2025年大学统计学期末考试题库：基础概念解析与习题集

2025年大学统计学期末考试题库：基础概念解析与习题集考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、概率论与数理统计基本概念要求：考察学生对概率论与数理统计基本概念的理解和掌握程度，包括概率、随机变量、分布函数、期望、方差等基本概念。1.设随机变量X的分布函数为：F(x)={0,x<00.2,0≤x<10.6,1≤x<21,x≥2}求：（1）P{X≤0.5}（2）P{X>1.5}（3）P{X=1.5}（4）P{0<X≤1.5}2.设随机变量X的密度函数为：f(x)={2x,0≤x≤10,其他}求：（1）X的分布函数F(x)（2）P{X≤0.5}（3）P{0.5<X≤1}（4）E(X)3.设随机变量X～N(μ,σ^2)，其中μ=1，σ=2，求：（1）P{X<0}（2）P{0<X≤2}（3）P{|X-1|≤1}（4）E(X^2)4.设随机变量X与Y相互独立，且X～B(3,0.5)，Y～B(4,0.5)，求：（1）P{X=2,Y=3}（2）P{X+Y≤4}（3）P{X≥2}（4）P{Y≥2}5.设随机变量X与Y相互独立，且X～U(0,1)，Y～U(0,1)，求：（1）P{X+Y≤0.5}（2）P{XY≤0.25}（3）P{X>Y}（4）E(XY)6.设随机变量X与Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，求：（1）P{X+Y≥0}（2）P{|X-Y|≤1}（3）P{X^2+Y^2≤1}（4）E(XY)7.设随机变量X与Y相互独立，且X～B(5,0.3)，Y～B(5,0.3)，求：（1）P{X=3,Y=2}（2）P{X+Y≤4}（3）P{X≥2}（4）P{Y≥2}8.设随机变量X与Y相互独立，且X～U(0,1)，Y～U(0,1)，求：（1）P{X+Y≤0.5}（2）P{XY≤0.25}（3）P{X>Y}（4）E(XY)9.设随机变量X与Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，求：（1）P{X+Y≥0}（2）P{|X-Y|≤1}（3）P{X^2+Y^2≤1}（4）E(XY)10.设随机变量X与Y相互独立，且X～B(5,0.3)，Y～B(5,0.3)，求：（1）P{X=3,Y=2}（2）P{X+Y≤4}（3）P{X≥2}（4）P{Y≥2}二、描述性统计与推断性统计要求：考察学生对描述性统计与推断性统计的理解和掌握程度，包括集中趋势、离散程度、假设检验等基本概念。1.某班级学生身高数据如下（单位：cm）：170,172,168,175,177,174,176,171,173,180。求：（1）平均身高（2）中位数（3）众数（4）极差（5）标准差2.某班学生英语成绩（满分100分）如下：85,90,92,88,93,95,87,86,89,91。求：（1）平均分（2）中位数（3）众数（4）极差（5）标准差3.某班学生数学成绩（满分100分）如下：75,80,85,70,90,82,78,88,79,85。求：（1）平均分（2）中位数（3）众数（4）极差（5）标准差4.某班级学生语文成绩（满分150分）如下：120,130,140,125,135,145,130,120,125,140。求：（1）平均分（2）中位数（3）众数（4）极差（5）标准差5.某班级学生政治成绩（满分100分）如下：85,90,92,88,93,95,87,86,89,91。求：（1）平均分（2）中位数（3）众数（4）极差（5）标准差6.某班级学生历史成绩（满分100分）如下：75,80,85,70,90,82,78,88,79,85。求：（1）平均分（2）中位数（3）众数（4）极差（5）标准差7.某班级学生地理成绩（满分100分）如下：85,90,92,88,93,95,87,86,89,91。求：（1）平均分（2）中位数（3）众数（4）极差（5）标准差8.某班级学生物理成绩（满分100分）如下：75,80,85,70,90,82,78,88,79,85。求：（1）平均分（2）中位数（3）众数（4）极差（5）标准差9.某班级学生化学成绩（满分100分）如下：85,90,92,88,93,95,87,86,89,91。求：（1）平均分（2）中位数（3）众数（4）极差（5）标准差10.某班级学生生物成绩（满分100分）如下：75,80,85,70,90,82,78,88,79,85。求：（1）平均分（2）中位数（3）众数（4）极差（5）标准差四、参数估计要求：考察学生对参数估计的理解和掌握程度，包括点估计和区间估计的基本概念。1.设总体X服从正态分布N(μ,σ^2)，其中σ=2，从总体中随机抽取了一个样本，样本均值为75，样本标准差为4。求：（1）μ的置信度为0.95的置信区间（2）σ的置信度为0.95的置信区间2.设总体X服从泊松分布，其参数λ=5，从总体中随机抽取了一个样本，样本均值为6。求：（1）λ的置信度为0.90的置信区间（2）总体方差σ^2的置信度为0.90的置信区间3.设总体X服从均匀分布U(0,θ)，从总体中随机抽取了一个样本，样本均值为4，样本标准差为2。求：（1）θ的置信度为0.95的置信区间（2）总体方差σ^2的置信度为0.95的置信区间4.设总体X服从指数分布，其参数λ=0.5，从总体中随机抽取了一个样本，样本均值为2。求：（1）λ的置信度为0.90的置信区间（2）总体方差σ^2的置信度为0.90的置信区间5.设总体X服从二项分布B(n,p)，其中n=10，p=0.4，从总体中随机抽取了一个样本，样本均值为4。求：（1）p的置信度为0.95的置信区间（2）总体方差σ^2的置信度为0.95的置信区间6.设总体X服从正态分布N(μ,σ^2)，其中σ=3，从总体中随机抽取了一个样本，样本均值为50，样本标准差为5。求：（1）μ的置信度为0.95的置信区间（2）σ的置信度为0.95的置信区间五、假设检验要求：考察学生对假设检验的理解和掌握程度，包括单样本检验和双样本检验的基本概念。1.设总体X服从正态分布N(μ,σ^2)，其中σ=5，从总体中随机抽取了一个样本，样本均值为60，样本标准差为4。假设μ=55，求：（1）单样本t检验的p值（2）双样本t检验的p值，另一组数据为另一个独立样本，均值为58，标准差为3.52.设总体X服从泊松分布，其参数λ=6，从总体中随机抽取了一个样本，样本均值为5.5。假设λ=6，求：（1）单样本z检验的p值（2）双样本z检验的p值，另一组数据为另一个独立样本，均值为5.23.设总体X服从均匀分布U(0,θ)，从总体中随机抽取了一个样本，样本均值为3，样本标准差为1。假设θ=4，求：（1）单样本t检验的p值（2）双样本t检验的p值，另一组数据为另一个独立样本，均值为2.8，标准差为0.94.设总体X服从指数分布，其参数λ=0.7，从总体中随机抽取了一个样本，样本均值为1.4。假设λ=0.7，求：（1）单样本z检验的p值（2）双样本z检验的p值，另一组数据为另一个独立样本，均值为1.35.设总体X服从二项分布B(n,p)，其中n=15，p=0.3，从总体中随机抽取了一个样本，样本均值为4.5。假设p=0.3，求：（1）单样本z检验的p值（2）双样本z检验的p值，另一组数据为另一个独立样本，均值为4.26.设总体X服从正态分布N(μ,σ^2)，其中σ=4，从总体中随机抽取了一个样本，样本均值为65，样本标准差为6。假设μ=64，求：（1）单样本t检验的p值（2）双样本t检验的p值，另一组数据为另一个独立样本，均值为66，标准差为5.5六、回归分析要求：考察学生对回归分析的理解和掌握程度，包括线性回归和多元回归的基本概念。1.某公司员工的年销售额（Y）与年龄（X1）和经验（X2）之间存在线性关系，数据如下：（1）X1:25,30,35,40,45（2）X2:2,4,6,8,10（3）Y:50000,55000,60000,65000,70000求：（1）线性回归方程（2）R^2值（3）回归系数的置信区间2.某地区房屋价格（Y）与面积（X1）和房间数量（X2）之间存在线性关系，数据如下：（1）X1:100,150,200,250,300（2）X2:2,3,4,5,6（3）Y:200000,300000,400000,500000,600000求：（1）线性回归方程（2）R^2值（3）回归系数的置信区间3.某产品产量（Y）与工人数量（X1）和设备数量（X2）之间存在线性关系，数据如下：（1）X1:10,20,30,40,50（2）X2:5,10,15,20,25（3）Y:100,200,300,400,500求：（1）线性回归方程（2）R^2值（3）回归系数的置信区间4.某地区消费者满意度（Y）与收入水平（X1）和消费习惯（X2）之间存在线性关系，数据如下：（1）X1:10000,15000,20000,25000,30000（2）X2:1,2,3,4,5（3）Y:80,85,90,95,100求：（1）线性回归方程（2）R^2值（3）回归系数的置信区间5.某产品销量（Y）与广告投入（X1）和促销活动（X2）之间存在线性关系，数据如下：（1）X1:1000,1500,2000,2500,3000（2）X2:1,2,3,4,5（3）Y:500,700,900,1100,1300求：（1）线性回归方程（2）R^2值（3）回归系数的置信区间6.某地区GDP（Y）与人口数量（X1）和工业化程度（X2）之间存在线性关系，数据如下：（1）X1:1000000,1500000,2000000,2500000,3000000（2）X2:0.5,1,1.5,2,2.5（3）Y:500000000,750000000,1000000000,1250000000,1500000000求：（1）线性回归方程（2）R^2值（3）回归系数的置信区间本次试卷答案如下：一、概率论与数理统计基本概念1.（1）P{X≤0.5}=0.2（2）P{X>1.5}=0.4（3）P{X=1.5}=0（4）P{0<X≤1.5}=0.8解析思路：根据分布函数的定义，可以直接查表得到概率值。2.（1）F(x)={0,x<00.4x,0≤x<10.8x+0.2,1≤x<21,x≥2}（2）P{X≤0.5}=0.2（3）P{0.5<X≤1}=0.2（4）E(X)=∫(0to1)x*2xdx+∫(1to2)x*2xdx=1解析思路：首先求出分布函数，然后根据分布函数求概率值，最后计算期望值。3.（1）P{X<0}=0（2）P{0<X≤2}=0.8（3）P{|X-1|≤1}=P{0≤X≤2}=0.8（4）E(X)=1解析思路：根据正态分布的性质，可以直接查表得到概率值，并计算期望值。4.（1）P{X=2,Y=3}=P{X=2}*P{Y=3}=(3/10)*(4/10)=0.12（2）P{X+Y≤4}=P{X=0,Y=4}+P{X=1,Y=3}+P{X=2,Y=2}+P{X=3,Y=1}+P{X=4,Y=0}=0.045（3）P{X≥2}=P{X=2}+P{X=3}+P{X=4}=0.3（4）P{Y≥2}=P{Y=2}+P{Y=3}+P{Y=4}=0.3解析思路：利用二项分布的概率公式计算各个概率值。5.（1）P{X+Y≤0.5}=0.25（2）P{XY≤0.25}=0.5（3）P{X>Y}=0.5（4）E(XY)=∫(0to1)∫(0to1)xydxdy=0.125解析思路：根据均匀分布的性质和二重积分计算概率值和期望值。6.（1）P{X+Y≥0}=1（2）P{|X-Y|≤1}=1（3）P{X^2+Y^2≤1}=1（4）E(XY)=0解析思路：根据正态分布的性质和正态分布的对称性计算概率值和期望值。二、描述性统计与推断性统计1.（1）平均身高=(170+172+168+175+177+174+176+171+173+180)/10=174（2）中位数=174（3）众数=174（4）极差=180-168=12（5）标准差=√[Σ(xi-x̄)^2/(n-1)]=√[((170-174)^2+(172-174)^2+...+(180-174)^2)/9]≈2.58解析思路：计算平均数、中位数、众数、极差和标准差。2.（1）平均分=(85+90+92+88+93+95+87+86+89+91)/10=89.2（2）中位数=89.2（3）众数=89.2（4）极差=95-85=10（5）标准差=√[Σ(xi-x̄)^2/(n-1)]=√[((85-89.2)^2+(90-89.2)^2+...+(91-89.2)^2)/9]≈2.18解析思路：计算平均数、中位数、众数、极差和标准差。3.（1）平均分=(75+80+85+70+90+82+78+88+79+85)/10=81（2）中位数=81（3）众数=81（4）极差=90-70=20（5）标准差=√[Σ(xi-x̄)^2/(n-1)]=√[((75-81)^2+(80-81)^2+...+(85-81)^2)/9]≈4.08解析思路：计算平均数、中位数、众数、极差和标准差。4.（1）平均分=(120+130+140+125+135+145+130+120+125+140)/10=130（2）中位数=130（3）众数=130（4）极差=145-120=25（5）标准差=√[Σ(xi-x̄)^2/(n-1)]=√[((120-130)^2+(130-130)^2+...+(140-130)^2)/9]≈8.06解析思路：计算平均数、中位数、众数、极差和标准差。5.（1）平均分=(85+90+92+88+93+95+87+86+89+91)/10=89.2（2）中位数=89.2（3）众数=89.2（4）极差=95-85=10（5）标准差=√[Σ(xi-x̄)^2/(n-1)]=√[((85-89.2)^2+(90-89.2)^2+...+(91-89.2)^2)/9]≈2.18解析思路：计算平均数、中位数、众数、极差和标准差。6.（1）平均分=(75+80+85+70+90+82+78+88+79+85)/10=81（2）中位数=81（3）众数=81（4）极差=90-70=20（5）标准差=√[Σ(xi-x̄)^2/(n-1)]=√[((75-81)^2+(80-81)^2+...+(85-81)^2)/9]≈4.08解析思路：计算平均数、中位数、众数、极差和标准差。三、参数估计1.（1）μ的置信度为0.95的置信区间=(75-1.96*4/√10,75+1.96*4/√10)=(72.08,77.92)（2）σ的置信度为0.95的置信区间=(2*√[4/10],2*√[4/10])=(1.26,1.26)解析思路：使用t分布表查找t值，计算置信区间。2.（1）λ的置信度为0.90的置信区间=(6-1.645*√[6*0.5*(1-0.5)],6+1.645*√[6*0.5*(1-0.5)])=(5.05,6.95)（2）σ^2的置信度为0.90的置信区间=[(5.5-6)^2/5,(5.5+6)^2/5]=(0.09,0.81)解析思路：使用正态分布和卡方分布表查找z值和χ^2值，计算置信区间。3.（1）θ的置信度为0.95的置信区间=(4-1.96*2/√10,4+1.96*2/√10)=(3.28,4.72)（2）σ^2的置信度为0.95的置信区间=[(4-4)^2/10,(4-4)^2/10]=[0,0]解析思路：使用t分布表查找t值，计算置信区间。4.（1）λ的置信度为0.90的置信区间=(2-1.645*√[2*0.5*(1-0.5)],2+1.645*√[2*0.5*(1-0.5)])=(1.23,2.77)（2）σ^2的置信度为0.90的置信区间=[(2-2)^2/2,(2-2)^2/2]=[0,0]解析思路：使用正态分布和卡方分布表查找z值和χ^2值，计算置信区间。5.（1）p的置信度为0.95的置信区间=(0.4-1.96*√[0.3*0.7/10],0.4+1.96*√[0.3*0.7/10])=(0.28,0.52)（2）σ^2的置信度为0.95的置信区间=[(4.5-0.4*10)^2/9,(4.5-0.4*10)^2/9]=[0.04,0.64]解析思路：使用正态分布和卡方分布表查找z值和χ^2值，计算置信区间。6.（1）μ的置信度为0.95的置信区间=(50-1.96*5/√10,50+1.96*5/√10)=(48.08,51.92)（2）σ的置信度为0.95的置信区间=[(5-2)^2/10,(5-2)^2/10]=[0.25,0.25]解析思路：使用t分布表查找t值，计算置信区间。四、假设检验1.（1）单样本t检验的p值=0.05（2）双样本t检验的p值=0.05解析思路：使用t分布表查找t值，比较p值与显著性水平α，判断是否拒绝原假设。2.（1）单样本z检验的p值=0.05（2）双样本z检验的p值=0.05解析思路：使用标准正态分布表查找z值，比较p值与显著性水平α，判断是否拒绝原假设。3.（1）单样本t检验的p值=0.05（2）双样本t检验的p值=0.05解析思路：使用t分布表查找t值，比较p值与显著性水平α，判断是否拒绝原假设。4.（1）单样本z检验的p值=0.05（2）双样本z检验的p值=0.05解析思路：使用标准正态分布表查找z值，比较p值与显著性水平α，判断是否拒绝原假设。5.（1）单样本z检验的p值=0.05（2）双样本z检验的p值=0.05解析思路：使用标准正态分布表查找z值，比较p值与显著性水平α，判断是否拒绝原假设。6.（1）单样本t检验的p值=0.05