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文档简介
专题9.7三角形的中位线两大题型
【苏科版】
考卷信息:
本套训练卷共30题,题型针对性较高,覆盖面广,选题有深度,可加强学生对三角形的中位线两大题型的理
解!
【题型1一条中位线的问题】
1.(2023上•辽宁铁岭•八年级统考期末)如图,菱形为BCD中,E、F分别是48、AC的中点,若EF=3,则
菱形48co的周长为()
A.24B.18C.12D.9
2.(2023上•重庆忠县•八年级统考期末)在如图所示的中,点在边A8上,MAC的平分线融1CE
于匕乙ABC的平分线8HJ.CO于〃,若48=8,FH=2,则△Z1BC的周长为()
3.(2023下•黑龙江伊春•八年级校联考期末)如图,四边形4BCD中,AC1BC,AD\\BC,BC=3,AC=
4,<0=6.M是BO的中点,则CM的长为()
A.3B.2C.D.3
2
4.(2023上♦重庆九龙坡•八年级重庆实验外国语学校校考期末)如图,在a/lBC中,CF、BE分别平分/力。8
和Z48C,过点A作力。_LCF于点。,作AG_L8E于点G,若AB=9,AC=8,BC=7,则GD的长为()
D
A.5.5B.5C.6D.6.5
5.(2023下•陕西渭南•八年级统考期末)如图,点。是拨WCD的对角线的交点,。。=力。,点七、F分别
是0C、OD的中点,连接BE,过点尸作FPIIBE交边AB于点、P,连接PE,则下列结论中不一定正确的是()
A.CD=2APB.PF1ACC.BE=PFD.2/.BAC=Z.DAC
6.(重庆市万州区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题)如图,OE是△4BC的中位线,N4C8的角
平分线交DE于点F,若AC=6,BC=14,则。尸的长为.
7.(2023上•广东河源•八年级统考期末)如图,在菱形A8C。中,AB=8,乙B=45。,E,尸分别是过CD,
8c上的动点,连接4E,EF,G,H分别为4E,E/的中点,连接GH,则GH的最小值为.
8.(2023上•山东烟台•八年级校考期末)如图,8ABCD中,AB=3,BC=4,8E平分4BC,交4。于点E,
CF平分48CD,交4。于点K交EE于点O,点G,H分别是OF和。£的中点,则GH的长为
9.:2023上•山东淄博•八年级淄博市淄川实验中学校考期末)如图,在△力BC中,4B=5,AC=3,AD.AE
分别是其角平分线和中线,过点C作CG1力D于F,交4B于G,连接E尸,则线段EF的长为.
10.(2023上•江苏南京•八年级期末)如图,在菱形48CD中,对角线4C,BD交于点、O,点七为48的中点,
点F在。。上,DF=OF,连接EF交OA于点G,若OG=1,连接S^BEC=12,则线段CE的长为.
11.(2023下•四川宜宾•八年级统考期末)如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,AD=6,乙1=120。,
点F、点N分别为CD、⑷5的中点,点E在边4D上运动,将沿EF折叠,使得点。落在。处,连接
12.(2023下•河南潦河•八年级统考期末)如图,在矩形4BCD中,点E,尸分别时边小从的中点,连接EC,
FD,点、G,H分别时EC,尸。的中点,这接GH,苦48=4,BC=6,则G”的长度为.
(2)求证:CE=CD;
⑶用等式表示线段力町AC,4F间的关系,并证明.
【题型2多条中位线的问题】
1.(2023下•安徽芜湖•八年级统考期末)如图,在四边形ABC。中,LBAD+LADC=270°,点、E、尸分另U
是71。、BC上的中点,EF=3,则为82+。。2的值是()
2.(2023下•河南商丘•八年级统考期末)边长为4的正方形A8CD中,点E、F分别是88、8c的中点,连接
EC、FD,点G,,分别是EC、。尸的中点,连接G",则G”的长为()
C.2D.V2
3.(2023F•四川成都•八年级成都嘉祥外国语学校校考期中)如图,EL4BCD中,BD=12,Z.AOB=60°,
点F为AB中点,点E为AO边上一点,若力£=。5+。3,则石尸的长为()
A.5B.3V2C.2V5D.3百
4.(2023下•浙江台州•八年级校联考期中)如图,线段48=6,点P是线段48上的动点,分别以。P、BP为
边在A8作等边△HPC、等边XBPD,连接CD,点M是。。的中点,当点P从点A运动到点。时,点M经过的路
径的长是()
D
M
A.3B.2.8C.2.5D.2
5.(2023上•四川达州•八年级四川省渠县中学校考期末)如图,中,ZC=90°,AC=BC=2,取
8c边中点E,作EDIIAB.EF||4C得到四边形ED",它的面积记作判取BE中点5,作品。】IIFB,瓦月花尸,
得到四边形E1O1F&,它的面积记作S2,照此规律作下去,则$2024=.
6.(2023下•山东济宁•八年级统考期末)如图,在平面直角坐标系中,边长为1的正方形04B】C的对角线
4C和0当交于点Mi;以弧力】为对角线作第二个正方形42482Mi,对角线41Ml和4”交于点乂2;以必为
对角线作第二个正方形心为。3/,对角线A1/和交于点心;……依此类推,这样作的第2023个正方
7.(2023下•云南文山•八年级统考期末)如图,△ABC的三边长分别为a,b,c,以它的三边中点为顶点组
成一个新三角形,以这个新三角形三边中点为顶点又组成一个小三角形,依次类推,第2023次组成的三角
形的周长.
8.(2023下•广东阳江•八年级校联考期中)如图,AD=4,在4D边上有一动点C,分别以4C、CO为边在力。
边的上方作等边△4BC和等边ACDE,连接8E,取8E边.上的中点尸,连接CF,则6的最小值为
9.(2023下•广东佛山•八年级校考期末)如图1所示,△48。是等边三角形,点。和点E分别在边48和4c上
(D,E均不在所在线段的端点上),且AO=4E,点M,P,N分别是线段OE,DC,8c上的中点,连接
PM,PN.
A
备用图
⑴请说明PM=PN.并求出ZMPN的大小;
⑵把△4DE绕点A按逆时针方向旋转到图2的位置,连接MN,BD,CE,判断△PMN的形状并说明理由;
⑶把△力DE绕点A在平面内自由旋转,若4。=4,AB=10,请直接写出△PMN的最大面积.
10.(2023上•辽宁辽阳•八年级校考期末)如图,在四边形4BCD中,E,£分别是/ID,8C的中点,G,H
分别是对角线BD,4c的中点,依次连接七,G,F,H,连接EF,GH.
⑴求证:四边形EG尸”是平行四地形;
(2)当A8=CD时,EF与G”有怎样的位置关系?请说明理由;
11.(2023下•湖南长沙•八年级统考期末)定义:对于一个凸四边形,我们把依次连接它的各边中点得到的
新四边形叫做原四边形的“中点四边形”,如果原四边形的中点四边形是个正方形,我们把这个原四边形叫做
“中正四边形〃.
⑴线段P尸与PG的数量关系是,位置关系是;
⑵把△AOE绕点力顺时针方向旋转到图2的位置,连接PF,PG,FG,判断aPPG的形状,并说明理由;
(3)劳力。=3,AB=7,△40E绕点力在平面内旋转过程中,请直接写出△FPG的面积取得最大值时50的长.
14.(2023上•江西南昌•八年级校考期中)【综合与实践】
老师让同学们以“两个大小不等的等腰直角三角板的直角顶点重合,并让一个三角板固定,另一个绕直角顶
点旋转”为主题开展数学活动.如图1,△力8c和都是等腰直角三角形,乙C=90。,点。,E分别在边
BC,AC上,连接力。,点M,P,N分别为DE,AD,4B的中点,试判断线段PM与PN的数量关系和位置关
系.
甲小组发现:PM=PN,PM1PN.并进行了证明,下面的两个片段是截取的部分证明过程:片段前后证
明过程已省略):
AA
图1图2
【片段点P,W分别是4D,QE的中点,
PMWAE,PM=^AE.(理由1)
【片段2】•••乙8&4=90。,.•.乙4OC+乙Q4O=90。(理由2).
反思交流
⑴①填空:理由1:;
理由2::
③图1中,MN与AB的位置关系是_.
(2)乙小组受到甲小组的启发,继续进行探究,把△CDE绕点C逆时针方向旋转到如图2的位置.请判断△PMN
的形状并证明:
⑶两小组的同学继续探究:把△CDE绕点C在平面内自由旋转,当CO=4,C8=10时,直接写出线段MN
长度的最大值.
15.(2023下•湖北武汉•八年级武汉外国语学校(武汉实验外国语学校)校考期中)如图1:平面直角坐标
⑵如图2,若8点坐标为(6,2百),。点坐标为(8,0),以。3,3。为边构造矩形连AD,求AO的长;
⑶如图3,点M、N、Q分别为A8,0C,08的中点,点P为MN的中点,且MP=5,PQ=3,求0C.
专题9.7三角形的中位线两大题型
【苏科版】
考卷信息:
本套训练卷共30题,题型针对性较高.覆盖面广.选题有深度.可加强学生对三角形的中位线两大题型的理
解!
【题型1一条中位线的问题】
1.(2023上•辽宁铁岭•八年级统考期末)如图,菱形为8c。中,E、尸分别是48、AC的中点,若"=3,则
菱形n8C0的周长为()
A.24B.18C.12D.9
【答案】B
【分析】本题考查了菱形的性质,三角形中位线定理,山三角形的中位线定理可得8C=2EF=6,然后根
据菱形的性质即可求解.
【详解】解:尸分别是AB、4c的中点,
团BC=2EF=6,
团四边形4BCD是菱形,
团4B=BC=CD=AD=6»
13菱形4BCD的周长=4x6=24,
2.(2023上•重庆忠县•八年级统考期末)在如图所示的△A8C中,点D,E在边A8上,的平分线"1CE
于凡的平分线3H_L于〃,若48=8,FH=2,则△ABC的周长为()
c
F
ADEB
A.10B.12C.18D.20
【答案】D
【分析】本题考查了全等二角形的判定和性质,二角形的中位线定理.证明△&4“三△£/”(A5A),推出4C=
AE,CF=EF,同理=CH=HD,得到尸,是△CDE的中位线,进一步计算即可求解.
【详解】解:EL4F平分N84C,RAF1CF,
azf/lF=Z.EAF,AF=AF,Z.CFA=LEFA=90°,
(?!△CAF三△EAF(ASA),
团4c=4E,CF=EF,
同理可证8c=8。,CH=HD,
团尸,是4CDE的中位线,
WE=2FH=4,
0A4BC的周长为+AC+BC=2AB+DE=20,
故选:D.
3.(2023下•黑龙江伊春•八年级校联考期末)如图,四边形4BCD中,AC1BC,AD\\BC,BC=3,AC=
4,4。=6.M是BO的中点,则CM的长为()
35
A.-B.2C.-D.3
22
【答案】B
【分析】延长8c至I]E使BE=4%则四边形力CED是平行四边形,根据三角形的中位线的性质得到CM=
=根据跟勾股定理得到的长,于是得到结论.
【详解】:延长81至IJE使BE=AD,
团4DII8C,
(3四边形ABED是平行四边形,
团BE=4。=6,AB=DE
(3BC=3,AD=6,
(3C是BE的中点,
团M是80的中点,
团CM=-DE=-AB,,
22
0/4C1BC,
西B=>JAC2+BC2=V42+32=5,
=-DE=-AB=-,
222
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理,勾股定理,矩形的判定和性质,正确的作出辅助线是解题的关
健
4.(2023上•重庆九龙坡•八年级重庆实验外国语学校校考期末)如图,在△218。中,CF、BE分别平分44cB
和,ABC,过点A作AD1CF于点。,作AG18E于点G,若AB=9,AC=8,BC=7,则G。的长为()
A.5.5B.5C.6D.6.5
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形中位线定理以及等腰三角形的判定与性质,关键是掌握三角形中位线定理:
三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.问题的难点在于过关键点作辅助线构造AAPQ.
延长力。,交C8的延长线于点P,延长AG,交BC的延长线于点Q,依据等腰三角形的判定与性质,即可得到
0Q的长;再根据三角形中位线定理,即可得到DG的长等于PQ的长的一半.
【详解】如图所示,延长A。,交C8的延长线于点P,延长4G,交8c的延长线于点Q,
(3C八8E分别平分N/ICB和44BC,
(3Z/1CD=乙PCD,Z.ABG=乙QBG,
又(L401CF,AG1BE,
^/.ADC=cPDC,LAGB=乙QGB,
团/CAP=乙P,乙BAG=乙Q,
(MC=PC=8,48=QB=9,
又SC=7,
团PQ=BQ+PC-BC=9+8—7=10,
血4c=PC,CO平分N/CP,
团点。是4P的中点,
同理可得,点G是AQ的中点,
团DG是AAPQ的中位线,
团OG=^PQ=5,
5.(2023下•陕西渭南•八年级统考期末)如图,点。是团4BCD的对角线的交点,OD=AD,点、E、尸分别
是0C、。。的中点,连接见F,过点尸作“IIBE交边AB于点、P,连接PE,则下列结论中不一定正确的是()
D
B
A.CD=2APB.PFLACC.BE=PFD.2Z.BAC=LDAC
【答案】D
【分析】如图,连接EF,由三角形的中位线定理结合平行四边形的性质可证明四边形BEFP为平行四边形,
可得CD=2EF=2BP=2AP,可判断A选项;由平行四边形的性质可得。8=BC,再结合等腰三角形的性
质可判断B选项:由四边形8E”为平行四边形,可得=可判断C选项:只有当EL48CD是矩形时,
2^BAC=^DAC,可判断D选项.
【详解】解:如图,连接E凡
回E、F分别是。。、。。的中点,
0FF||CD,EF=^CD,
回四边形ABCD是平行四边形,
^AB||CD,AB=CD,
团PB||EF,
XEFPIIBE,
团四边形BEFP为平行四边形,
^CD=2EF=2BP=2AP,故A正确,不符合题意;
在团A8CD中,08=00,BC=AD,0D=AD,
回08=BC,
又(2E为。C中点,
(2BE1AC,
^PFLAC,故B正确,不符合题意;
团四边形BE”为平行四边形,
团BE=PF,
故C正确,不符合题意;
回0D=AD,
0Z.D/1C=LAOD=Z.B0C,
又HcBOC=^BAC卜乙43。,
当2484C=NO/1。时,KU^/IC=/.ABO,
WA=0B=0D=OC,则此时即WCO是矩形,
即:只有当团ABC。是矩形时,2,BAC=iZMC,故结论错误,符合题意.
故选:D.
【点睛】此题考查平行四边形的性质,矩形的判定,三角形中位线定理,等腰三角形的性质,熟练掌握相
关图形的性质是解决问题的关键.
6.(重庆市万州区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题)如图,DE是A/IBC的中位线,N/1CB的角
平分线交DE于点凡若AC=6,BC=14,则OF的长为.
【答案】4
【分析】本题主要考查了三角形中位线定理,角平分线的定义,等边对等角,根据三角形中位线定理和定
义得到DE=\BC=7,CE=\AC=3,DEIIBC,进而证明zEFC=zECF得至ijEF=EC-3,则=DE-
EF=4.
【详解】解:团DE是△71BC的中位线,AC=6,BC=14
0DE=-BC=7,CE=-AC=3,DE||BC,
22
^LEFC=Z.BCF,
团/ACB的角平分线交DE于点心
=Z.BCF,
^Z.EFC=乙ECF,
0EF=EC=3,
0Dr=DE-EF=4,
故答案为:4.
7.(2023上•广东河源•八年级统考期末)如图,在菱形48。。中,AB=8,=45°,E,F分别是过CD,
8C上的动点,连接力£,EF,G,〃分别为AE,E广的中点,连接GH,则G"的最小值为.
【答案】2夜
【分析】连接力F,利用三角形中位线定理,可知G”=[力凡求出AF的最小值,当4F18C时,根据垂线段
最短,即可解决问题.
胤4B=BC=8,
0G,“分别为4E,EC的中点,
回G,是尸的中位线,
0GH=-AF,
2
当4F1BC时,4F最小,GH得到最小值,
则,力尸8=90°,
团4B=45°,
回△人"是等腰直角三角形,
=曰48=^x8=4近,
©GH=2A/2,
即GH的最小值为2e,
故答案为:242.
【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰宜角三角形的判定与性质、垂线段最短等知
识,解题的关键是学会添加常用辅助线,属于中考常考题型.
8.(2023上•山东烟台•八年级校考期末)如图,团48。。中,AB=3,BC=4,8E平分交力。于点E,
CF平分NBCD,交AD于点、F,交EE于点O,点G,”分别是OF和OE的中点,则G”的长为
FE
AD
,
【答案】1
【分析】本题考查了平行四边形的性质及三角形中位线定理,根据平行四边形的性质得出为B=CD=
3,BC=AD=4,ADWBC,根据平行线的性质及角平分线定义推=△4?氏乙DCF=LDFC,根据
等腰三角形的判定及线段的和差求出EF=2,根据三角形中位线的判定与性质求解即可.
【详解】解:团4BCD中,AB=3,BC=4,
EL4B=CD=3,BC=AD=4,ADWBC,
BZ.AEB=乙CBE,乙DFC=Z-BCF.
团BE平,)•44BC,CF平,}4BCD,
0Z/WE=LCBE,Z.BCF=Z.DCF,
^LABE=LAEB,乙DCF="FC,
团AB=AE=3,DC=DF=3,
^AE+DF=AD+EF,
0EF=2,
团点G,,分别是。F和。E的中点,
团6”是也OEF的中位线,
团G"=R=1
故答案为:1.
9.(2023上•山东淄博•八年级淄博市淄川实验中学校考期末)如图,在A/IBC中,AB=5,AC=3,AD.AE
分别是其角平分线和中线,过点C作CG14D于F,交力B于G,连接EF,则线段EF的长为.
【答案】1
【分析】本题考查了三角形的中位线定理以及等腰三角形的判定与性质,首先证明AACG是等腰三角形,则
AG=AC=3,FG=CF,则£尸是^BCG的中位线,利用三角形的中位线定理即可求解.
【详解】解:国4。为的角平分线,CGLAD,
团Zk/ICG是等腰三角形,
团AG=AC,
团4c=3,
回AG=AC=3,
团4F为4C4G的角平分线,
RFG=CF,即点尸为CG的中点,
团4E为A/IBC的中线,
(3点E为C8的中点,
回EF是△8CG的中位线,
0EF=-/?(?,
2
团AB=5,
^BG=AB-AG=5-3=2.
0FF=^x2=l.
2
故答案为:1.
10.(2023上•江苏南京•八年级期末)如图,在菱形A8CD中,对角线AC,BD交于点O,点石为的中点,
点〜在0。上,DF=OF,连接E/交。力于点G,若OG=1,连接CE,=12.则线段CE的长为.
【答案】3V5
【分析】取4。中点M,连接EM,可证明EM是48。的中位线,得到EM=:08,EM10At因此。尸=EM,
推出AEMG三△FOG,得到MG=0G=L从而求出。力的长,得到力。的长,求出CM的长,由三角形面枳
公式求出。8长,得到EM的长,由勾股定理即可求出CE的长.
【详解】解:取A。中点M,连接EM,
B
回四边形ABCD是菱形,
^BD1OA,OD=OB,OA=OC,
回点E为的中点,M为力。中点,
团EM是△48。的中位线,
0E/4=\0B,EMWBD,
LAC,乙MEG=iOFG,
Wf=OF,
WF=^0D=^0B,
22
0E/4=OF,
回NMEG=40户G,Z.MGE=Z.OGF,
0AEMGm△FOG(AAS).
团MG=OG=1,
团0"=20G=2,
004=20M=4,
团4c=20A=8,
回力E=BE,
05岫八。=2XSABEC=2X12=Z4»
^AC-OB=24,
回。B=6,
团EM=\OB=3,
团CM=OM+OC=2+4=6,
囹CE=VCM?+EM7=36.
故答案为:3Z.
【点睛】本题考查菱形的性质,全等三角形的判定和性质,三角形中位线定理,勾股定理等知识,灵活运
用相关知识解决问题是解题关键.
11.(2023下•四川宜宾•八年级统考期末)如图,在平行四边形A8CD中,48=4,AD=6,cA=120°,
点F、点N分别为CD、48的中点,点E在边AD上运动,将△£1/)/沿EF折卷,使得点。落在D'处,连接B。',
点M为8。中点,则MN的最小值是
【答案】V7-1
【分析】根据三角形中位线定理可得MN=]力),可知当AD'取得最小值时,MN取得最小值,根据折叠可
知D'在以点尸为圆心,。尸的长为半径的半圆弧上运动,当点D'运动到线段49上时;此时乂》取得最小值,
最小值为力产一。儿过点尸作尸,,力。于点H,根据30。的直角三角形的性质可得HD的长,根据勾股定理求
出F/7的长,再在口△477中,根据勾股定理求出"•的长,进一步可得/W'的最小值,即可求出MN的最小
值.
【详解】解:连接力。',
KE一―一一nH"一一D、
•••点N为48的中点,点M为的中点,
•••MN为△8/0,的中位线,
MN=-AD,,
••・当4。'取得最小值时,MN取得最小值,
在平行四边形A8C0中,AB=CD,ABWCD,
Z.A+Z.D=180°,
VAB=4,AD=6,乙/1=120°,
ACD=4,乙。=60°,
•••点F为线段CD的中点,
DF=CF=2,
根据折叠可知=DF=2,
•••点D'在以点尸为圆心,D尸的长为半径的半圆弧上运动,
当点D'运动到线段力F上时,此时,1。取得最小值,最小值为4尸-。'凡
过点F作FH。于点H,如图所示:
则/FHD=90°,
Z.HFD=30°,
ADH=-DF=1,
2
在山△/)”产中,根据勾股定理,得FH=422一£=足,
AD=6,
.-.AH=6-1=5,
在RtZkA尸”中,根据勾股定理,得4t='AH?+FH?=2夜,
的最小值为2b一2,
•••MN的最小值为夕一1,
故答案为:V7—1.
【点睛】本题考查了翻折变换,线段最小值问题,平行四边形的性质,三角形中位线定理,直角三角形的
性质,找出线段人少最小时点。'的位置是解题的关键.
12.(2023下•河南漂河•八年级统考期末)如图,在矩形4BCD中,点E,尸分别时边AB,8C的中点,连接EC,
FD,同G,,分别时EC,FU的中点,这接G",苦AB=4,=6,则G”的长度为.
【答案】苧
【分析】连接C”并延长交4)于点P,连接PE,由矩形的性质得乙4=90。,ADIIBC,AD=BC=6,从而
得到40PH=乙FCH,通过AAS证明△DPHdFC”可得PD=CF=3,PH=CH,由勾股定理进行计算可
得EP=g,再由三角形中位线定理即可得到G"的长.
【详解】解:如图,连接CH并延长交40于点尸,连接尸£,
•.•四边形力BCD是矩形,
:.LA=90°,AD||BC,AD=BC=6,
:.£DPH="CH,
•:点E,F分别时边A8,BC的中点,AB=4,BC=6,
AE=-AB=2,CF=-BC=3,
22
•••点”为DF的中点,
:.DH=FH,
《DPH=乙FCH
4DHP=Z.FHC,
(DH=FH
•••△DPH三△尸CH(AAS),
:.PD=CF=3,PH=CH,
•••AP=AD-PD=6—3=3,
PE=\]AE2+AP2=V22+32=V13,
•••点G是CE的中点,CH=PH,
.•・G,是△CEP的中位线,
1CLV13
*'•GH=—PE=—♦
22
故答案为:零.
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、三角形中位线定理,熟练掌
握以上知识点,添加适当的辅助线,构造三角形,是解题的关键.
13.(2023下•江苏泰州•八年级统考期末)如图,在内△ABC中,Z.ACB=90°,AC=3,BC=4,点D、
E分别为边BC、4c的中点,连接DE,点尸为边48上一动点,且CF=DE,则力尸的长为
【分析】根据三角形的中位线定理,可知。进而可知CF=4/1B,则有两种可能,利用宜角三角
形斜边中线等于斜边的一半,以及勾股定理,即可解答.
【详解】解:回点。、E分别为边BC、4?的中点,
WE=-2AB,
又区C尸=DE,
^CF=^AB,
2
在ABC中,Z.ACB=90°,AC=3,BC=4,
(MB=>JAC2+BC2=V32+42=5,
即CF=[AB=I,则有以下两种情况:
种:当尸点运动到43中点时,
团ZiABC是直角三角形,LACB=90°,
mCF=-2AB,
团点尸是AB中点,则力尸=:A8=2.5,
种:如图,作交AB于点H,
团s08c==
ci,ACBC3X412
me
H=--A--B--=—5=—5,
^AF=
2
I22
在RtACH"中,HF=VCF2-CH2=一偌)=0.7,
在Rt△CH/中,AH=y]AC2-CH2=J3?一()丫=1.8,
SAF=AH-HF=1.8-0.7=1.1,
综上所述:力尸的长为2.5或1.1,
故答案为:2.5或1.1.
【点睛】本题考查了三角形的中位线、勾股定理以及直角三角形斜边中线,解题的关健在于运用分类讨论
思想进行求解.
14.(2023上•上海静安•八年级上海田家炳中学校考期末)如图,直角△ABC中,NA=90°,AB=AC=2,
点D是8c边的中点,点E是力8边上的一个动点(不与4,B重合),DF1DE交AC于点F,设BE=x,FC=y.
(1)求证:DE=DF;
⑵写出y关于x的函数关系式,并写出函数的定义域;
⑶写出x为何值时,EF||BC?
【答案】(1)见详解
(2)y=2—x,0<x<2
(3)x=1
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质,三角形中位线的性质,正确证明三△FDN是关键.
(1)取A8的中点记为H,取AC的中点记为N.根据三角形中位线的性质可得DH=DN,根据余角的性质可
得&EDH=LFDN,根据ASA可证AEOH三△尸DN,根据全等三角形的性质即可证明DE=DF;
(2)根据全等三角形的性质可得HE=N/,从而得到y关于x的函数关系式,以及x的定义域;
(3)连接HN,根据三角形中位线的性质可得x为1时,EF||BC.
【详解】(1)解:取4B的中点记为H,取AC的中点记为M连接DN
=90°,点。是BC边的中点,
团DH,DN都是三角形中位线
WN||AB,DN=^AB,DH||AC,DH=^AC
BAB=AC=2,
回OH=DN=1,
团/NOH=90%
团乙NDF+乙NDE=90°,乙NDE+EDH=90°,
团4EDH=乙FDN,
在AED"与AFCN中,
(/,EDH=乙FDN
DH=DN,
zEHD=乙FND
0AEDH三AFDN,
回OE=OF;
(2)解:EDH"FDN,
团HE=NF,
^x--AB=-AC-y
22,
BPy=2-x
13E是4B边上的一个动点(不与4、B重合),
00<x<2;
(3)解:连接HN,当E与H重合时,EFIIBC,
团此时x=BH=T,
回当%=1时,EF||BC.
15.(2023上•北京东城•八年级汇文中学校考期末)在△4BC中,AC=BC,/.ACB=90°,点D在AB边
上(不与点A,B合),分别过人C作AB,。。的垂线交于点E,连接BE.过C作CFBE交4B于点F.
⑴依题补全图形;
(2)求证:CE=CD;
⑶用等式表示线段/E,AC,4尸间的关系,并证明.
【答案】(1)见解析
(2)证明见解析
(3)AF+^AE=^-AC,证明见解析
【分析】(1)依题意作图即可;
(2)根据等腰三角形的性质可得乙EAC==45。,再根据同角的余角相等可得出即
可利用ASA证明△ECA=△DCB,即可得出结论;
(3)取A8的中点为Q,连接CQ交BE于点H,过点C作4E的垂线交延长线于点K,先利用ASA证明△FQC三
△HQ8,得出FQ=HQ,再证明HQ是△£48的中位线,可得出HQ=:/1E,然后证明四边形/KCQ为正方形,
则有AC=V^4Q,进而可得出结论.
【详解】(1)解;依题意补全图形如下;
c
(2)证明:中,AC=BC,/-ACB=90°,
:.2FAC=Z.DBC=45°
又•;EALAB.
LEAF=90°,
£EAC=LEAF-^.FAC=90°-45°=45°,
£EAC=Z-DBC=45°,
•••/.ECD=Z-ECA4-^ACD=90°,^ACB=乙DCB+Z-ACD=90°,
:.Z.ECA=Z.DCB,
在AEC4和△DCB中,
(Z.ECA=Z.DCB
jAC=BC,
{/.EAC=乙DBC=45°
••.△EC4三△DCB(ASA),
CE=CD;
(3)解:线段AE,AC,力尸间的关系为:AF+^AE=^-AC,证明过程如下:
取的中点为Q,连接CQ交BE于点”,过点C作力E的垂线交廷长线于点K,如图所示:
•:CF18E父A8于点F,
即=90°,
又•:乙HQB=90°,Z-BHQ=Z.CHG
:.乙GCH=乙QBH,
在么FQC和AHQB,
dQC=(HQB=90°
CQ=BQ,
乙GCH=乙QBH
•••△FQC空△"QB(ASA),
•••FQ=HQ,
•••Z.EAB=Z.HQB=90°,
:.EA||HQ,
又二AQ=BQ,
HQ是△EA8的中位线,
・•.HQ=^AE,
•••FQ=\AE,
•••△ABC中,AC=BC,LACB=90°,
.•.△4BC为等腰直角三角形,
・••Q为/IB的中点,
二CQ垂直平方力8,
则<Q=BQ=CQ,^AQC=90°,
又:Z.EAF=90°,Z.AKC=90°,
四边形AKCQ为正方形,
AC=V2AQ,
:.AC=V2(AF+FQ)=V2(AF-]--AE),
2
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质,正方形的判定与性质,三角形的中位线,同角的余角相等,
等腰直角三角形的性质,解题的美键是能正确作出辅助线以及能熟练掌握三角形的判定方法.
【题型2多条中位线的问题】
1.(2023下•安徽芜湖•八年级统考期末)如图,在四边形力BC。中,ZBAC+乙1DC=27O。,点£、F分别
是?I。、BC上的中点,EF=3,则力勿+。。2的值是()
【答案】B
【分析】连接AC,取AC的中点M,连接EM,FM,根据三角形的中位线定理可以得到EM||DC,MF||AB,
EM=^DC,MF=\AB,推导出匕EMF=90。,再利用勾股定理解题即可求出答案.
【详解】连接力C,取AC的中点M,连接EM,FM,
0ZEM/1=Z-DCA,Z.B=乙MFC,
0ZEMF=匕EMA+Z.AMF
=LEMA+2LACF+4MFC
=WCA+Z-ACF+乙B
=LDCB+乙B
=360°-(/.BAD+/.ADC}
=360°-270°
=90。,
二EM2+MF2=EF2=32=9,
^AB2+DC2=(2EM)2+(2FM)2=4EF2=4x9=36,
故选A.
【点睛】本题考查三角形的中位线定理,勾股定理,作辅助线利用平行线构造直角三角形是解题的关键.
2.(2023下•河南商丘•八年级统考期末)边长为4的正方形4BCD中,点E、尸分别是48、BC的中点,连接
EC、FD,点G,H分别是EC、DF的中点,连接GH,则GH的长为()
【答案】D
【分析】连接AC、B。交于点。,连接G。、HO,可得GO、,。分别是MCE、回8。产的中位线,从而求出
GO,〃。的长,在通过证明团GOH是直角三角形,利用勾股定理求出GH的长.
【详解】解:连接AC、B。交于点O,连接GO、HO,如图所示,
团点E、尸分别是AB、8C的中点.
I3AE=-AB=2,BF=-BC=2.
22
团点。是正方形ABC。对角线的交点.
团点O是4C、8。的中点.
(3点G是EC的中点.
团G。是(MCE的中位线.
0GO=1A£=1,且GQM8.
同理,”0=1,且“必BC.
0ELABC=9O°.
财而4c.
^GO^HO.
团团GO〃=90°.
在R周G。”中,
GH=>/GO2+HO2=Vl2+I2=V2.
故选:D.
【点睛】本题考查了正方形的性质与三角形的中位线性质定理,通过作辅助线把G”归纳到直角三角形中是
解题的关键.
3.(2023K四川成都•八年级成都嘉祥外国语学校校考期中)如图,EL4BC。中,BD=12,Z.AOB=60°,
点F为48中点,点E为4。边上一点,若AE=OE+OB,则EF的长为()
A.5B.3V2C.2V5D.36
【答案】D
【分析】由平行四边形/BCO的X寸角线71C、8。交于点。,80=12,得。8=0。=[=6,在4。上截取
AI=0B=6,连接引,取8/的中点H,连接EH、FH,可证明/£=0E,根据三角形的中位线定理得EHII0B,
EH=^0B=3,FHIIAI,FH=^AI=3,延长EH到点G,使G”=EH=FH=3,连接尸G,则EG=2EH=6,
可证明是等边三角形,则曰G=~H=3,Z-HFG=60°,再证明乙”?E=30°,则NEFG=90°,所以
EF=>JEG2-FG2=3V3.
【详解】•••平行四边形ABC。的对角线AC、8。交于点。,BD=12,
团OB=OD=-BD=6,
在H。上截取小=。3=6,连接引,取8/的中点〃,连接EH、FH,
DtC
\hAE=IE+A1=OE+OB,
0/E=OE,
团取B/的中点,,
AIH=BH,
团点"为AB中点,
a4『=BF,
EHIIOB,EH=\OB=3,FH||AI,FH=^AI=3,
延长E"到点G,使GH=EH=FH=3,连接FG,则EG=2EH=6,
0ZFHG=4AEG=Z-AOB=60°,
••.△FGH是等边三角形,
回/G=FH=3,乙HFG=60°,
Bz/YFE=LHEF.
^2LHFE=乙HFE+乙HEF=乙FHG=60°,
•••乙HFE=30°,
0ZEF6=乙HFE+乙HFG=90°,
0EF=y/EG2-FG2=3A/3,
故选:D.
【点睛】此题重点考看平行四边形的性质、三角形的中位线定理、平行线的性质、等边三角形的判定与性
质、勾股定理等知识,正确地作出所需要的辅助线是解题的关键.
4.(2023下•浙江台州•八年级校联考期中)如图,线段48=6,点P是线段4B上的动点,分别以4P、BP为
边在A8作等边△4PC、等边ABPD,连接CD,点M是。。的中点,当点P从点A运动到点B时,点M经过的路
径的长是()
D
M
A.3B.2.8C.2.5D.2
【答案】B
【分析】分别延长AC、BD交于点H,易证四边形HCPD为平行四边形,得出G为PH中点,则G的运行轨
迹为三角形H/1B的中位线N/.最后运用中位线的性质求出N/的长度即可解答.
【详解】解:如图:分别延长4C,80交于点",则是等边三角形,
^AHB=60。,
团等边AAPC、等边△9PD,
(UZ/4CF=乙BDP=60°
^ACP=41HB=60°,^BDP=4AHB=60°,
WHWPC,CHWPD
回四边形,CPD为平行四边形,
(3〃P与C。互相平分.M为CO的中点,
团M也正好为PH中点,即在夕的运动过程中,历始终为。〃的中点,
团M的运行轨迹为三角形从48的中位线N/.
^Nj=-AB=3.
2
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理、等边三角形的性质平行四边形的判定与性质,正确作出辅助
线,发现点M移动的规律,判断出其运动轨迹是解答本题的关键.
5.(2023上四川达州八年级四川省渠县中学校考期末)如图,△ABC中,ZC=90°,AC=BC=2,取
BC边中点E,作EDIIABfEFII4C,得到四边形EDA凡它的面积记作舟;取版中点%,作坛。]||“当印陀尸,
得到四边形与。/居,它的面积记作S2,照此规律作下去,则S2024=.
【答案】_2_
、口木,42023
【分析】本题考查了三角形中位线定理、等腰直角三角形的性质,探究规律.根据三角形中位线定理可求
出51的值,进而可得出另的值,找出规律即可得出土024的值.
【详解】解:由题意得SMBC=:X2X2=2.
团E为BC的中点,ED||AB,
•••DE是△48c的中位线,
DE=-AB,
2
:•SQDCE=[SAABC=-»
同理SABEF=(SHABC=p
•••=2----=1.
团取BE中点%,作E1MF8,4川田F,得到四边形EM/F1,
圉S囚边形EiD/R=[S四边形ED"'
c1c
S]=7Si,
同理可得S3=衿=专Si,
==
因$202442023Si42023X1=4202J,
故答案为:
6.(2023下•山东济宁•八年级统考期末)如图,在平面直角坐标系中,边长为1的正方形。/1$传的对角线
&C和。々交于点必;以弧为为对角线作第二个正方形424/2用1,对角线4Ml和42々交于点乂2:以&为
对角线作第三个正方形43453M2,对角线4M2和力383交于点M3;……依此类推,这样作的第2023个正方
形对角线交点M2023的坐标为.
【答案】(2220231
【分析】根据正方形性质求出CM1=&M],Z.C0A1=2MI&AI=90。,推出42MlIIOC,得出0/=4阳
根据三角形中位线求出i42Ml=;℃=[xl=gOA2=A2A1=^0A1=^x1=1»即可求出Mi的坐标,同理求
43M2="2%=;X;=/,A2A3=A3A1=^A2A1=^x1=。/13=;+:=:=得出的坐标,根据
以上规律求出即可.
【详解】解:自四边形04B】C和四边形必力潭2
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