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文档简介
第八章空间解析几何
第1节向量及其线性运算
1.求在yOz面上与三个已知点43,1,2)、8(4,—2,—2)、C(0,5,1)等距离的点。
解:设(0,y,z)为yOz面上所求的点,则
j32+(y-l)2+(z-2)2^7477(y+2)2+(z+2)7
[j32+(y_(2+(Z_2)2=J()2+(y_5)2+(Z_l)2
解得,y=l,z=-2故所求点为(0,1,-2)。
2.^-&a=i+j-4k,h=2i-2j+k,[与b夹角余弦为应,求(1)[的模(2)1的方向余弦(3)与[同
向的单位向量(4)1在匕上的投影(5)b在々上的投影
解:(1)p|=712+12+(-4)2=3>/2,
(2)cosa=-^-=,cosB=-^7=,cosr=—%==-—>/2o
3V23V23V23
⑶
(4)Prj/=Mcos°=3(_]0)=_q应
(5)Pr=|a|cos°=3>/i(_=_;
3.设有向量[鸟,已知麻卜2,它与x轴和y轴的夹角分别为如果Pi的坐标为(1,0,3)
求Pz的坐标
解:设向量的方向角为a/,y,a=q,尸=(,cosa=g,cos/?=孝,
22r>>1171
cosa+cosp+cosiy=1cos/=±—,/=^orY~
设Pz的坐标为(x,%z)
x-\x-11r□y-0yV2/T
cosa------=------=-=x=2,cosp=-------=—=—=y=
224622
z-3z-3.1
cos/=-----=——=±—=>z4orz=1
利22
P2的坐标为(2,及,4),(2,夜⑵
4.已知三点4(1,0,4)、3(3,2,2)、C(-2,-l,0),。为线段A3的中点,求与CD平行的单位向量。
解:设点D"z),则尸*2,尸等“Z毋3,故D点的坐标为(2,L3),而={4,3,2}。
{423卜土喘高'
CD”=±
742+22+32
第2节数量积向量积
—♦—•—♦—♦—►—»—►—♦—*—>
1.已知仇c两两垂直,且|a|=l,|b|=2,|c|=3,求S=a+8+c的模和它与向量分的夹角。。
解:M=s•s=(a-^b+c)•(ab+c)^a•a+b•b+c•c+2a-b+2a-c+2b•c
—•»2—>I—♦12―♦fr2
2
因a・a=〃=I=1,〃•力=A=4,c•c=c=9o
且。•力=a・c=8・c=0。因此
2=1+4+9=14,M=
,cosW望Ja+”c).〃率=盘,^arcco^
卜,V14-22拒V14V14
2.向量々与石构成夹角0=135,且正=3,求|£一1|。
—♦—•2—♦—•—♦—♦—•-♦—*-*—*I—♦12i—•ii—♦[i-^i2
解:a-b=3—万)・(〃一))二a・。一加•方+力・)二a一明力cosp+b
=(V2)2-2V2X3X(--^)+32=17H=旧。
V2
3.设a=3i+2j-k,b=i—j+2k,求:(1)a-b;(2)axb;
(3)a与〃的夹角。(4)以公方为邻边的平行四边形的面积;
解:(1)a-ft=3xl+2x(—1)+(—1)x2=—1«
ijk
(2)axh=32-1=3i-7j-5k.
1-12
...a•b-11s八,1、
(3)cosa=Ij-//一=------,=,故夕=arccos(---1=)°
百+2?+(—1)2,2+5+222V2I2V21
(4)S=,Xq=42+(-7)2+(-5)2=屈
—>—*—•—•—*—♦—»»
4.已知|a|=3Jb|=2,a与方的夹角6=求(1);(2)|(a+))x(a—方)|。
fa.b]
解:1.PrJ-ft=-pr-=2x(——)=-1;
°H
_____________________________/a
2.(tz+^)x(6z-^)=-2axb=2axh=2Lz||^|sin^=2x3x2x——=66。
2
5.设。={1,3,2},〃={2,必4},求⑴的条件;(2)a〃〃的条件。
解:(1)a-b=Ix2+3xy+2x4=3j+10«因aJ_Z,故a-)=0。
于是3y+10=0,y=-与;
一-132
(2)由a〃b,则一,故y=6。
2y4-
6.已知三角形的顶点A(l,l,—l),b(2,l,0),C(0,0,2),求AA5C的面积。
____ijk
解:由于布={1,0,1},AC={-1-1,3)1'ABXAC=10l=i—4J—左。所以
-1-13
S&aABXAC=^\i-4j-k\=^712+(-4)2+(-l)2=
7.已知a[,c为单位向量,且满足a+B+c=6,计算:a-b+b-c+c-a»
解:注意到(Z+5+3(Z+Z+1)=0
—♦-♦——♦—♦——♦——*—♦—♦f——•
另一■方面:(a+Z?+c),(a+b+c)■a「+1Z?「+1c1~+2(。•。•c+c•a)
因止匕a•!)+1)•c+c•a=——
2
8.设为任意向量,试用向量的数量积证明不等式|。+力区|。|十|)|。
2——2—*2-♦—2
证:a+b=(a+Z)・(a+Z)二||+2a-b+\b=a+2abcos(a,b)+b
故a+h<
第5节平面及其方程
1.求过点(3,0,-1)且与平面3“一7丁+52-12=0平行的平面方程是3工—7丁+52—4=0。
2.欲使平面x+价—2z—9=0,(1)与平面2x+4y+3z-3=0垂直,则%=1;
⑵与平面2x-3y+z=0成45°角,则Z=土栏。
3.点(1,2,1)到平面x+2y+2z-10=0的距离d=1。
4.两平行平面口附10x+2y—2z—5=0和口?:5x+y—z—1=0之间的距离d=斗.
5.求过点A(l,1,-1),8(-2,-2,2)和C(L-L2)三点的平面方程。
____ijk_
解:布={-3,-3,3},元={0,-2,3}n=Qx耘=13-33卜一3:+91+6%
023
所求平面为:一3(x-l)+9(y—l)+6(z+l)=0x—3y-2z=0
6.求过点M(l,—1,1)且垂直于平面x—y+z+l=0和2x+y+z+l=0的平面方程。
解:所求平面的法向量
ijk
n=n]xn2=\-11=—2i+j+3k,
211
故所求平面方程为一2(x-1)+(y+1)+3(z-1)=0即2x—y-3z=0。
7.设平面过原点及点(6,-3,2),且与平面4了-丁+22=8垂直,求此平面方程.
解设平面为Ax+By+Cz+。=0,由平面过原点知。=0,由平面过点(6-3,2)知6A-3B+2C=0.
v{A,B,C}±{4-1,2),
2
:.4A-B+2C=0^>A=B^--C,
3
所求平面方程为2x+2y-3z=0.
8.求平行于平面6x+y+6z+5=0而与三个坐标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.
解设平面方程为6x+y+6z=D,—匚+2+三=1
D/6DD/6
=-1=1,.-.£>=±6
3326161
所求平面方程为:6x+y+6z=6.or6x+y+6z=-6.
9.求通过点和B(2,2,2)且与平面x+y-z=0垂直的平面方程。
解:设M(x,y,z)为所求平面上的任一点,AS={1,1,1},={1,1-1},
所求平面"的法向量〃_LAB且〃_!_%,所以n=ABx=-27+2J
所以,所求平面方程为无一丁=0
第6节直线及其方程
1.下列各组中的直线与平面的关系分别是
4
/\X+3y+4--CT/-
(1)--------=--------=一和4元一2y-2z=3平仃;
—2—73
(2):=和3x—2y+7z=8M;
(3)占2=匕吆=三三和x+y+z=3在平面上。
31-4
fx+y+3z=0
2,直线4和平面x—y-z+l=0间的夹角夕=0°
x-y-z=0-----
X—37—1x—47—3
3.过点(4,—1,3)且平行于直线二5二=>=三的直线方程是(之广=)'+1=二『)
4.求过点(2,0,-3)且与直线1垂直的平面方程。
3x+5y-2z+l=0
ijk
解:直线的方向向量S=1-24={-16,14,1l}o
35-2
所求平面的法向量7=:故平面方程为16r-14y—1匕-65=0。
5.求过点(3,1-2)且通过直线二U=29=J的平面方程。
解:化直线—=工二=£为一般式,x—5z—4=0
521y-2z+3=0
则过直线的平面方程束为:(x-5z—4)+丸(>—2z+3)=0。
Q
把点(3,1,—2)代入并解出2=因而所求平面为8x—9y-22z-59=0。
6.求过点(0,2,4)且与两平面x+2z=l和y-3z=2平行的直线方程.
解设所求直线的方向向量为亍={"?,〃,〃},根据题意知§lnl9sln2,
iJk
取5=勺乂々=102={-2,3,1},
01-3
所求直线的方程小心=工匚=三
-231
7.一平面通过两平面x+y—z-2=0和3x+y—z—5=0的交线,且通过点(1,8,2),求此平面方程。
解:过交线的平面方程为x+y—z—2+/l(3x+y—z—5)=0。
4
因平面过点(1,8,2),代入得:1+8-2-2+/1(3+8-2—5)=0=>/1=-,。应该是-5/4
故所求平面方程为llx+y—z—17=0。
8.设直线L:U=[j=个,平面口“7+22=3,求直线与平面的夹角夕.
解n={1,-12},?={2-1,2),
Bn-\-Cp\|1x2+(-1)x(—1)+2x2|7
sm*~〃2+8“2;扣二〃2+/_70—访
7、-、
/.(p=arcsin一产为所求夹角.
3V6
9.求过点M⑵1,3)且与直线土里=匕」=三垂直相交的直线方程.
32-1
解先作一过点”且与已知直线垂直的平面:3(x—2)+2(y—l)—(z—3)=0,
再求已知直线与该平面的交点N,
x=3/-1
.x+1y~lZ
令----=且——二——»><y=2,+L
32-1
z=-t
代入平面方程得3°,交点M取所求直线得方向向量就,
7(777)
x-2y—1z—3
所求直线方程为
2
10.求两平行直线4:8一1=2里=三与£2:工一2=2二口=匕1之间的距离。
2222
解:已知加(1,一1,0)为直线右上的点,设点Nao,%*。)为直线右上的点,且MN与直线£)垂直,则
x0=2+/
v%=1+2,,MN={xQ-1,yQ+1,20}={1+^2+2/,-1+2r},
ZQ=-1+2,
且(l+f)+2(2+2f)+2(_l+2f)=0得f=-1,点N(g,;,-g)
-M-N-=245所以两条直线之间的距离为—MN*的模d=&/-
第九章多元函数的微分法及其应用
§1多元函数概念
1、设/(X,y)=%2+y2@(x,y)=%2-y2,求:/取工/),)?]
答案:f{(p{x,y),y2)=(x2-y2)2+y4=x4-2x2y2+2y4
6
2、求下列函数的定义域:
⑴、f(x,y)^y/x-2y{(x,y)|x>0};
1
⑵、{(x,y)\x2+y2<2};
-J
3、求下列极限:
/血y
⑴、(腐。)(0)
x2+y2
4
(2)、limT1(oo)
(A-,y)->(0,0)xZ+y
4、证明极限lim不存在.
(x.y)T(O,O)x4+y2
、1
证明:当沿着x轴趋于(0,0)时,极限为零,当沿着y=》2趋于(0,0)时,极限为万,
二者不相等,所以极限不存在
5、证明函数/*,),)=<+/'(x,y)*(°,°)在整个xoy面上连续。
0,("=(0,0)
证明:当(x,y)w(0,0)时,/(x,y)为初等函数,连续。
当(x,y)=(0,0)时limxysin,=0=/(0,0),所以函数在(0,0)也连续。
(x.y)f(o,o)yjx2+y2
所以函数在整个xoy面上连续。
6、设2=x+y+/(x+y)且当y=0时z=X),求f(x)及z的表达式.
解:f(x)=》2-x,z=x2+2y2+2xy-y
§2偏导数
1、设z=xy+xex,验证x---Fy—=xy+z
dxdy
dz-y-dz-.dzdz
证明:——=y+ex—ex,—=x+ex,••xby——=xy+xy+xe*=xy+z
dxxdydxdy
z=x+y八]
f在点(四,上,1)处切线与X轴正向夹角(色)
)y=5223
3、设f(%,y)=孙+(y-l)2arcsin求,(x,l)⑴
4、设…乂求瞿及之
23223223232322322223
解:—=3(x+yz)2x=6x(x+yz)1-=3(x+yz)ZMZ(x+yZ)—=3(x+yz)3yz=9yz(x+yz)
dxdydz
d2ud2ud2u2
5、设〃=+y2+z2,证明----1-----1----=—
dx2dy2dz2u
6、设/(")=*+/,-OO),求?(0,0),4(0,0)。
0,(x,y)=(0,0)
解:工'(0,0)=lim=lim=2
x->°x-0iox
7、设函数/(覆>)在点(a加处的偏导数存在,求lim以。+x,b)-f(a-x,b)
.sO%
于(a+x,b)-于(a-x,b)f(a+%,/?)-/(«,/?)f(a-x,b)-f(a,b)
1im---------------------------------=lim-------------------------------Flim----------------------------
解:XTOxK—oxx—o—x
=/:(a/)+/;(a/)=2f(a力)
§3全微分
1、二元函数Ax.v)在点(x,y)处连续是它在该点处偏导数存在的D.
(A)必要条件而非充分条件(B)充分条件而非必要条件
(C)充分必要条件(D)既非充分又非必要条件
2、对于二元函数/(x,y),下列有关偏导数与全微分关系中正确的是B
(A)偏导数不连续,则全微分必不存在(B)偏导数连续,则全微分必存在
(C)全微分存在,则偏导数必连续(D)全微分存在,而偏导数不一定存在
V、
3^设z=arctan二求dz
x
5dz1—yydz11x
解:—=-------=―一,一—=------=—;——
&1+(]X…必]+())7X37
dz-——~-dx+.*、dy
x+yx+y
8
4、设函数“=av+"—alnx(a为常数且a>0)求
解:生=a'+>'」na-@;
dxx
dux+yz]x+vyzi
——二Q八Ina•z=zaIna
Sy9
-=a'+y:\na-y=yax+yi\na
dz.
du=(ax+yz\na-—)dx+(zar+y;Ind)dy+{yax+yzInd)dz
x
5、z=sin(_xy2)解:dz-cos(xy2){y2dx+2xydy)
6、设2=21'或211~,求dz|(l,l)
i+r
%=i________ii+r
22
'.fix(x丫l+)2—%+(l+/)'
dy(Y(1+/)2x2+(l+y2)2
I港xJ
,]+y->—2xy,
dz=--------dx+---------dy
%■+(1+/)-x+(\+y)
</z|(1产,1+二,dx+,一2“产2公二力
(IJ)12+(1+12)212+(1+12)255-
7
7、设F(x,y,z)=——,求:叭1,2,1)
x+y
解:(1,2,1)=^(-2dx-4dy+5dz)
(x2+yI)sin,,(x,y)h(0,0)
8、讨论函数f(x,y)={J/+,27在(0,0)点处的连续性、偏导数、可
0,—0,0)
微性。
解:lim(x2+y2)sin1=0=/(0,0),所以/(羽一在(0,0)点处连续。
—387%2+y2
4(0,0)=lim’(。‘。)=o,/(o,o)=iim/(。‘绅)一/(。‘。)=()
y
(x,y)->(0,0)A%(x,y)->(0,0)Ay
,(Ar,Ay)-0.0,所以可微。
7(AX)2+(A^)2
§4多元复合函数的求导法则
1、设z=e"cos(〃+y),〃=r\y=In,,求一
dt
dzj
解:一=[eltcos(w+v)-eltsin(w+v)]-3r2+e"[-sin(〃+y)]•一
dtt
=J[3t2cos(r+Inf)—(3『+1)sin(r+g/)]
t
2、设z=(x+y产3求缪玛
oxdy
a
723
—=(2x-3y)(x+y产口t_3(%+y)->ln(x+y),
Sy
4、设z=/(盯,x+y),,其中/具有二阶连续偏导数,求三。
oxoy
解:Q:z=乃>+==比'+月;
OX
d2z
==>'+三。・%+尤]+[引・%+%]=工'+壮:+(%+,)光+%
oxoy
5、设Z=,(,—,2,2孙),其中/具有二阶连续偏导数,求,,W,殳!
旨=2必'+2)/票=-2yf:+2x£
dxoy
—=2X(Z;(-2^)+/122x)+2人+2y(%"(-2y)+%'2x)
oxoy
22
=2//-4^/+4(x-y)ft2+^xyf22
2
'^7=2工+4x";+Sxyft2+^yf22
2
a7
TT=-2f:+4y2yM"_8x_)九”+f22
Sy
2q2
6、设z=/(x,y2,2L),其中/对各变元具有二阶连续偏导数,求与。
xcxoy
a22
解:彳=£'+力'上万=7/一与力’
OX-XX
10
2=九-2丁+犬至—胃。一+型]
oxoyxxx|_xJ
=—学力'+2环;+型九一号分2y—鸳6
XXXX
u=x-2yd~zd~z32zd~z
7、设z=z(〃,u),且变换I,可把方程62+化为三=0,其中z具有二阶
v=x+aydxdxdydydudv
连续偏导数,求常数。的值。
、十皿dzdzdzdzdzdz
证明:一=—H;——=-2----\-a—
dxdudvdydudv
d2zd2zd2zd2u
---------1------1----
dx2du2dudvSv2
2222
dz.dzAdz2du
dydudv
d2z82Zd2zd2u
-----=-2-丁+3-2)+a―-
dxdy-----Qu2Sudvdv2
得:(10+5a)~^+(6+a—4)华=0Cl=3
dudvdv
8、设〃二,,r=yl(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2,证明:++=0。
rvdx28y2dz2
du_ddr_12(x-a)_x-a
SxSrlrJdxr227(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2,
3/、Q2dr3/xo22(%—Q)
r-(x-a)-3r—r-(x-tz)-3r----------
d2udx_2-
2
213(x-a)
dx丁4--------5-------
〃
-21.3(一)2d2u13(z-c)2
类似可求得W旷一方二尸
d~ud2ud~u33.,/⑶
所RC以rl寸++胃=一一-+—rz[(%-«)-2+(zy-Z?x)2-+(z-c)-]=n0o
dx7d7yTdz-rr
§5隐函数的求导公式
、dy
1、设ylny=x+y,求一
dx
解:令,E(x,y)=ylny-x-y
dy_1
F=-l,F=lny,,
xydxIny
_92、甘+r-r^、丁口riSzdz
2、设z+x=j/Qr-z),其中/可微。证明:z—+y—=x
dxdyo
dziq,亦、dz.dz2x)f-l
证:----\-\=yf・(2x-2z—)=>—
dx----------------------dxdx1+2W
dz./cSz、dz
f+yf-(-2z—)^—=f
oydy1+2W
dzdz2xyfr-1f2xM*'-z+_2xM*'+x_
z瓦卡)'诙/1+2闻\)'1+2y琰=l+2y/-l+2y/=入
.a2z
3、设z=z(x,y)是由方程工-2;/+z?-4%+22-5=0确定,求力
Sy-
.c也c也dz2y
解:-4y+2z----1-2—=0=>—=-----
dydydyz+1
匹=2__2V1Sz」22),1__2y_2(z+l)2—4y2
谈-V(z+1)2ay-z+l-}(z+1)2z+1~~(z+l)3
.2'x2-+y2+z2=iId1ydz
4、设〈,,,求下,
z=x+ydxdx
dyXdzc
—=一一一=0
dxydx
QzQz
5、设z=zQ,y)由方程尸(个,y+z,xz)=0所确定,尸可微,求〒,丁
oxdy
解:令F(x,、z)二产(肛,y+z,xz),则
dz_Fx_F^y+zF^dz_F、_£'x+工’
&工]+工工''②EH+叫’
6^设函数z=z(x,y)是由方程以九2%+<:052丁+(:0522=1所确定,求dz。
解:2cos%•(-sinx)+2cosz-(-sinz)—=0fiz__sin2x
dxdxsin2z
2cosy•(—siny)+2cosz-(-sinz)—=03z__sin2y
dydysin2z
.dz.dzsin2x,sin2y,
dz=—dxHdty=—dx—;dy
dxdysin2zsin2z
12
7、设z=z(x,y)由方程,=工一工所确定,证明:X2—+/—=
zxydxdy
2
1&_1dz1dz1dzz2
证:7次=一季0豕=>——
z2dyy25yy2
所以
,22
2dz2包=》2.Z2Z八
x—+y—+y,—r=o
dxSyXA
§6微分法在几何中的应用
TT
1、求螺旋线x=2cosr,y=2sin/,z=3f在对应于,=一处的切线及法平面方程
4
解:切线方程为
3乃
X—•^2,y—5/2z4
-V2—也—3
法平面方程
—V2(x—V2)+V2(y—V2)+3(z------)=0
4
2、求曲线1:"在(3,4,5)处的切线及法平面方程
.z2=x-+y2
解:切线方程为七二=1=小,法平面方程:4x—3y=0
4-30
3、求曲面Sz?+4尤2y-6立2=3上点(1,1,1)处的切平面和法线方程。
解:F(x,y,z)=5z2+4x2y—6xz2—3,则
理(%,y,z)=8xy—6z2F^(x,y,z)=4x2F:(x,yz)=10z-12xz
9»°9
在点(1,1,1)处工'(1,1,1)=2;F:(l[,l)=4;r(Ul)=-2,
所以法向量n=(2,4-2)=2(1,2-1)
切平面方程是:(x—l)+2(y—z)-(z-l)=0,即x+2y—z—2=0;
法线方程是:—==
12-1
4、设可微,证明由方程/(ax-匕z,ay-8z)=0所确定的曲面在任一点处的切平面与一定向量平
行
证明:4*F(x,y,z)=f(ax-bz,ay-bz)9则
Fx=fia,Fv=力a,Fz^-bf}-bf2,a,f2a,-bf}-bf,}n-(b,b,a)=0,所以在
(x0,y0,z0)处的切平面与定向量(b,b,a)平行。
2222
5、证明曲面/+/+z3(a>0)上任意一点处的切平面在三个坐标轴上的截距的平方和为/
22227—7—
333
证明:令F(x,y,z)=x+y3+z&—揖,则属=耳1Fy=—y,Fz=—z,
_1_1_1
在任一点(Xo,%,z。)处的切平面方程为入0一六工一工0)+-%)+Zo-§(z-z。)=。
12,2J2
在在三个坐标轴上的截距分别为%0市3,为打3,ZO§Q3,在三个坐标轴上的截距的平方和为。
6、设/可微,证明曲面x—az=/(y-匕z)上任一点处的切平面均与定直线±=)=z平行。
ab
证:设尸(x,y,z)=/(y-》z)-(x-az)
F'(x,y,z)=-l;Fy(x,y,z)=f(y-bz)iF'(x,y,z)=-bf\y-bz)+a,
曲面上任一点(x,y,z)处的切平面法向量为n(-1,f,-bf+a)«
定直线的方向向量是§=(a力,1)n-s=-a+bf'-hf'+a^O
所以曲面x—az=/(y—历)上任一点处的切平面均与定直线W=2=z平行。
ah
7、证明:曲面="(。〉0)的切平面与坐标面形成体积一定的四面体。
7方向导数与梯度
1、设函数/(羽丁)=*2—孙+y2,⑴求该函数在点(1,3)处的梯度。2)在点(1,3)处沿着方向/的
方向导数,并求方向导数达到最大和最小的方向
解:梯度为gradf(l,3)^-i+5j,
g^L3)=-8se+5sin。,方向导数达到最大值的方向为1=(—1,5),方向导数达到
最小值的方向为—1=(1,一5)。
2、求函数〃=邛2+尸2+〃2在(i,2,-i)处沿方向角为。=6阴4二乡里/二匕)的方向导数,并求在该
点处方向导数达到最大值的方向及最大方向导数的值。
解:方向导数为与〃21)=1+孚,该点处方向导数达到最大值的方向即为梯度的方向
14
gradiC,2-1)=2i+5j-3k,此时最大值为—=^38
ul
3、求函数〃=xy2z3在(1,1,-1)处沿曲线x=f,y=/2,z=/3在(1,1,1)处的切线正方向(对应于,增大的
方向)的方向导数。
解:—=y2z3,—=2xyz",—=3xy2z2,s=(1,2,3)>
dxdydz
所以该函数在点(1,1,-1)处的方向导数为包D=—3。
0/1(IJI)w
4、求函数〃=ln(y2+z2+工2)在(1,1,-1)处的梯度。
.du2xdu2ydu2z
角n星,—=--------------=---------------=-----------,
dxx2+j24-z29dyx2+y2+z25dzx2+y2+z2
2♦2-*2一
gradu=—i+—j——k
§8多元函数的极值及求法
1、求函数/(苍y)=3%2+3:/—2x—2y+2的极值。答案:(],])极小值点
2、设函数z=z(x,y)由方程x2+2y2+3z2+xy-z-9=0确定,求函数的驻点。
々口cnmdzdz2x+y
W:2x+6z—+y-----=0A=>—=--------
dxdxdxI-6z
,/Szdzdz4y+x
4y+6z----x-------=0=>—=--------
dxdxdy1-6z
QzQZ
设空=0,==0x=^y=Q驻点是(0,0)o
dxdy
3、求z=f—移+y2—2%+y的极值。
解:-=2x-y-2;—=-x+2y+L令红=0,包=0,得
dxdydxdy
2x-y-2=0[x=\
<,=><
一x+2y+l=0[y=0
d2zd2z_d2z
dx'dxdydy~
在(1,0)点处A=2,8=—1,C=l,AC-B2==2-l=l>0,
函数在(1,0)点处有极值,且由于A=2>0取极小值z(l,0)=-l„
4、求函数2=/+/+1在条件》+3,-3=0下的条件极值。
解:F(x,y,A)=x2+y2+l+2(x+y-3)
Fx=03311
;n=弓,$,极小值为:
5、欲造一个无盖的长方体容器,已知底部造价为3元/平方,侧面造价均为1元/平方,现想用36元造一
个容积最大的容器,求它的尺寸。(长和宽2米,高3米)
6、旋转抛物面z=Y+y2被x+y+z=l截成一椭圆,求原点到椭圆的最大与最小距离。
解:设P(x,y,z)为椭圆上的点,原点。到户的距离为1=尸7了=,且满足条件:
x2+y2-z=0,x+y+z=l,,
设L(x,y,z)—x2+y2+z2+A(x2+y2—z)+〃(x+y+z—1)
L!x(%,y,z)=2x+2Ax+//L'y(x,y,z)-2y+2A,y+piy,z)=2z-4+〃
令4=0;L'y=0;C=0;得方程组:
2x+2Ax+〃=0
2y+2归+〃=0—1+y/3-1-V3
x=y=-------x=y=------
,2z-%+〃=0解得:v22
x2+y2-z=0z=2—V3z=2+V3
x+y+z-l=0
4=卜(-1产)2+(2-V3)2=79-573,
2
d2J2L丁)2+(2+V3)=g+56,
根据实际问题,最大距离和最小距离存在,所以4为最小距离;4为最大距离。
22
7、求椭球面7X+;V+z29=1被平面x+y+z
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