2024北京北师大实验中学初二（下）期中数学试题及答案

试题PAGE1试题2024北京北师大实验中学初二（下）期中数学考生须知1．本试卷共12页，共四道大题，29道小题：答题纸共3页．满分120分．考试时间100分钟．2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名、学号．3．试卷答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效．4．在答题卡上，选择题须用2B铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色字迹签字笔作答．A卷一、单项选择题（本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题意．每小题3分，共24分）1.下列计算，正确的是（）A. B.C. D.2.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A.4，5，6 B.2，3，4 C.5，12，13 D.1，，33.在平面直角坐标系中，若一次函数的图像由直线向上平移4个单位长度得到，则一次函数的图像经过的象限是（）A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限4.下列命题中，正确的是（）A.一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形B.对角线互相垂直的四边形是平行四边形C.两组对边分别相等的四边形是平行四边形D.一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形5.如图，菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若，则菱形ABCD的周长为（）A.8 B.16 C.24 D.326.如图，在离水面点A高度为的岸上点C处，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以的速度收绳，后船移动到点D的位置，则船向岸边移动了（）（假设绳子是直的）．A.9米 B.8米 C.7米 D.6米7.直线与直线的交点P的横坐标为3，则下列说法错误的是（）A.B.点P的纵坐标为C.关于x、y的方程组的解为D.当时，的解集为8.如图，在等腰中，，D是上一动点，以为底，在的右侧作等腰，若，则的最小值为（）．A.4 B.3 C.2 D.1二、填空题（共8道小题，每题2分，共16分）9.函数y=的自变量x的取值范围是________．10.如图，在数轴上点A表示的实数是________________．11.已知菱形的两条对角线，交于点，若，，则菱形的面积为______．12.已知一次函数（k，b是常数）的图象上有两点，，若当时，，则k的取值范围是______．13.如图，直线与交于点，则不等式的解集为______．14.如图1，在中，，是边上一动点，设，两点之间的距离为，，两点之间的距离为，表示与的函数关系的图像如图2所示．则线段的长为___________，线段的长为___________．15.将矩形对折使与重合，得到折痕，再次折叠，使点A落在折痕上，并使折痕经过点D，得到折痕和线段，记与的交点为H．若，则______．16.如图，在正方形外取一点E，连接，，，过点A作的垂线交于P．若，，则下列结论：①；②点D到直线的距离为；③；④正方形的面积为；以上结论中，正确的序号是______．三、解答题（共10道小题，第17，18，20题每题5分，第19，21，22，24题每题6分，第23，25，26题每题7分，共60分）17.计算：．18.计算：．19.下面是小张同学设计的“利用等腰三角形作菱形”的作图过程．已知：等腰，．求作：点C，使得四边形ABCD为菱形．作法：①作的角平分线，交线段于点O；②以点O为圆心，长为半径圆弧，交的延长线于点C；③连接，所以四边形为菱形，点C即为所求．根据小张同学设计的作图过程．（1）使用直尺和圆规补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵，平分，∴，，（）（填推理的依据）∵，，∴四边形为平行四边形（）（填推理的依据）∵，∴四边形为菱形（）（填推理的依据）20.如图，在中，，点在的延长线上，且．求证：四边形是矩形．21.在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和．（1）求这个一次函数的解析式；（2）若点C是x轴上一点，且的面积为3，求点C的坐标．22.一辆电动车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地，小时后，一辆货车从A地出发，沿同一路线每小时行驶72千米匀速驶向B地，货车到达B地装填货物耗时15分钟，然后立即按原路返回A地．电动车、货车离A地的距离y（千米）与货车出发的时间x（时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：（1）A，B两地之间的距离是_________千米，_________；（2）直接写出线段的解析式，并指出自变量x的取值范围；（3）求电动车与货车第二次相遇的时间．23.如图，在四边形中，，对角线交于点平分角，过点作交的延长线于点，连接．（1）求证：四边形是菱形；（2）若，求的长．24.如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点．（1）求k，m的值；（2）已知点，过点P作垂直于y轴的直线与直线交于点M，过点P作垂直于x轴的直线与直线交于点N（P与N不重合）．若，结合图象，求n的取值范围．25.把一次函数（k、b为常数，）．在y轴右侧的图像沿y轴向左翻折，与原来在y轴及右侧的图像组合，得到一个新的函数图像，这个新函数的解析式为（k、b为常数，）．例如：的图像如图①所示．（1）请在图②中画出函数的图像，并直接写出该图像与y轴交点A的坐标_________；（2）若函数的图像与y轴交于点C，与函数的图像交于B，D两点（点B在点D的右侧），求四边形的面积；（3）已知函数与函数，若对于，都有，直接写出k的取值范围．26.如图1，在正方形中，点是直线上一点，点是直线上一点（与不重合），，作点关于直线的对称点，连接，．（1）如图，点在线段的延长线上，点在线段的延长线上，①记，求的度数（用含的式子表示）；②用等式表示，，之间的数量关系，并证明；（2）当点在射线上，点在直线上时，直接用等式表示，，之间的数量关系．B卷四、解答题（第27题5分，第28题7分，第29题8分，共20分）27.先观察下列等式，再回答问题：①②③（1）根据上而三个等式提供的信息，请你猜想的结果：（2）请按照上面各等式反映的规律，试写出用n的式子表示的等式：（3）对任何实数a可[a]表示不超过a的最大整数，如，计算：的值．28.在查阅勾股定理证明方法的过程中，小明看到一种利用“等积变形一同底等高的两个平行四边形的面积相等”证明勾股定理的方法，并尝试按自己的理解将这种方法介绍给同学．（1）根据信息将以下小明的证明思路补充完整：①如图1，在中，，四边形，四边形，四边形都是正方形．延长交于点M，过点C作交的延长线于点N，可得四边形的形状是_________；②在图1中利用“等积变形”可得_________；③如图2，将图1中的四边形沿直线向下平移的长度，得到四边形，即四边形；④设交于点T，延长交于点H，在图2中再次利用“等积变形”可得_________，则有_________．⑤同理可证，因此得到，进而证明了勾股定理．（2）小芳阅读完小明的证明思路后，对其中的第③步提出了疑问，请将以下小明对小芳的说明补充完整：图1中__________________，则有_________，由于平行四边形的对边相等，从而四边形沿直线向下平移的长度，得到四边形．29.在平面直角坐标系中，对于正方形和它边上的动点P，以为斜边作等腰且O，P，Q三点按顺时针排列，则称点Q是点P关于正方形的“相关点”．已知，，，，这里．（1）如图1，若，当点P在正方形的边上运动时，设点P关于正方形的“相关点”为点Q．①若点Q恰好也在正方形的边上，这样的点P的个数是_________；A．0个；B．1个；C．2个；D．4个②设点P的横坐标为p，求点Q的坐标；（2）当时，对于正方形和它边上的动点P，则所有点P关于正方形的“相关点”组成图形的面积为_________；（3）如图2，，，当点P在正方形的四条边上运动时，若线段上有且只有一个P关于正方形的“相关点”，直接写出a的取值范围．

参考答案A卷一、单项选择题（本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题意．每小题3分，共24分）1.【答案】D【分析】本题主要考查了二次根式的加法、二次根式的性质、二次根式的除法和乘法，灵活运用相关运算法则成为解题的关键．直接根据二次根式的加法、二次根式的性质、二次根式的除法和乘法法则逐项判断即可．【详解】解：A.与不是同类二次根式，不能合并，即A选项错误；B.，即B选项错误；C.，即C选项错误；D.，即D选项正确．故选D．2.【答案】C【分析】根据勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【详解】解：A、，故不是直角三角形；B、，故不是直角三角形；C、，是直角三角形；D、，故不是直角三角形；故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断是解答此题的关键．3.【答案】B【分析】本题考查一次函数图像平移，掌握图像平移与点坐标变化的关系是解题的关键．由于向上平移，则，再根据图像位置与系数的关系即可解答．【详解】解：由题得：在中，，，∴位于第一、二、四象限．故选：B．4.【答案】C【分析】本题主要考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定定理，逐项判断即可求解．【详解】解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故本选项错误，不符合题意；B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项错误，不符合题意；C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项正确，符合题意；D、两组对边相等的四边形是平行四边形，故本选项错误，不符合题意；故选：C5.【答案】D【分析】根据中位线的性质求出的长度，再由菱形四条边相等的性质运算周长即可．【详解】∵E，F分别是AD，BD的中点∴为的中位线∴又∵是菱形∴∴故答案选：D.【点睛】本题主要考查了中位线的性质，菱形的性质，熟悉掌握中位线的比值关系是解题的关键．6.【答案】A【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，将实际问题转化成勾股定理问题成为解题的关键．先在中运用勾股定理求得，再运用勾股定理求得，最后根据线段的和差求得即可解答．【详解】解:在中，，,∴，∵此人以的速度收绳，后船移动到点D的位置，∴，∴，∴，即船向岸边移动了．故选A．7.【答案】A【分析】本题主要考查了两直线相交问题，求出直线经过点P的坐标是解决本题的关键．将代入中，得出y的值，即可确定点P的坐标，然后代入可判定A选项；根据点P的纵坐标可判定B选项；两直线相交坐标是两对应方程组的解的x、y值可判定C选项，；C、根据一次函数k的值判断增减性；将P点坐标代入进行判断即可．【详解】解：将代入中，可得，即点P的坐标为；A、将点P的坐标代入，可得，故选A项说法错误；B、由点P的坐标为，则点P的纵坐标为，故B选项说法正确；C、由点P的坐标为，关于x、y的方程组的解为，故选项C说法正确；D、直线与直线的交点P的横坐标为3且，则的解集为，故选项D说法正确；故选A．8.【答案】B【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键．先根据勾股定理求得，然后分当点D在点B处以及当点D在点C处两种情况可说明垂直平分，再运用相似三角形的判定与性质说明点E的运动轨迹，最后根据点到直线的距离垂线段最短即可解答．【详解】解：∵在等腰中，，∴,如图1：当点D在点B处时，依题意作等腰,∵是等腰直角三角形∴点为的中点,∴,当点D在点C处时,依题意作等腰，∴,如图2：设的中点为F，连接，∵等腰，等腰，∴,，∴,即,∴，∴,∴∴所在的直线为点E的运动轨迹，如图1：连接交于点，∴、，∴垂直平分，∴的最小值即为的长，∴．故选B．二、填空题（共8道小题，每题2分，共16分）9.【答案】x≥7【分析】根据二次根式有意义的条件进行求解即可．【详解】由题意得：，解得x≥7，故答案为：x≥7．【点睛】本题考查函数自变量的取值范围，涉及二次根式的被开方数是非负数，熟练掌握知识点是解题的关键．10.【答案】【分析】在直角三角形中，求得斜边的长，即可求解．【详解】在直角三角形中，由勾股定理可得：斜边长，∴点A表示的实数是，故答案为：．【点睛】题考查了勾股定理，实数与数轴的关系，根据勾股定理求出斜边的长是解答本题的关键．11.【答案】10【分析】本题主要考查了菱形的性质，熟知菱形面积计算公式是解题的关键．根据菱形的面积等于对角线乘积的一半进行求解即可．【详解】解：如图所示，∵菱形的两条对角线，交于点，，，，故答案为：10．12.【答案】【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据当时，，得到，求解即可．【详解】解：∵时，，∴，∴；故答案为：．13.【答案】【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，利用图象法解不等式即可．【详解】解：由图象可知：当时，直线在直线的上方，∴不等式的解集为：．故答案为：．14.【答案】①.②.【分析】从图像得出看，当时，重合，此时，则，即当时，为以点为顶点腰长为的等腰三角形，进而求解．【详解】解：从图像看，当时，，即时，，当时，，即时，重合，此时，则，即当时，为以点为顶点腰长为的等腰三角形，如下图：过点作于点，在中，，则，在中，，故答案为：，．【点睛】本题考查的是动点问题的函数图像，解题的关键是：弄清楚不同时间段，图像和图形的对应关系，进而求解．15.【答案】2【分析】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、解直角三角形等知识点，掌握解直角三角形成为解题的关键．由折叠的性质可得：，在根据特殊角的三角函数值可得，进而得到、，再解直角三角形得到,，最后根据线段的和差即可解答．【详解】解：由折叠的性质可得：，，∴,∴,∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴,，∴．故答案为2．16.【答案】①④【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理的应用等知识点，理清图中三角形与角的关系是解题的关键．根据正方形的性质可得，再根据同角的余角相等求出，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，可判断①正确；如图：过D作交延长线于，根据等腰直角三角形的性质求出，再利用勾股定理列式求出的长，再根据勾股定理求得即可判断出②．根据列式计算即可判断③；先计算出、，然后根据勾股定理求得即可判定④【详解】解：∵四边形是正方形，∴，∵，∴，又∵，∴，∵，∴∴，∴，即，故①正确；如图：过D作交延长线于，∵，，∴，∴,∵，∴,∵过点A作的垂线交于P．∴,解得：（舍弃负值），∴点D到直线的距离为；故②错误；∵，∴，∴,∵，∴,∴,故③错误；∵,,即，∴,即正方形的面积为，故④正确；综上，正确的有①④，故答案为①④三、解答题（共10道小题，第17，18，20题每题5分，第19，21，22，24题每题6分，第23，25，26题每题7分，共60分）17.【答案】【分析】本题考查二次根式的混合运算，先利用二次根式的性质化简，进行乘法运算，再合并同类二次根式即可．【详解】解：原式．18.【答案】【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，运用平方差公式以及完全平方公式进行运算即可．【详解】解：19.【答案】（1）见解析（2）三线合一定理；对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形【分析】（1）按照题意进行作图即可；（2）先由三线合一定理得到，，再根据平行四边形和菱形的判定定理证明即可．【小问1详解】解：如图所示，即为所求；【小问2详解】证明：∵，平分，∴，，（三线合一定理）∵，，∴四边形为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）∵，∴四边形为菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）故答案为：三线合一定理；对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图，三线合一定理，菱形的判定，平行四边形的判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键．20.【答案】见详解【分析】由平行四边形的性质，得到，结合，，即可得到结论成立．【详解】解：在中，有，∵，，∴，∴四边形DEFC是平行四边形，∵，∴四边形是矩形．【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定和性质进行证明．21.【答案】（1）（2）或【分析】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，坐标与图形面积：（1）利用待定系数法求解一次函数的解析式即可；（2）设点C的坐标为，则，再根据三角形的面积公式可得到关于m的方程，即可求解．【小问1详解】解：把点和代入得：，解得：，∴这个一次函数的解析式为；【小问2详解】解：设点C的坐标为，则，∵的面积为3，∴，解得：或2，∴点C的坐标为或．22.【答案】（1）54,1（2）（3）【分析】本题主要考查了求一次函数解析式、从函数图象获取信息、一次函数与方程组的关系等知识点，正确读懂函数图象是解题的关键．（1）根据货车从A地到B地花了小时结合路程、速度、时间的关系即可求出A、B两地的距离；根据货车装货花了15分钟即可求出a的值；（2）利用待定系数法即可求得函数解析式，再根据a的值以及函数图像即可解答；（3）先求出直线的解析式，然后求出其与线段的解析式的交点横坐标即可．【小问1详解】解：千米，∴A，B两地之间的距离是54千米，∵货车到达B地填装货物耗时15分钟，∴．故答案为：54，1．【小问2详解】解：设线段所在直线的解析式为，将，代入得：，解得：，∴线段所在直线的函数解析式为．【小问3详解】解：由题意得，电动车的速度为千米/小时，则，即C点坐标为，设线段所在直线的解析式为，将代入得：，解得：，∴线段所在直线的函数解析式为，联立，解得：．所以电动车与货车第二次相遇的时间为．23.【答案】（1）见解析（2）【分析】（1）利用平行线和角的平分线，证明，继而判断四边形是平行四边形，结合得证；（2）利用勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，计算即可．【小问1详解】证明：∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是菱形；【小问2详解】解：∵四边形是菱形，∴，∵，∴，∵，∴，在中，，∴，∴．【点睛】本题考查了平行线的性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键．24.【答案】（1）；（2）且【分析】本题是一次函数图象的相交于平行的问题，主要考查了待定系数法求一次函数的解析式：（1）把A点坐标代入中，求得m的值，再把求得的A点坐标代入中，求得k的值；（2）根据题意，用n的代数式表示出M、N点的坐标，再求得的值，根据，列出n的不等式，再求得结果．【小问1详解】解：把点代入得：，∴点，把点代入得：，解得：；【小问2详解】解：如图，由（1）得：直线的解析式为，∵点，轴，轴，∴点，点，∴，∵，∴，解得：，∵P与N不重合，∴，即，∴n的取值范围为且．25.【答案】（1）见详解，（2）3（3）或【分析】本题主要考查了含绝对值的一元一次函数图像以及性质，利用两函数求一元一次不等式的解集．（1）先求出当时，，当时，，即可画出函数右边的图像，然后y轴右侧的图像沿y轴向左翻折即可得出的图像，再根据函数图像写出点A的坐标即可．（2）分别求出点B，点C，点D的坐标，即可求四边形的面积．（3）分两种情况，当时和当时，分别解出关于k的不等式解题即可．解不等式即可求解．【小问1详解】解：当时，，当时，，∴函数的图像如下：∴点故答案为：．【小问2详解】令则，∴，令，解得：，，，，∴，，∴．【小问3详解】①当时，，解得：，②当时，，若，则，∵，∴，解得：，那么，，若时，则，∵，∴，解得：，那么，，综上所述，k的取值范围为：或．26.【答案】（1）①；②；（2）．【分析】（1）利用正方形和等腰三角形的性质，进行角的等量代换求解即可得到①；过作于点，利用正方形的性质证出是等腰直角三角形，得到，通过勾股定理建立等量关系可得到和，接着判定出，即可得到，代入即可得到关系式；（2）根据题意作出图象后，过作于点，利用等腰三角形的性质可以得到，利用勾股定理求出，再根据，代入求解即可．【小问1详解】①解：∵是正方形，为对角线，∴，∴，∵，∴，∵点与关于直线对称，∴，∴，，∴；②解：过作于点，如图所示：∵是正方形，∴，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴在中，，∴，∴，∴在中，，∴，∴，由①得，∴，又∵，∴，∴在和中，∴（ASA），∴，∵，∴，∴；【小问2详解】解：由题意作图，过作于点，如图所示：∵，，∴，∵，∴为等腰直角三角形，∴，∴在中，，∴，∴，∵点与关于直线对称，∴，∴．【点睛】本题为四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的性质及判定，等腰三角形的性质及判定，轴对称图形，勾股定理等知识点，合理作出辅助线进行边的转化是解题的关键．B卷四、解答题（第27题5分，第28题7分，第29题8分，共20分）27.【答案】（1）；（2）；（3）99．【分析】（1）利用前面三个等式的规律求解；（2）利用前面三个等式的规律求解；

（3）根据（2）中结论得到，然后再求出最大整数即可．【详解】解：（1）猜想；

（2）第n个式子为：；

（3）=====99．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简：灵活应用二次根式的性质进行二次根式的计算．28.【答案】（1）①平行四边形，（2）【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定等知识点、平移的性质，灵活运用相关性质和判定定理成为解题的关键．（1）根据正方形的性质易证四边形是平行四边形，再根据等底等高可得；再证明可得；通过平移的性质可得、进而完成解答；（2）直接根据全等三角形的判定与性质即可解答．【小问1详解】解：①∵四边形是正方形，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∴，∵，∴，∴，∴，∴图1中的四边形沿直线向下平移的长度，得到四边形，即四边形，∴，∴，∴同理可证，∴．故答案为：平行四边形，．【小问2详解】解：由（1）可知：，∴．故答案为．29.【答案】（1）①C；②点的坐标为（2）24（3）或或【分析】（1）①点在正方形的边上运动，由于O，P，Q三点按顺时针排列，则点不可能在、上，再分若点在上，若点在上，两种情况结合正方形的性质，等腰直角三角形的性质讨论即可；②如图，延长至，使，分别过、作交于点，，交于点，可知，，为等腰直角三