辽宁大连市2024年高考数学一模试卷含解析

辽宁大连市2024年高考数学一模试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.如图所示点尸是抛物线y2=8x的焦点，点A、4分别在抛物线及圆/+），2一4%-12=0的实线部分上

运动，且A8总是平行于工轴，则的周长的取值范围是（）

A.（6,10）B.（8,12）C.[6,8]D.[8,12]

2.设S〃为等差数列｛«,｝的前〃项和，若%=-3,57=-7,则S”的最小值为（）

A.-12B.-15C.-16I）.-18

3.已知2#=3〉=6,则。，b不可能满足的关系是（）

A.a+b=abB.a+b>4C.+（〃一1『v2D.a2+h2>S

4.在平面直角坐标系xO），中，已知点4（0,-2）,/V（I,0）,若动点用满足瑞=后,则OMON的取值范围是

（）

/V.[0,2]B.[o,2&]

C.[-2,2]D.[-2五20]

5.已知点A（z，yJ,85,为）是函数/㈤=。«+版2的函数图像上的任意两点，且>=/（力在点

Q产专矶处的切线与直线.平行，贝也）

A.。=0,。为任意非零实数B.6=0,。为任意非零实数

C.°、b均为任意实数D.不存在满足条件的实数mb

6.i是虚数单位，若乎=a+〃（a）eR）,则乘积的值是（）

2-1

A.-15B.-3C.3D.15

7.下列函数中，既是偶函数又在区间（0,+?）上单调递增的是（）

A.y=\fxB.f（x）=xs\nxC./（x）=x2+\x\D.y=|x+l|

8.如图所示，网络纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为（）

D.8

3

9.己知函数/(x)=3x+2cosx,若。=/(30),〃=/(2),

c=/(log27),JHi|a,btc的大小关系是()

A.a<h<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a

1

10.的二项展开式中，F的系数是（）

70B.-70C.28D.-28

11.已知函数人工）="（〃>0,且awl）在区间W，2间上的值域为［〃?,2间，则。=（）

1c.2或及D.1或4

A.B.-

4lo4

sini2x+—Il0<x<

12.函数f(x)=的值域为（

I3大)

4J°4C.[0.1]D.'I'0

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知集合A={x|,E=2k-l,AwZ},H={x\x=2kyk^Z}t则Ap|B=

14.在直角坐标系中，某等腰直角三角形的两个顶点坐标分别为（1，1），（2,2）,函数

/(x)=加in(ar+°)A>0,0</<奉帆|<y的图象经过该三角形的三个顶点，则J\x)的解析式为

乙乙)

/W=------

15.若sin0+5)=-；,二£(0,万)，贝！|cosa=.

16.已知x,y满足约束条件,厂—.则——■-一匚的最小值为___

［口一口一JN。i—,Jj

口+口TS0

IX+/N0

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数/(#=|2工一。|十|不一24+3|.

(1)当。=2时，解关于x的不等式/")«9；

(2)当。工2时，若对任意实数x,都成立，求实数。的取值范围.

18.(12分)已知函数/(1)=卜一1|十|x-d|

(I)当。=2时，解不等式f(x)N4.

(II)若不等式恒成立，求实数。的取值范围

19.(125?)如图，在四棱锥〜―ABC。中，侧面PA。为等边三角形，且垂直于底面ABCO,

AB=BC=\,NBAD=NABC=90,ZADC=45，M,N分别是AD,PD的中点.

(1)证明：平面CMN//平面QA3；

।・2.

(2)已知点E在棱PC上且"=求直线NE与平面R仍所成角的余弦值.

20.(12分)某企业原有甲、乙两条生产线，为了分析两条生产线的效果，先从两条生产线生产的大量产品中各抽取

了100件产品作为样本，检测一项质量指标值.该项指标值落在［20,40)内的产品视为合格品，否则为不合格品.

甲生产线样木的领率分布图

乙生产线样本的频数分布表

质量指标[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45]合计

频数2184814162100

(1)根据甲生产线样本的频率分布直方图，以从样本中任意抽取一件产品且为合格品的频率近似代替从甲生产线生产

的产品中任意抽取一件产品且为合格品的概率，估计从甲生产线生产的产品中任取5件恰有2件为合格品的概率；

(2)现在该企业为提高合格率欲只保留其中一条生产线，根据上述图表所提供的数据，完成下面的2x2列联表，并

判断是否有90%把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与生产线有关？若有90%把握，请从合格率的角度分析

32

21.(12分)已知函数F(x)=--x+x4-2a,G(x)=a\nxt设f(x)=F'(x)-G(x).

6

(1)当。=一3时，求函数/(x)的单调区间;

（2）设方程r（x）=c（其中。为常数）的两根分别为。，夕（。<〃），证明；尸（2—]<。.

（注：/"（“是广（”的导函数）

x=4cosa

22.（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为〈）,（。为参数），将曲线C上各点纵坐标伸长到

y=2sina

原来的2倍（横坐标不变）得到曲线C-以坐标原点。为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线/的极坐标

方程为4/（:。3，+3夕31118—25=0.

（1）写出G的极坐标方程与直线/的直角坐标方程；

（2）曲线G上是否存在不同的两点M（4，a）,N（4，a）（以上两点坐标均为极坐标，0<a<2乃，0<4<2不）,

使点M、N到/的距离都为3?若存在,求ia-ai的值；若不存在，请说明理由.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

根据抛物线方程求得焦点坐标和准线方程，结合定义表示出卜片；根据抛物线与圆的位置关系和特点，求得8点横坐

标的取值范围，即可由的周长求得其范围.

【详解】

抛物线y2=8x,则焦点打2,0）,准线方程为x=-2,

根据抛物线定义可得\AF\=xA+2t

圆（公2『+），2=16,圆心为（2,0）,半径为4,

点A、3分别在抛物线）3=8x及圆/+-4x-12=0的实线部分上运动，解得交点横坐标为2.

点A、8分别在两个曲线上，AB总是平行于x轴，因而两点不能重合,不能在-v轴上,则由圆心和半径可知与w（2,6）,

则\FAB的周长为日+|人冏+忸曰=丫k+2+%—+4=6+x力，

所以6+/«8』2),

故选：B.

【点睛】

本题考查了抛物线定义、方程及几何性质的简单应用，圆的几何性质应用，属于中档题.

2、C

【解析】

根据已知条件求得等差数列加“｝的通项公式，判断出S”最小时〃的值，由此求得S”的最小值.

【详解】

(1-+2t/=—39

依题意r，解得％=-7,d=2,所以。“二2〃-9.由4=2〃-9工。解得〃<一，所以前〃项和中，前

7%+214=-72

4项的和最小，且S,=4q+6d=-28+12=-16.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查等差数列通项公式和前〃项和公式的基本量计算，考查等差数列前〃项和最值的求法，属于基础题.

3、C

【解析】

根据2"=3'=6即可得出。=l+log?3,/>=l+log32,根据Iog234og32=l,log32+log32>2,即可判断出结

果.

【详解】

•・・2“=3〃=6;

:.a=log,6=1+log,3,b=log36=l+log32；

：.a+b=2+log23+log32>4,ab=2+log23+log32>4,故AA正确；

(〃一1『+(力-1,=(log?3『+(log321>2log23-log,2=2,故C错误：

22

・・・/+b=2+2(log23+log?2)+(log23『+(log32)

>2+4^/log23log32+2log23-log32=8,故D正确

故C.

【点睛】

本题主要考查指数式和对数式的互化，对数的运算，以及基本不等式：a+b22疝和不等式〃2+从22而的应用,

属于中档题

4、D

【解析】

设出M的坐标为（"'，），依据题目条件，求出点M的轨迹方程丁+（>，-2>=8,

写出点M的参数力程，贝iJOM.ON=2夜cos夕，根据余弦函数自身的范围，可求得OMON结果.

【详解】

设,则

喘M3-2）

・•・7^7西a

x2+（y+2了=2（x2+y2）

:.V+（y-21=8为点M的轨迹方程

x-2夜cos0

・♦•点M的参数方程为L（。为参数）

y=2+2V2sin6>

则由向量的坐标表达式有：

OMON=2&cos。

又：cos6c[—1,1]

:.0MoM=2V2cos0G[-2V2,2V2]

故选：D

【点睛】

考查学生依据条件求解各种轨迹方程的能力，熟练掌握代数式转换，能够利用三角换元的思想处理轨迹中的向量乘积,

属于中档题.求解轨迹方程的方法有：①直接法；②定义法；③相关点法；④参数法；⑤待定系数法

5、A

【解析】

求得/（M的导函数，结合两点斜率公式和两直线平行的条件：斜率相等，化简可得。=o,〃为任意非零实数.

【详解】

依题意/'。）=a+2所，），=/（1）在点］工产,/（工产））处的切线与直线AB平行，即有

J+依+%）=agbSbx；

2J"+"42-“1

底书）+bq+x2）,所以J2（：+Y）=区:A，由于对任意与天上式都成立，可得4=0,人为非

零实数.

故选：A

【点睛】

本题考查导数的运用，求切线的斜率，考查两点的斜率公式，以及化简运算能力，属于中档题.

6^B

【解析】

1+7/（1+7/）（2+/）।.,,.,&40

------=----------------=-l+3z,,・。=-1,。=3,。力=-3,选B.

2-/5

7、C

【解析】

结合基本初等函数的奇偶性及单调性，结合各选项进行判断即可.

【详解】

A：），=人为非奇非偶函数，不符合题意；

R：/（%）=工$出工在（0,+8）上不单调，不符合题意；

C：y=£+|x|为偶函数，且在（0,+8）上单调递增，符合题意；

。：》二卜+1|为非奇非偶函数，不符合题意.

故选：c.

【点睛】

本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题.

8、A

【解析】

先由三视图确定该四棱锥的底面形状，以及四棱锥的高，再由体积公式即可求出结果.

【详解】

由三视图可知，该四棱锥为斜着放置的四棱锥，四棱锥的底面为直角梯形，上底为1,下底为2,高为2,四棱锥的高

为2,

所以该四棱锥的体积为V=gxgx(l+2)x2x2=2.

故选A

【点睛】

本题主要考查几何的三视图，由几何体的三视图先还原几何体，再由体积公式即可求解，属于常考题型.

9、D

【解析】

根据题意，求出函数的导数，由函数的导数与函数单调性的关系分析可得/仄)在R上为增函数，又由

2=log24<log27<3<3^,分析可得答案.

【详解】

解：根据题意，函数/(x)=3x+2cosx,其导数函数r*)=3-2sinx,

则有f'(x)=3-2sinx>0在R上恒成立，

则.AM在R上为增函数：

又由2=log24<log〃<3<3巴

则〃VCV4：

故选：D.

【点睛】

本题考查函数的导数与函数单调性的关系，涉及函数单调性的性质，属于基础题.

10、A

【解析】

18-33

试题分析：由题意得，二项展开式的通项为4+1=(—J=)'=(-l),C；x2,令8-1r=2=>r=4,所以产的

系数是(-I)'。；=70,故选A.

考点：二项式定理的应用.

11、C

【解析】

对。进行分类讨论，结合指数函数的单调性及值域求解.

【详解】

分析知，〃2>().讨论：当4>1时，，所以""=2,"2=2,所以〃=也；当0VCY1时，J,1”,

[a2m=2m[a2m=m

所以""=!，〃?=!，所以.综上，a4或°=&,故选C.

241616

【点睛】

本题主要考查指数函数的值域问题，指数函数的值域一般是利用单调性求解，侧重考查数学运算和数学抽象的核心素

养.

12、A

【解析】

由KtO,y^计算出2%+(的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求得函数)，=/(犬)的值域.

【详解】

vxe0,—,/.2x+—e—sin2x+—1<1,

「12」3|.36」2I3)

因此，函数/(%)=sin(2x+()(0<x<£)的值域为一;,1.

故选：A.

【点睛】

本题考查正弦型函数在区间上的值域的求解，解答的关键就是求出对象角的取值范围，考查计算能力，属于基础题.

二、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分.

13、0

【解析】

利用交集定义直接求解.

【详解】

解:集合人=31=2&-1,左£2｝=｛奇数｝,

B=｛x\x=2k,keZ｝=｛偶数｝,

.\Ar>B=0.

故答案为：0.

【点睛】

本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.

7T7T

—A--

(36

【解析】

结合题意先画出直角坐标系，点出所有可能组成等腰直角三角形的点，采用排除法最终可确定为尸点，再由药数性质

进一步求解参数即可

【详解】

等腰直角三角形的第三个顶点可能的位置如下图中的点4B,C,D,E,F,其中点AB,C,。与已有的两个

顶点横坐标重复，舍去；若为点E则点石与点(2,2)的中间位置的点的纵坐标必然大于2或小于-2,不可能为(11)，

因此点上也舍去，只有点尸满足题意.此时点(2,2)为最大值点，所以/(x)=2sinM+。)，又()<3杉，贝U

；=或>1,所以点(W),(2,2)之间的图像单调，将(1J),(2,2)代入的表达式有

7127T

sin®+0)=—a>+(p=—+2K7r

72=>,6n

分乃公・71

sin(2o+9)=12。+0=耳+2人万(p=——+2k兀,keZ,

6

故答案为：2sin停x-看)

【点睛】

本题考查由三角函数图像求解解析式，数形结合思想，属于中档题

2〃+1

!□>--------

6

【解析】

因为06(。,4)，所以a+£66，?)，又$而(1+》=一:<0,所以1+2(兀冬)，则8$9+》=一\「^1?=一斗

66663666V33

rzn、兀[z冗、兀•/冗、•兀,20、J5,1、12#+1

所以cosa=cos[(a+-)—J=cos(a+-)cos—+sin(a+—)sin—=(-----)x——+(——)x—=--------.

66666632326

16、m

【解析】

先根据约束条件画出可行域，再由二=二二表示直线在)，轴上的截距最大即可得解.

X,y满足约束条件____/之。，画出可行域如图所示.目标函数二二2二一二即二二2匚.二

三十三一3

2二

平移直线二=2□.二，截距最大时即为所求.

(:二—点A(fP，

k-z-/=a5

z在点4处有最小值：z=2.

故答案为：

J

【点睛】

本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

214

17、(1){xw7?|-2WxW4}(2)(―^＞,—]U[~^~,+8)

【解析】

(1)当。=1时，利用含有一个绝对值不等式的解法，求得不等式的解集.(2)对4分成。＞2和。＜2两类，利用零

点分段法去绝对值，将/(x)表示为分段函数的形式，求得/(x)的最小值，进而求得〃的取值范围.

【详解】

(1)当4=2时，/("二电一1|

由广⑺<9得以一“<3

由|x-l|K3得—3<x—1«3

解：-3<x-l<3,得-2Wx44

・•・当〃=2时，关于工的不等式/(x)W9的解集为{xtR|-24x<4}

3x-3a+3,x>2a-3

(2)①当。>2时,^<2«-3,/(%)=，x+a-3,—<x<2a-3

2

3a

所以“可在b8募J上是减函数，在是增函数,所以〃力.二/3,

2~2

由题设得”一324,解得。2f.②当。<2时，同理求得。《一^.

233

综上所述，〃的取值范围为

【点睛】

本小题主要考查含有一个绝对值不等式的求法，考查利用零点分段法解含有两个绝对值的不等式，属于中档题.

\7

18^(I)-{xx<——>nJtv>-r；(II)

22

【解析】

试题分析：(1)根据零点分区间法，去掉绝对值解不等式；(2)根据绝对值不等式的性质得““引〃一小为此将问

题转化为上/-1|22。恒成立，借此不等式即可.

试题解析:

,/、x<1fl<x<2x>2

⑴由小)“得，或［1,4或

2x-3>4

1、7

解得：x<——»>—

22

I7

所以原不等式的解集为xxw-；；，.

22

(II)由不等式的性质得：/(x)>|«-l|,

要使不等式/([)>2〃恒成立，贝U|〃-1|>勿「

当“W0时，不等式恒成立；

当。>()时，解不等式|。一1|22。得

,4t1

综上aW二.

•J

“«

所以实数”的取值范围为I工・

19、(1)证明见解析：(2)

2

【解析】

(1)由平面几何知识可得出四边形48cM是平行四边形，可得。历//48二>。"〃面上48,再由面面平行的判定

可证得面面平行；

(2)由(1)可知，户两两垂直，故建立空间直角坐标系，可求得面/MB的法向量，再运用线面角的向

量求法，可求得直线NE与平面a钻所成角的余弦值.

【详解】

(1)-ZBAD=ZABC=90,..AO//BC又ZAOC=45",AB=BC=\t/.AC>=2,

而M、N分别是AO、PT)的中点，.•.MN//E4,故MN〃面PAB,

又且AM=3C,故四边形八4cM是平行四边形,1.CM//八B=>CM//面RW,

又MV,CM是面CMN内的两条相交直线，故面CMN//面PAB.

(2)由(1)可知，MC,M£＞，例?两两垂直,故建系如图所示，则

A(O,-1,O),Z?(I,-I,O),C(1,O,O),£)(O,IO),F(()0,6),N(0L，

3CP，"£(3,0,3-JV£_(3，-2，V)

...AB=(1,0,0),PA=(0,-l,-V3),VCE=

[x=0

设片(x,y,z)是平面B43的法向量

s/3z=0

G百

T+T73

令z=l,则〃=(0,-0,1)cos〈NE,,=

IXTT=T，

Vo419

「•直线^E与平面A43所成角的余弦值为

本题考查空间的面面平行的判定，以及线面角的空间向量的求解方法，属于中档题.

20、(1)0.0081(2)见解析，保留乙生产线较好.

【解析】

⑴先求出任取一件产品为合格品的频率，“从甲生产线生产的产品中任取5件，恰有2件为合格品”就相当于进行5次

独立重复试验，恰好发生2次的概率用二项分布概率即可解决.(2)独立性检验算出K~的观测值即可判断.

【详解】

(1)根据甲生产线样本的频率分布直方图，样本中任取一件产品为合格品的频率为:

0.032x5+0.080x5+0.032x5+0.036x5=0.9.

设“从甲生产线生产的产品中任取一件且为合格品”为事件A,事件A发生的概率为〃，则由样本可估计〃=0.9.

那么“从甲生产线生产的产品中任取5件，恰有2件为合格品”就相当于进行5次独立重复试验，事件4恰好发生2次,

其概率为：C-/r(l-/9)3=0.0081.

(2)2x2列联表:

甲生产线乙生产线合计

合格品9096186

不合格品10414

合计100100200

200x(90x4-96xlQ)2

K?的观测值4=w2.765,

186x14x100x100

V2.765>2.706,P(A：2>2.706)=0.100,

工有90%把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与生产线有关.

由(1)知甲生产线的合格率为0.9,

18+48+14+16

乙生产线的合格率为=0.96,

100

V0.96>0.9,

・♦・保留乙生产线较好.

【点睛】

此题考查独立重复性检验二项分布概率，独立性检验等知识点，认准特征代入公式即可，属于较易题目.

21、(1)f(x)在(0,3)上单调递增，在(3.+0。)上单调递减.(2)见解析

【解析】

(D求出导函数f(x),由:*)>。确定增区间，由广(用<。确定减区间;

(2)求出含有参数〃的再求出由