青岛理工大学 高数下册练习册 习题及答案

第八章空间解析几何

第1节向量及其线性运算

1.求在yOz面上与三个已知点43,1,2)、8(4,—2,—2)、C(0,5,1)等距离的点。

解：设(0,y,z)为yOz面上所求的点，则

j32+(y-l)2+(z-2)2^7477(y+2)2+(z+2)7

[j32+(y_(2+(Z_2)2=J()2+(y_5)2+(Z_l)2

解得，y=l,z=-2故所求点为(0,1,-2)。

2.^-&a=i+j-4k,h=2i-2j+k,［与b夹角余弦为应，求(1)［的模(2)1的方向余弦(3)与［同

向的单位向量(4)1在匕上的投影(5)b在々上的投影

解：(1)p|=712+12+(-4)2=3>/2,

(2)cosa=-^-=,cosB=-^7=,cosr=—%==-—>/2o

3V23V23V23

⑶

(4)Prj/=Mcos°=3(_]0)=_q应

(5)Pr=|a|cos°=3>/i(_=_；

3.设有向量［鸟，已知麻卜2,它与x轴和y轴的夹角分别为如果Pi的坐标为(1,0,3)

求Pz的坐标

解：设向量的方向角为a/,y,a=q,尸=(,cosa=g,cos/?=孝，

22r>>1171

cosa+cosp+cosiy=1cos/=±—,/=^orY~

设Pz的坐标为(x,%z)

x-\x-11r□y-0yV2/T

cosa------=------=-=x=2,cosp=-------=—=—=y=

224622

z-3z-3.1

cos/=-----=——=±—=>z4orz=1

利22

P2的坐标为(2,及,4),(2,夜⑵

4.已知三点4(1,0,4)、3(3,2,2)、C(-2,-l,0),。为线段A3的中点，求与CD平行的单位向量。

解：设点D"z),则尸*2,尸等“Z毋3,故D点的坐标为(2,L3),而={4,3,2}。

{423卜土喘高'

CD”=±

742+22+32

第2节数量积向量积

—♦—•—♦—♦—►—»—►—♦—*—>

1.已知仇c两两垂直，且|a|=l,|b|=2,|c|=3,求S=a+8+c的模和它与向量分的夹角。。

解：M=s•s=(a-^b+c)•(ab+c)^a•a+b•b+c•c+2a-b+2a-c+2b•c

—•»2—>I—♦12―♦fr2

2

因a・a=〃=I=1,〃•力=A=4,c•c=c=9o

且。•力=a・c=8・c=0。因此

2=1+4+9=14,M=

，cosW望Ja+”c).〃率=盘,^arcco^

卜,V14-22拒V14V14

2.向量々与石构成夹角0=135,且正=3,求|£一1|。

—♦—•2—♦—•—♦—♦—•-♦—*-*—*I—♦12i—•ii—♦[i-^i2

解:a-b=3—万)・(〃一))二a・。一加•方+力・)二a一明力cosp+b

=(V2)2-2V2X3X(--^)+32=17H=旧。

V2

3.设a=3i+2j-k,b=i—j+2k,求：(1)a-b；(2)axb；

(3)a与〃的夹角。(4)以公方为邻边的平行四边形的面积;

解：(1)a-ft=3xl+2x(—1)+(—1)x2=—1«

ijk

(2)axh=32-1=3i-7j-5k.

1-12

...a•b-11s八，1、

(3)cosa=Ij-//一=------,=，故夕=arccos(---1=)°

百+2?+(—1)2,2+5+222V2I2V21

(4)S=,Xq=42+(-7)2+(-5)2=屈

—>—*—•—•—*—♦—»»

4.已知|a|=3Jb|=2,a与方的夹角6=求(1)；(2)|(a+))x(a—方)|。

fa.b]

解：1.PrJ-ft=-pr-=2x(——)=-1；

°H

_____________________________/a

2.(tz+^)x(6z-^)=-2axb=2axh=2Lz||^|sin^=2x3x2x——=66。

2

5.设。={1,3,2},〃={2,必4},求⑴的条件；(2)a〃〃的条件。

解：(1)a-b=Ix2+3xy+2x4=3j+10«因aJ_Z,故a-)=0。

于是3y+10=0,y=-与；

一-132

(2)由a〃b,则一,故y=6。

2y4-

6.已知三角形的顶点A(l,l,—l),b(2,l,0),C(0,0,2),求AA5C的面积。

____ijk

解：由于布={1,0,1},AC={-1-1,3)1'ABXAC=10l=i—4J—左。所以

-1-13

S&aABXAC=^\i-4j-k\=^712+(-4)2+(-l)2=

7.已知a[,c为单位向量，且满足a+B+c=6,计算：a-b+b-c+c-a»

解:注意到(Z+5+3(Z+Z+1)=0

—♦-♦——♦—♦——♦——*—♦—♦f——•

另一■方面：(a+Z?+c),(a+b+c)■a「+1Z?「+1c1~+2(。•。•c+c•a)

因止匕a•!)+1)•c+c•a=——

2

8.设为任意向量，试用向量的数量积证明不等式|。+力区|。|十|)|。

2——2—*2-♦—2

证：a+b=(a+Z)・(a+Z)二||+2a-b+\b=a+2abcos(a,b)+b

故a+h<

第5节平面及其方程

1.求过点(3,0,-1)且与平面3“一7丁+52-12=0平行的平面方程是3工—7丁+52—4=0。

2.欲使平面x+价—2z—9=0,(1)与平面2x+4y+3z-3=0垂直，则％=1；

⑵与平面2x-3y+z=0成45°角，则Z=土栏。

3.点(1,2,1)到平面x+2y+2z-10=0的距离d=1。

4.两平行平面口附10x+2y—2z—5=0和口？：5x+y—z—1=0之间的距离d=斗.

5.求过点A(l,1,-1),8(-2,-2,2)和C(L-L2)三点的平面方程。

____ijk_

解：布={-3,-3,3},元={0,-2,3}n=Qx耘=13-33卜一3：+91+6%

023

所求平面为：一3(x-l)+9(y—l)+6(z+l)=0x—3y-2z=0

6.求过点M(l,—1,1)且垂直于平面x—y+z+l=0和2x+y+z+l=0的平面方程。

解：所求平面的法向量

ijk

n=n]xn2=\-11=—2i+j+3k,

211

故所求平面方程为一2(x-1)+(y+1)+3(z-1)=0即2x—y-3z=0。

7.设平面过原点及点(6,-3,2),且与平面4了-丁+22=8垂直，求此平面方程.

解设平面为Ax+By+Cz+。=0,由平面过原点知。=0,由平面过点(6-3,2)知6A-3B+2C=0.

v{A,B,C}±{4-1,2),

2

:.4A-B+2C=0^>A=B^--C,

3

所求平面方程为2x+2y-3z=0.

8.求平行于平面6x+y+6z+5=0而与三个坐标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.

解设平面方程为6x+y+6z=D,—匚+2+三=1

D/6DD/6

=-1=1,.-.£>=±6

3326161

所求平面方程为：6x+y+6z=6.or6x+y+6z=-6.

9.求通过点和B(2,2,2)且与平面x+y-z=0垂直的平面方程。

解：设M(x,y,z)为所求平面上的任一点，AS={1,1,1},={1,1-1},

所求平面"的法向量〃_LAB且〃_!_%,所以n=ABx=-27+2J

所以，所求平面方程为无一丁=0

第6节直线及其方程

1.下列各组中的直线与平面的关系分别是

4

/\X+3y+4--CT/-

(1)--------=--------=一和4元一2y-2z=3平仃;

—2—73

(2)：=和3x—2y+7z=8M；

(3)占2=匕吆=三三和x+y+z=3在平面上。

31-4

fx+y+3z=0

2,直线4和平面x—y-z+l=0间的夹角夕=0°

x-y-z=0-----

X—37—1x—47—3

3.过点(4,—1,3)且平行于直线二5二=>=三的直线方程是(之广=)'+1=二『)

4.求过点(2,0,-3)且与直线1垂直的平面方程。

3x+5y-2z+l=0

ijk

解：直线的方向向量S=1-24={-16,14,1l}o

35-2

所求平面的法向量7=：故平面方程为16r-14y—1匕-65=0。

5.求过点(3,1-2)且通过直线二U=29=J的平面方程。

解：化直线—=工二=£为一般式，x—5z—4=0

521y-2z+3=0

则过直线的平面方程束为：(x-5z—4)+丸(>—2z+3)=0。

Q

把点(3,1,—2)代入并解出2=因而所求平面为8x—9y-22z-59=0。

6.求过点(0,2,4)且与两平面x+2z=l和y-3z=2平行的直线方程.

解设所求直线的方向向量为亍={"?,〃,〃},根据题意知§lnl9sln2,

iJk

取5=勺乂々=102={-2,3,1},

01-3

所求直线的方程小心=工匚=三

-231

7.一平面通过两平面x+y—z-2=0和3x+y—z—5=0的交线，且通过点(1,8,2),求此平面方程。

解：过交线的平面方程为x+y—z—2+/l(3x+y—z—5)=0。

4

因平面过点(1,8,2),代入得：1+8-2-2+/1(3+8-2—5)=0=>/1=-,。应该是-5/4

故所求平面方程为llx+y—z—17=0。

8.设直线L：U=[j=个，平面口“7+22=3,求直线与平面的夹角夕.

解n={1,-12},?={2-1,2),

Bn-\-Cp\|1x2+(-1)x(—1)+2x2|7

sm*~〃2+8“2;扣二〃2+/_70—访

7、-、

/.(p=arcsin一产为所求夹角.

3V6

9.求过点M⑵1,3)且与直线土里=匕」=三垂直相交的直线方程.

32-1

解先作一过点”且与已知直线垂直的平面：3(x—2)+2(y—l)—(z—3)=0,

再求已知直线与该平面的交点N,

x=3/-1

.x+1y~lZ

令----=且——二——»><y=2,+L

32-1

z=-t

代入平面方程得3°,交点M取所求直线得方向向量就,

7(777)

x-2y—1z—3

所求直线方程为

2

10.求两平行直线4：8一1=2里=三与£2：工一2=2二口=匕1之间的距离。

2222

解：已知加(1,一1,0)为直线右上的点，设点Nao，%*。)为直线右上的点，且MN与直线£)垂直，则

x0=2+/

v%=1+2，，MN={xQ-1,yQ+1,20}={1+^2+2/,-1+2r},

ZQ=-1+2，

且(l+f)+2(2+2f)+2(_l+2f)=0得f=-1,点N(g，；，-g)

-M-N-=245所以两条直线之间的距离为—MN*的模d=&/-

第九章多元函数的微分法及其应用

§1多元函数概念

1、设/(X,y)=%2+y2@(x,y)=%2-y2,求：/取工/),)?]

答案：f{(p{x,y),y2)=(x2-y2)2+y4=x4-2x2y2+2y4

6

2、求下列函数的定义域：

⑴、f(x,y)^y/x-2y{(x,y)|x>0};

1

⑵、{(x,y)\x2+y2<2};

-J

3、求下列极限:

/血y

⑴、(腐。)(0)

x2+y2

4

(2)、limT1(oo)

(A-,y)->(0,0)xZ+y

4、证明极限lim不存在.

(x.y)T(O,O)x4+y2

、1

证明：当沿着x轴趋于(0,0)时，极限为零，当沿着y=》2趋于(0,0)时，极限为万,

二者不相等，所以极限不存在

5、证明函数/*,)，)=<+/'(x，y)*(°，°)在整个xoy面上连续。

0,("=(0,0)

证明：当(x,y)w(0,0)时，/(x,y)为初等函数，连续。

当(x,y)=(0,0)时limxysin,=0=/(0,0),所以函数在(0,0)也连续。

(x.y)f(o,o)yjx2+y2

所以函数在整个xoy面上连续。

6、设2=x+y+/(x+y)且当y=0时z=X),求f(x)及z的表达式.

解：f(x)=》2-x,z=x2+2y2+2xy-y

§2偏导数

1、设z=xy+xex，验证x---Fy—=xy+z

dxdy

dz-y-dz-.dzdz

证明：——=y+ex—ex,—=x+ex,••xby——=xy+xy+xe*=xy+z

dxxdydxdy

z=x+y八］

f在点(四，上,1)处切线与X轴正向夹角(色)

)y=5223

3、设f(%,y)=孙+(y-l)2arcsin求，(x,l)⑴

4、设…乂求瞿及之

23223223232322322223

解：—=3(x+yz)2x=6x(x+yz)1-=3(x+yz)ZMZ(x+yZ)—=3(x+yz)3yz=9yz(x+yz)

dxdydz

d2ud2ud2u2

5、设〃=+y2+z2,证明----1-----1----=—

dx2dy2dz2u

6、设/(")=*+/，-OO),求？(0,0),4(0,0)。

0,(x,y)=(0,0)

解：工'(0,0)=lim=lim=2

x->°x-0iox

7、设函数/（覆＞）在点（a加处的偏导数存在，求lim以。+x,b)-f(a-x,b)

.sO%

于(a+x,b)-于(a-x,b)f(a+%,/?)-/(«,/?)f(a-x,b)-f(a,b)

1im---------------------------------=lim-------------------------------Flim----------------------------

解：XTOxK—oxx—o—x

=/：(a/)+/；(a/)=2f(a力)

§3全微分

1、二元函数Ax.v）在点（x,y）处连续是它在该点处偏导数存在的D.

（A）必要条件而非充分条件（B）充分条件而非必要条件

（C）充分必要条件（D）既非充分又非必要条件

2、对于二元函数/（x,y）,下列有关偏导数与全微分关系中正确的是B

（A）偏导数不连续，则全微分必不存在（B）偏导数连续，则全微分必存在

（C）全微分存在，则偏导数必连续（D）全微分存在，而偏导数不一定存在

V、

3^设z=arctan二求dz

x

5dz1—yydz11x

解：—=-------=―一,一—=------=—；——

&1+（］X…必］+（））7X37

dz-——~-dx+.*、dy

x+yx+y

8

4、设函数“=av+"—alnx(a为常数且a>0)求

解：生=a'+>'」na-@；

dxx

dux+yz]x+vyzi

——二Q八Ina•z=zaIna

Sy9

-=a'+y:\na-y=yax+yi\na

dz.

du=(ax+yz\na-—)dx+(zar+y;Ind)dy+{yax+yzInd)dz

x

5、z=sin(_xy2)解：dz-cos(xy2){y2dx+2xydy)

6、设2=21'或211~,求dz|(l,l)

i+r

%=i________ii+r

22

'.fix(x丫l+)2—%+(l+/)'

dy(Y(1+/)2x2+(l+y2)2

I港xJ

,]+y->—2xy,

dz=--------dx+---------dy

%■+(1+/)-x+(\+y)

</z|(1产，1+二，dx+,一2“产2公二力

(IJ)12+(1+12)212+(1+12)255-

7

7、设F(x,y,z)=——，求：叭1,2,1)

x+y

解：(1,2,1)=^(-2dx-4dy+5dz)

(x2+yI)sin,,(x,y)h(0,0)

8、讨论函数f(x,y)={J/+,27在(0,0)点处的连续性、偏导数、可

0,—0,0)

微性。

解：lim(x2+y2)sin1=0=/(0,0),所以/(羽一在(0,0)点处连续。

—387%2+y2

4(0,0)=lim’(。‘。)=o,/(o,o)=iim/(。‘绅)一/(。‘。)=()

y

(x,y)->(0,0)A%(x,y)->(0,0)Ay

,(Ar,Ay)-0.0,所以可微。

7(AX)2+(A^)2

§4多元复合函数的求导法则

1、设z=e"cos(〃+y),〃=r\y=In，，求一

dt

dzj

解：一=[eltcos(w+v)-eltsin(w+v)]-3r2+e"[-sin(〃+y)]•一

dtt

=J[3t2cos(r+Inf)—(3『+1)sin(r+g/)]

t

2、设z=(x+y产3求缪玛

oxdy

a

723

—=(2x-3y)(x+y产口t_3(%+y)->ln(x+y),

Sy

4、设z=/(盯,x+y),,其中/具有二阶连续偏导数，求三。

oxoy

解:Q:z=乃>+==比'+月；

OX

d2z

==>'+三。・％+尤]+[引・％+%]=工'+壮:+(%+，)光+%

oxoy

5、设Z=，(，—,2,2孙)，其中/具有二阶连续偏导数，求,，W，殳!

旨=2必'+2)/票=-2yf：+2x£

dxoy

—=2X(Z；(-2^)+/122x)+2人+2y(%"(-2y)+%'2x)

oxoy

22

=2//-4^/+4(x-y)ft2+^xyf22

2

'^7=2工+4x"；+Sxyft2+^yf22

2

a7

TT=-2f：+4y2yM"_8x_)九”+f22

Sy

2q2

6、设z=/(x,y2,2L),其中/对各变元具有二阶连续偏导数，求与。

xcxoy

a22

解：彳=£'+力'上万=7/一与力’

OX-XX

10

2=九-2丁+犬至—胃。一+型]

oxoyxxx|_xJ

=—学力'+2环；+型九一号分2y—鸳6

XXXX

u=x-2yd~zd~z32zd~z

7、设z=z(〃,u),且变换I,可把方程62+化为三=0,其中z具有二阶

v=x+aydxdxdydydudv

连续偏导数，求常数。的值。

、十皿dzdzdzdzdzdz

证明：一=—H；——=-2----\-a—

dxdudvdydudv

d2zd2zd2zd2u

---------1------1----

dx2du2dudvSv2

2222

dz.dzAdz2du

dydudv

d2z82Zd2zd2u

-----=-2-丁+3-2)+a―-

dxdy-----Qu2Sudvdv2

得：(10+5a)~^+(6+a—4)华=0Cl=3

dudvdv

8、设〃二,，r=yl(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2,证明：++=0。

rvdx28y2dz2

du_ddr_12(x-a)_x-a

SxSrlrJdxr227(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2,

3/、Q2dr3/xo22(%—Q)

r-(x-a)-3r—r-(x-tz)-3r----------

d2udx_2-

2

213(x-a)

dx丁4--------5-------

〃

-21.3(一)2d2u13(z-c)2

类似可求得W旷一方二尸

d~ud2ud~u33.,/⑶

所RC以rl寸++胃=一一-+—rz[(%-«)-2+(zy-Z?x)2-+(z-c)-]=n0o

dx7d7yTdz-rr

§5隐函数的求导公式

、dy

1、设ylny=x+y,求一

dx

解：令，E(x,y)=ylny-x-y

dy_1

F=-l,F=lny,，

xydxIny

_92、甘+r-r^、丁口riSzdz

2、设z+x=j/Qr-z),其中/可微。证明：z—+y—=x

dxdyo

dziq,亦、dz.dz2x)f-l

证:----\-\=yf・(2x-2z—)=>—

dx----------------------dxdx1+2W

dz./cSz、dz

f+yf-(-2z—)^—=f

oydy1+2W

dzdz2xyfr-1f2xM*'-z+_2xM*'+x_

z瓦卡)'诙/1+2闻\)'1+2y琰=l+2y/-l+2y/=入

.a2z

3、设z=z(x,y)是由方程工-2;/+z?-4%+22-5=0确定,求力

Sy-

.c也c也dz2y

解：-4y+2z----1-2—=0=>—=-----

dydydyz+1

匹=2__2V1Sz」22),1__2y_2(z+l)2—4y2

谈-V(z+1)2ay-z+l-}(z+1)2z+1~~(z+l)3

.2'x2-+y2+z2=iId1ydz

4、设〈，，，求下，

z=x+ydxdx

dyXdzc

—=一一一=0

dxydx

QzQz

5、设z=zQ,y)由方程尸(个,y+z,xz)=0所确定，尸可微，求〒，丁

oxdy

解：令F(x,、z)二产(肛,y+z,xz),则

dz_Fx_F^y+zF^dz_F、_£'x+工’

&工]+工工''②EH+叫’

6^设函数z=z(x,y)是由方程以九2%+<：052丁+(：0522=1所确定，求dz。

解:2cos%•(-sinx)+2cosz-(-sinz)—=0fiz__sin2x

dxdxsin2z

2cosy•(—siny)+2cosz-(-sinz)—=03z__sin2y

dydysin2z

.dz.dzsin2x,sin2y,

dz=—dxHdty=—dx—；dy

dxdysin2zsin2z

12

7、设z=z(x,y)由方程,=工一工所确定，证明：X2—+/—=

zxydxdy

2

1&_1dz1dz1dzz2

证:7次=一季0豕=>——

z2dyy25yy2

所以

,22

2dz2包=》2.Z2Z八

x—+y—+y,—r=o

dxSyXA

§6微分法在几何中的应用

TT

1、求螺旋线x=2cosr,y=2sin/,z=3f在对应于，=一处的切线及法平面方程

4

解：切线方程为

3乃

X—•^2,y—5/2z4

-V2—也—3

法平面方程

—V2(x—V2)+V2(y—V2)+3(z------)=0

4

2、求曲线1:"在(3,4,5)处的切线及法平面方程

.z2=x-+y2

解：切线方程为七二=1=小，法平面方程：4x—3y=0

4-30

3、求曲面Sz?+4尤2y-6立2=3上点(1,1,1)处的切平面和法线方程。

解：F(x,y,z)=5z2+4x2y—6xz2—3,则

理(％,y,z)=8xy—6z2F^(x,y,z)=4x2F：(x,yz)=10z-12xz

9»°9

在点(1,1,1)处工'(1,1,1)=2；F：(l[,l)=4；r(Ul)=-2,

所以法向量n=(2,4-2)=2(1,2-1)

切平面方程是：(x—l)+2(y—z)-(z-l)=0,即x+2y—z—2=0；

法线方程是：—==

12-1

4、设可微，证明由方程/(ax-匕z,ay-8z)=0所确定的曲面在任一点处的切平面与一定向量平

行

证明：4*F(x,y,z)=f(ax-bz,ay-bz)9则

Fx=fia,Fv=力a,Fz^-bf}-bf2,a,f2a,-bf}-bf,}n-(b,b,a)=0,所以在

(x0,y0,z0)处的切平面与定向量(b,b,a)平行。

2222

5、证明曲面/+/+z3(a>0)上任意一点处的切平面在三个坐标轴上的截距的平方和为/

22227—7—

333

证明：令F(x,y,z)=x+y3+z&—揖，则属=耳1Fy=—y,Fz=—z,

_1_1_1

在任一点(Xo,%,z。)处的切平面方程为入0一六工一工0)+-%)+Zo-§(z-z。)=。

12,2J2

在在三个坐标轴上的截距分别为％0市3,为打3,ZO§Q3,在三个坐标轴上的截距的平方和为。

6、设/可微，证明曲面x—az=/(y-匕z)上任一点处的切平面均与定直线±=)=z平行。

ab

证：设尸(x,y,z)=/(y-》z)-(x-az)

F'(x,y,z)=-l；Fy(x,y,z)=f(y-bz)iF'(x,y,z)=-bf\y-bz)+a,

曲面上任一点(x,y,z)处的切平面法向量为n(-1,f,-bf+a)«

定直线的方向向量是§=(a力,1)n-s=-a+bf'-hf'+a^O

所以曲面x—az=/(y—历)上任一点处的切平面均与定直线W=2=z平行。

ah

7、证明：曲面="(。〉0)的切平面与坐标面形成体积一定的四面体。

7方向导数与梯度

1、设函数/(羽丁)=*2—孙+y2,⑴求该函数在点(1,3)处的梯度。2)在点(1,3)处沿着方向/的

方向导数，并求方向导数达到最大和最小的方向

解：梯度为gradf(l,3)^-i+5j,

g^L3)=-8se+5sin。，方向导数达到最大值的方向为1=(—1,5),方向导数达到

最小值的方向为—1=(1,一5)。

2、求函数〃=邛2+尸2+〃2在(i,2,-i)处沿方向角为。=6阴4二乡里/二匕)的方向导数，并求在该

点处方向导数达到最大值的方向及最大方向导数的值。

解：方向导数为与〃21)=1+孚，该点处方向导数达到最大值的方向即为梯度的方向

14

gradiC,2-1）=2i+5j-3k,此时最大值为—=^38

ul

3、求函数〃=xy2z3在（1,1,-1）处沿曲线x=f,y=/2,z=/3在（1,1,1）处的切线正方向（对应于，增大的

方向）的方向导数。

解：—=y2z3,—=2xyz",—=3xy2z2,s=（1,2,3）>

dxdydz

所以该函数在点（1,1,-1）处的方向导数为包D=—3。

0/1（IJI）w

4、求函数〃=ln（y2+z2+工2）在（1,1,-1）处的梯度。

.du2xdu2ydu2z

角n星,—=--------------=---------------=-----------,

dxx2+j24-z29dyx2+y2+z25dzx2+y2+z2

2♦2-*2一

gradu=—i+—j——k

§8多元函数的极值及求法

1、求函数/（苍y）=3%2+3：/—2x—2y+2的极值。答案：（]，]）极小值点

2、设函数z=z（x,y）由方程x2+2y2+3z2+xy-z-9=0确定，求函数的驻点。

々口cnmdzdz2x+y

W：2x+6z—+y-----=0A=>—=--------

dxdxdxI-6z

,/Szdzdz4y+x

4y+6z----x-------=0=>—=--------

dxdxdy1-6z

QzQZ

设空=0,==0x=^y=Q驻点是（0,0）o

dxdy

3、求z=f—移+y2—2%+y的极值。

解：-=2x-y-2；—=-x+2y+L令红=0,包=0,得

dxdydxdy

2x-y-2=0[x=\

<,=><

一x+2y+l=0[y=0

d2zd2z_d2z

dx'dxdydy~

在（1,0）点处A=2,8=—1,C=l,AC-B2==2-l=l>0,

函数在（1,0）点处有极值，且由于A=2>0取极小值z（l,0）=-l„

4、求函数2=/+/+1在条件》+3，-3=0下的条件极值。

解：F（x,y,A）=x2+y2+l+2（x+y-3）

Fx=03311

；n=弓，$，极小值为:

5、欲造一个无盖的长方体容器，已知底部造价为3元/平方，侧面造价均为1元/平方，现想用36元造一

个容积最大的容器，求它的尺寸。(长和宽2米，高3米)

6、旋转抛物面z=Y+y2被x+y+z=l截成一椭圆，求原点到椭圆的最大与最小距离。

解：设P(x,y,z)为椭圆上的点，原点。到户的距离为1=尸7了=，且满足条件：

x2+y2-z=0,x+y+z=l,,

设L(x,y,z)—x2+y2+z2+A(x2+y2—z)+〃(x+y+z—1)

L!x(%,y,z)=2x+2Ax+//L'y(x,y,z)-2y+2A,y+piy,z)=2z-4+〃

令4=0;L'y=0;C=0;得方程组:

2x+2Ax+〃=0

2y+2归+〃=0—1+y/3-1-V3

x=y=-------x=y=------

,2z-%+〃=0解得：v22

x2+y2-z=0z=2—V3z=2+V3

x+y+z-l=0

4=卜(-1产)2+(2-V3)2=79-573,

2

d2J2L丁)2+(2+V3)=g+56,

根据实际问题，最大距离和最小距离存在，所以4为最小距离；4为最大距离。

22

7、求椭球面7X+；V+z29=1被平面x+y+z