2024年高中数学第7章计数原理7.2排列讲义含解析湘教版选修2-3

PAGEPAGE177．2排列第一课时排列与排列数公式及简洁应用[读教材·填要点]1．排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素，根据肯定的依次排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．用符号Aeq\o\al(m,n)表示排列的个数时，有Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)．2．排列数的相关公式①n！＝1×2×3×…×n,0！＝1.②Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,n－m！).[小问题·大思维]1．北京—上海，上海—北京的车票是同一个排列吗？提示：由于北京—上海、上海—北京的车票都与依次有关，所以不是同一个排列．2．如何推断一个详细问题是不是排列问题？提示：推断一个详细问题是不是排列问题，就是看从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素时是有序还是无序，有序就是排列，无序就不是排列．3．你认为“排列”和“排列数”是同一个概念吗？它们有什么区分？提示：“排列”与“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，根据肯定的依次排成一列”，它不是一个数，而是详细的一件事．“排列数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的全部不同排列的个数”，它是一个数．排列的概念[例1]推断下列问题是否是排列问题：(1)某班共有50名同学，现要投票选举正、副班长各一人，共有多少种可能的选举结果？(2)从2,3,5,7,9中任取两数分别作对数的底数和真数，有多少不同对数值？(3)从1到10十个自然数中任取两个数组成点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？(4)从集合M＝{1,2，…，9}中，任取相异的两个元素作为a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1?[解](1)是．选出的2人，担当正、副班长随意，与依次有关，所以该问题是排列问题．(2)是．明显对数值与底数和真数的取值的不同有关系，与依次有关．(3)是．任取两个数组成点的坐标，横、纵坐标的依次不同，即为不同的坐标，与依次有关．(4)不是．焦点在x轴上的椭圆，方程中的a、b必有a>b，a、b的大小肯定．排列的特点是“先取后排”，即先从n个不同的元素中取出m个元素，再按肯定依次把这m个元素排成一列．因此，推断一个问题是否为排列问题，只需考察与依次是否有关，有关则是排列问题，无关则不是排列问题．1．推断下列问题是不是排列问题，并说明理由．(1)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做加法，有多少种不同的结果？(2)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做除法，有多少种不同的结果？(3)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位支配3位客人入座，又有多少种方法？解：(1)不是排列问题；(2)是排列问题．理由：由于加法运算满意交换律，所以选出的两个元素做加法时，与两元素的位置无关，但做除法时，两元素谁做除数，谁做被除数不一样，此时与位置有关，故做加法不是排列问题，做除法是排列问题．(3)第一问不是，其次问是．理由：由于加法运算满意交换律，所以选出的两个元素做加法求结果时，与两个元素的位置无关，但列除法算式时，两个元素谁作除数，谁作被除数不一样，此时与位置有关．选出3个座位与依次无关，“入座”问题同“排队”，与依次有关，故选3个座位支配3位客人入座是排列问题．用列举法求简洁的排列问题[例2](1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位不同的数，一共可以组成多少个？(2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的全部排列．[解](1)由题意作“树形图”，如下．故组成的全部两位数为12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共有12个．(2)由题意作“树形图”，如下．故全部的排列为：abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb.“树形图”是解决简洁排列问题的有效方法，特殊是元素较少时．在详细操作中，先将元素按肯定依次排出，然后以支配哪个元素在首位为分类标准，进行分类，在每类中再在前面元素不变的状况下定其次位元素，依次始终进行到完成一个排列．2．写出A，B，C，D四名同学站成一排照相，A不站在两端的全部可能站法．解：如图所示的树形图：故全部可能的站法是BACD，BADC，BCAD，BDAC，CABD，CADB，CBAD，CDAB，DABC，DACB，DBAC，DCAB，共12种．与排列数公式有关的计算或证明问题[例3](1)计算eq\f(2A\o\al(5,8)＋7A\o\al(4,8),A\o\al(8,8)－A\o\al(5,9))；(2)求证：Aeq\o\al(m,n－1)＋mAeq\o\al(m－1,n－1)＝Aeq\o\al(m,n).[解](1)eq\f(2A\o\al(5,8)＋7A\o\al(4,8),A\o\al(8,8)－A\o\al(5,9))＝eq\f(2×8×7×6×5×4＋7×8×7×6×5,8×7×6×5×4×3×2－9×8×7×6×5)＝eq\f(8×7×6×5×8＋7,8×7×6×5×24－9)＝1.(2)证明：Aeq\o\al(m,n－1)＋mAeq\o\al(m－1,n－1)＝eq\f(n－1！,n－1－m！)＋meq\f(n－1！,n－m！)＝eq\f(n－1！[n－m＋m],n－m！)＝eq\f(n！,n－m！)＝Aeq\o\al(m,n).若Aeq\o\al(q,p)＝(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N＋且n＜55)，求q的值．解：∵55－n,56－n，…，69－n中的最大数为69－n，且共有69－n－(55－n)＋1＝15个，∴(55－n)(56－n)…(69－n)＝Aeq\o\al(15,69－n)，∴p＝69－n，q＝15.对排列数公式的理解应留意以下两点：(1)排列数公式中连乘积的特点是：第一个因数是n，后面每一个因数都比它前面一个因数少1，最终一个因数是n－m＋1，共有m个因数相乘．(2)一般来说，在干脆进行详细计算时，选用连乘积形式较好；当对含有字母的排列数的式子进行变形、解方程或论证时，采纳阶乘形式较好．3．(1)用Aeq\o\al(m,n)的形式表示eq\f(x＋1！,x－2！)(x≥2，x∈N＋)；(2)解关于x的方程Aeq\o\al(4,2x＋1)＝140Aeq\o\al(3,x).(3)解不等式：Aeq\o\al(x,8)<6Aeq\o\al(x－2,8).解：(1)eq\f(x＋1！,x－2！)＝eq\f(x－2！x－1xx＋1,x－2！)＝(x－1)x(x＋1)＝Aeq\o\al(3,x＋1).(2)由Aeq\o\al(4,2x＋1)＝140Aeq\o\al(3,x)得(2x＋1)2x(2x－1)(2x－2)＝140x(x－1)(x－2)，由题意知x≥3，所以可变形为(2x＋1)(2x－1)＝35(x－2)，整理得4x2－35x＋69＝0，解之得x1＝3，x2＝eq\f(23,4)(舍去)，所以x＝3.(3)由排列数公式，得eq\f(8！,8－x！)<6·eq\f(8！,10－x！)，化简得1<eq\f(6,10－x9－x)，即x2－19x＋84<0，所以7<x<12.又因为x∈N＋，0<x≤8,0<x－2≤8，所以2<x≤8且x∈N＋，所以x＝8.解题高手妙解题若M＝Aeq\o\al(1,1)＋Aeq\o\al(2,2)＋Aeq\o\al(3,3)＋…＋Aeq\o\al(2018,2018)，则M的个位数字是()A．3 B．8C．0 D．5[尝试][巧思]因为Aeq\o\al(n,n)＝1×2×3×…×n，所以Aeq\o\al(5,5)＝1×2×3×4×5＝120，故当n≥5时，Aeq\o\al(n,n)＝1×2×3×4×5×…×n＝120×…×n，其个位数字都是0.[妙解]∵当n≥5时，Aeq\o\al(n,n)＝1×2×3×4×5×…×n＝120×6×…×n，∴当n≥5时Aeq\o\al(n,n)的个位数字为0.又∵Aeq\o\al(1,1)＋Aeq\o\al(2,2)＋Aeq\o\al(3,3)＋Aeq\o\al(4,4)＝1＋2＋6＋24＝33，∴M的个位数字为3.[答案]A1．下列问题属于排列问题的是()①从10个人中选2人分别去种树和扫地；②从10个人中选2人去扫地；③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作幂运算．A．①④ B．①②C．④ D．①③④解析：选A由排列的定义可知，①④为排列问题．2.eq\f(A\o\al(6,7)－A\o\al(5,6),A\o\al(4,5))＝()A．12 B．24C．30 D．36解析：选DAeq\o\al(6,7)＝7×6×Aeq\o\al(4,5)，Aeq\o\al(5,6)＝6×Aeq\o\al(4,5)，所以原式＝eq\f(36A\o\al(4,5),A\o\al(4,5))＝36.3．19×18×17×…×10×9等于()A．Aeq\o\al(11,19) B．Aeq\o\al(10,19)C．Aeq\o\al(9,19) D．Aeq\o\al(19,19)解析：选A最大数为19，共有19－9＋1＝11个数∴n＝19，m＝11，∴19×18×17×…×9＝Aeq\o\al(11,19).4．已知Aeq\o\al(2,n)＝132，则n＝________.解析：Aeq\o\al(2,n)＝n(n－1)＝132，即n2－n－132＝0，因为n∈N*，所以n＝12.答案：125．从a，b，c，d，e五个元素中每次取出三个元素，可组成________个以b为首的不同的排列．解析：画出树形图如下：可知共12个．答案：126．学校实行运动会，从10名队员中选2人参与4×100米接力竞赛的第一棒和第四棒，有多少种不同选法？解：从10名队员中选2人参与接力赛对应于从10个元素任取2个元素的一个排列，因此不同选法有Aeq\o\al(2,10)＝10×9＝90种．一、选择题1．下列等式中不正确的是()A．n！＝eq\f(n＋1！,n＋1) B．Aeq\o\al(m,n)＝Aeq\o\al(m－1,n－1)C．Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,n－m！) D．Aeq\o\al(m－1,n－1)＝eq\f(n－1！,n－m！)解析：选BAeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，Aeq\o\al(m－1,n－1)＝(n－1)(n－2)(n－3)…(n－m＋1)，∴Aeq\o\al(m,n)≠Aeq\o\al(m－1,n－1).2．乘积m(m＋1)(m＋2)…(m＋20)可表示为()A．Aeq\o\al(20,m) B．Aeq\o\al(20,m＋20)C．Aeq\o\al(20,m＋20) D．Aeq\o\al(21,m＋20)解析：选D可知最大数是m＋20，绽开式中是21个连续自然数的积，因而可表示为Aeq\o\al(21,m＋20).3．已知从n个不同的元素中取出4个元素的排列数恰好等于3n·2n－2，则n的可能值为()A．2 B．3C．5 D．6解析：选C由于n≥4.首先解除A、B.若n＝5，则Aeq\o\al(4,5)＝5×4×3×2＝120，而3n·2n－2＝3×5×23＝120，∴C成立．同理验证，D不成立．4．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()A．144 B．120C．72 D．24解析：选D剩余的3个座位共有4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为Aeq\o\al(3,4)＝4×3×2＝24.二、填空题5．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言．(用数字作答)解析：由题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了Aeq\o\al(2,40)＝40×39＝1560条毕业留言．答案：15606．计算eq\f(A\o\al(5,9)＋A\o\al(4,9),A\o\al(6,10)－A\o\al(5,10))的值为________．解析：eq\f(A\o\al(5,9)＋A\o\al(4,9),A\o\al(6,10)－A\o\al(5,10))＝eq\f(5A\o\al(4,9)＋A\o\al(4,9),5A\o\al(5,10)－A\o\al(5,10))＝eq\f(6A\o\al(4,9),4A\o\al(5,10))＝eq\f(6A\o\al(4,9),40A\o\al(4,9))＝eq\f(3,20).答案：eq\f(3,20)7．要从a，b，c，d，e5个人中选出1名组长和1名副组长，但a不能当副组长，则不同的选法种数是________．解析：不考虑限制条件有Aeq\o\al(2,5)种选法，若a当副组长，有Aeq\o\al(1,4)种选法，故a不当副组长，有Aeq\o\al(2,5)－Aeq\o\al(1,4)＝16种不同的选法．答案：168．若2Aeq\o\al(3,n)＝3Aeq\o\al(2,n＋1)－8Aeq\o\al(1,n)，则n的值为__________．解析：原等式化为：2·n(n－1)(n－2)＝3(n＋1)n－8n，∴2n2－9n＋9＝0，解得n＝eq\f(3,2)(舍)或n＝3.∴原方程的解为n＝3.答案：3三、解答题9．下列问题是排列问题吗？并说明理由．(1)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出的3个座位支配3位客人，又有多少种方法？(2)从1,2,3,4,5中任取两个数相加，其结果有多少种不同的可能？从1,2,3,4,5中任取两个数相减，其结果有多少种不同的可能？解：(1)第一问不是排列问题，其次问是排列问题．“入座”问题同“排队”问题与依次有关，故选3个座位支配三位客人是排列问题．(2)第1问不是排列问题，因为两个数交换位置、结果不变，即位置与依次无关；第2问是排列问题，因为被减数与减数交换位置后，结果会发生改变，即位置与依次有关．10．(1)解关于x的方程：eq\f(A\o\al(7,x)－A\o\al(5,x),A\o\al(5,x))＝89；(2)解不等式：Aeq\o\al(x,9)>6Aeq\o\al(x－2,9).解：(1)法一：∵Aeq\o\al(7,x)＝x(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)·(x－5)(x－6)＝(x－5)(x－6)·Aeq\o\al(5,x)，∴eq\f(x－5x－6A\o\al(5,x)－A\o\al(5,x),A\o\al(5,x))＝89.∵Aeq\o\al(5,x)>0，∴(x－5)(x－6)＝90.故x＝－4(舍去)，x＝15.法二：由eq\f(A\o\al(7,x)－A\o\al(5,x),A\o\al(5,x))＝89，得Aeq\o\al(7,x)＝90·Aeq\o\al(5,x)，即eq\f(x！,x－7！)＝90·eq\f(x！,x－5！).∵x！≠0，∴eq\f(1,x－7！)＝eq\f(90,x－5x－6·x－7！)，∴(x－5)(x－6)＝90.解得x＝－4(舍去)，x＝15.(2)原不等式即eq\f(9！,9－x！)>eq\f(6·9！,9－x＋2！)，由排列数定义知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤9，,0≤x－2≤9，))∴2≤x≤9，x∈N＋.化简得(11－x)(10－x)>6，∴x2－21x＋104>0，即(x－8)(x－13)>0，∴x<8或x>13.又2≤x≤9，x∈N＋，∴2≤x<8，x∈N＋.故x＝2,3,4,5,6,7.其次课时排列数的综合应用特殊元素(或位置)的排列问题[例1]3名男生，4名女生，根据不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数．(1)全体站成一排，其中甲只能在中间或两端；(2)全体站成一排，其中甲、乙必需在两端；(3)全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端；(4)全体站成两排，前排3人，后排4人，其中女生甲和女生乙排在前排，另有2名男生丙和丁因个子高要排在后排．[解](1)(特殊元素优先法)先考虑甲有Aeq\o\al(1,3)种方案，再考虑其余六人全排列，故N＝Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(6,6)＝2160(种)．(2)(特殊元素优先法)先支配甲、乙有Aeq\o\al(2,2)种方案，再支配其余5人全排列，故N＝Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(5,5)＝240(种)．(3)法一：(特殊元素优先法)：按甲是否在最右端分两类：第一类甲在最右端有N1＝Aeq\o\al(6,6)(种)，其次类甲不在最右端时，甲有Aeq\o\al(1,5)个位置可选，而乙也有Aeq\o\al(1,5)个位置，而其余全排列Aeq\o\al(5,5)，有N2＝Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(5,5)，故N＝N1＋N2＝Aeq\o\al(6,6)＋Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(5,5)＝3720(种)．法二：(间接法)：无限制条件的排列数共有Aeq\o\al(7,7)，而甲在左端或乙在右端的排法都有Aeq\o\al(6,6)，且甲在左端且乙在右端的排法有Aeq\o\al(5,5)，故N＝Aeq\o\al(7,7)－2Aeq\o\al(6,6)＋Aeq\o\al(5,5)＝3720(种)．法三：(特殊位置优先法)：按最左端优先支配分步．对于左端除甲外有Aeq\o\al(1,6)种排法，余下六个位置全排有Aeq\o\al(6,6)，但减去乙在最右端的排法Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(5,5)种，故N＝Aeq\o\al(1,6)Aeq\o\al(6,6)－Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(5,5)＝3720(种)．(4)将两排连成一排后原问题转化为女生甲、乙要排在前3个位置，男生丙、丁要排在后4个位置，因此先排女生甲、乙有Aeq\o\al(2,3)种方法，再排男生丙、丁有Aeq\o\al(2,4)种方法，最终把剩余的3名同学排好有Aeq\o\al(3,3)种方法．故N＝Aeq\o\al(2,3)·Aeq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(3,3)＝432(种)．排列问题的实质是“元素”占“位置”的问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不能排在某个位置上或某个位置不排某些元素，解决该类问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满意特殊位置．总的来说，解决这类问题有干脆法和间接法两种，详细分析时可以按位置来分析，也可以先考虑特殊元素，各种方法可以相互验证．1．用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？(1)六位奇数；(2)个位数字不是5的六位数；(3)不大于4310的四位偶数．解：(1)第一步，排个位，有Aeq\o\al(1,3)种排法；其次步，排十万位，有Aeq\o\al(1,4)种排法；第三步，排其他位，有Aeq\o\al(4,4)种排法．故共有Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(4,4)＝288个六位奇数．(2)法一：(干脆法)十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因此需分两类．第一类，当个位排0时，有Aeq\o\al(5,5)个；其次类，当个位不排0时，有Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(4,4)个．故符合题意的六位数共有Aeq\o\al(5,5)＋Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(4,4)＝504(个)．法二：(解除法)0在十万位和5在个位的排列都不对应符合题意的六位数，这两类排列中都含有0在十万位和5在个位的状况．故符合题意的六位数共有Aeq\o\al(6,6)－2Aeq\o\al(5,5)＋Aeq\o\al(4,4)＝504(个)．(3)分三种状况，详细如下：①当千位上排1,3时，有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,4)个．②当千位上排2时，有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,4)个．③当千位上排4时，形如40××，42××的各有Aeq\o\al(1,3)个；形如41××的有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(1,3)个；形如43××的只有4310和4302这两个数．故共有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,4)＋Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,4)＋2Aeq\o\al(1,3)＋Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(1,3)＋2＝110(个)．捆绑法处理相邻问题[例2]3名男生，4名女生，根据不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数．(1)全体站成一排，男、女各站在一起；(2)全体站成一排，男生必需排在一起；(3)全体站成一排，甲、乙中间必需有2人．[解](1)男生必需站在一起，是男生的全排列，有Aeq\o\al(3,3)种排法，女生必需站在一起，是女生的全排列，有Aeq\o\al(4,4)种排法，全体男生、女生各视为一个元素，有Aeq\o\al(2,2)种排法，由分步乘法计数原理知，共有N＝Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(2,2)＝288(种)排法．(2)把全部男生视为一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，故N＝Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(5,5)＝720(种)．(3)任取2人与甲、乙组成一个整体，与余下3个元素全排列，故N＝(Aeq\o\al(2,5)·Aeq\o\al(2,2))·Aeq\o\al(4,4)＝960(种)．保持例题条件不变，若全体站成一排，则男生甲与男生乙之间至少有3人的方法有多少种？解：甲、乙两人中间无人的排法种数N1＝Aeq\o\al(6,6)·Aeq\o\al(2,2)＝1440(种)，甲、乙两人中间有1人的排法种数N2＝(Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(2,2))·Aeq\o\al(5,5)＝1200(种)，甲、乙两人中间有2人的排法种数N3＝(Aeq\o\al(2,5)·Aeq\o\al(2,2))·Aeq\o\al(4,4)＝960(种)．故甲、乙两人中间至少有3人的排法种数N＝Aeq\o\al(7,7)－N1－N2－N3＝1440(种)．对于某些元素“相邻”的排列问题，一般采纳“捆绑法”，即先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再将这若干个元素内部全排列．2．张、王两家夫妇各带1个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园．为平安起见，首尾肯定要排两位爸爸，另外，两个小孩肯定要排在一起，求这6人入园依次排法的种数．解：因为两个小孩要排在一起，所以可把两个小孩视为一个元素与两位妈妈一起排列，有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,2)＝12种排法．又因为两位爸爸必需排列两端，有Aeq\o\al(2,2)＝2种排法．故这6人入园依次的排法有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝6×2×2＝24种．插空法处理不相邻问题[例3]排一张有5个歌颂节目和4个舞蹈节目的演出节目单．(1)任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？(2)歌颂节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？[解](1)先排歌颂节目有Aeq\o\al(5,5)种，歌颂节目之间以及两端共有6个空位，从中选4个放入舞蹈节目，共有Aeq\o\al(4,6)种方法，所以任何两个舞蹈节目不相邻的排法有Aeq\o\al(5,5)·Aeq\o\al(4,6)＝43200种方法．(2)先排舞蹈节目有Aeq\o\al(4,4)种方法，在舞蹈节目之间以及两端共有5个空位，恰好供5个歌颂节目放入．所以歌颂节目与舞蹈节目间隔排列的排法有Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(5,5)＝2880种方法．(1)某些元素要求不相邻时，可以先支配其他元素，再将这些不相邻元素插入空当，这种方法称为“插空法”，即“不相邻元素插空法”．(2)应用插空法要留意以下几个方面：①确定好哪些是要插入的元素；②数清可插入的位置；③搞清插入时是否有依次．3．某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目，求分别满意下列条件的节目编排方法有多少种？(1)一个唱歌节目开头，另一个放在最终压台；(2)2个唱歌节目互不相邻；(3)2个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻．解：(1)先排唱歌节目有Aeq\o\al(2,2)种排法，再排其他节目有Aeq\o\al(6,6)种排法，所以共有Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(6,6)＝1440(种)排法．(2)先排3个舞蹈节目，3个曲艺节目有Aeq\o\al(6,6)种排法，再从其中7个空(包括两端)中选2个排唱歌节目，有Aeq\o\al(2,7)种插入方法，所以共有Aeq\o\al(6,6)·Aeq\o\al(2,7)＝30240(种)排法．(3)把2个相邻的唱歌节目看作一个元素，与3个曲艺节目排列共Aeq\o\al(4,4)种排法，再将3个舞蹈节目插入，共有Aeq\o\al(3,5)种插入方法，最终将2个唱歌节目互换位置，有Aeq\o\al(2,2)种排法，故所求排法共有Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(3,5)·Aeq\o\al(2,2)＝2880(种)排法.解题高手多解题用0到9这十个数字，可组成多少个没有重复数字的四位偶数？[解]法一：当个位上排0时，千位、百位、十位上可以从余下的九个数字中任选3个来排列，故有Aeq\o\al(3,9)个；当个位上在“2,4,6,8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中随意选一个，百位、十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按分步乘法计数原理有Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(1,8)·Aeq\o\al(2,8)个．∴没有重复数字的四位偶数有Aeq\o\al(3,9)＋Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(1,8)·Aeq\o\al(2,8)＝504＋1792＝2296(个)．法二：当个位数字排0时，同解法一有Aeq\o\al(3,9)个；当个位数字是2、4、6、8之一时，千位、百位、十位上可从余下9个数字中任选3个的排列中减去千位数是“0”的排列数，得Aeq\o\al(1,4)(Aeq\o\al(3,9)－Aeq\o\al(2,8))个．∴没有重复数字的四位偶数有Aeq\o\al(3,9)＋Aeq\o\al(1,4)(Aeq\o\al(3,9)－Aeq\o\al(2,8))＝504＋1792＝2296(个)．法三：千位数从1,3,5,7,9中任选一个，个位数上从0、2、4、6、8中任选一个，百位、十位上从余下的八个数字中任选两个作排列有Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(2,8)个；千位数从2、4、6、8中任选一个，个位数从余下的四个偶数中任选一个(包括0在内)，百位、十位从余下的八个数字中随意选两个作排列，有Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(2,8)个．∴没有重复数字的四位偶数有Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(2,8)＋Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(2,8)＝41Aeq\o\al(2,8)＝2296(个)．法四：将没有重复数字的四位数划分为两类：四位奇数和四位偶数．没有重复数字的四位数有(Aeq\o\al(4,10)－Aeq\o\al(3,9))个，其中四位奇数有Aeq\o\al(1,5)(Aeq\o\al(3,9)－Aeq\o\al(2,8))个．∴没有重复数字的四位偶数有Aeq\o\al(4,10)－Aeq\o\al(3,9)－Aeq\o\al(1,5)(Aeq\o\al(3,9)－Aeq\o\al(2,8))＝10×Aeq\o\al(3,9)－Aeq\o\al(3,9)－5Aeq\o\al(3,9)＋5Aeq\o\al(2,8)＝4Aeq\o\al(3,9)＋5Aeq\o\al(2,8)＝36Aeq\o\al(2,8)＋5Aeq\o\al(2,8)＝41Aeq\o\al(2,8)＝2296(个)．1．A，B，C，D，E五人并排站成一排，假如A，B必需相邻且B在A的右边，那么不同的排法有()A．60种 B．48种C．36种D．24种解析：选D把A，B视为一人，且B排在A的右边，则本题相当于4人的全排列，故有Aeq\o\al(4,4)＝24种排法．2．在数字1、2、3与符号＋、－五个元素的全部全排列中，随意两个数字都不相邻的全排列个数是()A．6 B．12C．18 D．24解析：选B符号＋、－只能在两个数之间，这是间隔排列，排法有Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(2,2)＝12种．3．从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市巡游，要求每个城市有一人巡游，每人只巡游一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎巡游，则不同的选择方案共有()A．300种 B．240种C．144种 D．96种解析：选B第一步先从剩余4人中选一个人去巴黎巡游共有4种方法；其次步从剩余5人中选3人去另外三个城市有Aeq\o\al(3,5)种方法．由分步乘法计数原理，共有4×Aeq\o\al(3,5)＝240(种)不同选择方案．4．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼­15飞机打算着舰．假如甲、乙两机必需相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有()A．12种 B．18种C．24种 D．48种解析：选C把甲、乙看作1个元素和另一飞机全排列，调整甲、乙，共有Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,2)种方法，再把丙、丁插入到刚才“两个”元素排列产生的3个空位中，有Aeq\o\al(2,3)种方法，由分步乘法计数原理可得总的方法种数为Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,3)＝24.5．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有________种．解析：先将5名志愿者排好，有Aeq\o\al(5,5)种排法，再将2位老人“捆绑”起来插入中间的间隔，有Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(2,2)，由分步乘法计数原理知，共有Aeq\o\al(5,5)×Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,2)＝960种．答案：9606．从5名短跑运动员中选出4人参与4×100米接力赛，假如A不能跑第一棒，那么有多少种不同的参赛方法？解：法一：当A被选上时，共有Aeq\o\al(1,3)×Aeq\o\al(3,4)＝72(种)方法，其中Aeq\o\al(1,3)表示A从除去第一棒的其他三棒中任选一棒；Aeq\o\al(3,4)表示再从剩下4人中任选3人支配在其他三棒．当A没有被选上时，其他四人都被选上且没有限制，此时有Aeq\o\al(4,4)种方法．故共有Aeq\o\al(1,3)×Aeq\o\al(3,4)＋Aeq\o\al(4,4)＝96(种)参赛方法．法二：接力的一、二、三、四棒相当于有四个框图，第一个框图不能填A，有4种填法，其他三个框图共有Aeq\o\al(3,4)种填法，故共有4×Aeq\o\al(3,4)＝96(种)参赛方法．法三：(间接法)先不考虑A是否跑第一棒，共有Aeq\o\al(4,5)＝120(种)方法．其中A在第一棒时共有Aeq\o\al(3,4)种方法，故共有Aeq\o\al(4,5)－Aeq\o\al(3,4)＝96(种)参赛方法．一、选择题1．从5本不同的书中选两本送给2名同学，每人一本，给法共有()A．5种 B．10种C．20种 D．60种解析：选C从5本不同的书中选两本送给2名同学，共有Aeq\o\al(2,5)＝20种不同的方法．2．由1,4,5，x这四个数字组成无重复数字的四位数，若全部四位数的各位上的数字之和为288，则x等于()A．2 B．3C．6 D．8解析：选A经分析可知x≠0，所以这四个数字可组成Aeq\o\al(4,4)＝24(个)无重复数字的四位数，所以(1＋4＋5＋x)×24＝288，所以x＝2.3．航天员在进行一项太空试验时，先后要实施6个程序，其中程序B和C都与程序D不相邻，则试验依次的编排方法共有()A．216种 B．288种C．180种 D．144种解析：选B当B，C相邻，且与D不相邻时，有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2)＝144种方法；当B，C不相邻，且都与D不相邻时，有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,4)＝144种方法，故共有288种编排方法．4．现从甲、乙、丙、丁、戌5名同学中选四位支配参与志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作有一人参与．甲不会开车、乙不会翻译，但都能从事其他三项工作，而丙丁戌能胜任全部四项工作，则不同支配方案的种类是()A．108 B．78C．72 D．60解析：选B分两种状况，乙开车和乙不开车当乙开车时，甲、丙、丁、戌可胜任其余岗位即有Aeq\o\al(3,4)种支配方案；当乙不开车时，开车人选有3种可能，翻译人选为除乙外的剩余3人，最终还剩3人支配两个岗位，有Aeq\o\al(2,3)支配方法，故乙不开车时有3×3×Aeq\o\al(2,3)＝54，则故有Aeq\o\al(3,4)＋54＝78种不同方案．二、填空题5．由数字1,2,3,4,5五个数可以组成比20000大且百位数字不是3的没有重复数字的五位数有________个．解析：当万位数字为3时，有Aeq\o\al(4,4)种状况；当万位数字不是3时，有Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)种状况，故共有Aeq\o\al(4,4)＋Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＝78个．答案：786．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组．则不同的选法共有________种．解析：从6名男医生中选出2名有Ceq\o\al(2,6)种选法，从5名女医生中选出1名有Ceq\o\al(1,5)种选法，由分步乘法计数原理得不同的选法共有Ceq\o\al(2,6)·Ceq\o\al(1,5)＝75(种)．答案：75种7．3个人坐8个位置，要求每个人的左右都有空位，有________种坐法．解析：第一步：摆5个空位置，○○○○○；其次步：3个人带上凳子插入5个空位置之间的四个空，有Aeq\o\al(3,4)＝24(种)插法，故有24种不同坐法．解此类问题主要用“插空法”．答案：248．在某艺术馆中展出5件艺术作品，其中不同的书法作品2件，不同的绘画作品2件，标记性建筑设计1件，在展台上将这5件作品排成一排，要求2件书法作品必需相邻，2件绘画作品不能相邻，则展出这5件作品的不同方案有________种．解析：把2件书法作品当作一个元素，与其他3件艺术品进行全排列，有2Aeq\o\al(4,4)＝48种方案．其中，2件绘画作品相邻，有2×2Aeq\o\al(3,3)＝24种方案，则该艺术馆展出这5件作品的不同方案有48－24＝24种．答案：24三、解答题9．3个女生和5个男生排成一排．(1)假如女生全排在一起，有多少种不同排法？(2)假如女生互不相邻，有多少种不同排法？(3)