苏科版八年级数学下册举一反三专题97三角形的中位线两大题型同步练习(学生版+解析)

专题9.7三角形的中位线两大题型

【苏科版】

考卷信息：

本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对三角形的中位线两大题型的理

解！

【题型1一条中位线的问题】

1.（2023上•辽宁铁岭•八年级统考期末）如图，菱形为BCD中，E、F分别是48、AC的中点，若EF=3,则

菱形48co的周长为（）

A.24B.18C.12D.9

2.（2023上•重庆忠县•八年级统考期末）在如图所示的中，点在边A8上，MAC的平分线融1CE

于匕乙ABC的平分线8HJ.CO于〃，若48=8,FH=2,则△Z1BC的周长为（）

3.（2023下•黑龙江伊春•八年级校联考期末）如图，四边形4BCD中，AC1BC,AD\\BC,BC=3,AC=

4,<0=6.M是BO的中点，则CM的长为（）

A.3B.2C.D.3

2

4.（2023上♦重庆九龙坡•八年级重庆实验外国语学校校考期末）如图，在a/lBC中，CF、BE分别平分/力。8

和Z48C,过点A作力。_LCF于点。，作AG_L8E于点G,若AB=9,AC=8,BC=7,则GD的长为（）

D

A.5.5B.5C.6D.6.5

5.（2023下•陕西渭南•八年级统考期末）如图，点。是拨WCD的对角线的交点，。。=力。，点七、F分别

是0C、OD的中点，连接BE,过点尸作FPIIBE交边AB于点、P,连接PE,则下列结论中不一定正确的是（）

A.CD=2APB.PF1ACC.BE=PFD.2/.BAC=Z.DAC

6.（重庆市万州区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题）如图，OE是△4BC的中位线，N4C8的角

平分线交DE于点F，若AC=6,BC=14,则。尸的长为.

7.（2023上•广东河源•八年级统考期末）如图，在菱形A8C。中，AB=8,乙B=45。，E,尸分别是过CD,

8c上的动点，连接4E,EF,G,H分别为4E,E/的中点，连接GH,则GH的最小值为.

8.（2023上•山东烟台•八年级校考期末）如图,8ABCD中,AB=3,BC=4,8E平分4BC,交4。于点E,

CF平分48CD,交4。于点K交EE于点O,点G,H分别是OF和。£的中点，则GH的长为

9.：2023上•山东淄博•八年级淄博市淄川实验中学校考期末）如图，在△力BC中，4B=5,AC=3,AD.AE

分别是其角平分线和中线，过点C作CG1力D于F,交4B于G,连接E尸，则线段EF的长为.

10.（2023上•江苏南京•八年级期末）如图，在菱形48CD中，对角线4C,BD交于点、O,点七为48的中点,

点F在。。上，DF=OF,连接EF交OA于点G,若OG=1,连接S^BEC=12,则线段CE的长为.

11.（2023下•四川宜宾•八年级统考期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB=4,AD=6,乙1=120。，

点F、点N分别为CD、⑷5的中点，点E在边4D上运动，将沿EF折叠，使得点。落在。处，连接

12.（2023下•河南潦河•八年级统考期末）如图,在矩形4BCD中，点E,尸分别时边小从的中点,连接EC,

FD,点、G,H分别时EC,尸。的中点，这接GH,苦48=4,BC=6,则G”的长度为.

（2）求证：CE=CD；

⑶用等式表示线段力町AC,4F间的关系，并证明.

【题型2多条中位线的问题】

1.（2023下•安徽芜湖•八年级统考期末）如图，在四边形ABC。中，LBAD+LADC=270°,点、E、尸分另U

是71。、BC上的中点，EF=3,则为82+。。2的值是（）

2.（2023下•河南商丘•八年级统考期末）边长为4的正方形A8CD中，点E、F分别是88、8c的中点，连接

EC、FD,点G,，分别是EC、。尸的中点，连接G",则G”的长为（）

C.2D.V2

3.（2023F•四川成都•八年级成都嘉祥外国语学校校考期中）如图，EL4BCD中,BD=12,Z.AOB=60°,

点F为AB中点，点E为AO边上一点,若力£=。5+。3,则石尸的长为（）

A.5B.3V2C.2V5D.3百

4.（2023下•浙江台州•八年级校联考期中）如图,线段48=6,点P是线段48上的动点,分别以。P、BP为

边在A8作等边△HPC、等边XBPD,连接CD,点M是。。的中点，当点P从点A运动到点。时，点M经过的路

径的长是（）

D

M

A.3B.2.8C.2.5D.2

5.（2023上•四川达州•八年级四川省渠县中学校考期末）如图，中,ZC=90°,AC=BC=2,取

8c边中点E,作EDIIAB.EF||4C得到四边形ED",它的面积记作判取BE中点5,作品。】IIFB,瓦月花尸,

得到四边形E1O1F&,它的面积记作S2,照此规律作下去，则$2024=.

6.（2023下•山东济宁•八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形04B】C的对角线

4C和0当交于点Mi；以弧力】为对角线作第二个正方形42482Mi，对角线41Ml和4”交于点乂2；以必为

对角线作第二个正方形心为。3/，对角线A1/和交于点心；……依此类推，这样作的第2023个正方

7.（2023下•云南文山•八年级统考期末）如图，△ABC的三边长分别为a,b,c,以它的三边中点为顶点组

成一个新三角形，以这个新三角形三边中点为顶点又组成一个小三角形，依次类推，第2023次组成的三角

形的周长.

8.（2023下•广东阳江•八年级校联考期中）如图，AD=4,在4D边上有一动点C,分别以4C、CO为边在力。

边的上方作等边△4BC和等边ACDE,连接8E,取8E边.上的中点尸，连接CF,则6的最小值为

9.（2023下•广东佛山•八年级校考期末）如图1所示，△48。是等边三角形，点。和点E分别在边48和4c上

（D,E均不在所在线段的端点上），且AO=4E,点M,P,N分别是线段OE,DC,8c上的中点，连接

PM,PN.

A

备用图

⑴请说明PM=PN.并求出ZMPN的大小;

⑵把△4DE绕点A按逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN,BD,CE,判断△PMN的形状并说明理由；

⑶把△力DE绕点A在平面内自由旋转，若4。=4,AB=10,请直接写出△PMN的最大面积.

10.（2023上•辽宁辽阳•八年级校考期末）如图，在四边形4BCD中，E,£分别是/ID,8C的中点，G,H

分别是对角线BD,4c的中点，依次连接七，G,F,H,连接EF,GH.

⑴求证：四边形EG尸”是平行四地形；

（2）当A8=CD时，EF与G”有怎样的位置关系？请说明理由；

11.（2023下•湖南长沙•八年级统考期末）定义：对于一个凸四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的

新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做

“中正四边形〃.

⑴线段P尸与PG的数量关系是,位置关系是;

⑵把△AOE绕点力顺时针方向旋转到图2的位置，连接PF,PG,FG,判断aPPG的形状，并说明理由；

（3）劳力。=3,AB=7,△40E绕点力在平面内旋转过程中，请直接写出△FPG的面积取得最大值时50的长.

14.（2023上•江西南昌•八年级校考期中）【综合与实践】

老师让同学们以“两个大小不等的等腰直角三角板的直角顶点重合，并让一个三角板固定，另一个绕直角顶

点旋转”为主题开展数学活动.如图1，△力8c和都是等腰直角三角形，乙C=90。，点。，E分别在边

BC,AC上，连接力。，点M,P,N分别为DE,AD,4B的中点,试判断线段PM与PN的数量关系和位置关

系.

甲小组发现：PM=PN,PM1PN.并进行了证明，下面的两个片段是截取的部分证明过程：片段前后证

明过程已省略）：

AA

图1图2

【片段点P,W分别是4D,QE的中点，

PMWAE,PM=^AE.（理由1）

【片段2】•••乙8&4=90。，.•.乙4OC+乙Q4O=90。（理由2）.

反思交流

⑴①填空：理由1：;

理由2：：

③图1中，MN与AB的位置关系是_.

(2)乙小组受到甲小组的启发,继续进行探究，把△CDE绕点C逆时针方向旋转到如图2的位置.请判断△PMN

的形状并证明：

⑶两小组的同学继续探究：把△CDE绕点C在平面内自由旋转，当CO=4,C8=10时，直接写出线段MN

长度的最大值.

15.(2023下•湖北武汉•八年级武汉外国语学校(武汉实验外国语学校)校考期中)如图1：平面直角坐标

⑵如图2,若8点坐标为(6,2百)，。点坐标为(8,0),以。3,3。为边构造矩形连AD,求AO的长;

⑶如图3,点M、N、Q分别为A8,0C,08的中点，点P为MN的中点，且MP=5,PQ=3,求0C.

专题9.7三角形的中位线两大题型

【苏科版】

考卷信息：

本套训练卷共30题，题型针对性较高.覆盖面广.选题有深度.可加强学生对三角形的中位线两大题型的理

解！

【题型1一条中位线的问题】

1.（2023上•辽宁铁岭•八年级统考期末）如图，菱形为8c。中，E、尸分别是48、AC的中点，若"=3,则

菱形n8C0的周长为（）

A.24B.18C.12D.9

【答案】B

【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，山三角形的中位线定理可得8C=2EF=6,然后根

据菱形的性质即可求解.

【详解】解：尸分别是AB、4c的中点，

团BC=2EF=6,

团四边形4BCD是菱形，

团4B=BC=CD=AD=6»

13菱形4BCD的周长=4x6=24,

2.（2023上•重庆忠县•八年级统考期末）在如图所示的△A8C中，点D,E在边A8上，的平分线"1CE

于凡的平分线3H_L于〃，若48=8,FH=2,则△ABC的周长为（）

c

F

ADEB

A.10B.12C.18D.20

【答案】D

【分析】本题考查了全等二角形的判定和性质，二角形的中位线定理.证明△&4“三△£/”(A5A),推出4C=

AE,CF=EF,同理=CH=HD,得到尸，是△CDE的中位线，进一步计算即可求解.

【详解】解：EL4F平分N84C,RAF1CF,

azf/lF=Z.EAF,AF=AF,Z.CFA=LEFA=90°,

(?!△CAF三△EAF(ASA),

团4c=4E,CF=EF,

同理可证8c=8。，CH=HD,

团尸，是4CDE的中位线，

WE=2FH=4,

0A4BC的周长为+AC+BC=2AB+DE=20,

故选：D.

3.(2023下•黑龙江伊春•八年级校联考期末)如图，四边形4BCD中，AC1BC,AD\\BC,BC=3,AC=

4,4。=6.M是BO的中点，则CM的长为()

35

A.-B.2C.-D.3

22

【答案】B

【分析】延长8c至I]E使BE=4%则四边形力CED是平行四边形，根据三角形的中位线的性质得到CM=

=根据跟勾股定理得到的长，于是得到结论.

【详解】：延长81至IJE使BE=AD,

团4DII8C,

（3四边形ABED是平行四边形，

团BE=4。=6,AB=DE

（3BC=3,AD=6,

（3C是BE的中点，

团M是80的中点，

团CM=-DE=-AB,,

22

0/4C1BC,

西B=>JAC2+BC2=V42+32=5,

=-DE=-AB=-,

222

【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关

健

4.（2023上•重庆九龙坡•八年级重庆实验外国语学校校考期末）如图，在△218。中，CF、BE分别平分44cB

和，ABC,过点A作AD1CF于点。，作AG18E于点G,若AB=9,AC=8,BC=7,则G。的长为（）

A.5.5B.5C.6D.6.5

【答案】A

【分析】本题主要考查了三角形中位线定理以及等腰三角形的判定与性质，关键是掌握三角形中位线定理:

三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.问题的难点在于过关键点作辅助线构造AAPQ.

延长力。，交C8的延长线于点P,延长AG,交BC的延长线于点Q,依据等腰三角形的判定与性质，即可得到

0Q的长；再根据三角形中位线定理，即可得到DG的长等于PQ的长的一半.

【详解】如图所示，延长A。，交C8的延长线于点P,延长4G,交8c的延长线于点Q,

(3C八8E分别平分N/ICB和44BC,

(3Z/1CD=乙PCD,Z.ABG=乙QBG,

又(L401CF,AG1BE,

^/.ADC=cPDC,LAGB=乙QGB,

团/CAP=乙P,乙BAG=乙Q,

(MC=PC=8,48=QB=9,

又SC=7,

团PQ=BQ+PC-BC=9+8—7=10,

血4c=PC,CO平分N/CP,

团点。是4P的中点，

同理可得，点G是AQ的中点，

团DG是AAPQ的中位线，

团OG=^PQ=5,

5.（2023下•陕西渭南•八年级统考期末）如图，点。是团4BCD的对角线的交点，OD=AD,点、E、尸分别

是0C、。。的中点，连接见F,过点尸作“IIBE交边AB于点、P,连接PE,则下列结论中不一定正确的是（）

D

B

A.CD=2APB.PFLACC.BE=PFD.2Z.BAC=LDAC

【答案】D

【分析】如图，连接EF,由三角形的中位线定理结合平行四边形的性质可证明四边形BEFP为平行四边形，

可得CD=2EF=2BP=2AP,可判断A选项；由平行四边形的性质可得。8=BC,再结合等腰三角形的性

质可判断B选项：由四边形8E”为平行四边形，可得=可判断C选项：只有当EL48CD是矩形时，

2^BAC=^DAC,可判断D选项.

【详解】解：如图，连接E凡

回E、F分别是。。、。。的中点，

0FF||CD,EF=^CD,

回四边形ABCD是平行四边形，

^AB||CD,AB=CD,

团PB||EF,

XEFPIIBE,

团四边形BEFP为平行四边形，

^CD=2EF=2BP=2AP,故A正确，不符合题意;

在团A8CD中，08=00,BC=AD,0D=AD,

回08=BC,

又(2E为。C中点，

(2BE1AC,

^PFLAC,故B正确，不符合题意；

团四边形BE”为平行四边形，

团BE=PF,

故C正确，不符合题意；

回0D=AD,

0Z.D/1C=LAOD=Z.B0C,

又HcBOC=^BAC卜乙43。，

当2484C=NO/1。时，KU^/IC=/.ABO,

WA=0B=0D=OC,则此时即WCO是矩形，

即：只有当团ABC。是矩形时，2，BAC=iZMC,故结论错误，符合题意.

故选：D.

【点睛】此题考查平行四边形的性质，矩形的判定，三角形中位线定理，等腰三角形的性质，熟练掌握相

关图形的性质是解决问题的关键.

6.（重庆市万州区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题）如图，DE是A/IBC的中位线，N/1CB的角

平分线交DE于点凡若AC=6,BC=14,则OF的长为.

【答案】4

【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，角平分线的定义，等边对等角，根据三角形中位线定理和定

义得到DE=\BC=7,CE=\AC=3,DEIIBC,进而证明zEFC=zECF得至ijEF=EC-3,则=DE-

EF=4.

【详解】解：团DE是△71BC的中位线，AC=6,BC=14

0DE=-BC=7,CE=-AC=3,DE||BC,

22

^LEFC=Z.BCF,

团/ACB的角平分线交DE于点心

=Z.BCF,

^Z.EFC=乙ECF,

0EF=EC=3,

0Dr=DE-EF=4,

故答案为：4.

7.（2023上•广东河源•八年级统考期末）如图，在菱形48。。中，AB=8,=45°,E,F分别是过CD,

8C上的动点，连接力£,EF,G,〃分别为AE,E广的中点，连接GH,则G"的最小值为.

【答案】2夜

【分析】连接力F，利用三角形中位线定理，可知G”=［力凡求出AF的最小值，当4F18C时，根据垂线段

最短，即可解决问题.

胤4B=BC=8,

0G,“分别为4E,EC的中点,

回G，是尸的中位线，

0GH=-AF,

2

当4F1BC时，4F最小,GH得到最小值,

则，力尸8=90°,

团4B=45°,

回△人"是等腰直角三角形，

=曰48=^x8=4近，

©GH=2A/2,

即GH的最小值为2e，

故答案为：242.

【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰宜角三角形的判定与性质、垂线段最短等知

识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型.

8.（2023上•山东烟台•八年级校考期末）如图，团48。。中，AB=3,BC=4,8E平分交力。于点E,

CF平分NBCD,交AD于点、F,交EE于点O,点G,”分别是OF和OE的中点，则G”的长为

FE

AD

，

【答案】1

【分析】本题考查了平行四边形的性质及三角形中位线定理，根据平行四边形的性质得出为B=CD=

3,BC=AD=4,ADWBC,根据平行线的性质及角平分线定义推=△4?氏乙DCF=LDFC,根据

等腰三角形的判定及线段的和差求出EF=2,根据三角形中位线的判定与性质求解即可.

【详解】解：团4BCD中，AB=3,BC=4,

EL4B=CD=3,BC=AD=4,ADWBC,

BZ.AEB=乙CBE,乙DFC=Z-BCF.

团BE平，）•44BC,CF平，｝4BCD,

0Z/WE=LCBE,Z.BCF=Z.DCF,

^LABE=LAEB,乙DCF="FC,

团AB=AE=3,DC=DF=3,

^AE+DF=AD+EF,

0EF=2,

团点G,，分别是。F和。E的中点，

团6”是也OEF的中位线，

团G"=R=1

故答案为：1.

9.（2023上•山东淄博•八年级淄博市淄川实验中学校考期末）如图，在A/IBC中，AB=5,AC=3,AD.AE

分别是其角平分线和中线，过点C作CG14D于F,交力B于G,连接EF,则线段EF的长为.

【答案】1

【分析】本题考查了三角形的中位线定理以及等腰三角形的判定与性质，首先证明AACG是等腰三角形，则

AG=AC=3,FG=CF,则£尸是^BCG的中位线，利用三角形的中位线定理即可求解.

【详解】解：国4。为的角平分线，CGLAD,

团Zk/ICG是等腰三角形，

团AG=AC,

团4c=3,

回AG=AC=3,

团4F为4C4G的角平分线，

RFG=CF,即点尸为CG的中点,

团4E为A/IBC的中线，

(3点E为C8的中点，

回EF是△8CG的中位线，

0EF=-/?(?,

2

团AB=5,

^BG=AB-AG=5-3=2.

0FF=^x2=l.

2

故答案为：1.

10.(2023上•江苏南京•八年级期末)如图，在菱形A8CD中，对角线AC,BD交于点O,点石为的中点,

点〜在0。上，DF=OF,连接E/交。力于点G,若OG=1,连接CE,=12.则线段CE的长为.

【答案】3V5

【分析】取4。中点M，连接EM,可证明EM是48。的中位线，得到EM=：08,EM10At因此。尸=EM,

推出AEMG三△FOG,得到MG=0G=L从而求出。力的长，得到力。的长，求出CM的长，由三角形面枳

公式求出。8长,得到EM的长,由勾股定理即可求出CE的长.

【详解】解：取A。中点M,连接EM,

B

回四边形ABCD是菱形，

^BD1OA,OD=OB,OA=OC,

回点E为的中点，M为力。中点，

团EM是△48。的中位线，

0E/4=\0B,EMWBD,

LAC,乙MEG=iOFG,

Wf=OF,

WF=^0D=^0B,

22

0E/4=OF,

回NMEG=40户G,Z.MGE=Z.OGF,

0AEMGm△FOG(AAS).

团MG=OG=1,

团0"=20G=2,

004=20M=4,

团4c=20A=8,

回力E=BE,

05岫八。=2XSABEC=2X12=Z4»

^AC-OB=24,

回。B=6,

团EM=\OB=3,

团CM=OM+OC=2+4=6,

囹CE=VCM?+EM7=36.

故答案为：3Z.

【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，灵活运

用相关知识解决问题是解题关键.

11.（2023下•四川宜宾•八年级统考期末）如图，在平行四边形A8CD中，48=4,AD=6,cA=120°,

点F、点N分别为CD、48的中点，点E在边AD上运动，将△£1/）/沿EF折卷，使得点。落在D'处，连接B。',

点M为8。中点，则MN的最小值是

【答案】V7-1

【分析】根据三角形中位线定理可得MN=］力），可知当AD'取得最小值时，MN取得最小值，根据折叠可

知D'在以点尸为圆心，。尸的长为半径的半圆弧上运动，当点D'运动到线段49上时;此时乂》取得最小值，

最小值为力产一。儿过点尸作尸，,力。于点H,根据30。的直角三角形的性质可得HD的长，根据勾股定理求

出F/7的长，再在口△477中，根据勾股定理求出"•的长，进一步可得/W'的最小值，即可求出MN的最小

值.

【详解】解：连接力。'，

KE一―一一nH"一一D、

•••点N为48的中点，点M为的中点,

•••MN为△8/0，的中位线,

MN=-AD,,

••・当4。'取得最小值时，MN取得最小值,

在平行四边形A8C0中，AB=CD,ABWCD,

Z.A+Z.D=180°,

VAB=4,AD=6,乙/1=120°,

ACD=4,乙。=60°,

•••点F为线段CD的中点，

DF=CF=2,

根据折叠可知=DF=2,

•••点D'在以点尸为圆心，D尸的长为半径的半圆弧上运动，

当点D'运动到线段力F上时，此时,1。取得最小值，最小值为4尸-。'凡

过点F作FH。于点H,如图所示：

则/FHD=90°,

Z.HFD=30°,

ADH=-DF=1,

2

在山△/）”产中，根据勾股定理，得FH=422一£=足,

AD=6,

.-.AH=6-1=5,

在RtZkA尸”中，根据勾股定理，得4t='AH?+FH?=2夜,

的最小值为2b一2,

•••MN的最小值为夕一1,

故答案为：V7—1.

【点睛】本题考查了翻折变换，线段最小值问题，平行四边形的性质，三角形中位线定理，直角三角形的

性质，找出线段人少最小时点。'的位置是解题的关键.

12.（2023下•河南漂河•八年级统考期末）如图，在矩形4BCD中，点E,尸分别时边AB,8C的中点，连接EC,

FD,同G,，分别时EC,FU的中点，这接G",苦AB=4,=6,则G”的长度为.

【答案】苧

【分析】连接C”并延长交4）于点P,连接PE,由矩形的性质得乙4=90。，ADIIBC,AD=BC=6,从而

得到40PH=乙FCH,通过AAS证明△DPHdFC”可得PD=CF=3,PH=CH,由勾股定理进行计算可

得EP=g,再由三角形中位线定理即可得到G"的长.

【详解】解：如图，连接CH并延长交40于点尸，连接尸£，

•.•四边形力BCD是矩形，

:.LA=90°,AD||BC,AD=BC=6,

:.£DPH="CH,

•:点E,F分别时边A8,BC的中点，AB=4,BC=6,

AE=-AB=2,CF=-BC=3,

22

•••点”为DF的中点，

:.DH=FH,

《DPH=乙FCH

4DHP=Z.FHC，

(DH=FH

•••△DPH三△尸CH(AAS),

:.PD=CF=3,PH=CH,

•••AP=AD-PD=6—3=3,

PE=\]AE2+AP2=V22+32=V13,

•••点G是CE的中点，CH=PH,

.•・G，是△CEP的中位线，

1CLV13

*'•GH=—PE=—♦

22

故答案为：零.

【点睛】本题主要考查了矩形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、三角形中位线定理，熟练掌

握以上知识点，添加适当的辅助线，构造三角形，是解题的关键.

13.(2023下•江苏泰州•八年级统考期末)如图,在内△ABC中，Z.ACB=90°,AC=3,BC=4,点D、

E分别为边BC、4c的中点，连接DE,点尸为边48上一动点，且CF=DE,则力尸的长为

【分析】根据三角形的中位线定理，可知。进而可知CF=4/1B,则有两种可能，利用宜角三角

形斜边中线等于斜边的一半，以及勾股定理，即可解答.

【详解】解：回点。、E分别为边BC、4?的中点，

WE=-2AB,

又区C尸=DE,

^CF=^AB,

2

在ABC中，Z.ACB=90°,AC=3,BC=4,

(MB=>JAC2+BC2=V32+42=5,

即CF=[AB=I，则有以下两种情况:

种:当尸点运动到43中点时,

团ZiABC是直角三角形，LACB=90°,

mCF=-2AB,

团点尸是AB中点，则力尸=：A8=2.5,

种：如图,作交AB于点H,

团s08c==

ci,ACBC3X412

me

H=--A--B--=—5=—5,

^AF=

2

I22

在RtACH"中，HF=VCF2-CH2=一偌）=0.7,

在Rt△CH/中，AH=y]AC2-CH2=J3?一（）丫=1.8,

SAF=AH-HF=1.8-0.7=1.1,

综上所述：力尸的长为2.5或1.1,

故答案为：2.5或1.1.

【点睛】本题考查了三角形的中位线、勾股定理以及直角三角形斜边中线，解题的关健在于运用分类讨论

思想进行求解.

14.（2023上•上海静安•八年级上海田家炳中学校考期末）如图，直角△ABC中，NA=90°,AB=AC=2,

点D是8c边的中点，点E是力8边上的一个动点（不与4,B重合），DF1DE交AC于点F,设BE=x,FC=y.

（1）求证：DE=DF；

⑵写出y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域;

⑶写出x为何值时，EF||BC?

【答案】（1）见详解

(2)y=2—x,0<x<2

(3)x=1

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，正确证明三△FDN是关键.

（1）取A8的中点记为H,取AC的中点记为N.根据三角形中位线的性质可得DH=DN,根据余角的性质可

得&EDH=LFDN,根据ASA可证AEOH三△尸DN,根据全等三角形的性质即可证明DE=DF；

（2）根据全等三角形的性质可得HE=N/,从而得到y关于x的函数关系式，以及x的定义域；

（3）连接HN,根据三角形中位线的性质可得x为1时，EF||BC.

【详解】（1）解：取4B的中点记为H,取AC的中点记为M连接DN

=90°,点。是BC边的中点，

团DH,DN都是三角形中位线

WN||AB,DN=^AB,DH||AC,DH=^AC

BAB=AC=2,

回OH=DN=1,

团/NOH=90%

团乙NDF+乙NDE=90°,乙NDE+EDH=90°,

团4EDH=乙FDN,

在AED"与AFCN中，

(/,EDH=乙FDN

DH=DN,

zEHD=乙FND

0AEDH三AFDN,

回OE=OF；

(2)解：EDH"FDN,

团HE=NF,

^x--AB=-AC-y

22，

BPy=2-x

13E是4B边上的一个动点（不与4、B重合），

00<x<2；

（3）解：连接HN,当E与H重合时，EFIIBC,

团此时x=BH=T,

回当％=1时，EF||BC.

15.（2023上•北京东城•八年级汇文中学校考期末）在△4BC中，AC=BC,/.ACB=90°,点D在AB边

上（不与点A,B合），分别过人C作AB,。。的垂线交于点E,连接BE.过C作CFBE交4B于点F.

⑴依题补全图形；

（2）求证：CE=CD；

⑶用等式表示线段/E,AC,4尸间的关系，并证明.

【答案】（1）见解析

（2）证明见解析

（3）AF+^AE=^-AC,证明见解析

【分析】（1）依题意作图即可；

（2）根据等腰三角形的性质可得乙EAC==45。，再根据同角的余角相等可得出即

可利用ASA证明△ECA=△DCB,即可得出结论；

（3）取A8的中点为Q,连接CQ交BE于点H,过点C作4E的垂线交延长线于点K,先利用ASA证明△FQC三

△HQ8,得出FQ=HQ,再证明HQ是△£48的中位线，可得出HQ=：/1E,然后证明四边形/KCQ为正方形,

则有AC=V^4Q,进而可得出结论.

【详解】（1）解；依题意补全图形如下;

c

(2)证明：中，AC=BC,/-ACB=90°,

:.2FAC=Z.DBC=45°

又•；EALAB.

LEAF=90°,

£EAC=LEAF-^.FAC=90°-45°=45°,

£EAC=Z-DBC=45°,

•••/.ECD=Z-ECA4-^ACD=90°,^ACB=乙DCB+Z-ACD=90°,

:.Z.ECA=Z.DCB,

在AEC4和△DCB中，

(Z.ECA=Z.DCB

jAC=BC,

{/.EAC=乙DBC=45°

••.△EC4三△DCB(ASA),

CE=CD；

(3)解：线段AE,AC,力尸间的关系为：AF+^AE=^-AC,证明过程如下:

取的中点为Q,连接CQ交BE于点”，过点C作力E的垂线交廷长线于点K,如图所示:

•:CF18E父A8于点F,

即=90°,

又•：乙HQB=90°,Z-BHQ=Z.CHG

:.乙GCH=乙QBH,

在么FQC和AHQB,

dQC=(HQB=90°

CQ=BQ,

乙GCH=乙QBH

•••△FQC空△"QB(ASA),

•••FQ=HQ,

•••Z.EAB=Z.HQB=90°,

:.EA||HQ,

又二AQ=BQ,

HQ是△EA8的中位线，

・•.HQ=^AE,

•••FQ=\AE,

•••△ABC中，AC=BC,LACB=90°,

.•.△4BC为等腰直角三角形，

・••Q为/IB的中点，

二CQ垂直平方力8,

则＜Q=BQ=CQ,^AQC=90°,

又：Z.EAF=90°,Z.AKC=90°,

四边形AKCQ为正方形，

AC=V2AQ,

:.AC=V2(AF+FQ)=V2(AF-]--AE),

2

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，三角形的中位线，同角的余角相等,

等腰直角三角形的性质，解题的美键是能正确作出辅助线以及能熟练掌握三角形的判定方法.

【题型2多条中位线的问题】

1.(2023下•安徽芜湖•八年级统考期末)如图，在四边形力BC。中，ZBAC+乙1DC=27O。，点£、F分别

是?I。、BC上的中点，EF=3,则力勿+。。2的值是()

【答案】B

【分析】连接AC,取AC的中点M,连接EM,FM,根据三角形的中位线定理可以得到EM||DC,MF||AB,

EM=^DC,MF=\AB,推导出匕EMF=90。，再利用勾股定理解题即可求出答案.

【详解】连接力C,取AC的中点M,连接EM,FM,

0ZEM/1=Z-DCA,Z.B=乙MFC,

0ZEMF=匕EMA+Z.AMF

=LEMA+2LACF+4MFC

=WCA+Z-ACF+乙B

=LDCB+乙B

=360°-(/.BAD+/.ADC}

=360°-270°

=90。，

二EM2+MF2=EF2=32=9,

^AB2+DC2=(2EM)2+(2FM)2=4EF2=4x9=36,

故选A.

【点睛】本题考查三角形的中位线定理，勾股定理，作辅助线利用平行线构造直角三角形是解题的关键.

2.(2023下•河南商丘•八年级统考期末)边长为4的正方形4BCD中，点E、尸分别是48、BC的中点，连接

EC、FD,点G,H分别是EC、DF的中点,连接GH,则GH的长为()

【答案】D

【分析】连接AC、B。交于点。，连接G。、HO,可得GO、，。分别是MCE、回8。产的中位线，从而求出

GO,〃。的长，在通过证明团GOH是直角三角形，利用勾股定理求出GH的长.

【详解】解：连接AC、B。交于点O,连接GO、HO,如图所示，

团点E、尸分别是AB、8C的中点.

I3AE=-AB=2,BF=-BC=2.

22

团点。是正方形ABC。对角线的交点.

团点O是4C、8。的中点.

(3点G是EC的中点.

团G。是(MCE的中位线.

0GO=1A£=1,且GQM8.

同理，”0=1,且“必BC.

0ELABC=9O°.

财而4c.

^GO^HO.

团团GO〃=90°.

在R周G。”中，

GH=>/GO2+HO2=Vl2+I2=V2.

故选：D.

【点睛】本题考查了正方形的性质与三角形的中位线性质定理，通过作辅助线把G”归纳到直角三角形中是

解题的关键.

3.（2023K四川成都•八年级成都嘉祥外国语学校校考期中）如图，EL4BC。中,BD=12,Z.AOB=60°,

点F为48中点，点E为4。边上一点，若AE=OE+OB,则EF的长为（）

A.5B.3V2C.2V5D.36

【答案】D

【分析】由平行四边形/BCO的X寸角线71C、8。交于点。，80=12,得。8=0。=[=6,在4。上截取

AI=0B=6,连接引，取8/的中点H,连接EH、FH,可证明/£=0E,根据三角形的中位线定理得EHII0B,

EH=^0B=3,FHIIAI,FH=^AI=3,延长EH到点G,使G”=EH=FH=3,连接尸G,则EG=2EH=6,

可证明是等边三角形，则曰G=~H=3,Z-HFG=60°,再证明乙”?E=30°,则NEFG=90°,所以

EF=>JEG2-FG2=3V3.

【详解】•••平行四边形ABC。的对角线AC、8。交于点。，BD=12,

团OB=OD=-BD=6,

在H。上截取小=。3=6,连接引，取8/的中点〃，连接EH、FH,

DtC

\hAE=IE+A1=OE+OB,

0/E=OE,

团取B/的中点，，

AIH=BH,

团点"为AB中点，

a4『=BF,

EHIIOB,EH=\OB=3,FH||AI,FH=^AI=3,

延长E"到点G,使GH=EH=FH=3,连接FG,则EG=2EH=6,

0ZFHG=4AEG=Z-AOB=60°,

••.△FGH是等边三角形，

回/G=FH=3,乙HFG=60°,

Bz/YFE=LHEF.

^2LHFE=乙HFE+乙HEF=乙FHG=60°,

•••乙HFE=30°,

0ZEF6=乙HFE+乙HFG=90°,

0EF=y/EG2-FG2=3A/3,

故选:D.

【点睛】此题重点考看平行四边形的性质、三角形的中位线定理、平行线的性质、等边三角形的判定与性

质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键.

4.（2023下•浙江台州•八年级校联考期中）如图，线段48=6,点P是线段4B上的动点，分别以4P、BP为

边在A8作等边△4PC、等边ABPD,连接CD,点M是。。的中点，当点P从点A运动到点B时，点M经过的路

径的长是（）

D

M

A.3B.2.8C.2.5D.2

【答案】B

【分析】分别延长AC、BD交于点H,易证四边形HCPD为平行四边形，得出G为PH中点，则G的运行轨

迹为三角形H/1B的中位线N/.最后运用中位线的性质求出N/的长度即可解答.

【详解】解：如图：分别延长4C，80交于点"，则是等边三角形，

^AHB=60。,

团等边AAPC、等边△9PD,

(UZ/4CF=乙BDP=60°

^ACP=41HB=60°,^BDP=4AHB=60°,

WHWPC,CHWPD

回四边形，CPD为平行四边形，

(3〃P与C。互相平分.M为CO的中点，

团M也正好为PH中点，即在夕的运动过程中，历始终为。〃的中点，

团M的运行轨迹为三角形从48的中位线N/.

^Nj=-AB=3.

2

【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理、等边三角形的性质平行四边形的判定与性质，正确作出辅助

线，发现点M移动的规律，判断出其运动轨迹是解答本题的关键.

5.(2023上四川达州八年级四川省渠县中学校考期末)如图，△ABC中，ZC=90°,AC=BC=2,取

BC边中点E,作EDIIABfEFII4C,得到四边形EDA凡它的面积记作舟；取版中点%，作坛。]||“当印陀尸,

得到四边形与。/居，它的面积记作S2,照此规律作下去，则S2024=.

【答案】_2_

、口木,42023

【分析】本题考查了三角形中位线定理、等腰直角三角形的性质，探究规律.根据三角形中位线定理可求

出51的值，进而可得出另的值，找出规律即可得出土024的值.

【详解】解：由题意得SMBC=：X2X2=2.

团E为BC的中点，ED||AB,

•••DE是△48c的中位线，

DE=-AB,

2

：•SQDCE=[SAABC=-»

同理SABEF=（SHABC=p

•••=2----=1.

团取BE中点%,作E1MF8,4川田F,得到四边形EM/F1,

圉S囚边形EiD/R=[S四边形ED"'

c1c

S]=7Si,

同理可得S3=衿=专Si，

==

因$202442023Si42023X1=4202J,

故答案为：

6.（2023下•山东济宁•八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形。/1$传的对角线

&C和。々交于点必；以弧为为对角线作第二个正方形424/2用1，对角线4Ml和42々交于点乂2：以&为

对角线作第三个正方形43453M2,对角线4M2和力383交于点M3；……依此类推，这样作的第2023个正方

形对角线交点M2023的坐标为.

【答案】（2220231

【分析】根据正方形性质求出CM1=&M],Z.C0A1=2MI&AI=90。,推出42MlIIOC,得出0/=4阳

根据三角形中位线求出i42Ml=；℃=[xl=gOA2=A2A1=^0A1=^x1=1»即可求出Mi的坐标，同理求

43M2="2%=；X；=/，A2A3=A3A1=^A2A1=^x1=。/13=；+：=：=得出的坐标,根据

以上规律求出即可.

【详解】解:自四边形04B】C和四边形必力潭2