析】由四边形ABCD为正方形可以得到∠D＝∠B＝90°，AD＝AB，又∠ABE＝∠D＝90°，而∠EAF＝90°由此可以推出∠DAF+∠BAF＝90°，∠BAE+∠BAF＝90°，进一步得到∠DAF＝∠BAE，所以可以证明△AEB≌△AFD，所以S△AEB＝S△AFD，那么它们都加上四边形ABCF的面积，即可四边形AECF的面积＝正方形的面积，从而求出其面积．【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠D=∠ABC=90°，AD=AB，∴∠ABE=∠D=90°，∵∠EAF=90°，∴∠DAF+∠BAF=90°，∠BAE+∠BAF=90°，∴∠DAF=∠BAE，∴△AEB≌△AFD，∴S△AEB=S△AFD，∴它们都加上四边形ABCF的面积，可得到四边形AECF的面积=正方形的面积=4×4=16；故答案为：16．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质、正方形的面积公式，正方形的性质，关键在于求证△AEB≌△AFD．16.【答案】①.50

②.20【分析】根据勾股定理求出AC即可解决问题．【详解】解：在Rt△ABC中，∵AB=40米，BC=30米，∴AC==50，30+40-50=20，∴他们踩坏了50米的草坪，只为少走20米的路．故答案为50，20.【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是理解题意，属于中考基础题．17.【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理，熟知两组对边分别相等的四边形是平行四边形是解题的关键．【详解】解：由作图方法可知，则根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．18.【答案】【分析】连接，可推出四边形是矩形，可得；当时，线段有最小值，此时也有最小值．【详解】解：∵∴四边形是矩形连接，则过点M，且当时，线段有最小值，此时也有最小值∵∴则有∴故答案为：【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、垂线段最短、勾股定理等．确定是解题关键．三、解答题（本题共54分）19.【答案】（1）（2）【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键．（1）先将二次根式化为最简二次根式，再将除法化为乘法，进行运算即可求解；（2）先将二次根式化为最简二次根式及利用平方差进行计算，再进行加减运算，即可求解；【小问1详解】解：原式；【小问2详解】解：原式．20.【答案】见解析【分析】本题考查平行四边形的知识，解题的关键是掌握平行四边形的判定和性质，连接，与的交点为点，根据平行四边形的性质，则，，根据，则，根据平行四边形的判定，即可．【详解】证明：连接，与的交点为点，∵四边形是平行四边形，∴，，∵，∴，∴，∴四边形是平行四边形．21.【答案】见详解【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平行四边形的判定及性质，矩形的判定；由等腰三角形的性质得，由平行四边形的性质得，，由平行四边形的判定方法得四边形是平行四边形，即可得证；掌握矩形的判定方法及性质是解题的关键．【详解】证明：，平分，，，，四边形是平行四边形，，，，，四边形是平行四边形，四边形是矩形．22.【答案】【分析】连接，根据勾股定理计算，根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，计算即可．本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理并灵活运用是解题的关键．【详解】连接，∵，，∴，，∵，，∴，∴，∴．23.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）利用平行四边形的性质结合全等三角形的判定方法AAS，得出即可；（2）利用全等三角形的性质得出AE=CF，进而求出四边形AFCE是平行四边形，再利用菱形的判定方法得出答案．【详解】（1）如图1，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB=DC，∴∠1=∠2．∵AE∥CF，∴∠3=∠4．在△AEB和△CFD中，，∴△AEB≌△CFD；（2）如图2，∵△AEB≌△CFD，∴AE=CF.∵AE∥CF，∴四边形AFCE是平行四边形．∵∠5=∠4，∠3=∠4，∴∠5=∠3，∴AF=AE．∴四边形AFCE是菱形．24.【答案】见详解【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质等；由正方形的性质得，，由可判定，由全等三角形的性质即可得证；掌握相关的性质及判定方法是解题的关键．【详解】证明：四边形是正方形，，，，，，，在和中，（），．25.【答案】（1）；（2）；（3）3【分析】本题主要考查了勾股定理，矩形与折叠问题：（1）根据勾股定理解答即可；（2）设绳索的长为x尺，则的长为尺，根据勾股定理得，据此列出方程即可；（3）设，则，由折叠的性质可知，，结合勾股定理列出方程，解方程即可．【详解】解：（1）在中，，，，，由勾股定理得，，故答案为：；（2）设绳索的长为x尺，则的长为尺，在中，由勾股定理得，∴，故答案为：；（3）设，则，由折叠的性质可知，，由矩形的性质可得，在中，由勾股定理得，∴，解得，，则的长为3．26.【答案】（1）见解析；（2）45°【分析】（1）以直角边构造斜边为，再以2和3为直角边构造斜边为，再以2为边，即可求解；（2）连接，根据勾股定理求得的长，再根据勾股定理的逆定理求解即可．【详解】解：（1）以直角边构造斜边为，再以2和3为直角边构造斜边为，再以2为边，作图如下：（2）连接，如下图：由勾股定理可得：、、∵∴∴为直角三角形，又∵∴为直角直角三角形∴【点睛】此题考查了勾股定理以及逆定理的应用，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．27.【答案】（1）等腰直角三角形；（2）①补全图形;②的形状是等腰三角形,证明见解析.【分析】（1）由在正方形ABCD中，可得∠ABC=90°，AB=BC，又由点P与点B重合，点M，N分别为BC，AP的中点，易得BN=BM，即可判定△EPN的形状是：等腰直角三角形；（2）①首先根据题意画出图形；②首先在MC上截取MF，使MF=PM，连接AF，易得MN是△APF的中位线，证得∠1=∠2，易证得△ABF≌△DCP（SAS），则可得∠2=∠3，继而证得∠1=∠2，则可判定△EPM的形状是：等腰三角形.【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，AB=BC，∵点M，N分别为BC，AP的中点，∴当点P与点B重合时，BN=BM，∴当点P与点B重合时，△EPM的形状是：等腰直角三角形；故答案为：等腰直角三角形；（2）补全图形，如图1所示．的形状是等腰三角形．证明：在MC上截取MF，使MF=PM，连结AF，如图2所示．∵N是AP的中点，PM=MF，∴MN是△APF的中位线．∴MN∥