四川中考一模考试《数学试题》含答案解析

四川数学中考综合模拟检测试题

学校班级姓名成绩

一、选择题

1.下列四个实数中，比-1小的数是（）

A.-2B.0C.1D.2

2.如图是由5个相同大小的正方体搭成的几何体，则它的俯视图是（)

A.

3.2019年10月1日上午，庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵在北京天安门广场隆重举行，此次阅兵规模

空前，这次阅兵编59个方（梯）队和联合军乐团，总规模约15000人.将数据15000用科学记数法表示为

（）

A.0.15X105B.1.5xl04C.15xlO5D.1万5千

4.下列计算正确的是（）

A.a2+a3=a5B.a2*a3=a6C.（a2）5=a5D.a3-?a3=a2

5.在平面直角坐标系中，若点A（2,a）在第四象限内，则点B（a,2）所在的象限是（）

A第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

32

6.分式方程一;一一=0的解为：）

x-2x

A.x=2B.x=3C.x=4D.x=-4

7.4月23日为世界读书Fl,倡导全民多读书、读好书.成都高新区某学校为了了解学生的课外阅读情况，随

机抽取了一个班级的学生，对他们在今年世界读书口所在的这一周的读书时间进行了统计，统计数据如表

所示：

读书时间（小时）45678

学生人数610987

则该班学生一周读书时间的中位数和众数分别是（）

A.6,5B.6,6C.6.5,6D.6.5,5

8.如图，把一块含有30。角的直角三角板ABC的直角顶点放在矩形桌面CDEF的一个顶点C处，桌面的另一

:个顶点F导与三角板斜边相交于点F,如果Nl=50。，那么NAFE的度数为（)

A.10°B.20°C.30°D.40°

9.如图，在。0中，若/CDB=60。，00直径AB等于4,则BC的长为（)

无

A.6B.20273D.4后

1（）.已知抛物线y=ax?+bx+c的图象如图所示，下列说法正确的是（）

W

iX

A.abc>0B.a-b+c=2

C.4ac-b2<0D.当x>-1时，y随x增大而增大

二、填空题

11.4的算术平方根是.

12.如图，BA±AC,CD〃AB,BC=DE,且BC_LDE,若AB=5,CD=8,贝UAE=____

13.司一直角坐标系中，一次函数y=kix+b与正比例函数y=k?x的图象如图所示，则满足k,x+b>k2x的x

取值范围是

14.如图，在菱形ABCD中，按以下步骤作图:

①分别以点A和B为圆心，以大于JAB的氏为半径作弧，两弧相交于点E、F；

②作直线EF交BC于点G,连接AG；若AGJ_BC,CG=3,则AD的长为

三、解答题

,1.4

15.(1)计算：・「+(一)-'x--|1-2cos30。卜

373

5x-6„2(x+3)①

(2)解不等式组：卜<言②

x+11

16.先化简，再求值:，x=72-1-

X2-2x4-111+X

17.2020年春节联欢晚会传承创新亮点多，收视率较往年大幅增长.成都高新区某学校对部分学生就2020

年春晚的关注程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如图所示的两幅尚

不完整的统计图(其中A表示“非常关注”；B表示“关注”；C表示“关注很少”；D表示“不关注”).

请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：

（1）直接写出m=；估计该校1800名学生中“不关注”的人数是人；

（2）在一次交流活动中，老师决定从本次调查回答“关注”同学中随机选取2名同学来谈谈他们的想法，

而本次调查回答“关注”的这些同学中只有一名男同学，请用画树状图或列表的方法求选取到两名同学中刚好

有这位男同学的概率.

18.成都市天府一南站城市立交桥是成都市政府确定的城建标志性建筑，如图是立交桥引申出的部分平面图,

测得拉索AB与水平桥面的夹角是37。，拉索DE与水平桥面的夹角是67。，两拉索顶端的距离AD为2m,

34312

两拉索底端距离BE为10m,请求出立柱AC的长.（参考数据tan37%二，sin37°--,cos37°---tan67°~—,

4555

sin67°-——，cos67°~——)

19.如图，一次函数y=x+b的图象与反比例函数y=&（k为常数且后0）的图象交于A（-1,a）,B两点,

x

与K轴交于点C（-4,0）.

（1）求一次函数和反比例函数的表达式;

（2）若点D是第四象限内反比例函数图象上的点，且点D到直线AC的距离为5、伤，求点D的横坐标.

20.如图，四边形ABCD内接于。0,对角线AC、BD相交于点F,AC是。O的直径，延长CB到点E,连

接AE,NBAE=NADB,AN1BD,CM1BD,垂足分别为点N、M.

（1）证明：AE是。O的切线；

（2）试探究DM与BN的数量关系并证明；

（3）若BD=BC,MN=2DM,当AE=&时，求OF的长.

21.若实数a满足J（〃-2产=a-1,且OVaV6，贝Ua=

一•,1

22.已知xi，X2是关于x一兀二次方程x--（2m-l）x--=0的两个实数根，且Xi-x=l,则m=_

42

23.如图，在等边aABC内任取一点D,连接CD,BD得到ACDB,如果等边aABC内每一点被取到的可

能性都相同，则4CBD是钝角三角形的概率是

24.如图，直线1与反比例函数y=&（k和）的图象在第二象限交于B、C两点，与x轴交于点A,连接OC,

x

NACO的角平分线交x轴于点D.若AB：BC：CO=1：2：2,4COD的面积为6,则k的值为.

,AC=BC=6J5,ZEDF的顶点D是AB的中点，旦NEDF=45。，现将/EDF

绕点D旋转•周，在旋转过程中，当NEDF的两边DE、DF分别交直线AC于点G、H,把△DGH沿DH

AH3

折叠，点G落在点M处，连接AM,若二，则All的长为_______

AM4

26.一名大学毕业生响应国家“自主创业”的号召，在成都市高新区租用了一个门店，聘请了两名员工，计划

销售一种产品.已知该产品成本价是20元/件，其销售价不低于成本价，且不高于30元/件，员工每人每天

的工资为200元.经过市场调查发现，该产品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如

图所示.

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）求每件产品销售价为多少元时，每天门店的纯利润最大？最大纯利润是多少？（纯利润=销售收入・

产品成本-员工工资）

27.将矩形ABCD沿对角线BD翻折，点A落在点A，处，AD交BC于点E,点F在CD上，连接EF,且CE

(2)若NDEF=45。，求tan/CDE的值;

(3)在（2）条件下，点G在BD上，且不与B、D两点重合，连接EG并延长到点H,使得EH=BE,

连接BH、DH,将△BDH沿DH翻折，点B的对应点B，恰好落在EH的延长线上，如图2.当BH=8时,

求GH的长.

28.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax?+bx+c的图象与x轴交于A(-3,())、B(2,0)两点,

与y轴交于点C(0,3).

(1)求抛物线的解析式；

(2)点E(m,2)是直线AC上方的抛物线上一点，连接EA、EB、EC,EB与y轴交于D.

①点F是x轴上一动点，连接EF,当以A、E、F为顶点的三角形与ABOD相似时，求出线段EF的长；

②点G为y轴左侧抛物线上一点，过点G作直线CE的垂线，垂足为H,若NGCH=NEBA,请直接写出

点H的坐标.

备用图

答案与解析

一、选择题

1.下列四个实数中，比-1小的数是（）

A.-2B.0C.1D.2

【答案】A

【解析】

试题分析.：A.-2<-1,故正确；

B.0>-1,故本选项错误；

C.1>-1,故本选项错误；

D.2>-1,故本选项错误；

故选A.

考点：有理数大小比较.

2.如图是由5个相同大小的正方体搭成的几何体，则它的俯视图是（）

【答案】B

【解析】

【分析】

根据从上边看得到的图形是俯视图,可得答案.

【详解】从上边看第一列是一个小正方形，第二列是一个小正方形，第三列是两个小正方形,

故选B.

【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，从上边看上边看得到的图形是俯视图.

3.2019年10月1日上午，庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵在北京天安门广场隆重举行，此次阅兵规模

空前，这次阅兵编59个方（梯）队和联合军乐团，总规模约15000人.将数据15000用科学记数法表示为

A.0.I5X105B.1.5X104C.15xl05D.I万5千

【答案】B

【解析】

【分析】

科学记数法表示形式为axlO"的形式，其中10a|VlO,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，

小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值N10时，n是正数：当原数的绝

对值VI时，n是负数.

【详解】解：将15000用科学记数法表示为：1.5X104,

故选B.

【点睛】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为ax10"的形式，其中1,,n

为整数，表示时关键要正确确定〃的值以及〃的值.

4.下列计算正确的是(〉

A.a2+a3=a5B.a2*a3=a6C.(a2)'=a5D.a>4-a3=a2

【答案】D

【解析】

【分析】

根据同类项、同底数幕的乘法、寤的乘方和同底数幕的除法计算即可.

【详解】解：A、a?与「不是同类项，不能合并，错误；

B、a2*a3=a5,错误；

C、(a2)3=a6,错误;

D、a54-a3=a2,正确.

故选：D.

【点睛】此题考查同类项、同底数辕的乘法、塞的乘方和同底数察的除法，关键是根据法则进行计算.

5.在平面直角坐标系中，若点A(2,a)在第四象限内，则点B(a,2)所在的象限是()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.笫四象限

【答案】B

【解析】

【分析】

先根据点A(2,a)在第四象限内得出aVO,据此可得点B所在象限.

【详解】解：•・•点A(2,a)在第四象限内,

Aa<0,

则点B(a,2)所在的象限是第二象限，

故选：B.

【点睛】本题主要考查点的坐标，解题的关键是掌握平面直角坐标系中各象限内点的坐标符号特点.

32

6.分式方程一--—二0的解为：)

x-2x

A.x=2B.x=3C.x=4D.x=-4

【答案】D

【解析】

【分析】

分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.

【详解】解：去分母得：3x-2(x-2)=0,

去括号得：3x-2x+4=0,

解得：x=-4,

经检验x=-4是分式方程的解.

故选：D.

【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解.解

分式方程一定注意要验根.

7.4月23日为世界读书日，倡导全民多读书、读好书.成都高新区某学校为了了解学生的课外阅读情况，随

机抽取了一个班级的学生，对他们在今年世界读书日所在的这一周的读书时间进行了统计，统计数据如表

所示：

读司时间(小时)45678

学生人数610987

则该班学生一周读书时间的中位数和众数分别是()

A.6,5B.6,6C.6.5,6D.6.5,5

【答案】A

【解析】

【分析】

根据表格中的数据可知该班有学生40人，从而可以求得中位数和众数，本题得以解决.

【详解】解：由表格可得，读书时间为5小时最多，故一周读书时间的众数为5,

该班学生一周读书时间的笫20个数6和第21个数是6,故该班学生一周读书时间的中位数为生心=6,

2

故选：A.

【点睛】本题考查众数、中位数，解答本题的关键是明确题意，会求一组数据的众数和中位数.

8.如图，把一块含有30。角的直角三角板ABC的直角顶点放在矩形桌面CDEF的一个顶点C处，桌面的另一

个顶点F与三角板斜边相交于点F,如果Nl=50。，那么/AFE的度数为（）

B

B.20°C.30°D.40°

【答案】B

【解析】

【分析】

由四边形CDE/为矩形，得到）与。C平行，利用两直线平行同位角相等求出N4GE的度数，根据NAGE

为三角形AG/的外角，利用外角性质求出NAFE的度数即可.

【详解】•・•四边形为矩形，・・.£F〃OC,AZAGE=Zl=50°.

•・・/4GE为△AG77的外角，且NA=30。，：.ZAFE=ZAGE-ZA=20°.

故选B.

【点睛】本题考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质以及三角形外角的性质

是解答本题的关键.

9.如图，在（DO中，若NCDB=60。，。。的直径AB等于4,则BC的长为（）

B

c.

2

D

A.73B.2C.2V3D.473

【答案】C

【解析】

【分析】

根据圆周角定理得出NCAB=60。，进而利用含30。的直角三角形的性质解答即可.

【详解】解：•・・NCDB=60。，

AZCAB=ZCDB=60°,

•・・AB是0O的直径,

AZACB=90n,

/.ZCBA=30°,

/.AC=—AB,

2

•・・。0的直径AB等于4,

/.AC=2,

・・・BC=L_472=26

故选:C.

【点睛】此题考查含30。的直角三角形的性质，关键是根据圆周角定理得出NC43=60。解答.

10.已知抛物线y=ax、bx+c的图象如图所示，下列说法正确的是（）

A.abc>0B.a-b+c=2

C.4ac-b2<0D.当x>-1时，y随x增大而增大

【答案】C

【解析】

【分析】

A、根据抛物线y=ax?+bx+c的图象可得a>(),b>0,c<0,即可判断；B、当x=-1时，y<0,即可判断;

C、因为抛物线与x轴有两个交点，可得△>()即可判断；D、当x>・I时，在对称轴左侧y随x的增大而

减小，在对称轴右侧，y随x增大而增大，即可判断.

【详解】

解：根据抛物线y=ax2+bx+c的图象可知：

A、a>0,b>0,c<0,

.\abc<0,

所以A选项错误；

B、当x=-1时，y<0,

即a-b+cVO,

所以B选项错误；

C、因为抛物线与x轴有两个交点，

所以△>(),&Pb2-4ac>0,

所以4ac-b2<0,

所以C选项正确；

D、当x>・l时，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x增大而增大，

所以D选项错误.

故选：C.

【点睛】

本胭考查了二次函数图象与系数的关系，解决本题的关键是掌握二次函数的性质.

二、填空题

11.4的算术平方根是.

【答案】2.

【解析】

试题分析：・・・22=4，，4算术平方根为2.故答案为2.

考点：算术平方根.

12.如图，BA1AC,CD〃AB,BC=DE,且BC_LDE,若AB=5,CD=8,贝AE=.

【答案】3

【解析】

【分析】

证明aABCg/XCED(AAS),得出AB=CE=5,AC=CD=8,即可得出答案.

【详解】解：VBA1AC,CD〃AB,

ACD1AC,ZB=ZDCB,

・・・NA=NDCE=90。，

VBC±DE,

・•.ZDCB+ZCDE=ZDCB+ZACB=90°,

・•・ZACB=ZCDE,

在aABC和ACED中，

；ZA=ZDCE

・・•<NACB=ZCDE,

BC=DE

L

AAABC^ACED(AAS),

.\AB=CE=5,AC=CD=8,

・・・AE=AC-CE=8-5=3；

故答案为：3.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：证明三角形全等是解题的关键.

13.司一直角坐标系中，一次函数y=k,x+b与正比例函数y=k?x的图象如图所示，则满足k,x+b>k2x的x

取值范围是.

【答案】x<-3

【解析】

【分析】

观察函数图象得到当烂・3时，直线h：yi=k1x+b都在直线b：y2=k?x的上方,即yi>y2.

【详解】解：当烂-3时，直线h：y1=kix+b都在直线I2：y2=k2X的上方,即k|X+b>k2X.

・•・满足k,x+b>k2x的x取值范围是x<-3,

故答案为：x<-3.

【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数了=奴+。

的值大于（或小于）0的自变量X的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线>=辰+6在X轴上（或

下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合.也考查了观察函数图象的能力.

14.如图，在菱形ABCD中，按以下步骤作图：

①分别以点A和B为圆心，以大于gAB的长为半径作弧，两瓠相交于点E、F；

②作直线EF交BC于点G,连接AG；若AGJ_BC,CG=3,则AD的长为_______.

【答案】6+3加

【解析】

【分析】

由作法得到EF垂直平分AB,根据线段垂直平分线的性质得到AG=BG,根据等腰直角三角形的性质得到

AB=y/2AG,设AG=BG=x，则AB=J]x,根据菱形的性质即可得到结论.

【详解】

解:由作法得EF垂直平分AB,

・・・AG=BG,

VAG1BC,

•••△ABG是等腰直角三角形，

AAB=72AG,

设AG=BG=x,则AB=0x,

•・•四边形ABCD是菱形,

AB=BC=y/2x,

VCG=3,

，BC=x+3=y/2x,

解得：x=3（0+1）,

；・AD=AB=6+3后，

故答案为：6+30.

【点睛】

本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作己

知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）.也考查了菱形的性质和解直角三

角形.

三、解答题

,1,4

15.（I）计算：・「+（一）"1x--|1-2cos30°|；

373

5x-6„2（x+3）®

（2）解不等式组：\xx-1^.

--!<---②

143

【答案】（1）36；（2）-4<x<4.

【解析】

【分析】

（1）先计算乘方、负整数指数累、分母有理化、代入三角函数值，再计算乘法和绝对值符号内的运算，继

而去绝对值符号，最后计算加减可得；

（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集.

【详解】解：（1）原式=-l+3xWI-|1-2x@|

32

=-1+473-H-V3I

=-1+473-（x/3-I）

=・1+4百-V3+I

=3也；

（2）解不等式①，得：x<4,

解不等式②，德：x>-4,

则不等式组的解集为-4<x".

【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不

到”的原则是解答此题的关键.

X1.x+\\—xf—

16.先化简，再求值:百xf八

x2-2x+\1

【答案】寸2s

【解析】

【分析】

把分式的分子、分母分解因式，再把除法化为乘以，约分，然后代入X的值计算即可.

X2-].X4-1\-x

【洋解】解：原式=

X2-2X+1'x-\\+x

(x一])(x+l)x-lx-\

(x-1)2x+\+x+\

=1+----,

x+\

_x+l+x-1

尤+1

2x

~7+\f

当x=&-1时，原式=坐二D=吗二=2-应.

a-1+1夜

【点睛】本题考查了分式的化简求值，分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分

解；除法要统一为乘法运算.

17.2020年春节联欢晚会传承创新凫点多，收视率较往年大幅增长.成都高新区某学校对部分学生就2020

年春晚的关注程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如图所示的两幅尚

不完整的统计图（其中A表示“非常关注”：B表示“关注”；C表示“关注很少”；D表示“不关注”）.

4人数

B

A

30

30m%

20155,

104

r-iII..

0t

ABCD关注程度

请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题:

（1）直接写出m；估计该校1800名学生中“不关注”的人数是人;

（2）在一次交流活动中，老师决定从本次调查回答“关注”的同学中随机选取2名同学来谈谈他们的想法,

而本次调查回答“关注”的这些同学中只有一名男同学，请用画树状图或列表的方法求选取到两名同学中刚好

有这位男同学的概率.

【答案】（1）25；330；（2）1

【解析】

【分析】

（1）首先求出总人数,再由A的人数即可求出m的值；求出D的人数即可补全条形统计图;

（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽到1个男生和I个女生的情

况，再利用概率公式求解即可求得答案.

【详解】解：（1）•・•了解很少的有30人,占50%,

・•・接受问卷调查的学生共有：30-50%=60（人）；

15

.•・m%=—xl00%=25%,

60

60_]5-4_30

该校1800名学生中“不关注”的人数是1800X---------------------=330（人）；

60

故答案为：25,330；

（2）由题意列树状图:

由树状图可知，所有等可能的结果有12种，选取到两名同学中刚好有这位男同学的结果有6种,

・•・选取到两名同学中刚好有这位男同学的概率为刍

122

【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图.用到的知识点为：概率=所

求情况数与总情况数之比.

18.成都市天府一南站城市立交桥是成都市政府确定的城建标志性建筑，如图是立交桥引申出的部分平面图,

测得拉索AB与水平桥面的夹角是37。，拉索DE与水平桥面的夹角是67。，两拉索顶端的距离AD为2m,

3312

两拉索底端距离BE为10m,请求出立柱AC的长.(参考数据tan37°--,sin37°--,cos37°---tan67°~—,

【答案】立柱AC的长为10m.

【解析】

【分析】

设CE=xm,则BC=(10+x)m,解直角三角形即可得到结论.

【详解】解：设CE=xm,则BC=(10+x)m,

在RtZ\CDE中，VZDEC=67°,

12

/.CD=CE*tan67°=—x,

5

在RtZ\ABC中，VZB=37°,

3

r.AC=BC-tan37°=-x(10+x),

4

312

Z.AD=AC-CD=-x(10+x)——x=2,

45

解得：*=与

J

1210

AAC=AD+CD=2+—x—=10(m),

53

答：立柱AC的长为10m.

【点睛】本题考杳了解直角三角形的应用；由三角函数求出BC和CO是解决问题的关键.

19.如图，一次函数y=x+b的图象与反比例函数y=—(k为常数且20)的图象交于A(-1,a)、B两点,

与x轴交于点C(-4,0).

(1)求一次函数和反比例函数的表达式；

(2)若点D是第四象限内反比例函数图象上的点，且点D到直线AC的距离为50,求点D的横坐标.

3

【答案】(1)y=x+4；y=-----；(2)点D的横坐标x=±C+3.

x

【解析】

【分析】

(1)将点C坐标代入丫=乂+15可得其解析式，将A的坐标代入一次函数和反比例函数解析式可得k的值，

从而得出反比例函数解析式；

(2)过点D作DE〃AC交x轴于点E,过点E作EFJ_AC于点F,设直线DE的解析式为y=x+m,EF=

5垃,由题意得出CO=GO=4知CE=&EF=10,E0=6,从而得E(6,0),将E(6,0)代入y=x+m

3

y=—

中得m=-6,从而得出y=x-6,联立J，x解之可得答案.

y=x-6

【详解】解：(1)将C(-4,0)代入y=x+b,得b=4,

・•.一次函数的表达式为y=x+4,

kk

将A(-1,a)代入y=x+4,y=一中，得：a=-1+4,a=一,

x-I

；・k=-3,

3

・•・反比例函数的表达式为丫=--：

x

(2)过点D作DE〃AC交x轴于点E,过点E作EFJ_AC于点F,

；・设吏线DE的解析式为y=x+m,EF=5&,

'.*y=x+4,x=0时,y=4,

AG(0,4),

又C(-4,0),

ACO=GO=4,

又NGOC=90。，

；・ZGCO-45%

又：EF_LAC,

.\CE=V2EF=10,

.,.EO=EC-CO=6,

・・・E(6,0),

将E(6,0)代入y=x+m中，得：m=-6,

.•・y=x-6,

3

y——

联立，X,

y=x-6

解得x=±6+3,

・•・点D的横坐标为遥+3或-加+3.

【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式及根据解

析式求直线与双曲线交点坐标的能力.

20.如图，四边形ABCD内接于。O,对角线AC、BD相交于点F,AC是。。的直径，延长CB到点E,连

接AE,ZBAE=ZADB,AN1BD,CM1BD,垂足分别为点N、M.

(1)证明：AE是0O的切线；

(2)试探究DM与BN的数量关系并证明；

(3)若BD=BC,MN=2DM,当AE=J^H寸，求OF的长.

>/14

【答案】（1）证明见解析；（2）DM=BN；证明见解析；（3）0F=

"I"

【解析】

【分析】

(1)由圆周角定理得出N4DC=90°,NBAC=NBDC,得出/AOB+N8OC=90。，证出

NHAE+NB4C=90。，得出AE_LAC,即可得出结论;

（2）证△DMCSMW,得出生.=££,证AAOCSAVW,得出42=C2,即空=色，进而得出结

ANADANBNANAD

论；

（3）由（2）知血的，则砌必，设,IM到a=，则MV=2,BM=DN=3a,BD=BC=4。,

由勾股定理得出CW=,证AAQVs加。，得出金与="^1=学=],求出AN=32a,A3=4@a,

ABBC4（i477

AC=""a,由AB=AExcosNEAB==也二,求出。=工，得出AC=VT^，证

72782

MNFsbCMF,求出。/=[4。=上13，即可得出答案.

1010

【详解】解：（1）证明：・・・AC是口。的直径，

/.Z4DC=90°,

NAO8+4QC=90°,

VABAC=ZBDC,/BAE=NADB,

ZBAE+ZBAC=90°,即NC4E=90。，

...AE1AC,

AE是口。的切线；

(2)解：DM=BN,理由如下：

VANA.BD,CM1BD,ZADC=90°,

/.ZAND=ZANB=Z.DMC=ZADC=90°,

...ZADN十Z.MDC=Z.MCD+Z.MDC=90°,

ZADN=NMCD,

ADMCS—ND,

.DMCD

"~AN~^Df

•.•NABN=ZACD,NANB=ZADC=90°,

/.MDCsgNB,

ADCDBNCD

•・,Kn|iJl,

ANBNANAD

.DMBN

"俞一俞’

/.DM=BN；

(3)解：由(2)知DM=BN,则6M=ON,

设DM=BN=a,

•.•MN=2DM,BD=BC,

MN=2a,BM=DN=3a,BD=BC=4a,

NBMC=90°,

CM=4BC2-BM2=3)2-(女厅=41a，

・・・AC是口。的直径，AN工BD,

NABC=NAND=900,

ZADB=ZACB,

：.AAONSMCA,

.ANDN3a3

…Afi-BC"4^-4'

设AN=3〃，AB=4b(b>0),

NANB=ZAZ?C=90°,BN=a,

AN2+BN2=AB2,即(3b)2+/=(4b)2,

解得：b=^-a,

7

AZ33.a4x/7

77

'：BC=4a,

...AC=yjAB2+BC2=/用了+(4/=浮1

cosZACB=cosZ.ADB=cos/.EAB==—If.=

AC8V144

——a

7

•/AE=41，

:.AB=AEWEAB=&呼=与二埠a,

7

8

/.AC=J\4>

考'

£ANF=ZCMF=90°,ZAFM=/MFC,

MNFskCMF,

3币

：.AFAN_^~a_3,

~CF~~MC~-7

”7“7vlz

1()10

714A/14

----=---・

25

【点睛】本题是圆的综合题目，考查了切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理、

三角函数定义等知识；本题综合性强，熟练掌握切线的判定和旧周角定理，证明三角形相似是解题的关键.

四.填空题

21.若实数a满足2尸=a-I,且0<a<K，则a

3

【答案】-

2

【解析】

【分析】

先确定G<2,所以由已知得。<2,可化简二次根式2)2=2-〃,解方程计算即可.

【详解】解：V^-2)2=a-1.口0<a<6.

/.2-a=a-1,

3

.*.a=一,

2

3

故答案为：

2

【点睛】本题主要考查的是二次根式的化简，解一元一次方程，掌握二次根式的性质是解题的关键.

22.已知xi，X2是关于x的一元二次方程x?・(2m-l)x-：=0的两个实数根，且x1-x?=1,则m=_____.

4

【答案】；

【解析】

【分析】

1[x=m

先根据根与系数的关系得出X|+X2=2m-I①，X1X2=-：②，结合X1-X2=1求出<x,将其代入

4[x2=m-\

②求解可得.

【详解】解：根据题意知x1+x2=2m-1①，x,x2=-；②，

4

VX1-X2=l③，

x.=m

由①③，得：〈[,

x2=tn-\

代人②，得：m(m-I)=--,

4

解得m=y,

故答案为：—.

【点睛】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握％,当是一元二次方程欠2+〃x+c=0(a#())

bc

的两根时，％+x,=-—，%元=一.

aci

23.如图，在等边AABC内任取一点D,连接CD,BD得到ACDB,如果等边AABC内每一点被取到的可

能性都相同，则4CBD是钝角三角形的概率是_____.

A

C

【答案】

218

【解析】

【分析】

由题意通过圆和三角形的知识画出满足条件的图形，分别找出满足条件的点集对应的图形面积及图形的总

面积，再根据概率公式即可得出答案.

【详解】解：如图，取BC的中点0,以0为圆心，BC为直径画半圆，交AB于E,连接0E,

当D在半圆上时，ZBDC=90°,

•••△CBD是钝角三角形时，只能/BDCA90。,

工点D落在如图所示的半圆O内时，ACBD是钝角三角形,

设等边三角形的边长为2a,

半圆的面枳为二）

2

2

等边4ABC的面积是a，

百

6(W2

\f3a2--7ra2-2--------------a_1&

・•・满足NBDO90。的概率是23604

218

岛2

・•・ACBD是钝角.三角形的概率1-4红

218

【点睛】此题考查了等边三角形和概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

24.如图，直线1与反比例函数y=—（k和）的图象在第二象限交于B、C两点，与x轴交于点A,连接OC,

x

NACO的角平分线交x轴于点D.若AB：BC：CO=1：2：2,Z\COD的面积为6,则k的值为

【解析】

【分析】

根据已知比设A8=x,BC=CO=2x,如图I,过。作/〃，交0C于E,根据角平分线的定义和

平行线的性质得：4DCE=/CDE,所以OE=CE,由AOOESAAOC,列比例式，可得6x—5〃=0,

。=4大，根据同高三角形面积的比等于对应底边的比可得AAOC的面积为15,如图2,过力作36_1,尤轴

于G,过c作C77_Lx轴于〃，证明A/WGS&4C〃，得型=_1,设及；=b,CH=3b,表示B4,b),

CH3b

C(4，3勿，根据三角形面积列式可得结论.

3b

【详解】解：•.KB:8C:CO=1:2:2,

.•.设=BC=CO=2x,

图1

AACD=ZCDE,

・.・。。平分/4。0,

ZACD=ZDCE,

Z.DCE=Z.CDE,

/.DE=CE,

设DE=a,则CE=a,OE=2x-a,

•.・DE//AC,

ADOE^AAOC,

DEOEa2x-a

--=---,即rln—=-----

ACCO3x2x

A(6X-5a)=0,

•・•XW0,

/.6.v-5«=0,a=—x,

5