考研数学二（解答题）高频考点模拟试卷8（共135题）

考研数学二(解答题)高频考点模拟试

卷8(共9套)

(共135题)

考研数学二(解答题)高频考点模拟试

卷第1套

一、解答题(本题共75题，每题1.0分，共75分。)

1、设A为n阶矩阵(n22),A为A*的伴随矩阵，证明

n，当r(A)=n9

r(4・)=，1,当"A)=n-1,

0,当r(A)Wn-2.

标准答案：⑴当r(A)=n时，IAI/),则有IA*I=IAI向川.从而A*可逆，

即r(A*)=n.(2)当r(A)=n—1时，由矩阵秩的定义知，A中至少有一个门一1阶子

式不为零，即A*中至少有一个元素不为零，故r(A)*.又因r(A)=n—1时，有I

AI=0,且由AA*=|A|E知，AA*=O.因此根据矩阵秩的性质得r(A)+r(A*)Sn,

把r(A)=n—1代入上式，得r(A*)$l.综上所述，有r(A*)=1.(3)当r(A)fn—2

时，A的所有n—1阶子式都为零，也就是A*的任一元素均为零，即A*=O,从而

r(A*)=0.

知识点解析：暂无解析

1

2、设f(x)在［a,b］上连续，在(a,b)内可导，且b-Mabf(x)dx=f(b).求证：在(a,6)

内至少存在一点匕，使“9=0.

标准答案：因为f(x)在［a,b］上连续，由积分中值定理可知，在(a,b)内至少存在一

1

点c使得f(c)=b-aJabf(x)dx.这就说明f(c尸f(b).根据假设可得f(x)在［c,b］上连

续，在(c,b)内可导，故由罗尔定理知，在(c,b)内至少存在一点。使f(9=0,

其中^G(c,b)C(a,b).

知识点解析：暂无解析

3、设f（%）在|a,b]上有定义，M>0且对任意的％,y€[a,b],有.I政）一f（y）I

<MIx-yIk.⑴证明：当k>0时，敢）在[a，b]上连续；（2）证明：当k>l时，

f（炉常数.

标准答案：（1）对任意的％o€[a,b],由已知条件得00I股）一f（%o）IWMI%—xoI

lim

，i〃f（x）=f（%o）,再由油的任意性得政）在[a,b]上连续.（2）对任意的x（）W[a,

f（X）—/（XO）

b],因为k>l,所以OsMIx-xnIk-1,由夹逼定理得？（w）

=0,因为％o是任意一点，所以？（x）三0，故f（%）三常数.

知识点解析：暂无解析

.b、2(6—a)

In—>-----,,

4、设b>a>0,证明：aQ+6

2(b-a)

In”-----------0

标准答案:a+b(a+b)(Inb-Ina)-2(b—a)>0.令<P(X)=(a+7)(lnx

—Ina)—2(%—a),(p(a)=0,(p<%)—lna+“-1,(p<a)=O,(p"(%)=

1ax-a仅”(2)>0Q>a),

xJC2工2>O(x>a).由'夕(a)=°，得<p'(X)>O(%>a),再

中'(x)>0(x>a)•

由(p(a)=0,得(p(%)>O(%>a),所以(p(b)>0,原不等式得证.

知识点解析：暂无解析

5、设函数x=x（y）由方程*（丫乜广=丫所确定，试求不定积分J》一"

标准答案：令y—x=t,则(y—t)t2=y,故

,3汽/一1)-2/〃一「一3~力

*=(*_1厂山一甲E七'

从而有r4-3f.,ft3-3t

(?-1)2J(/-I)?

由jlz?jL=_A-+B+工+

0-1*L1(£-1>£+1(f+D得^^^相

一I-1)+B(P+2i+1)+C(l3-t2-t+l)+D(t2-2t+1)=(A+C)P+(A+B—C+D)，+(一

A+2B—C-2D)t—A+B+C+D.比较t的同次嘉的系数得

A+C=l,

A+B-C+D=O,

[-A+2B-C-2D=-3,

[-A+B+C+D=0.

解出A=C=D=1,B=一母♦所以

J土岛-昌尹rh+母

=y(inIt-1l+^j+ln"+1|—^7j)+C

TW-II+EI)+C

回代•yin|(y-zT-1|+-------2~r+G

/=y—x2(>-x)-1

知识点解析：暂无解析

6、求函数z=x?y(4-x-y)在由直线x+y=6,x轴和y轴所围成的区域D上的最大道与

最小值.

标准答案：区域D如图7.1所示，它是有界闭区域.z(x,y)在D上连续，所以在

D上一定有最大值与最小值，它或在D内的驻点达到，或在D的边界上达到.为

业向

求D内驻点，先求dx=2xy(4-x-y)-x2y=xy(8-3x-2y),口=x2(4-x-y)-x2y=x2(4-x-

2y).再解方程组得z(x,y)在D内的唯一驻点(x,y)=(2,1)且z(2,1)=4.在D的

宓界y=O,0<x<6或x=0,0<y<6上z(x,y)=O；在边界x+y=6(0gxS6)上将y=6-x代

入得z(x,y)=x2(6-x)(-2)=2(x3-6x2),0<x<6.令h(x)=2(x3-6x2),则h，(x尸6(x2-4x),

h，(4)=0,h(0)=0»h(4)=-64,h(6)=0,即z(x,y)在边界x+y=6(0Sxg6)上的最大值为

0,最小值为-64.因此，z(x,y)=4,=-64.

知识点解析：暂无解析

,(*♦/)'(0,0),

7、设f(x,y)=(2)=(0，。)，(I)求也(口)讨论f(x,y)在点(0,0)

处的可微性，若可微并求dfI(o.o).

亚=2.2_2/尸

标准答案：(I)当(x,y#(0,0)时，力当(x,y)=(0,0)时,

叫

因f(x,0)=0(vx),于是二1《。，。)=0.由对称性得当(x,y»(0,0)时

曳

df=2-y_2/1曳亚

222

ayX+y(x+'dy(°a=0.(口)考察7'仃在点(0,0)处的连续性.注

4

£1,于是W41yl.

=lim—=0=—•lim学=0=#],

(0.0)<*.y>—<o,o)dyoyI(Q,Q)即

意

<曳

做'砂在点(0,0)处均连续，因此f(x,y)在点(0,0)处可微.于是

d/l(oa=患ck4亚dy=0.

(0.0)dy(0,0)

知识点解析：暂无解析

8、求微分方程yy"=y2满足初始条件y(o)=y，(o)=i的特解.

p驳yp"或y4^—/>)=0.

标准答案：令y=P,则广"力，代入原方程得"打〃1妙,当

p=0时，y=l为原方程的解；当p川时，由

岁半」=0得半一与=0,解得e=Cd>=Gy,,1

力力>由y(0尸y，(())=l得C]=l,于是

小，解得y=Qe卜Zc2eX,由y(O)=i得C2=l，所以原方程的特解为y=eX.

知识点解析：暂无解析

-100-

I0]

9、设人=。°1°」，⑴证明当n>l时An=An-2=+?\2—E.⑵求A\

标准答案：(l)An=Ai2+A2-E即An—An-2=A2-E.An-2(A2-E)=A2-E.只

要证明A(A?—E)=A2-E.此式可以直接检验：

0o-iri0o-|rio0-

A2-E=|01101-010

-00」]。1o」Loo1-

100]「100-00O'

I10-010100

-101」Lo0I--100-

ooirooon000-

A(A2-E)01100100=A2-E.

LO10JL100」0°J⑵把An=A42+

A2—E作为递推公式求Aln是偶数2k时:A2k=A2k々+A2-E=A2k-4+2(A2-

E)=....=k(A2-E)+E.n是奇数2k+l时：A2K+,=AA2K=A[k(A2-E)+E]=

k((A2-E)+A.

知识点解析：暂无解析

10、设ai，(X2，…，otn(nN2)线性无关，证明：当且仅当n为奇数时a1+a2，

。2十(X3，…，On+a1线性无关.

标准答案:设有X|,X2，…，Xn，使X|(ai+ct2)+X2((X2+a3)+…+Xn(an+ai)=0,即-

(x1+xn)a1+(x1+X2)a2+...+(Xn-1+xn)an=0,因为ai，...».线性无关，所以有

M+/=o

©+彳2-0

•••

工一+工=0,该方程组系数行列式Dn=l+(-1严In为奇数

xi=...=xn=0^ai+a2，a?+a3，…，an+ai线性无关.

知识点解析：暂无解析

11、设二次型f(xi，X2,X3)=XTAX=ax/+2x22-2x32+2bxix3，(b>0)其中A的特征

值之和为1,特征值之积为-12.(1)求a,b.(2)用正交变换化f(xi，X2,x”为标

准型.

■a06

020

标准答案：(1)AJ60-2」由条件知，A的特征值之和为1,即a+2+(-2)=l,得

Fxl1

a=l.特征值之积:12,即IAI=-12,而|AI=口=2(-24?)得b=2(b>0).则

(2)IXE-AI==(入-2代入+3),得A的特征值为2(二重)和-3(一重).对特征值2求两

个单位正交的特征向量，即(A-2E)X=0的非零解.得(A-2E)X=0的同解方程组X]-

2x3=0,求出基础解系口二(0,1,0)T,r|2=(2,0,1)T.它们正交，单位化：

ai=r|i，(12=方程XI-2X3=0的系数向量(1,0,-2),和r)i，r|2都正交，是属于一3的

一个特征向量，单位化得a3=作正交矩阵Q=（cq,«2，。3），则Q’AQ二作正交变换

222

X=QY,则它把f化为Y的二次型f=2yi+2y2-3y3.

知识点解析：暂无解析

+"心+

I=rcos^,r3dr-'dOFT

,则I

标准答案：令y=emd,Jo.o4

知识点解析：暂无解析

alcJ

0602

设A=-4C—a的一个特征值为无二2,其对应的特征向量为白=2

13、求常数a,b,c：

a+2+2c,2|a=-2-211

由川1翔26-4•解得r=2.则A=

020

标准答案:—44-2c4-2—2a=4lc=1-413

知识点解析：暂无解析

14、判断A是否可对角化，若可对角化，求可逆矩阵P,使得P“AP为对角矩

阵.若不可对角化，说明理由.

A4-2-1-1

0A-20

标准答案：由IE-AI=4一1=0,得入尸九2=2,13=

由（2E-A）X=0.得a：=4,。：=0,由（一£-4*=0.得a=0

34|111

1112

显然A可对角化•令P400.WJP/IP*2

1.041-1

知识点解析：暂无解析

15、求微分方程y”十4y，+4y=eax的通解，其中a是常数.

标准答案：齐次方程的特征方程为J+4r+4=0,解得特征根为口=[2=—2,故对应

的齐次方程的通解为r=（C]+C2X）e-2x.当a=-2时，设非齐次方程的特解为

J--L从而V，--©口

y*=Ax?/*,代入原方程得2'7AHi丁-21当时-2时，应设非齐次方程

8-i___即,•,=*

的特解为y*=Beax,代入原方程得一（。+2）2，-（。+2/,综上，原方程的通

22

f（G,+C2x+--xje\<j=-2,

y=

解为

知识点解析：暂无解析

考研数学二（解答题）高频考点模拟试

卷第2套

一、解答题（本题共75题，每题1.0分，共15分。）

1、求下列极限：

1+CO8X\*

一、..CM<-12/

(I)w=lim----------------------------------------；

ln(l+2x3)

x—O1-COS(X八_CO8X)

标准答案：(I)注意XT。时，

1-COS(X-COSX)-----，2(1-COSX4

铲%

=w=lim一一=4.

4x(口)因为

(1+广广_1~印+(11^55广-1]=2如匕吧

I/,COSX-1\cCOSX-1/1\

3nn(1+—一)~2^-------(十)2

=-T。)，

ln(l+2%)~

(1±£25?广_]

w=lim------------------------------

2Z(x->0),所以—ln(l+2%)

知识点解析：暂无解析

2、设随机变量X3,X2,X3相互独立，其中X］在［0,6］上服从均匀分布，X2服从

N(0,4),X3服从参数为入=3的泊松分布，记Y=X|-2X2+3X3,求D(Y).

JO)?

标准答案：由已知条件，D(Xi)=12=3,D(X2)=4,D(X3)=3.又XI，X2,X3

相互独立，从而D(Y尸D(XI)+4D(X2)+9D(X3尸3+4x4+9x3=46.

知识点解析：暂无解析

3、设函数f(%)在区间［0.a］上单调增加并有连续的导数，且f(0)=0,f(a)=b,求

证：J()af(%)d%+J()bg(%)d%=ab,其中g(%)是故)的反函数.

标准答案：令F(a)=Joaf(x)d%+J(/(a)g(%)dx-af(a),对a求导得F(a)=f(a)+

g［f(a)］f(a)-af(a)-f(a),由题设g(%)是f(%)的反函数知g［f(a)］=a,故P(a)=0,从

而F(a)为常数.又F(0)=0,故F(a)=0,即原等式成立.

知识点解析：暂无解析

4、设z(x,y)=x3+y3—3xy(I)—co<x<+co,—oo<y<+co,求z(x,y)的驻点与极

值点.(D)D={(x,y)I0<x<2,—2<y<2},求证：D内的唯一极值点不是z(x,y)

在D上的最值点.

-3y=0

3y2-3x=0

标准答案：(I)解方程组I打得全部驻点(0,0)与(1,1).再求

dx2dxdy6x

d2z,d2z.d2x,d2zd2z-3

—7=6x,--=-3,-T=6y

22

dx2dxdydy考察、dxdydy,(0,0)处

2

Qc)一(-30),AcB<0=>(0,0)不是极值点.(1,1)处

2

(8Cl1-36ltAC-B>0,A>O=>(1,1)是极小值点.因此z(x,y)的驻

点是(0,0),(1,1),极值点是(1,1)且是极小值点.(II)D内唯一极值点(1,I)是

极小值点,z(l,1)=-1.D的边界点(0,一2)处.z(0,-2)=(-2)3=-8<Z(1,1)

因z（x,y）在有界闭区域D上连续，必存在最小值，又z（0,-2）<Z（1,1）,（0,

—2）tD=>z（l,1）不是z（x,y）在D的最小值.

知识点解析：暂无解析

5、设A=（ai，a2,。3），B=（pi，例，饱）都是3阶矩阵.规定3阶矩阵

°^\P\alfl2aIfl3

C=^2fita2^2a2p3

-a；⑶a1p2证明C可逆的充分必要条件是A,B都可逆.

标准答案：由矩阵乘法的定义可看出（或用乘法的分块法则）0（pH例，

T

P3）=AB.于是ICI=I八丁||BI=IAIIBI.则ICI翔区IAIM并

且IBI#0即C可逆A,B都可逆.

知识点解析：暂无解析

6、设（I）和（口）都是4元齐次线性方程组，己知与=（1,0,1,1）T,以=（-1，0,

1,o）T,3（o,i,i,O）T是（i）的一个基础解系，m=（o,1,o,i）T,ri2=（hb-

1,0尸是（II）的一个基础解系.求（I）和（II）公共解.

标准答案：现在（I）也没有给出方程组，因此不能用例4.24的代入的方法来决定

CI，C2应该满足的条件了.但是（I）有一个基础解系。，匕2，匕3，CE1+C2n2满足

（I）的充分必要条件为Cini+C2r|2能用11，&2，&3线性表示，即r（&l，k，⑶

cini+c2n2尸K&i，及，①）.于是可以通过计算秩来决定ci，C2应该满足的条件:

r1-10：ciri00：c(]

121

001；Cj+c2010iCj-c2

1I1；-001：-2C1

-100iCl-

-000•3C]+c2-于是当3CI+C2=0时C1T]1+C2n2也

是（I）的解.从而（I）和（口）的公共解为：c（m-3n2），其中c可取任意常数.

知识点解析：暂无解析

Q[b\+c

a2b4

a3b2(I363+ca3b4

7、计算41a4b2a4b3

标准答案：记矩阵

0,0,0,aibi+a2b2+a3b3+a4b4从而A的特征值为c,c,c>aibi+a2b2+a3b3+

34b4+c.则IAI=c3(a1b1+a2b2-F3363+34644-c)

知识点解析：暂无解析

8、用配方法化二次型«力，X2，心）=%12+2%殍+2力心一故32为标准形.

标准答案：f（Xl>X2»%3）=%「+2%殍+2力％3—4/3-=（力+%2+/3）——（殍+%3）—

.ri+x2+1*3=yi»]|="一九，

令（孙+4=y2，或"=n2-必，，

%2,1—=，3，]3=%，即X=PY,其中P=

r7。|

°1T

=XTAX

'oo1'，则取1，%2，B）1E*=yi2-y22-4y32.

知识点解析：暂无解析

9^设A是3x3矩阵，ai,012，（13是三维列向量，且线性无关，已知Aai=a2+a3,

Aa2=ai+a3，Aa3=aj+a2.（1）证明:Aai,Aai，Aa3线性无关;（2）求IAI.

标准答案：（l）[Aai，AC2，Aa3]=[a2+a3，ai+aj,ai+a2]=[ai，02，as]

D1r011

记

101==【6，02，其中|C|=101

.110.110=2#0,C是可逆阵.（2）[Aai，

两边取行列式,得IAI二

011

101

110=2

知识点解析：暂无解析

10、设F(x)为f(x)的原函数,且当XK)时,八'*(”一而加，又F(0)=l,

F(x)>0,求f(x).

1

fje1e,r

标准答案：两边积分得F2(X)」(1+工>,解得F%x)=m+'*F(0)=l,

F(x)>0,得于是-=2(1+工)0

知识点解析：暂无解析

设二维非零向量a不是二阶方阵A的特征向量.

11、证明a,Aa线性无关；

标准答案：若a,Aa线性相关，则存在不全为零的数k],k2>使得kia+k2Aa=0,

显然k2¥0,所以"二一本，矛盾，所以a,Aa线性无关.

知识点解析：暂无解析

12、若A2a+Aa-6a=0,求A的特征值，讨论A可否对角化；

标准答案：由A2(x+Aa-6a=0,得(A，A-6E)a=0,因为*0,所以r(A2+A-6E)<2,

从而IA2+A-6EI=0,即I3E+AI.I2E-AI=0,则I3E+AI=0或I2E-AI

=0.若I3E+AI和，则3E+A可逆，由(3E+A)(2E-A)a=0,得(2E-A)a=0,即

Aa=2a,矛盾；若I2E-AI#),则2E-A可逆，由[2E-A)(3E+A)a=0,得

(3E+A)a=0,即Aa=-3a,矛盾，所以有I3E+AI=0且I2E-AI=0,于是二阶矩阵

A有两个特征值-3,2,故A可对角化.

知识点解析：暂无解析

4-1+'W(x，，z)dtS

13、设函数f(x,y,z)连续，且f(x,y,z)=%其中区域

〃二｛(x,，,z)|不『WzWl｝，求心，y,功的表达式.

两端积分有K=0y/x2+/dr+K^zdv.

而K=/d。/dr/r2dz+Kfpz)山=q♦9K,

JoJoJrJo64

标准答案：解得心急;,即{3)=足衣备

知识点解析：暂无解析

..arctan3x-sinx-2x

…V5x[ln(l4-x)-x]

14、求极限

标准答案：由麦克劳林展开式

1

arctanx=x--x1+o(x3),sinx=x-jy+o{x),ln(1+x)=x-y+o(x2)

因此

..arctan3x-sinx-2x

1-2x[ln(1+x)-x]

3x-4-(3x)5+o(x3)-[x--^-x3+o(F)]-2x

i.Jo

zlim-----------------------------------------------------------------------

“⑷2r亍12+心/2)\一”i]

53

T°

知识点解析：暂无解析

15、

已知(X,Y)为离散型分布,X的分布为:P(X=z)=p：,i=l,2,…，对每个式i=l,2,…)

在X=n的条件下,Y的条件分布为P{Y=MIX=/}=P川….(D求(X,y)的分布

P(X=z,Y=»}=%,i,j=l,2,…;(2)求Y的分布P{Y=%}=p；；(3)求Y=y的条件下X的

条件分布P{X=z|丫=»)=力川，：=】，2「,.

标准答案：

(1)利用乘法公式，得(X,Y)的概率分布为

P(X=x,,Y=yt}=P{Y=yt|X=jci}P{X=x,>(i,j=l,2,…)；

(2)Y的分布为

P；=P{Y=y}=WPLX=Z,Y=%}=*^，加G=1,2,…)；

(3)在Y=%的条件下X’的条件分布为j

Au=p4x-4|y-Yp>=W"(i=1,2,…).

知识点解析：暂无解析“

考研数学二(解答题)高频考点模拟试

卷第3套

一、解答题(本题共万题，每题1.0分，共15分。)

(V+z)士

1、求取)=(二—Darctanx的间断点并分类.

标准答秦：x=-1>%=0、x=l>%=2为政)的间断点，由

「〃,1-(J+D士

lim/(z)=lim-------------------e

x-i］一1(x-Darctanx=8得％=—1为第二类间断点,

lim/(x)=lim------€——e

由x-*oLOarctanz-1得x=O为可去间断点,

lim呵

由*7f(%)=8得％=1为第二类向断点，由f(2+0)="f2f(%)=+8得％=2为第二

类间断点.

知识点解析：暂无解析

lim(x+J\+)*

2、求一°°

_______X1.I.nnm---7

,一lim（1+八+，）'=ei

标准答案:

知识点解析：暂无解析

【方+会+5心・

3、求

4-arctan“大1+C

标准答案：42

知识点解析：暂无解析

4、设f(x)在(-8,+00)内有定义，且对于任意x与y均有f(x+y)=f(x)e>'+f(y)eX,又

设f'(0)存在且等于a(a#)),试证明对任意的x6(—8,+8),f'(x)都存在，并求

f(x)o

标准答案:将x=y=0代入f(x+y)=f(x)eY+f(y)eX,得f(0)=0,为证明f(x)存在,则由

广⑴=.德士丝)-/⑸=-3.+/(二二-以)

Ar-«0AxAr-O—T

=lim&X："T)+lim*》/⑼/

导数定义，&YAxAx-0Ax

=f(x)+f(0)ex=f(x)+aeXo所以对任意xE(—8,+oo),f(x)都存在，且

,eW(前-/&曲+C)

f(x)=f(x)+ae\解此一阶线性方程，得f(x尸'J，=eX(ax+C)。又

因f(0)=0,得C=0,即f(x)=axeX。

知识点解析•：暂无解析

5、求椭圆力与椭圆/”所围成的公共部分的面积.

标准答案：根据对称性，所求面积为第一象限围成面积的4倍，先求第一象限的面

X=rcosfl,

积.令'=「sin8,则Li：区的极坐标形式为L1：r2="2(0)=L2：的极坐标形

式为L2：r2T22(0)=令则第一象限围成的面积为所以A尸，所求面积为

知识点解析：暂无解析

6、求曲线y=x?-2x、y=D、x=l、x=3所围成区域的面积S,并求该区域绕y轴旋转

一周所得旋转体的体积V.

标准答案：区域面积为

S=j|/(x)|d«r=J(2r—x2)dx+(x2—2x)dx

=(x2—J-x3)+《4-1，―/)|=2;

3i312

2

匕=2〃jJT|f(H)|djr=2八［jx(2x-)<lr+J^x(x-2x)dx

知识点解析：暂无解析

7、求圆£+y2=2y内位于抛物线y=£上方部分的面积.

卜/+/=2y.pr=_1・#=1.

得《

标准答案：由5=/=3=1，少=】•所围成的面积为

A=[(1+1-.r2)—/■]d/

J-1

■可1)-x2]dx=2(1—y+Y)=y+y.

知识点/析：暂无解析

8、计算二重积分"Ix?+y2—1|do,其中D={(x,y)I0<x<l,0<y<l}o

标准答案：记D［={(x,y)Ix2+y2<l,(x,y)GD},D2={(x,y)Ix2+y2>l,(x,

2

fix+/-I|da

=-jj(x2+y2-1)dxdy+J(x2+y2-l)dxdy

5

JJ(r2-1)rdr++y2-1)dxdy-^(x2+y2-1)dxdy

°°DDj

=+jdrJ(x24-y2-l)dy-『d&J(r2-1)rdr

y)eD),因此一4-3

知识点解析：暂无解析

9、设f(%)在［0,+oo)内可导且f(0)=l,f(X)<f(X)(X>0).证明：f(%)〈e%C>0).

标准答案：令<p(%)=e卬(%),则(p(%)在[0,+8)内可导，又(p(0)=l,(pz(x)=e

Z[nx)-f(X)]<0(X>0)，所以当%>。时，(p(x)V(p(0)=l,所以有f(%)<e%c>0).

知识点解析：暂无解析

1

10、设A*为3阶方阵A的伴随矩阵，|A|=2,求|(3A)।—2A*|的值.

D=\一2|=|—A")=|一系47]

,5JJ

=(---)3|AI"1=——

标准答案：3，।-I27

知识点解析：暂无解析

设A=E-aa「，其中a为n维非零列向量.证明：

11、A?=A的充分必要条件是g为单位向量；

标准答案：令cJcHc，则A2=(E-aaT)(E-aaT尸E-2ao(T+kacJ,因为a为非零向量，

所以aa「¥O,于是A2=A的充分必要条件是k=l,而a「a=lai2,所以A2=A的充

要条件是a为单位向量.

知识点解析：暂无解析

12、当a是单位向量时A为不可逆矩阵.

标准答案：当a是单位向量时.由A2二A得f(a)+r(E-A)=n,因为E-A=aaT#),所以

r(E-A)>l,于是r(A)Wn-l

知识点解析：暂无解析

13、设A,B分别为mxn及nxs阶矩阵,且AB=O.证明：r(A)+r(B)gn.

标准答案：令B=(Pi，02，…，氏)，因为AB=O,所以B的列向量组仇，彷，…，

ps为方程组AX=0的一组解，而方程组AX=0的基础解系所含的线性无关的解向量

的个数为n-r(A),所以向量组伙,M…,0s的秩不超过n・r(A),又因为矩阵的秩

与其列向量组的秩相等,因此r(B)9-r(A),即r(A)+r(B£n.

知识点解析：暂无解析

1.y/\+JT+\/1-X2-2

lim----------二----------------

14、求极限/1+z，—1

标准答案:

4

+工-1-----Z-J4»

由(1+xY=1+or++o(x2)得

J\+工2=14--^-x2—+0(工，)»，1—F=1-4-X2—卷z，+o(z，)♦

于是4T7r+，1^?一2〜一也,故lim辽书+.9-妥匚=--

4L。+N—1

知识点解析•：暂无解析

fx14d

15、求不定积分J(d+1»]

\(7TiFdj-=4(PTTrd(xS)='i\(7TTrd,

i「a+i)2—2a+])+i

=si-----------EP-----------出

=5f[a+】)2-2(z+1)，+a+i)*]dz

=l^rn+(7^-377TTF]+c

=_],]________]1c

标准答案：―5(工$+1)5(3+1)215(xs-Fl)3,

知识点端析：暂无解析

考研数学二（解答题）高频考点模拟试

卷第4套

一、解答题（本题共15题，每题1.0分，共15分。）

*

设工・=2p.求lirni..

…<118

1、

标准答案：

"十।*-i।*n4=1

+彳

HmT3TiS3*Tim/七3；=lim=f3&=｛「=白

・-3n+1.5，-8〃卜】nfT|n仁JoIn3Ioln3

由迫敛定理得limz”=r^z.

・—00In3

知识点解析：暂无解析

・・

7

、(nrn

2、SIn=^osinxdxftJn=Jocosxdx,n=0,1,2,3,....

标准答案：(I)当佗2时In=/osinnxdx=口sin111xdcosx=-sinn1xcosxsin112xcos2xdx

n-22

=(n-1)sinx(1-sinx)dx=(n-l)In-2-(n-l)In»解出In，于是当n>2时得递推公式In=In-

2.由于Io=,h=l,应用这一递推公式，对于n为偶数时，则有对于n为奇数

时，则有其中(H)由于COSX=，则有Jn==In这说明Jn与In有相同公式.

知识点解析：暂无解析

3、设aiVa2V…Van，且函数f(x)在［ai，an］上n阶可导，cW［ai，an］且

f(aj)=f(a2)=...=f(an)=O.证明：存在乐(ai，an)»使得

，/、(c-ai)(c-a)•••(€—a„)..

/(c)----------------2----------

n!

标准答案：当c=ai(i=l,2,…，n)时，对任意的笈⑶，an)»结论成立：设c为异

于ai，a2，…，an的数，不妨设aiVcVa2V…Va.令

k_____________£kl___________,

(c—Q］)(C一七)…G-Q.)构造辅助函数(p(x)=f(x)-k(x-ai)(x-a2)…(x-

an),显然(p(x)在［ai，az］上n阶可导，同(p(a］)=(p(c)=(p(a2)=…=<p(an)=O,由罗尔定

理，存在与⑴€(ai，c),42⑴w(c,a2),…,《n⑴€(an，an),使得

6(4⑴)=6&尸…=6(0)=0,(p'(x)在®,an)内至少有n个不同零点，重复使用罗

尔定理，则(p(n-D(x)在an)内至少有两个不同零点，设为CI，C2&ai，an),使得

档")©)=*%2)=0，再由罗尔定理，存在氏(C］,C2)凶⑶，an),使得

(p(n)c)=o.而*)(x)=f(n)(x)-n!k,所以苻)0=n!k,从而有敬)二逑0

知识点解析：暂无解析

•dz

4、求」4^，+1

Jd(ef)

dx

，4e‘+1V(e4)2+4

标准答案：=—21n(e:-r7e1+4)-^C\

知识点解析：暂无解析

5、设f(x)=<2—54+6'求«n)(x).

()・r117

标准答案:―1“I・&-------3i--尸----------Q------1-2-尸--」

知识点解析：暂无解析

6、设f(x)EC[a,b],在⑶b)内可导，f(a)=f(b)=L证明:存在。n6(a,b),使

得2e2Ln=(ea+eb)尸(n)+f(n)].

标准答案：令3%)=/取)，由微分中值定理，存在正⑶b),使得

嗯W=e»[/()十/(n)L

♦a7再由f(a)=f(b)=l,得6-a=e,f(r|)+

e28一—

f(n)],从而方二丁=(/+/)「[『01)+出11)],令机%)=/%,由微分中值定理，存

资一小

在&E(a,b),使得b-a=2e2^,W2e2^=(ea+eb)en[f(n)+f(T])],或2©2自飞=

(ea+eb)[f(n)+f(n)].

知识点解析：暂无解析

[[^dxdy

7、计算电，其中D为曲线y=lnx与两直线y=0,y=(e+l)—x所围成的平面

区域.

标准答案：y=lnx与y=(e+l)-x的交点是(e,1),D如图案4所示，在Oxy坐标系

中选择先x后y的积分顺序(D不必分块)得

EM；”国=信山；A

TeTT(i

=1~(e♦I-y)dy-yJo^

=船(«+I)7-«T]*-y(1-eT).

J*

图8.4

知识点解析♦：暂无解析

8、设(XI，012，…，an(此2)线性无关，证明：当且仅当n为奇数时，ai+a2，

a2+a3»...»an+ai线性无关.

标准答案：设有X],X2，…，Xn，使X](Ctl+a2)+X2(0l2+a3)+…+xn(an+ai)=0,即

(x1+xn)a1+(xi+X2)az+...+(xn-1+xn)an=0,因为R,。2，…，如线性无关，所以有

'e+4=0

f+工2=0

•••

，1+二=0,该方程组系数行列式Dn=l+(-l)n+ln为奇数

0D,*00为=…=/=00囚+。2，a2+a3,...»an+ai线性无关.

知识点解析：暂无解析

''瓜(1+叫工

9、计算定积分J。1十户”

标准答案：方法一令

工=岸'则"=一辞77dt.

ln2-ln(l+r)

(一忌7*)=1~T+7-dz

十

=回备力一1!^2山=/2T,则/=J；=件

方法二令x=tant,则

rPln(l+x)i_代ln(l+tam)2,「3c1、」

1一—丁工2di-------；-----see2