场论初步课件

机动目录上页下页返回结束场论初步一、场的表示法函数(物理量的分布)数量场

(数量函数)场向量场(矢量函数)如:温度场,电位场等如:力场,速度场等机动目录上页下页返回结束二、方向导数定义:若函数则称为函数在点

P处沿方向l

的方向导数.在点处沿方向l

(方向角为)存在下列极限:机动目录上页下页返回结束记作定理:则函数在该点沿任意方向

l

的方向导数存在,证明:由函数且有在点P

可微,得机动目录上页下页返回结束故机动目录上页下页返回结束对于二元函数为,)的方向导数为特别:•当l与x

轴同向•当l与x轴反向向角例1.求函数

在点

P(1,1,1)沿向量3)的方向导数.机动目录上页下页返回结束解:

向量

l

的方向余弦为例2.

求函数在点P(2,3)沿曲线朝x

增大方向的方向导数.解:将已知曲线用参数方程表示为它在点P

的切向量为机动目录上页下页返回结束例3.设是曲面在点P(1,1,1)处指向外侧的法向量,解:

方向余弦为而同理得方向的方向导数.在点P处沿求函数机动目录上页下页返回结束三、梯度方向导数公式令向量这说明方向：f

变化率最大的方向模:

f的最大变化率之值方向导数取最大值：机动目录上页下页返回结束1.定义即同样可定义二元函数称为函数f(P)在点P

处的梯度记作(gradient),在点处的梯度机动目录上页下页返回结束说明:函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.向量2.梯度的几何意义函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线),机动目录上页下页返回结束称为函数f

的等值线

.则L*上点P处的法向量为同样,对应函数有等值面(等量面)当各偏导数不同时为零时,其上点P处的法向量为指向函数增大的方向.3.梯度的基本运算公式机动目录上页下页返回结束例4.证:试证机动目录上页下页返回结束处矢径r的模,备用题

1.函数在点处的梯度解:则注意x,y,z

具有轮换对称性(92考研)机动目录上页下页返回结束指向B(3,－2,2)方向的方向导数是

.在点A(1,0,1)处沿点A2.函数提示:则(96考研)机动目录上页下页返回结束四、向量场的散度引例.设稳定流动的不可压缩流体的密度为1,速度场为理意义可知,设

为场中任一有向曲面,单位时间通过曲面

的流量为则由对坐标的曲面积分的物由两类曲面积分的关系,流量还可表示为机动目录上页下页返回结束若

为方向向外的闭曲面,

当>0时,说明流入

的流体质量少于当<0时,说明流入

的流体质量多于流出的,则单位时间通过

的流量为当=0时,说明流入与流出

的流体质量相等.流出的,表明

内有泉;表明

内有洞;根据高斯公式,流量也可表为机动目录上页下页返回结束③方向向外的任一闭曲面

,

记

所围域为

,设

是包含点

M且为了揭示场内任意点M处的特性,在③式两边同除以

的体积V,并令

以任意方式缩小至点M则有此式反应了流速场在点M的特点:其值为正,负或0,分别反映在该点有流体涌出,吸入,或没有任何变化.机动目录上页下页返回结束定义:设有向量场其中P,Q,R

具有连续一阶偏导数,

是场内的一片有向则称曲面,其单位法向量n,为向量场A

通过有向曲面

的通量(流量).在场中点M(x,y,z)处

称为向量场A

在点M

的散度.记作divergence机动目录上页下页返回结束表明该点处有正源,表明该点处有负源,表明该点处无源,散度绝对值的大小反映了源的强度.若向量场A

处处有,则称A

为无源场.例如,

匀速场故它是无源场.P16目录上页下页返回结束说明:由引例可知,散度是通量对体积的变化率,且*例5.置于原点,电量为q

的点电荷产生的场强为解:

计算结果与仅原点有点电荷的事实相符.机动目录上页下页返回结束五、向量场的旋度斯托克斯公式设曲面

的法向量为曲线

的单位切向量为则斯托克斯公式可写为机动目录上页下页返回结束令,引进一个向量记作向量rotA

称为向量场A的称为向量场A定义:沿有向闭曲线

的环流量.或①于是得斯托克斯公式的向量形式:旋度.机动目录上页下页返回结束rotation设某刚体绕定轴l

转动,M为刚体上任一点,建立坐标系如图,则角速度为,点M

的线速度为(此即“旋度”一词的来源)旋度的力学意义:机动目录上页下页返回结束向量场A

产生的旋度场穿过

的通量注意

与

的方向形成右手系!

为向量场A沿

的环流量斯托克斯公式①的物理意义:例6.求电场强度的旋度.解:(除原点外)这说明,在除点电荷所在原点外,整个电场无旋.机动目录上页下页返回结束的外法向量,计算解:

例7.设机动目录上页下页返回结束向量微分算子定义向量微分算子:它又称为▽(Na