邯郸市曲周一中高三上学期月月考数学试卷

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2017-2018学年河北省邯郸市曲周一中高三(上)10月月考数学试卷一、选择题（每小题5分，共14小题，共60分）1．（5分）设集合M=｛x｜﹣2＜x＜3}，N=｛x｜2x+1≤1｝,则M∩（∁RN）=（）A．（3，+∞） B．（﹣2，﹣1］ C．（﹣1，3） D．[﹣1，3）2．（5分）已知集合A=x｜x2﹣x﹣2＜0｝，B={x|log4x＜0。5}，则（）A．A∩B=∅ B．B⊆A C．A∩∁RB=R D．A⊆B3．(5分)设a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0"是“a＜b”的（)A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．(5分）命题“对任意x∈R，都有x2≥ln2”的否定为（）A．对任意x∈R，都有x2＜ln2 B．不存在x∈R，都有x2＜ln2C．存在x∈R,使得x2≥ln2 D．存在x∈R，使得x2＜ln25．（5分）函数y=x3的图象在原点处的切线方程为（）A．y=x B．x=0 C．y=0 D．不存在6．（5分）函数f（x）=lnx+x3﹣9的零点所在的区间为（)A．(0,1） B．（1，2) C．（2，3） D．(3，4）7．（5分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＜0时，f(x）=2x2﹣1，则f（1）的值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣28．(5分)下列图象中，有一个是函数f（x）=x3+ax2+（a2﹣1）x+1(a∈R,a≠0)的导函数f’（x)的图象，则f（﹣1）=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣29．（5分）函数f（x)=的单调增区间是（）A． B．C． D．10．对于函数f（x）=x3cos3（x+），下列说法正确的是（）A．f(x）是奇函数且在（﹣，）上递增B．f(x)是奇函数且在（﹣，)上递减C．f（x）是偶函数且在（0，）上递增D．f（x)是偶函数且在（0,）上递减11．(5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，f(x+1）是偶函数，当x∈(2，4）时，f(x）=｜x﹣3|，则f（1)+f（2）+f（3）+f(4）=(）A．1 B．0 C．2 D．﹣212．（5分）函数f(x）=（x﹣a)ex在区间（2，3）内没有极值点,则实数a的取值范围是（)A．（﹣∞，3]∪[4，+∞） B．[3，4］ C．(﹣∞，3] D．[4，+∞）13．（5分)若函数f（x）=ex+4x﹣kx在区间（，+∞）上是增函数，则实数k的最大值是(）A．2+e B．2+ C．4+e D．4ln2+14．已知函数f（x）=lnx+tanα（α∈（0,）)的导函数为f′(x)，若使得f′（x0）=f（x0）成立的x0＜1，则实数α的取值范围为（）A．（，) B．（0，） C．（,） D．（0,)二、填空题（每小题5分，共4小题，共20分)15．(5分）已知tanα,tanβ分别是lg（6x2﹣5x+2)=0的两个实根,则tan（α+β）=．16．(5分）已知cosα=k，k∈R，α∈，则sin(π+α）是．17．（5分）函数f（x）=，若方程f（x)=mx﹣恰有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．18．（5分）对于三次函数f(x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0)，定义：设f″(x）是函数y=f(x）的导数y=f′（x)的导数,若方程f″（x）=0有实数解x0,则称点（x0，f(x0）)为函数y=f（x)的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有“拐点"；任何一个三次函数都有对称中心；且“拐点"就是对称中心．”请你根据这一发现，函数f(x）=x3﹣3x2+3x+1对称中心为．三、解答题（要求写出必要的解题步骤，共70分)19．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边长分别为a,b，c，且a=3，b=2，A=2B，求cosB和c的值．20．（12分）已知函数f（x)=2sin（+）cos(+)﹣sin（x+π）．(1）求f（x）的最小正周期；（2）若将f（x)的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象,求函数g(x）在区间［0,π］上的最大值和最小值．21．（12分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx,且f’（﹣1）=0．（1）试用含a的代数式表示b;（2）求f（x）的单调区间．22．（12分）如图，在△ABC中，B=，AC=4，D为BC边上一点．（Ⅰ）AD=2，S△DAC=2，求DC的长；（Ⅱ)若AB=AD，求△ADC的周长的最大值．23．（12分）设函数f（x）=ax﹣2﹣lnx（aϵR）(1）求f（x）的单调区间；（2）若g(x)=ax﹣ex，求证：当x＞0时,f（x）＞g(x）．24．（12分)已知函数f(x）=ax+x2﹣xlna(a＞1)．（1)求函数f（x）在点（0，f(0））处的切线方程；（2)求函数f（x）的单调区间；（3）若存在x1,x2∈[﹣1,1］,使得｜f（x1）﹣f（x2）｜≥e﹣1(e是自然对数的底）,求实数a的取值范围．

2017—2018学年河北省邯郸市曲周一中高三(上）10月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共14小题，共60分）1．(5分）设集合M=｛x|﹣2＜x＜3｝，N={x|2x+1≤1}，则M∩（∁RN）=(）A．（3，+∞） B．（﹣2，﹣1］ C．(﹣1，3） D．［﹣1，3）【分析】求出N中不等式的解集确定出N，进而求出N的补集，找出M与N补集的交集即可．【解答】解：由N中不等式变形得：2x+1≤1=20,即x+1≤0，解得：x≤﹣1,即N=(﹣∞，﹣1]，∴∁RN=（﹣1，+∞），∵M=（﹣2,3），∴M∩（∁RN）=（﹣1,3)，故选:C．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．（5分）已知集合A=x｜x2﹣x﹣2＜0}，B=｛x｜log4x＜0.5｝，则（）A．A∩B=∅ B．B⊆A C．A∩∁RB=R D．A⊆B【分析】先根据不等式的解法求出集合A，再根据对数的单调性求出集合B，根据子集的关系即可判断．【解答】解：∵x2﹣x﹣2＜0，∴（x﹣2)（x+1）＜0，解得﹣1＜x＜2∴A=（﹣1,2），∵log4x＜0。5=log42，∴0＜x＜2，∴B=（0，2)，∴B⊆A，故选：B【点评】本题考查了不等式的解法和函数的性质，以及集合的包含关系，属于基础题．3．（5分）设a，b∈R，则“（a﹣b)a2＜0”是“a＜b”的（)A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分必要条件定义判断，结合不等式求解．【解答】解:∵a，b∈R，则(a﹣b）a2＜0，∴a＜b成立，由a＜b，则a﹣b＜0,“(a﹣b）a2≤0,所以根据充分必要条件的定义可的判断：a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是a＜b的充分不必要条件，故选：A【点评】本题考查了不等式，充分必要条件的定义，属于容易题．4．（5分)命题“对任意x∈R，都有x2≥ln2"的否定为()A．对任意x∈R，都有x2＜ln2 B．不存在x∈R，都有x2＜ln2C．存在x∈R，使得x2≥ln2 D．存在x∈R，使得x2＜ln2【分析】由全称命题的否定是特称命题，以及量词和不等号的变化，即可得到所求命题的否定．【解答】解：全称命题的否定是特称命题，依题意，命题“对任意x∈R，都有x2≥ln2”的否定是“存在x∈R，使得x2＜ln2”．故选：D．【点评】本题考查命题的否定，注意运用全称命题的否定是特称命题，以及量词和不等号的变化，考查转化能力，属于基础题．5．（5分）函数y=x3的图象在原点处的切线方程为（）A．y=x B．x=0 C．y=0 D．不存在【分析】求出函数的导数,求得切线斜率,由点斜式方程即可得到切线方程．【解答】解：函数y=x3的导数为y′=3x2，在原点处的切线斜率为0，则在原点处的切线方程为y﹣0=0(x﹣0），即为y=0．故选:C．【点评】本题考查导数的运用:求切线方程，考查运算能力，运用点斜式方程是解题的关键．6．（5分)函数f（x）=lnx+x3﹣9的零点所在的区间为(）A．(0,1） B．（1,2） C．(2，3） D．(3，4)【分析】根据函数f(x）在（0，+∞）上是增函数，f（2）＜0，f（3）＞0，可得函数f（x）在区间(2，3)上有唯一的零点．【解答】解：由于函数f(x）=lnx+x3﹣9在（0，+∞）上是增函数，f（2）=ln2﹣1＜0,f（3）=ln3+18＞0，故函数f（x）=lnx+x3﹣9在区间(2,3）上有唯一的零点，故选：C．【点评】本题主要考查函数的单调性，函数零点的判定定理,属于基础题．7．（5分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＜0时，f（x）=2x2﹣1，则f（1）的值为（)A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【分析】直接利用函数的奇偶性以及函数的解析式求解即可．【解答】解:函数f（x）为奇函数，且当x＜0时，f(x）=2x2﹣1，则f（1）=﹣f(﹣1）=﹣(2×12﹣1）=﹣1．故选：B．【点评】本题考查函数的奇偶性的应用，函数值的求法，考查计算能力．8．（5分）下列图象中,有一个是函数f(x）=x3+ax2+（a2﹣1)x+1(a∈R,a≠0)的导函数f’（x）的图象，则f(﹣1）=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【分析】求出导函数，判断开口方向，然后判断图象，求解f（﹣1）即可．【解答】解：依题意得f’（x）=x2+2ax+(a2﹣1），y=f'(x）的图象的开口方向向上，因此其图象只可能是第一或第三个；又a≠0，因此y=f’(x）的图象的对称轴为x=﹣a≠0不是y轴，因此y=f’(x）的图象只可能是第三个，由图可知解得a=﹣1，f（﹣1)=1﹣2=0=﹣1,故选:B．【点评】本题考查导函数的应用，函数的图象的判断，考查计算能力．9．（5分）函数f(x）=的单调增区间是（）A． B．C． D．【分析】由二倍角的余弦函数公式化简函数解析式可得：f（x）=+cos（2x﹣）,由2kπ﹣π＜2x﹣＜2kπ，k∈Z可解得单调增区间．【解答】解：∵f（x）===+cos(2x﹣)，∴2kπ﹣π＜2x﹣＜2kπ,k∈Z可解得单调增区间是:．故选：A．【点评】本题主要考查了正弦函数的单调性,二倍角的余弦函数公式的应用，属于基本知识的考查．10．对于函数f（x)=x3cos3（x+)，下列说法正确的是（)A．f(x）是奇函数且在(﹣，）上递增B．f（x）是奇函数且在（﹣，）上递减C．f（x）是偶函数且在（0，)上递增D．f(x）是偶函数且在（0，）上递减【分析】利用诱导公式化简函数的解析式,通过函数的单调性与奇偶性判断结果即可．【解答】解：函数f（x）=x3cos3（x+）=x3cos（3x+）=﹣x3sin3x，由于f（﹣x）=﹣x3sin3x=f(x)，可知此函数是偶函数，又y=x3与y=sin3x在(）上递增，可得f（x）=﹣x3sin3x在（)上递减,对照四个选项，D正确，故选：D．【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性，诱导公式的应用，考查计算能力．11．（5分)已知f（x)是定义在R上的奇函数,f（x+1)是偶函数，当x∈(2，4）时，f（x）=|x﹣3｜,则f（1)+f（2）+f（3)+f(4)=(）A．1 B．0 C．2 D．﹣2【分析】根据已知可得f（﹣x）=﹣f（x），f（﹣x+1）=f（x+1），结合x∈（2，4）时，f（x）=｜x﹣3|，分别求出f（1)，f（2），f(3)，f（4）可得答案．【解答】解：∵f(x）是定义在R上的奇函数，f(x+1）是偶函数，∴f（0）=0，f（﹣x）=﹣f(x)，f（﹣x+1）=f（x+1），∴f（x+4）=f[(x+3）+1］=f[﹣（x+3)+1]=f(﹣x﹣2）=﹣f（x+2）=﹣f［（x+1）+1]=﹣f［﹣（x+1）+1]=﹣f（﹣x）=f（x）,∴函数f（x）是周期为4的周期函数，f（4）=f(0）=0，∵当x∈（2，4）时，f（x）=｜x﹣3｜，∴f（3）=0，f(4）=0，f（1）=﹣f（﹣1)=﹣f(3）=0,f（2）=﹣f（﹣2）=﹣f（2）=0，故f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0,故选：B【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性,函数求值，难度不大,属于基础题目．12．(5分）函数f（x）=（x﹣a）ex在区间（2，3）内没有极值点，则实数a的取值范围是(）A．（﹣∞,3]∪［4，+∞) B．[3，4] C．（﹣∞,3］ D．［4，+∞）【分析】由函数f(x）=（x﹣a)ex在区间（2，3）内没有极值点，可得f′（x)≥0或f′（x）≤0在区间（2，3)内恒成立，进而可得实数a的取值范围．【解答】解:∵f（x）=（x﹣a)ex，∴f′(x）=（x+1﹣a）ex，∵函数f（x)=（x﹣a）ex在区间(2,3）内没有极值点，∴x+1﹣a≥0或x+1﹣a≤0在区间（2，3）内恒成立,即a≤x+1或a≥x+1在区间(2，3）内恒成立，∴a≤3或a≥4．故实数a的取值范围是（﹣∞，3］∪［4，+∞），故选A．【点评】本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，其中将函数在定区间上无极值，转化为f′（x）≥0或f′（x）≤0在定区间上恒成立,是解答的关键．13．（5分）若函数f（x)=ex+4x﹣kx在区间(,+∞）上是增函数，则实数k的最大值是（)A．2+e B．2+ C．4+e D．4ln2+【分析】求出f(x）的导数,由题意可得f′(x）≥0在区间（，+∞)上恒成立,即有k≤ex+4xln4在区间（,+∞）上恒成立．令g（x）=ex+4xln4，运用单调性，即可得到k的范围，进而得到k的最大值．【解答】解：函数f（x)=ex+4x﹣kx的导数为f′(x）=ex+4xln4﹣k,由题意可得f′（x）≥0在区间（，+∞）上恒成立,即有k≤ex+4xln4在区间(，+∞）上恒成立．令g（x）=ex+4xln4，则g（x)为（，+∞）的增函数，即有g（x）＞+2ln4=4ln2+．则k≤4ln2+．故k的最大值为4ln2+．故选D．【点评】本题考查导数的运用：判断单调性和求最值，考查不等式的恒成立问题，注意运用参数分离和指数函数的单调性,属于中档题．14．已知函数f(x）=lnx+tanα（α∈（0，)）的导函数为f′(x），若使得f′（x0)=f（x0）成立的x0＜1，则实数α的取值范围为（)A．（，) B．(0，） C．(，） D．（0，）【分析】由于f′（x)=，f′(x0）=,f′（x0）=f（x0），可得=lnx0+tanα，即tanα=﹣lnx0，由0＜x0＜1，可得﹣lnx0＞1，即tanα＞1,即可得出．【解答】解：∵f′（x）=，f′（x0）=,f′（x0）=f(x0）,∴=lnx0+tanα，∴tanα=﹣lnx0，又∵0＜x0＜1，∴可得﹣lnx0＞1，即tanα＞1，∴α∈（，）．故选：A．【点评】本题考查了导数的运算法则、对数函数和正切函数的单调性，属于中档题．二、填空题（每小题5分，共4小题，共20分）15．（5分)已知tanα,tanβ分别是lg（6x2﹣5x+2）=0的两个实根，则tan(α+β)=1．【分析】由条件利用一元二次方程根与系数的关系可得tanα+tanβ和tanα•tanβ的值,从而求得tan（α+β）的值．【解答】解：由题意lg（6x2﹣5x+2)=0，可得6x2﹣5x+1=0，tanα，tanβ分别是lg（6x2﹣5x+2）=0的两个实根，∴tanα+tanβ=，tanα•tanβ=，∴tan(α+β）===1．故答案为：1．【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，两角和的正切公式的应用，属于中档题．16．（5分）已知cosα=k，k∈R，α∈，则sin（π+α)是﹣．【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，以及三角函数在各个象限中的符号，求得sin（π+α）．【解答】解：∵cosα=k,k∈R，α∈,∴k＜0，则sin(π+α)=﹣sinα=﹣=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号,属于基础题．17．（5分)函数f(x)=，若方程f（x)=mx﹣恰有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是(，）．【分析】方程f（x）=mx﹣恰有四个不相等的实数根可化为函数f（x）=与函数y=mx﹣有四个不同的交点，作函数f（x）=与函数y=mx﹣的图象，由数形结合求解．【解答】解：方程f(x）=mx﹣恰有四个不相等的实数根可化为函数f（x）=与函数y=mx﹣有四个不同的交点，作函数f（x）=与函数y=mx﹣的图象如下，由题意,C（0，﹣），B(1，0);故kBC=，当x＞1时,f（x）=lnx，f′（x）=；设切点A的坐标为（x1，lnx1），则=;解得，x1=；故kAC=；结合图象可得,实数m的取值范围是（，）．故答案为：（，）．【点评】本题考查了方程的根与函数的零点的关系应用及函数的图象的作法与应用，属于基础题．18．（5分)对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，定义：设f″（x）是函数y=f（x）的导数y=f′（x）的导数，若方程f″(x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点"．有同学发现“任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心；且“拐点"就是对称中心．”请你根据这一发现,函数f（x）=x3﹣3x2+3x+1对称中心为(1,2）．【分析】根据函数f（x)的解析式求出f′（x）和f″（x），令f″（x）=0，求得x的值,由此求得函数f（x）=x3﹣3x2+3x+1对称中心．【解答】解：（1)∵函数f(x）=x3﹣3x2+3x+1，∴f′（x）=3x2﹣6x+3，∴f″(x）=6x﹣6．令f″（x）=6x﹣6=0,解得x=1，且f（1)=2，故函数f（x）=x3﹣3x2+3x对称中心为（1，2)，故答案为（1，2）．【点评】本题主要考查函数与导数等知识，考查化归与转化的数学思想方法,考查化简计算能力，函数的对称性的应用，属于基础题．三、解答题(要求写出必要的解题步骤，共70分）19．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且a=3，b=2，A=2B，求cosB和c的值．【分析】利用正余弦定理和二倍角公式化简可得cosB和c的值．【解答】解：∵A=2B，a=3，b=2∴sinA=sin2B正弦定理，asinB=2bsinBcosB，∵0＜B＜π，sinB≠0．∴cosB=，又由余弦定理得cosB=∴2c2﹣9c+10=0,解得:c=2或c=又∵c=2不合题意，舍去,∴c=．【点评】本题考查了正余弦定理的化简计算能力．属于基础题．20．（12分）已知函数f（x）=2sin（+）cos（+）﹣sin（x+π）．(1）求f（x）的最小正周期；(2）若将f（x)的图象向右平移个单位，得到函数g(x）的图象，求函数g（x）在区间［0，π]上的最大值和最小值．【分析】（1）利用二倍角公式、诱导公式、两角和的正弦函数化为一个角的一个三角函数的形式，即可求f（x)的最小正周期；(2）将f（x）的图象向右平移个单位，求出函数g（x）的解析式，然后在区间[0，π］上的最大值和最小值．【解答】解：（1）=（2分）==．（4分）所以f（x）的最小正周期为2π．(6分）（2）∵将f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g(x）的图象，∴=．（8分)∵x∈[0,π］时，，(10分）∴当,即时，，g（x）取得最大值2．(11分）当，即x=π时,，g（x)取得最小值﹣1．(13分）【点评】本小题主要考查了三角函数中诱导公式、两角和与差的正余弦公式、二倍角公式、三角函数的性质和图象,以及图象变换等基础知识,考查了化归思想和数形结合思想，考查了运算能力．21．（12分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx，且f'(﹣1）=0．(1）试用含a的代数式表示b;（2）求f（x）的单调区间．【分析】（1）求出导函数，通过f'（﹣1）=0,即可求解用含a的代数式表示b．（2)求出导函数,通过a与1的大小比较，判断导函数的符号,推出函数的单调区间即可．【解答】解:(1)依题意,得f'（x）=x2+2ax+b．由f’（﹣1）=1﹣2a+b=0得b=2a﹣1．（2)由（1）得f(x）=x3+ax2+(2a﹣1）x，故f’（x）=x2+2ax+2a﹣1=（x+1）（x+2a﹣1）．令f’(x）=0，则x=﹣1或x=1﹣2a．①当a＞1时，1﹣2a＜﹣1．当x变化时，f'（x）与f(x）的变化情况如下表：x(﹣∞，1﹣2a）(1﹣2a，﹣1)（﹣1,+∞)f’（x）+﹣+f（x）单调递增单调递减单调递增由此得，函数f(x）的单调增区间为（﹣∞，1﹣2a）和（﹣1，+∞），单调减区间为（1﹣2a,﹣1）．②当a=1时，1﹣2a=﹣1．此时，f’（x）≥0恒成立，且仅在x=﹣1处f'（x）=0,故函数f（x）的单调增区间为R．③当a＜1时，1﹣2a＞﹣1，同理可得函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣1）和（1﹣2a,+∞），单调减区间为（﹣1，1﹣2a）．综上所述：当a＞1时,函数f（x)的单调增区间为(﹣∞，1﹣2a)和（﹣1,+∞），单调减区间为(1﹣2a，﹣1);当a=1时,函数f（x）的单调增区间为R；当a＜1时，函数f（x）的单调增区间为（﹣∞,﹣1）和（1﹣2a，+∞),单调减区间为（﹣1，1﹣2a）．【点评】本题考查函数的导数的综合应用,函数的单调性的判断与求解，考查分类讨论思想以及转化思想的应用．22．（12分)如图,在△ABC中,B=，AC=4，D为BC边上一点．(Ⅰ)AD=2，S△DAC=2，求DC的长；(Ⅱ）若AB=AD,求△ADC的周长的最大值．【分析】（Ⅰ）由三角形的面积公式即可求得，求得∠DAC=,利用余弦定理即可求得DC的长度；（Ⅱ)方法一：由AB=AD，B=，则△ABD是正三角形，利用正弦定理表示出AD+DC+AC，根据三角恒等变形及三角函数的性质，即可求得△ADC的周长的最大值；方法二：由AB=AD，B=,则△ABD是正三角形，利用余弦定理及基本不等式的性质求得AD+DC的最大值，即可求得△ADC的周长的最大值．【解答】解:（Ⅰ)因为，则S=，所以:，为0＜∠DAC＜∠BAC＜π﹣=,则∠DAC=．…（3分)在△ADC中，由余弦定理得DC2=AD2+AC2﹣2AD•AC•cos∠DAC，则DC2=4+48﹣2×2×4×=28,所以DC=2；…(6分）（Ⅱ）法一：因为AB=AD，B=，所以△ABD是正三角形．…(7分)在△ADC中，根据正弦定理得==,所以AD=8sinC，DC=8sin(﹣C）,…（8分）所以△ADC的周长为AD+DC+AC=8sinC+8sin（﹣C）+4，=8（sinC+cosC﹣sinC）+4，=8(sinC+cosC）+4=8sin(C+）+4，…（10分）因为∠ADC=，所以＜∠C+＜,所以当C+=，即C=时,△AD的周长最大，最大为8+4．…（12分）法二：因为AB=AD，B=,所以△ABD是正三角形．…（7分）所以在△AD中，设AD=m，DC=n，m＞0，n＞0,由余弦定理得AC2=AD2+AC2﹣2AD•DC•cos∠AD,…（9分）即48=m2+n2﹣2mncos，即48=（m+n）2﹣mn，又因为mn≤，所以48=(m+n）2﹣mn≥（m+n）2﹣=（m+n）2,所以（m+n)2≤64，即m+n≤8，当且仅当m=n=4时等号成立，…（11分）所以△ADC的周长为m+n+4≤8+4，即当AD=DC=4时,△ADC的周长最大，最大为8+4．…（12分）【点评】本题考查正弦定理及余弦定理的应用,三角恒等变换及正弦函数的性质，考查基本不等式的应用，考查转化思想，属于中档题．23．（12分）设函数f(x）=ax﹣2﹣lnx（aϵR）（1）求f（x）的单调区间；（2）若g（x）=ax﹣ex，求证：当x＞0时，f（x）＞g（x)．【分析】（1）求出函数的导数(x＞0),结合导数分①a≤0、②a＞0两种情况讨论即可；(2)通过变形，只需证明g（x）=ex﹣lnx﹣2＞0即可，求出函数的导数，根据指数函数及幂函数的性质、函数的单调性及零点判定定理即得结论【解答】解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），f′(x）=（x＞0）,下面对a的正负情况进行讨论：①当a≤0时，f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，所以f(x）在（0,+∞）上单调递减；②当a＞0时，令f′（x）=0,解得x=,当x变化时，f′（x）、f(x）随x的变化情况如下表：0(0，)(a,+∞）f′（x）﹣0+f(x）↓↑由此表可知:f（x）在（0，）上单调递减，f（x)在（，+∞）上单调递增；综上所述，当a≤0时，f(x）的单调递减区间为(0，+∞）；当a＞0时，f（x）的单调递减区间为（0，）,f（x)的单调递增区间为（，+∞）;证明：（2）∵f（x）=ax﹣2﹣lnx，g（x）=ax﹣ex,∴要证:当x＞0时,f（x）＞g（x），即证：ex﹣lnx﹣2＞0，令g（x）=ex﹣lnx﹣2（x＞0），则只需证：g(x）＞0，由于g′(x)=ex﹣，根据指数函数及幂函数的性质可知，g′（x）=ex﹣在(0，+∞）上是增函数，∵g′（1)=e﹣1＞0,g′(）=﹣3＜0，∴g′（1)•g′（）＜0，∴g′(x）在(,1）内存在唯一的零点，也即g′(x）在（0,+∞)上有唯一零点，设g′(x）的零点为t，则g′(t）=et﹣=0，即et=(＜t＜1），由g′(x）的单调性知：当x∈（0,t）时，g′（x）＜g′（t)=0，g（x）为减函数；当x∈（t，+∞）时，g′(x)＞g′(t）=0，g（x)为增函数，所以当x＞0时，g（x）≥g（t）=et﹣lnt﹣2=﹣ln﹣2=+t﹣2≥2﹣2=0，又＜t＜1，故等号不成立,∴g（x）＞0,即当x＞0时，f（x）＞g（x