第11讲第2课时《用函数的观点看方程（组）与不等式》（教案）人教版数学八年级下册

第11讲第2课时《用函数的观点看方程（组）与不等式》（教案）人教版数学八年级下册科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）第11讲第2课时《用函数的观点看方程（组）与不等式》（教案）人教版数学八年级下册教学内容教材章节：人教版数学八年级下册第11讲

内容：本节课主要讲解用函数的观点来理解和解决方程、方程组与不等式问题。具体内容包括函数的定义，方程和不等式作为函数的解集，以及函数图像在解方程和不等式中的应用。核心素养目标培养学生的数学抽象能力，通过将实际问题转化为数学模型，使学生学会用函数的观点分析方程与不等式。提升逻辑推理能力，通过探索方程与不等式的解法，让学生学会运用推理方法解决问题。增强数学建模意识，引导学生将数学知识应用于实际问题，提高解决实际问题的能力。教学难点与重点1.教学重点

-理解函数与方程、不等式的联系：重点强调函数作为方程和不等式的解集的抽象概念，通过实例让学生明白函数图像与方程、不等式的解之间的关系。

-函数图像的应用：重点讲解如何通过函数图像来直观地找到方程的解和不等式的解集，例如，通过观察一次函数图像来解一元一次方程。

2.教学难点

-高次方程的解法：对于高次方程，学生可能难以理解如何将其转化为函数的形式，并利用函数图像解决问题。

-不等式解集的表示：在解决不等式问题时，学生可能会遇到如何准确表示解集的难点，例如，对于不等式\(x^2-4x+3>0\)，如何确定解集的边界点。

-复杂函数图像的解析：当函数表达式较为复杂时，学生可能难以绘制函数图像，进而难以分析其解集。例如，对于函数\(f(x)=x^3-3x^2+4x-12\)，学生需要理解如何找到其极值点，并利用这些点来确定解集。教学资源准备1.教材：确保每位学生都有人教版数学八年级下册教材，特别是第11讲的内容。

2.辅助材料：准备与教学内容相关的函数图像图表、方程与不等式解法步骤图，以及相关数学软件的演示视频。

3.教学工具：准备直尺、圆规等绘图工具，以及计算器等辅助计算设备。

4.教室布置：设置多个小组讨论区，以便学生进行合作学习，并确保投影仪和黑板等教学设备正常运行。教学过程设计1.导入新课（5分钟）

目标：引起学生对函数的观点看方程（组）与不等式的兴趣，激发其探索欲望。

过程：

开场提问：“大家在学习方程和不等式时，有没有觉得有些困难？今天我们来换个角度，用函数的观点来重新看待这些问题。”

展示一些方程和不等式在实际生活中的应用实例，如温度变化、收入支出等，让学生初步感受函数在解决问题中的重要性。

简短介绍函数的基本概念，强调函数是描述变量之间关系的数学模型，为接下来的学习打下基础。

2.函数与方程（组）与不等式的基础知识讲解（10分钟）

目标：让学生了解函数与方程（组）与不等式的关系，掌握基本概念。

过程：

讲解函数的定义，强调函数的变量依赖关系。

介绍函数的图像，如直线、抛物线等，并解释如何通过图像来理解方程和不等式的解集。

3.案例分析（20分钟）

目标：通过具体案例，让学生深入了解函数在方程和不等式中的应用。

过程：

分析一元二次方程\(x^2-4x+3=0\)的解，通过函数图像展示其解集。

探讨不等式\(x^2-4x+3>0\)的解集，让学生理解函数图像如何帮助我们确定不等式的解集。

小组讨论：让学生分组讨论如何用函数的观点解决实际问题，如利润最大化问题。

4.学生小组讨论（10分钟）

目标：培养学生的合作能力和解决问题的能力。

过程：

将学生分成若干小组，每组选择一个方程或不等式问题进行讨论，如解决一个关于旅行时间的问题。

小组内讨论解决方案，包括函数的建立、图像的绘制和解析。

每组选出一名代表，准备向全班展示讨论成果。

5.课堂展示与点评（15分钟）

目标：锻炼学生的表达能力，同时加深全班对函数观点的理解。

过程：

各组代表依次上台展示讨论成果，包括问题分析、函数建立、图像绘制和解集确定。

其他学生和教师对展示内容进行提问和点评，讨论解决方案的合理性和优化空间。

教师总结各组的亮点和不足，并提出进一步的建议和改进方向。

6.课堂小结（5分钟）

目标：回顾本节课的主要内容，强调函数在方程和不等式中的重要性。

过程：

简要回顾本节课学习的函数与方程（组）与不等式的关系，强调函数作为数学模型在解决问题中的应用。

鼓励学生在日常生活中寻找函数的例子，并尝试用函数的观点去分析和解决问题。

7.布置作业（5分钟）

目标：巩固学习效果，培养学生独立解决问题的能力。

过程：

布置课后作业，要求学生独立完成以下任务：

（1）绘制函数\(y=x^2\)的图像，并找出其与方程\(x^2-4=0\)的解的关系。

（2）解决一个关于成本和收益的数学问题，用函数的观点进行分析和计算。

8.教学反思（5分钟）

目标：教师对教学过程进行反思，总结经验教训。

过程：

教师总结本节课的教学效果，反思教学过程中的亮点和不足，提出改进措施，为今后的教学提供参考。教学资源拓展1.拓展资源

-高次方程的解法：介绍牛顿法、二分法等求解高次方程的数值方法，以及它们在数学建模中的应用。

-不等式解集的几何意义：探讨不等式解集在坐标系中的几何表示，如线性不等式和二次不等式的解集区域。

-函数的极限：引入函数极限的概念，以及如何通过极限来理解函数的连续性和可导性。

-函数的性质：深入探讨函数的单调性、奇偶性、周期性等性质，以及这些性质在解决实际问题中的应用。

-应用数学软件：介绍MATLAB、Python等数学软件在绘制函数图像和解方程、解不等式中的应用。

2.拓展建议

-鼓励学生阅读相关的数学科普书籍，如《数学之美》、《数学思维》等，以拓宽数学视野。

-建议学生参与数学竞赛或数学俱乐部活动，通过与其他学生的交流，提升数学解题技巧。

-推荐学生观看数学教育视频，如“数学之美”系列视频，以更直观地理解数学概念。

-布置学生完成一些实际问题的数学建模，如设计一个简单的经济模型来预测市场趋势。

-引导学生利用数学软件进行函数图像的绘制和分析，加深对函数性质的理解。

-鼓励学生参与数学研究项目，如探究函数在物理学中的应用，或者尝试解决数学难题。

-提供一些在线数学资源，如数学论坛、数学博客等，让学生能够随时随地进行数学学习。

-建议学生阅读一些数学历史书籍，了解数学的发展历程，激发对数学的兴趣和热爱。

-鼓励学生参加数学讲座或研讨会，与数学专家面对面交流，提升数学素养。

-建议学生尝试编写自己的数学小论文，通过写作来深化对数学概念的理解和掌握。典型例题讲解例题1：解方程\(2x^2-4x-6=0\)，并找出其解集。

解答：首先，将方程化为标准形式\(ax^2+bx+c=0\)，得到\(2x^2-4x-6=0\)。然后，使用求根公式\(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)来求解。

代入\(a=2\),\(b=-4\),\(c=-6\)，得到：

\[x=\frac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2-4\cdot2\cdot(-6)}}{2\cdot2}\]

\[x=\frac{4\pm\sqrt{16+48}}{4}\]

\[x=\frac{4\pm\sqrt{64}}{4}\]

\[x=\frac{4\pm8}{4}\]

所以，解得\(x_1=3\)和\(x_2=-1\)。因此，方程的解集为\(\{3,-1\}\)。

例题2：解不等式\(3x-5>2x+1\)，并找出其解集。

解答：首先，将不等式中的同类项移项，得到\(3x-2x>1+5\)。

简化后得到\(x>6\)。因此，不等式的解集为\((6,+\infty)\)。

例题3：解方程组\(\begin{cases}x+y=5\\2x-y=1\end{cases}\)，并找出其解集。

解答：使用加减消元法，将两个方程相加，消去\(y\)，得到\(3x=6\)。

解得\(x=2\)。将\(x=2\)代入第一个方程，得到\(2+y=5\)。

解得\(y=3\)。因此，方程组的解集为\((2,3)\)。

例题4：解不等式组\(\begin{cases}x-2>0\\3x+4\leq12\end{cases}\)，并找出其解集。

解答：首先，解第一个不等式\(x-2>0\)，得到\(x>2\)。

然后，解第二个不等式\(3x+4\leq12\)，得到\(3x\leq8\)，进一步得到\(x\leq\frac{8}{3}\)。

因此，不等式组的解集为\(2<x\leq\frac{8}{3}\)。

例题5：解方程\(x^2-4x+3=0\)，并利用函数图像来表示其解集。

解答：首先，将方程因式分解，得到\((x-1)(x-3)=0\)。

解得\(x=1\)和\(x=3\)。因此，方程的解集为\(\{1,3\}\)。

在函数图像上，解集对应于\(y=x^2-4x+3\)的图像与\(x\)轴的交点，即\(x=1\)和\(x=3\)的位置。通过绘制函数图像，可以直观地看到解集的范围。反思改进措施反思改进措施（一）教学特色创新

1.联系实际生活：我在教学过程中尝试将数学知识与学生日常生活联系起来，比如通过解决购物优惠、温度变化等实际问题，让学生感受到数学的实用性，提高了学生的学习兴趣。

2.多媒体辅助教学：我利用多媒体资源，如视频、动画等，帮助学生直观地理解抽象的数学概念，特别是函数图像的绘制和解析，这种教学方式受到了学生的欢迎。

反思改进措施（二）存在主要问题

1.学生基础差异：由于学生来自不同的学校，他们的数学基础存在较大差异，这导致课堂上的教学进度难以统一，部分学生可能跟不上教学节奏。

2.教学方法单一：我发现自己过于依赖讲解和板书，有时可能忽视了学生的主动参与和互动，这可能导致学生的积极性不高。

3.评价方式局限：目前主要依赖考试和作业来评价学生的学习成果，这种评价方式可能不能全面反映学生的学习状况，尤其是那些在课堂上不太活跃的学生。

反思改进措施（三）

1.个性化教学：针对学生基础差异，我将尝试实施分层教学，根据学生的实际水平进行分组，确保每个学生都能跟上教学进度。

2.互动式教学：我会增