潍坊二模数学答案及试题

潍坊二模数学答案及试题姓名：____________________

一、多项选择题（每题2分，共20题）

1.已知函数$f(x)=x^3-3x+1$，下列说法正确的是（）

A.函数的图像在x轴上有一个切点

B.函数在x=1时取得极大值

C.函数在x=0时取得极小值

D.函数在x=-1时取得极小值

2.在三角形ABC中，AB=AC，点D是BC边的中点，E是AD上的一点，且BE=ED，下列说法正确的是（）

A.$\angleABE=\angleCDE$

B.$\angleABE=\angleCBE$

C.$\angleABD=\angleACD$

D.$\angleABD=\angleACD+\angleCDE$

3.已知等差数列{an}的前n项和为$S_n$，且$S_3=12$，$S_5=30$，则公差d的值为（）

A.2

B.3

C.4

D.5

4.若函数$f(x)=ax^2+bx+c$的图像开口向上，且顶点坐标为$(1,2)$，则下列说法正确的是（）

A.a>0

B.b>0

C.a+b+c>0

D.ab>0

5.已知复数$z=a+bi$（其中a、b为实数），且$|z|=1$，则下列说法正确的是（）

A.$z\overline{z}=a^2+b^2$

B.$z+\overline{z}=2a$

C.$z\cdot\overline{z}=|z|^2$

D.$|z|^2=|z\cdot\overline{z}|$

6.在平面直角坐标系中，点A（1，2）关于直线y=x的对称点B的坐标为（）

A.（2，1）

B.（1，2）

C.（-2，-1）

D.（-1，-2）

7.已知函数$f(x)=x^3-6x^2+9x$，下列说法正确的是（）

A.函数在x=1时取得极大值

B.函数在x=2时取得极小值

C.函数的图像在x轴上有两个交点

D.函数的图像在x轴上有一个切点

8.在三角形ABC中，AB=AC，点D是BC边的中点，E是AD上的一点，且BE=ED，下列说法正确的是（）

A.$\angleABE=\angleCDE$

B.$\angleABE=\angleCBE$

C.$\angleABD=\angleACD$

D.$\angleABD=\angleACD+\angleCDE$

9.已知等差数列{an}的前n项和为$S_n$，且$S_3=12$，$S_5=30$，则公差d的值为（）

A.2

B.3

C.4

D.5

10.若函数$f(x)=ax^2+bx+c$的图像开口向上，且顶点坐标为$(1,2)$，则下列说法正确的是（）

A.a>0

B.b>0

C.a+b+c>0

D.ab>0

11.已知复数$z=a+bi$（其中a、b为实数），且$|z|=1$，则下列说法正确的是（）

A.$z\overline{z}=a^2+b^2$

B.$z+\overline{z}=2a$

C.$z\cdot\overline{z}=|z|^2$

D.$|z|^2=|z\cdot\overline{z}|$

12.在平面直角坐标系中，点A（1，2）关于直线y=x的对称点B的坐标为（）

A.（2，1）

B.（1，2）

C.（-2，-1）

D.（-1，-2）

13.已知函数$f(x)=x^3-6x^2+9x$，下列说法正确的是（）

A.函数在x=1时取得极大值

B.函数在x=2时取得极小值

C.函数的图像在x轴上有两个交点

D.函数的图像在x轴上有一个切点

14.在三角形ABC中，AB=AC，点D是BC边的中点，E是AD上的一点，且BE=ED，下列说法正确的是（）

A.$\angleABE=\angleCDE$

B.$\angleABE=\angleCBE$

C.$\angleABD=\angleACD$

D.$\angleABD=\angleACD+\angleCDE$

15.已知等差数列{an}的前n项和为$S_n$，且$S_3=12$，$S_5=30$，则公差d的值为（）

A.2

B.3

C.4

D.5

16.若函数$f(x)=ax^2+bx+c$的图像开口向上，且顶点坐标为$(1,2)$，则下列说法正确的是（）

A.a>0

B.b>0

C.a+b+c>0

D.ab>0

17.已知复数$z=a+bi$（其中a、b为实数），且$|z|=1$，则下列说法正确的是（）

A.$z\overline{z}=a^2+b^2$

B.$z+\overline{z}=2a$

C.$z\cdot\overline{z}=|z|^2$

D.$|z|^2=|z\cdot\overline{z}|$

18.在平面直角坐标系中，点A（1，2）关于直线y=x的对称点B的坐标为（）

A.（2，1）

B.（1，2）

C.（-2，-1）

D.（-1，-2）

19.已知函数$f(x)=x^3-6x^2+9x$，下列说法正确的是（）

A.函数在x=1时取得极大值

B.函数在x=2时取得极小值

C.函数的图像在x轴上有两个交点

D.函数的图像在x轴上有一个切点

20.在三角形ABC中，AB=AC，点D是BC边的中点，E是AD上的一点，且BE=ED，下列说法正确的是（）

A.$\angleABE=\angleCDE$

B.$\angleABE=\angleCBE$

C.$\angleABD=\angleACD$

D.$\angleABD=\angleACD+\angleCDE$

二、判断题（每题2分，共10题）

1.若函数$f(x)=x^2-4x+3$的图像与x轴有两个交点，则其判别式$\Delta>0$。（）

2.在等腰三角形ABC中，若AB=AC，则底角$\angleB=\angleC$。（）

3.二项式定理中的通项公式为$T_{r+1}=C_n^ra^{n-r}b^r$。（）

4.平面向量$\vec{a}$与$\vec{b}$的数量积$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$，其中$\theta$为$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角。（）

5.任意一个三角形都可以通过平移、旋转和翻折变换得到另一个三角形。（）

6.若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则第n项an可以表示为$an=a1+(n-1)d$。（）

7.在平面直角坐标系中，点A（1，2）到原点O的距离为$\sqrt{5}$。（）

8.若函数$f(x)=ax^2+bx+c$的图像开口向上，则a>0。（）

9.在复数域中，任意两个复数相乘的结果仍然是复数。（）

10.若函数$f(x)=x^3-3x+1$在x=0处取得极值，则该极值为极大值。（）

三、简答题（每题5分，共4题）

1.简述一元二次方程的解法，并举例说明。

2.请给出一个等差数列的前三项，并求出它的公差。

3.简述向量的基本运算，包括向量的加法、减法和数量积。

4.解释什么是函数的极值，并说明如何判断一个函数的极大值或极小值。

四、论述题（每题10分，共2题）

1.论述函数图像的对称性及其在实际问题中的应用。请结合具体例子，说明如何利用函数的对称性解决实际问题。

2.论述复数在数学中的重要性，并举例说明复数在解决实际问题中的应用。同时，讨论复数在数学发展史上的地位和作用。

试卷答案如下：

一、多项选择题

1.ABD

解析思路：函数的导数$f'(x)=3x^2-3$，令$f'(x)=0$得$x=\pm1$，分别代入原函数可得$f(1)=-1$，$f(-1)=2$，因此函数在x=1时取得极小值，在x=-1时取得极大值，且图像在x轴上有一个切点。

2.ACD

解析思路：由等腰三角形的性质知，$\angleA=\angleC$，又因为BE=ED，所以$\angleABE=\angleCDE$，$\angleABD=\angleACD$。

3.B

解析思路：由等差数列的前n项和公式$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$，代入$S_3=12$和$S_5=30$，解得$a_1=2$，$a_5=10$，公差$d=\frac{a_5-a_1}{5-1}=2$。

4.A

解析思路：函数的顶点坐标为$(1,2)$，则顶点公式$\frac{-b}{2a}=1$，代入得$b=-2a$，又因为$a>0$，所以函数开口向上。

5.ACD

解析思路：复数的模长$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$，所以$z\overline{z}=a^2+b^2$，复数与自身的乘积等于模长的平方。

6.A

解析思路：点A（1，2）关于直线y=x的对称点B的坐标为（2，1），因为对称点的横纵坐标互换。

7.ABD

解析思路：函数的导数$f'(x)=3x^2-12x+9$，令$f'(x)=0$得$x=1$或$x=3$，分别代入原函数可得$f(1)=-1$，$f(3)=0$，因此函数在x=1时取得极小值，在x=3时取得极大值，且图像在x轴上有两个交点。

8.ACD

解析思路：由等腰三角形的性质知，$\angleA=\angleC$，又因为BE=ED，所以$\angleABE=\angleCDE$，$\angleABD=\angleACD$。

9.B

解析思路：由等差数列的前n项和公式$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$，代入$S_3=12$和$S_5=30$，解得$a_1=2$，$a_5=10$，公差$d=\frac{a_5-a_1}{5-1}=3$。

10.ACD

解析思路：函数的顶点坐标为$(1,2)$，则顶点公式$\frac{-b}{2a}=1$，代入得$b=-2a$，又因为$a>0$，所以函数开口向上。

二、判断题

1.错误

解析思路：判别式$\Delta=b^2-4ac$，若$\Delta>0$，则方程有两个不相等的实根。

2.正确

3.正确

4.正确

5.正确

6.正确

7.正确

8.正确

9.正确

10.错误

三、简答题

1.一元二次方程的解法包括配方法、公式法和因式分解法。配方法是将方程左边写成完全平方形式，公式法是使用一元二次方程的求根公式，因式分解法是将方程左边分解成两个一次因式的乘积。例如，方程$x^2-5x+6=0$，可以通过因式分解法得到$(x-2)(x-3)=0$，解得$x=2$或$x=3$。

2.例如，等差数列的前三项可以是1，4，7，公差d=4-1=3。

3.向量的基本运算包括向量的加法、减法和数量积。向量的加法是将两个向量的对应分量相加；向量的减法是将两个向量的对应分量相减；向量的数量积是两个向量的对应分量乘积之和。

4.函数的极值是指函数在某一点附近的局部最大值或最小值。判断一个函数的极大值或极小值可以通过求导数的方法，如果导数为0且导数的符号发生改变，则该点为极值点。例如，函数$f(x)=x^3-3x+1$在x=1处取得极小值，因为导数$f'(x)=3x^2-3$在x=1处为0，且导数在x=1的左侧为负，在右侧为正，所以x=1是极小值点。

四、论述题

1.函数图像的对称性是指函数图像关于某条直线或某个点对称。这种对称性在实际问题中的应用很广泛，例如，在物理学中，物体在重力作用下的运动轨迹是抛物线，而