四边形综合练习-一模二模-练习-答案

四边形综合练习

一、解答题

I.如图，在A4C。中，AE平分/碗2交8c于点£3户平分ZA8C,交AO于点

F、AE与所交于点尸，连接EEPO.

（1）求证：四边形A3M是菱形；

（2）若A8=6,4。=9,ZABC=60°,求NDCP的度数及W/NCOP的值.

【答案】（1）见解析；（2）90°,在

2

【解析】

【分析】

（1）根据平行四边形和角平分线的性质可得AB=AF,AF=BE,从而证

明四边形尸是菱形；

（2）过尸作P〃_LA。于，，交8c于G,由含30°角的直角三角形的性质得

AP=；A8=3,FP=BP=3&,AH=|,PH=gpF=^~,则

DH=AD-AH=^,再由勾股定理求出P。、PC的长，证出APCQ是直角三角形，

ZDCP=90°,即可解决问题.

【详解】

解：（1）证明：四边形A3C。是平行四边形，

AD//BC.

:.ZDAE=ZAEB.

,JAE平分ZfiAD,

.\ZDAE=ZBAE.

;.ZBAE=ZAEB.

AB=BE.

同理：AB=AF.

:.AF=BE.

四边形A皿犷是平行四边形.

AB=BE,

.•・四边形ABM是菱形;

(2)解：过。作于〃，交BC于G,如图所示:

则G，_LBC,

四边形AAEF是菱形，NA4c=60。，A8=6,

..AB=AF=6tAE1BF,BP=FP,ZABF=ZAFB=30。,

:.AP=-AB=3,FP=BP=J^AP=36,

315

：.DH=AD-AH=9--=—,

22

PD=^PH2+DH2=3+(岁=3币,

同理：PG=PH=^-,BG=&G=\

22

四边形A8CQ是平行四边形,

..CD=AB=6,BC=AD=9,

9

：.CG=BC-BG=-,

2

，PC=4PG?+CG?=’(¥)?+(|)；=3N/5，

PC2+CD2=PD2,

.•.APCO是直角三角形，ZDCP=90°,

本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、含义尸

角的直角三角形的性质、勾股定理以及锐角三角函数定义等知识；熟练掌握菱形的判

定与性质是解题的关键.

2.如图，四边形A8CO是矩形，点?是边8C上一点，AE±EI).

（1）求证：AABESAECD；

（2）/为AE延长线上一点，满足针=£4,连接。尸交BC于点G.若

AB=2,BE=1,求GCH勺长.

3

【答案】（1）证明见解析；（2）y.

【解析】

【分析】

（I）由矩形的性质和苴直的定义，得到々-NC-90。，43AEXED,即可得到结论

成立；

（2）由相似三角形的性质和矩形的性质，求出EC=4,BC=5,再证明

AFD^>EPG,再利用相似三角形的性质，即可求出GC的长.

【详解】

（1）证明：

.・.四边形A6CO是矩形.

/.Ztf=ZC=90°.

/.NBAE+ZAEB=900.

*/AEA.ED,

，ZAED=90°.

ZAE^+ZCED=90°.

/.4BAE=4CED.

工ABEs.ECD.

(2)解：•・•由(1)△ABEs^ECD,

.ABEC

•・•矩形A8CO中，CD=AB=2,BE=1,

，EC=4.

••・BC=BE+EC=5.

,?AD//BC,

:…AFAEFG.

,ADAF

**~EG~~EF'

,:AE=EF,

，AF=2EF.

A—=2,^EG=-AD=-BC=~.

EG222

：.CG-EC-EG--.

2

【点睛】

本题考杳了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，余角的性质，以及垂直的定义,

解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，正询的进行解题.

3.在平行四边形ABC。中，过点。作。及LA8于点E,点〃在边C。上，DF=BE,

连接人尸，BF.

(1)求证：四边形BFDE是矩形；

4

(2)若C尸=6,tanC=§,DC=16,求证：A尸平分NDAB.

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析

【解析】

【分析】

（1）先求出四边形/"DE是平行四边形，再根据矩形的判定推出即可；

4

（2）由三角函数定义求出8/=§。〃=8,由勾股定理得出5c=10,由平行四边形的

性质得出入8〃C。，AD=BC=\0,则NBA产=N。物，证4。=。/，则/。人尸=

ZDFA,得出NBA尸=/。人/即可.

【详解】

解：（1）证明：二•四边形ABCO是平行四边形，

：.AB//DC,

，：DF=BE,

・•・四边形97犯是平行四边形，

*：DE±ABt

工/。协=90°,

・••四边形外YM是矩形：

（2）证明：•・•四边形是矩形，

：・NBFC=NBFD=90。,

4BF

VCF=6,tanC=-=——，

3CF

4

：.BF=-CF=S,

3

BLyjl3F2+CF2~782+62=1。，

•・•四边形48CD是平行四边形,

:.AB〃CD,AD=BC=\0,

：・NBAF=NDFA,

VDC=I6,

；.DF=DC・CF=16・6=10,

：,AD=DF,

：.ZDAF=ZDFA,

：.ZBAF=ZDAFt

，AF平分NDA氏

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，解直角三角

形，平行线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，掌握以上知识是解题的关

键.

4.如图，在.A8c中，CD平分NACB,CD的垂直平分线分别交AC,DC,BC于点

E,F,G,连接DE,DG.

(1)求证：四边形DGCE是菱形；

(2)若NACB=30°,NB=45。，ED=2,求BG的长.

【答案】(1)见解析；(2)1+75

【解析】

【分析】

(1)由角平分线的性质和垂直平分线的性质可证NEDC=NDCG=/ACD=NGDC,可

得CE〃DG,DE〃GC,由菱形的判定可证结论；

(2)过点D作DH_LBC,由菱形的性质可得DE=DG=2,DG〃EC,由直角三角形的

性质可得BH=DH=1,HG=V5DH=73，即可求BG的长.

【详解】

解：(1)・・・CD平分NACB,

.\ZACD=ZDCG,

「EG垂直平分CD,

ADG=CG,DE=EC,

AZDCG=ZGDC,ZACD=ZEDC.

JZEDC=ZDCG=ZACD=ZGDC,

ACE/7DG,DE〃GC,

:.四边形DECG是平行四边形，且DE=EC,

・•・四边形DGCE是菱形；

(2)如图，过点D作DHJ_BC,

•・•四边形DGCE是菱形，

・・・DE;DG=2,DG〃EC

.,.ZACB=ZDGB=30°,且DH_LBC,

ADH=1,HG=VJDH=",

VZB=45°,DH1BC,

AZB=ZBDH=45°,

ABH=DH=1,

ABG=BH+HG=l+73.

【点睛】

本题考查了菱形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，直角三角

形的性质，热练运用菱形的判定和性质是本题的关键.

5.如图，四边形/WCZ）为矩形，点“为边/W上一点，连接。Z?并延长，交CZ?的延

长线于点P，连接布,4DPA=24DPC.求证：DE=2PA.

【答案】见解析.

【解析】

【分析】

如图，取DE的中点F,连接AF,根据矩形的性质得到AD〃BC,求得

ZDPC=ZADP,根据直角三角形的性质得到AF=DF=^DE,求得/ADP二/DAF,等

量代换得到结论.

【详解】

证明：如图，取。E的中点F,连接AF,

•・•四边形48C。为矩形,

J.AD//BC,

，ZDPC=NADP,

VZBAD=90°,

:.AF=DF=*DE,

：.ZADP=ZDAF,

・•・NAFP=2NADP=2NDPC,

*：ZDPA=2ZDPC,

：.ZDPA=ZAFP,

：.AP=AF=^DEt

：.DE=2PA,

【点睛】

本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线

是解题的关键.

6.如图，口ABCD中，点E,F分别在边BC,AD上，BE=DF,ZAEC=90°.

（1）求证：四边形AECF是矩形；

（2）连接BF,若AB=4,ZABC=60°,BF平分NABC,求AD的长.

BEC

【答案】⑴见解析；（2）6.

【解析】

【分析】

（1）先根据平行四边形的性质得到8C=AO,BC7/A。，再根据线段的和差可得求得

EC=AF,然后根据平行四边形的判定可得四边形AECF是平行四边形，最后根据矩

形的判定定理即可得证：

（2）先根据直角三角形的性质、勾股定理可求出8E=2,AE=2G，再根据矩形的性

质得到FC±BC,FC=AE=2>/3,然后根据角平分线的定义得到

ZFBC=^ZABC=3（r,最后根据直角三角形的性质、平行四边形的性质即可得.

【详解】

（1）,/四边形ABCD是平行四边形

BC=AD、BCHAD

义•:BE=DF

/.BC-BE=AD-DF,即EC=A厂

・•・四边形AECF为平行四边形

又,:ZAEC=90°

・•・四边形AECF是矩形；

(2)在自中，ZAEfi=90°,ZABE=60°,AB=4

,BE=LAB=2,AE=/AB?-BE2=2石

2

•・•四边形AECF是矩形

，FClBC,FC=AE=2>/3

TBF平分ZA4c

・•・ZFBC=-ZABC=30°

2

在.RfBCF中,ZFCB=90°.AFBC=30°.FC=2x/3

BF=2FC=BC=qBF?-FC?=6

・•・AD=BC=6.

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、直角三角形的性质等知识

点，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键.

7.如图，在中，ZC=90°.

求作：线段CQ,使得点。在线段上，且=

作法：①分别以点A,8为圆心，大于长为半径作弧,两弧相交于点“，N两

点；

②做直线MN,交A8于点。；

③连接C。.

所以线段。。即为所求的线段.

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成卜.面的证明.

证明：'：AM=BM,AN=BN,

・・・MN是A8的垂直平分线.（）（填推理的依据）

，点。是/W的中点.

,/ZC=90°,

：.CD=^AB.（）（填推理的依据）

【答案】（1）作图见解析；（2）线段的垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线等于

斜边的一半.

【解析】

【分析】

（1）根据要求作出图形即可.

（2）根据线段的垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线的性质证明即可.

【详解】

（2）证明：V=AN=BN,

・•・MN是A8的垂直平分线.（一线段的垂直平分线的性质）

，点。是A3的中点.

•/ZC=90°,

,\CD=-AB.（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）

2---------------------------------------

故答案是：线段的垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线等于斜边的一半.

【点睛】

本题考查作图-夏杂作图，线段的垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线的性质等

知识，熟练掌握基本知识是解题的关键.

8.如图，在.A8C中，A13=AC,AD1BC,垂足为。，过点A作4E〃8C,且

AE=BD,连接踮，交AD于点、F,连接CE.

(1)求证：四边形ADCE为矩形；

(2)若CE=4,求人尸的长.

【答案】(I)见解析；(2)2

【解析】

【分析】

(1)先证明四边形AOCE是平行四边形，由ADLAC得到N40090。，实现解题目

标；

(2)由四边形AQCE是矩形，得到A。=CE=4,根据AE〃8C,得至IJNE4G/BDG

/AEF=/DBF,且AE=8O,得到△AEFgaOBF,得至ijA”=£>F=,AO=2.

2

【详解】

(1)VAB=AC,AD±BC,

：,BD=DC,NAOG90。，

VAE//BC,且

...AE//DC,AE=DC,

・•・四边形AOCE是平行四边形，

*/ZADC=90°,

・•・四边形人。CE是矩形；

(2)由(1)知四边形AOCE是矩形,

：.AD=CE=4,NEAF=/BDF=90°,

■:AEHBC,

/./AEF=NDBF,

•：AE=BD,

：.AAEF迫4DBF,

：.AF=DF=-AD=2,

2

【点睛】

本题考查了矩形的判定和性质，平行线的性质，三角形的全等，熟练掌握矩形判定和

性质，根据平行线性质灵活证明三角形的全等是解题的关键.

9.如图，在4ABe中，。是AB边上任意一点，E是BC边中点，过点C作A8的平行

线，交DE的延长线于点F,连接8凡CD.

(1)求证：四边形COB尸是平行四边形；

(2)若NFO3=30。，乙48c=45。，BC=46,求。尸的长.

【解析】

【分析】

(1)欲证明四边形CQB尸是平行四边形只要证明。尸〃。&=DB即可;

(2)如图，作EM_LOB于点M,解直角三角形即可；

【详解】

(1)证明：•:CF〃AB、

：.ZECF=NEBD.

YE是BC中点，

：・CE=BE.

•:/CEF=/BED,

:.△CEF@4BED.

：.CF=BD.

・•・四边形CQBQ是平行四边形.

(2)解：如图，作EM_L/5B于点M,

•・•四边形88户是平行四边形，BC=4垃,

，BE=-BC=2x/2,DF=2DE.

2

在R3EMB中，BE*sinNABC=2,

在Rl>EMD中，•・•ZEDM=30°,

：.DE=2EM=4,

：,DF=2DE=S.

【点睛】

木题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形30度

角性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属亍

中考常考题型.

10.如图，在矩形A3CD中，对角线AC,8。相交于点O,过点、C作CE//BD,交

AO的延长线于点E.

(1)求证：ZACD=ZECD；

(2)连接。E,若48=2,心〃NACD=2,求0£的长.

【答案】(1)见解析；(2)历

【解析】

【分析】

(1)先证明四边形BCED是平行四边形，得至lj8D=CE=AC,再利用等腰三角形的性

质即可证明；

(2)解：过点。作O「_LA。于点R求得A8=CD=2,AD=BC=DE=4f再求得。尸

=1,EF=6,利用勾股定理即可求解.

【详解】

(1)证明：•・•四边形48。是矩形，

：.AC=BD,NA/)C=90。，BC//DE,

'：CE//BD,

・•・四边形BCEO是平行四边形，

/.BD=CE,

/.AC=CE,

・•・ZACD=NECD；

（2）解：过点O作O匠_L/\。于点凡则尸为4。的中点.

•・•四边形A8CO是矩形.对角线AC,B。相交于点。，且A8=2,s〃NACZ）=2,

AH

：.AB=CD=2,AD=BCtanZACD=—=2,OB=OD,

fCD

：.AD=4,

由（1）知四边形8CE0是平行四边形，

；・AD=BC=DE=4,

•：OB=OD,OFLAD,

/.OF=-AB=\,EF=DE+-AD=6,

22

,OE=y]OF2+EF2=437•

【点睛】

本题考查了矩形的性质,平行四边形的判定与性质，锐角三角函数的应用，熟记各性

质并求出四边形3C£。是平行四边形是解题的关键.

11.已知：如图，在菱形A8CQ中，4£_LAO于点E延长AO至凡使DF=AE,

连接b.

（1）求证：四边形EBC尸是矩形；

3

（2）若sin/A=g,CF=3,求A尸的长.

【答案】（1）证明见解析；（2）AF=9.

【解析】

【分析】

（1）先证明四边形是平行四边形，再由3E_LAD可得四边形£BC/是矩形;

3

（2）由《门/4二^及^^^可得/^的值，由勾股定理可得AE及。产的值，再由菱形

性质得至IJA。=A3=5,即可得至ljAr的值.

【详解】

解：（1）证明：•••菱形48C£>,

：,BC//AD,JiBC=AD.

,/DF=AE,

/•DF-^ED^AE+ED,BREF=AD,

：.BC//EF,H.BC=EF.

，四边形E3b是平行四边形，

又庞:_LA£>,

,NBEF=9。。,

・••四边形EBC产是矩形；

a

（2）中，sinZ4=-,

5

.BE3

••----=—,

AB5

又BE=CF=3,

：,AB=5,

：・AE7AB2_BE2=4,

：,AE=DF=4,

•・•四边形A8CO是菱形，

：.AD=AB=5f

：.AF=AD+DF=5+4=9.

【点睛】

本题考查菱形与矩形的综合应用，熟练掌握矩形的判定与性质、菱形的性质及勾股足

理的应用是解题关键.

12.己知：ABC,CO平分NAC8.

求作：菱形。FCE,使点尸在BC边上，点E在AC边上，下面是尺规作图过程.

作法：①分别以C、。为圆心，大于为半径作弧，两弧分别交于点M、N；

②作直线MN分别与AC、BC交于点E、F；

③连接。E、DF,0c与七厂的交点记为点G；四边形OFCE为所求作的菱形.

A

（i）利用直尺和圆规依做法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：DE=EC,DF=FC,

/.EF为DC的垂直平分线.

•:DE=EC,

:.4EDC=NECD.

CDT分乙心,

/.ZECD=ZDCB.

:"EDC=/DCB,

//（）（填推理依据）

同理可证即〃CE,

二•四边形。/CE为平行四边形.

又；,

••・四边形OFCE为菱形.

【答案】（1）作图见解析；（2）DE；FC；内错角相等，两直线平行；DE=EC（或

DF=FC）.

【解析】

【分析】

（1）根据题FI作法可以得到求作图形；

（2）由题意可以推得四边形。FCE为平行四边形，再由。殳EC可以得到四边形

DFCE为菱形.

【详解】

（1）根据题目作法可以得到下面图形：

A

其中四边形OPCE为所求作的菱形；

（2）证明：•.DE=EC,DF=FC,

EF为DC的垂直平分线.

\-DE=EC,

:.4EDC=/ECD.

•••CZ）平分ZAC8,

?.ZECD=ZDCB.

:"EDC=ZDCB,

-DE//FC（内错角相等，两直线平行）（填推理依据）

同理可证。厂//CE,

二•四边形。/CE为平行四边形.

又DE=EC,

••・四边形。FCE为菱形.

故答案为。氏FC：内错角相等，两直线平行；。斤EC（或。辰R7）.

【点睛】

本题考查菱形的判定及作图，熟练掌握菱形的判定方法及作图要领是解题关键.

13.如图，四边形A5CD是平行四边形，过点4作AE_L3C交CA的延长线于点E,点

产在8c上，且CF=BE,连接O厂.

（1）求证：四边形是矩形；

（2）连接8。，若NA8£>=9（RAE=4,Cf=2,求8。的长.

【答案】（1）见详解；（2）BD=4非

【解析】

【分析】

（1）由题意易得A8=DC,A8〃QC,AQ〃8C,NA即=90。，则有=

NE4D=ZA£B=90。，进而可证贝!有NDFC=4£b=90。，然后问

题可求证；

（2）由（1）可得AD=EF,由勾股定理可得4E=2X/5,设8F=X,则

AD=EF=2+x,进而可得AE=7）/=4,最后根据勾股定理可求解.

【详解】

解：（1）•・•四边形A3CD是平行四边形，

AB=DC,AB/IDC,AD//BC,

，ZABE=NDCF,ZEAD+ZAEB=180°,

,/AEA.BC,

/.ZA£»=90°,

/.ZEAD=ZAEB=90°.

'：CF=BE,

・•・AABEWADCF（SAS）,

ZDFC=ZA£B=90o,

/.ZEAD=ZAEB=/DFE=90°,

，四边形是矩形：

（2）由（1）可得：四/形AEFO是矩形，

1/ARD=90°,AE=4,CF=2,

：.AD=EF=4,CF=BE=2,

・••在RQAEB中，AB=y]AE2+BE2=2x/5»

设8亡X,则AO=E/=2+x,

:.在/</△48。中，由勾股定理可得BD1=AD2-AB2，

在R3DFB中，由勾股定理可得BD2=4尸+。尸，

AD2-AB2=BF2+DF\BP（2+x）2-20=x2+16,

解得：x=8,

BD=4也.

【点睛】

本题主要考查矩形的性质与判定、平行四边形的性质、三角形全等及勾股定理，熟练

掌握矩形的性质与判定、平行四边形的性质、三角形全等及勾股定理是解题的关键.

14.如图，在四边形A6CD中，AB//CD,AB=AD.AC平分NfiAZ）.

（1）求证：四边形是菱形；

（2）若菱形A8C。的边长为13,对角线AC=24,点E、尸分别是边CD、8c的中

点，连接律并延长，与A3的延长线相交于点G,求KG的长.

【答案】（1）见解析；（2）10

【解析】

【分析】

（1）根据题怠可得再根据等角对等边得出A0=DC,然后根据一组

对边平行且相等可证明四边形A8CO是平行四边形，最后根据菱形的判定方法即可得

证；

（2）连接B。，交AC于点。，根据题意得出8=13,AO=CO=12,再根据中位线

的判定及菱形的性质即可证明四边形BOEG是平行四边形，最后根据平行四边形的性

质及勾股定理即可得出答案.

【详解】

解:（1）证明：:AC平分NW£>,AB//CD,

/.ADAC=ABAC,ZDCA=ZBAC,

JZZZ4C=ZDC4,

/.AD=DC,

又,：ABI/CD,AB=AD,

.・.AB//CD,

・•・四边形4BC。是平行四边形,

•/AB=AD,

・•・四边形A8CO是菱形.

(2)连接B。，交4c于点0,如图,

/.CD=13,AO=CO=12,

丁点E、尸分别是边C。、4C的中点，

EF//BD(中位线)，

VAC.是菱形的对角线，

/.ACLBD,OB=OD,

又,：ABHCD,EF//BD,

/.DE//BG,BD//EG

:.四边形BDEG是平行四边形，

/.BD=EG,

在△COD中，•：OC10D,6=13,CO=\2,

•，«Ofi=(9Z)=V132-122=5»

EG=BD=\().

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定及性质、菱形的判定及性质、三角形的中位线的判定及

性质以及勾股定理，熟冻掌握性质定理是解题的关键.

15.如图，在平行四边形A8CO中，过点。作OE_LAC于点的延长线交A3于

点凡过点3作8G//O尸交。。于点G,交AC于点忆过点G作GNJ.O/于点M

AB

(1)求证：四边形NEMG为矩形；

(2)若A3=26,GN=8,sin/C43=9,求线段AC的长.

13

【答案】(1)证明见解析；(2)AC=40.

【解析】

【分析】

(1)根据垂直的定义可得NGNE=NME290。，根据平行线的性质可得NMG290。，

即可证明四边形NEA/G是矩形；

⑵根据sin/C人Z*可求出MB得长，利用勾股定理可求出AM的长，根据平行四

边形的性质可得NCA8=NACQ,利用AAS可证明△ABM也△CQE,可得CE二AM,根

据矩形的性质可得ME=NG,根据线段的和差关系即可得答案.

【详解】

(1)VDELAC,GNIDF,

：.NGNE=NMEN=90。,

•••BG//DF,

；・/MGN+NGNE=l80。,

JNMGN=90°,

，四边形N£MG是矩形.

(2)•・•四边形N£MG是矩形，GN=8,

•••NAM8=N4MG=90°,ME=GN=8,

VsinZCAB=—,AB=26,

13

••.M4=/WsinNGW=IO,

•**AM=yjAB2-MB2=24,

••・四边形ABC。是平行四边形，

：.AB//CD,AB=CD,

：.ZCAB=^ACD,

NBMA=/DEC

在和△COE中，＜NC48=4C。，

AB=CD

AAABAf^ACDE,

：,CE=AM=24,

・•・AC=AM+CE-ME=24+24-8=40.

【点睛】

本题考杳矩形的判定与性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质及解直角

三角形，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键.

16.如图，R/AABC中，ZABC=90°,D是AC的中点，连接80,过点C作

CE//BD,过点B作BE//AC两直线相交于点E.

(1)求证：四边形。腕。是菱形；

(2)若4=30。,9。=2,求四边形。BEC的面积.

【答案】(1)见解析；(2)2G.

【解析】

【分析】

(1)根据两组对边平行和直角三角形斜边中线等于斜边一半即可证出

(2)连接。E交3c于F,先根据直角三角形性质和菱形性质先求出NC。厂,根据已

知边长，求出。E，CF,进而求出四边形瓦?面积.

【详解】

(1)证明：

过点C作CE//BD,过点B作BE//AC

••・四边形BECD是平行四边形

在R3ABC中，

VZABC=90°,D是AC中点

ABD=DC

..・四边形8ECQ是菱形；

(2)连接DE交BC于F,

四边形8ECO是菱形；

/.NDFC=9()o、CF=BF

J.DFHAB

•.ZA=30°,BC=2

ZCDF=30°,CF=1

DC=2,DF=C

DE=2x/3

【点睛】

本题考察了直角三角相关性质和菱形判定和性质等知识点，准确记住相关的判定和性

质是解题关键.

17.如图，矩形A8CZ）中，对角线AC与4。相交于点。。石/”C交的延长线于

点E.

（1）求证：ZADB=NE；

4

（2）若4。=4,cosZADB=-t求AO的长.

【答案】（1）见解析；（2）AO=|.

【解析】

【分析】

（I）由矩形的性质和平行四边形的判定定理推知四边形人CE。是平行四边形，则由该

平行四边形的性质证得从而证得结论：

（2）由三角函数的定义求得4C=BZ>5,再由矩形的性质进行解答即可.

【详解】

解：（1）如图，在矩形A8CO中，AC=BD,AD//BC,且

*：AD//BC,

/.ZADB=ZDBE,AD/7CE.

\*DE//AC,

・•・四边形ACE。是平行四边形，

：,DE=AC.

：.BD=DE,

：.4DBE=4E,

・•・NADB二NE；

4

(2)VAD=4.cosZADB=-,

.AD4

••----=—，

BD5

：,BD=5,

由矩形的性质知，AC=BD=5,AO=CO=^AC,

：,A0=-.

2

【点睛】

本题考查了矩形的性质.锐角三角函数，解题时，充分利用了矩形的对角线相等、矩

形的对边平行且相等的性质.

18.如图，在cA4c。口，AC,BD交于点0,且AO=4O.

(1)求证：四边形48co是矩形；

3

(2)N8DC的平分线DM交8c于点当A9=3,tan/D8C=一时，求CM的

4

长.

【解析】

【分析】

(1)由平行四边形性质和已知条件得出AC=8O,即可得出结论；

(2)过点M作MG_L6。于点G,由角平分线的性质得出MG=MC.由三角函数定

义得出3c=4,sinZACB=sinZDBC.,设CM=MG=x,则3M=4-x,在

RiABMG中,由三角函数定义即可得出答案.

【详解】

证明：(1)四边形A"CO是平行四边形，

/.AC=2A0,BD=2BC).

-AO=BO,

AC—BD.

MA8C。为矩形.

(2)过点M作MG_L6£＞于点G,如图所示：

ZDCB=90,

:.CMA.CD,

:DM为/BDC的角平分线，

：.MG=CM.

()B=OC,

：.ZACB=NDBC.

3

AB=3,tanZ.DBC=—,

4

3AR

(anNACB=(anNDBC=-=—.

4BC

：.BC=4.

______________4B3

：.AC=BD=yjBC2+CD1=V32+42=5，sinZAC5=sinZDBC=—=-.

AC)

设C“=MG=x,则8M=4-x,

在△HMG中，NBGM=90。,

Y3

/.sinZDBC=—

4-x5

3

解得：x=9，

2

3

2

【点睛】

本题考查了矩形的判定与性质、角平分线的性质、勾设定理、三角函数定义等知识；

熟练掌握矩形的判定与性质和三角函数定义是解题的关键.

19.如图，在四边形A6CQ中，NBCD=90。,对角线AC,8。相交于点N,点M是对

角线BD中点,连接AM,CM.如果AM=OC,AB_LAC,且48=AC.

(1)求证：四边形/WCO是平行四边形.

(2)求tanNOBC的值.

【答案】(1)见解析；(2)1

【解析】

【分析】

(1)根据AM=DC证明AM//DC即可：

(2)根据等腰直角三角形特点，延长AM构造中位线即可解题.

【详解】

(1)证明：

*/ZDCB=90°

在RADCB中，点M为DB中点、

：.MC=-BD=BM

2

•・•在3ABe中，AB=AC

・•・ABM^ACM

/.Z/MM=ZC4M

/.AMA.BC

,/NDCB=90°

/.AM//DC,

AM=DC

・•・四边形AMC。是平行四边形

（2）延长A例，交BC于点Q,

*/AMLBC

：,AM//DC

IM是8。中点,

・•・MQ=；DC

又：AM=OC

/.MQ.AM

中，AB=AC,AMIBC

・•・AQ=BQ

tanNDBC=^=L

BQ3

【点睛】

本题考查宜角三角形斜山中线及中位线，解题的关键是熟记平行四边形判定定理及三

角函数解题策略.

20.如图，在4A8c中，AC=BC,为.A8C的角平分线，AE//DC,AE=DC,

连接CE.

（1）求证：四边形A/X石为矩形：

（2）连接OE,若AB=10,CD=12,求OE的长.

【答案】（1）见解析；（2）13

【解析】

【分析】

(I)利用一组对边平行且相等的判定方法先判定其为平行四边形，再利用有一个角为

直角的平行四边形是矩形判定即可：

(2)根据(1)中证明出的四边形ADC石为矩形，利用勾股定理求出4C的长度，进而

利用矩形对角线相等的性质，可以得出力E=AC=13.

【详解】

(1)证明：如图.

•・,AEUDC、AE=DC,

・•・四边形ADC£为平行四边形.

•・•在oABC中，AC=BC,CO为乙ABC的角平分线，

・・・CO_LAB,

/.ZAZX?=90°.

，四边形A/X7T为矩形.

(2)解：•••AC=AC,。。为乙ABC的角平分线，A4=10,

AD=—AB=5.

2

在川△AC。中，ZADC=90°,AD=5,8=12,

AC=Jm+CD2=752+122=13.

•・•四边形AZXE为矩形，

/.DE=AC=\3.

【点睛】

此题考杳了平行四边形、矩形的判定以及直角三角形的性质、勾股定理等内容，关键

是对这些判定以及性质的运用.

21.如图，在aABC中，N8AC=90。，A。是8C边上的中线，AE//BC,CE//AD.

EI)

4B

(1)求证：四边形AQC£是菱形；

(2)连接BE,若NA8C=30。，AC=2,求BE的长.

【答案】(1)见解析；(2)24

【解析】

【分析】

(1)先利用两组对边分别平行4月〃BC,CE//AD,证四边形ADCE是平行四边

形.利用直角三角形斜边中线性质AZ>8D=C£>.可证四边形4QCE是菱形.

(2)过点E作E”_L助交84的延长线于点H.在心AABC中，由30。直角三角形性

质可求BC=2AC=4,利用勾股定理可求AB二序万=26.进而可求A。，由四边

形AOCE是菱形与AE//8C,可求NEA”=NA8C=30。.在心AAEH中，由三角函数

EH=\,AH=».HB=36在RdBEH中,BE=4(3也『=2币.

【详解】

(1)证明：*：AE//BC.CE//AD,

••・四边形AOCE是平行四边形.

VZBAC=90°,A。是边上的中线，

：.AD=BD=CD.

・•・四边形AOCE是菱形.

(2)解：过点E作E从L8A交84的延长线于点，.

在•△A"?中，NABC=30。，AC=2,

ABC=2AC=4,A8="2_22=28.

：,AD=^BC=2,

•.•四边形AOCE是菱形，

：,AE=AD=2,

*：AEHBC,

：.ZEAH=ZABC=3()Q.

Rt^AEH+,EH=AExsin30°=2x-=l,

2

AH-AEcos30°=2x—=73.

2

在RmBEH中，

8七二JF+（3J5）2=2币.

【点睛】

本题考查菱形的判定与性质，直角三角形斜边中线性质，30。角直角三角形性质，勾股

定理，特殊角锐角三角函数，通过引辅助线构造直角三角形，用勾股定理解决问题是

关键.

22.已如，如图，在AaAC中，AB=AC,4。是BC边的中线，过点A作BC的平行

线，过点B作A。的平行线，两线交于点七，连接DE交AB于点O.

（1）求证：四边形AOBE是矩形；

（2）若RC-8,求四边形八EAC的面积.

【答案】（1）见解析；（2）18

【解析】

【分析】

（1）只要证明四边形是平行四边形，且乙4。6=90。即可;

（2）求出A8、AD,利用梯形的面积公式解答即可.

【详解】

（1）'：AE//BC,BE//AD,

・•・四边形人OBE是平行四边形.

\*AB=AC,A。是3c边的中线,

：.ADA.BC.

即NADB=90°.

••・四边形ADBE为矩形.

(2),・•在矩形AQBE中，A0=~,

2

：.DE=AB=5.

♦・♦。是BC的中点,

：.AE=DB=4,

，根据勾股定理人。=JAB,-16,=3，

S四边㈱/=—(8+4)x3=18.

【点睛】

本题考杳了矩形的判定和性质、等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质等知

识，解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法，属于中考常考题型.

23.如图，已知△A6中，ZACB=90°,£是村5的中点，连接CE,分别过点A,

C作C£和A3的平行线相交于点Q.

(1)求证：四边形AQCE是菱形：

(2)若八3=4,ZDAE=60°,求△AC8的面枳.

【答案】(1)见解析；(2)26

【解析】

【分析】

(1)求证CE=4E,根据平行四边形和菱形的判定证明即可;

(2)根据菱形的性质和直角三角形的性质解答

【详解】

(1)证明：VAD//CE,CD//AE,

・•・四边形ADCE是平行四边形.

•・,NACB=90。，E是AB的中点，

：.CE=AE,

・•・四边形A3石是菱形.

(2)解：AB=4,AE=CE=EB,

：.CE=AE=2.

•・•四边形AZXE是菱形，ZDAE=60°,

AZCAE=30°.

•・•在maABC中，ZACH=90°,NCAE=30。，AB=4f

：.CB=-AB=2,

2

•二AC=S/A82-BC2=273-

^SVACB=^ACBC=2>J3.

【点睛】

此题主要考查了菱形的性质和判定，要求学生能够灵活运用菱形知识解决有关问题.

24.如图，在菱形4BCD中，点E是CD的中点，连接AE,交BO于点F.

(1)求8F：D尸的值;

(2)若A8=2,AE=B求4。的长.

【答案】(1)2：1；(2)

【解析】

【分析】

(1)根据菱形的性质结合相似三角形的判定和性质求解；

(2)根据菱形的性质及勾股定理的逆定理判定N4ED=90。，然后利用特殊角三角函数

值计算求解

【详解】

解：（I）•・•四边形ABC。是菱形,

/.AB//CD,AB=CD.

・••△ABFSRDEF.

.BF_AB

~DF~~DE'

丁点E是CD的中点，

：.AB=CD=2DE.

:.BF：DF=2：1.

（2）连接AC

•••四边形人8CQ是菱形，

：.AB=AD.

•・・AB=2,

，AO=2,DE=\.

AE=Jj,

AD2=AE2+DE2»

.・•NAEO=9()°.

VsinZADE=^~,

2

Z/\DE=60°.

在菱形A8CD中，RD为对角线,

/.NADB二；ZADE=30°.

连接4C,交于点。.

•••四边形ABCQ是菱形，

/.AC1BD,OB=OD.

AO=^AD=\.

在心△AO。中，由勾股定理，得。。=6.

:,BD=2OD=26.

【点睛】

本题考查了解直角三角形，相似三角形的性质和判定，菱形的性质，能综合运用知识

点进行推理和计算是解此题的关键.

25.如图，平行四边形A8C。的对角线AC,BD交于点O,AE_LBC于点E,点、F

在8c延长线上，且CF=BE.

（1）求证：四边形AEFD是矩形；

（2）连接AF,若tanZABC=2,BE=\,AD=3t求A/的长.

【答案】（1）见解析：（2）历

【解析】

【分析】

（1）根据平行四边形的性质得到AQ〃5c且AO=8C,等量代换得到4C=放，推出

四边形4瓦曾是平行四力形，根据矩形的判定定理即可得到结论；

（2）解直角三角形得到AE=lanNABCBE=2xl=2,由矩形的性质得到

ZAD尸=90。.根据勾股定理即可得到结论.

【详解】

（1）证明：

•・•平行四边形ABC。,

AAD//BC,AD=BC,

•:CF=BE,

：,CF-\-EC=BE-\~EC,

即BC=EF,

/.AD//EF,AD=EF,

:.四边形AEFD是平行四边形，

'：AE±BC,

，NAE产=900,

••・四边形AEFD是矩形.

(2)解：在mZiABE中，N4EB=90。，tanZABC=2,BE=\,

•AE

,,----=2,

BE

：.AE=2,

•・•四边形AEFD为矩形.

:,FD=AE=2,ZADF=90°.

*：AD=3,

••・AF=y/AD2+DF2=V32+22=屈•

【点睛】

本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形及勾股定

理，正确的识别图形是解题的关键.

26.如图，在心AABC中，ZACB=90°,D,E分别是边AB,3c的中点，连接。E

并延长到点立使EF=DE,连接CRBF.

(1)求证：四边形C”B。是菱形；

(2)连接AE,若CF=屈,DF=2,求AE的长.

【答案】(1)见解析；(2)V13

【解析】

【分析】

(1)证明四边形CFBZ)是平行四边形，再证明N1=90。，即可判定四边形CFB。是菱

形.

(2)根据菱形的性质求得EF=1,再由勾股定理求得CE=3,由三角形的中位线定理

可得AC=2,再由勾股定理即可求得=

【详解】

（1）证明：•・•£是边4C的中点，

:・BE=EC,

DE=EF,BE=EC,

・•・四边形CFB。是平行四边形，

是AA边中点，E是4C中点,

：,DE//AC,

，N1=NACB=9O。，

・•・四边形CFB。是菱形.

（2）•・•四边形CFB。是菱形，

AZCEF=90°.

VDF=2,

：.EF=\,

VC?'=V10,

，由勾股定理得，CE=3,

VD,E分别是边AB,BC的中点,DE=1,

：,AC=2,

•・•ZACB=90°,

由勾股定理得4E=Ji5.

【点睛】

本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练运用相关知识是解决问题的关

键.

27.如图，在四边形A6C。中，ZBCD=90°,对角线AC,8。相交于点N,点M是

对角线区。中点，连接AM,CM.如果A"=DC,AB±AC,且=

--------------------------

（1）求证：四边形AMCO是平行四边形.

（2）若。N=M，则灰;=,tanZDBC=.

【答案】（1）见解析；（2）12,1

【解析】

【分析】

（1）要证明四边形AMCQ是平行四边形，己知AM=DC,只需要证明AM〃。。即

可；由条件可知△AMBZ/XAMGSSS）,推理可得NOC4=NMAC=45。，由内错角相

等，两直线平行可知AM〃CD,可得结论；

⑵根据平行四边形的性质得OM=2后即可得B。=4加，延长AM交8C于点E,

由等腰三角形三线合一可得点回是的中点，ME是ABC。的中线，则ME=gcD.

进而8C=6A1£,最后由勾股定理求出历七=2,从而可得结论.

【详解】

解：（1）证明：如图，

•••点M是BD的中点，ZBCD=90°

・•・CM是Rt>BCD斜边BD的中线,

:,CM=BM=MD,

XAB=AC,AM=AM,

:・2AMB坦AAMCBSS、1,

：.ZBAM=ZCAM,

VBA1AC,

JZBAC=90°,

:.NCAM=45。

又,.,A4=4C,

JZACB=ZABC=45°

，ZDCA=ZDCB-ZACB=45°,

/.ZDCA=ZMAC,

：.AM//CD,

又•••AM=OC,

・•・四边形AMCD为平行四边形.

(2)由(1)得，MN=DN=M，即。也=2而

/.BD=4M

延长AM交8c于点E,如图，

\'AB=AC,ZBAC=90°,N8AM=NC4M,

・・・AEJ_8C,且点E为BC的中点，

AE=-BC

2

•・•点M是8。的中点，点E是8c的中点,

••・加后是43CO的中位线，

：・CD=2ME,

又AM=CD,

：,AM=2ME,

.\ME=-AE

3f

:.BC=6ME,

在RfABCD中,BC2+CD2即（6川£尸+（2M£/=3加产

解得，ME=2

A/?C=6x2=12,CD=4

tanZDBC==—=—,

BC123

故答案为：12,—.

J

【点睛】

此题主