高考数学（文）一轮复习讲练测-专题8.4直线、平面平行的判定和性质（讲）

...wd......wd...学习好帮手...wd...2017年高考数学讲练测【新课标版】【讲】【课前小测摸内幕】1.直线a∥平面α，则a平行于平面α内的()A．一条确定的直线 B．所有的直线C．无穷多条平行的直线 D．任意一条直线【答案】C【解析】显然假设直线a∥平面α，则a一定平行于经过a的平面与α相交的某条直线l，同时，平面α内与l平行的直线也都与直线a平行，应选C.2【陕西省镇安中学2016届高三月考】关于直线及平面，以下说法中正确的选项是()A．假设∥,∥ B.假设∥,∥,则∥C．假设∥,则D．假设∥,∥，则【答案】C3.假设直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是()A．b⊂αB．b∥αC．b⊂α或b∥αD．b与α相交或b⊂α或b∥α【答案】D【解析】当b与α相交或b⊂α或b∥α时，均满足直线a⊥b，且直线a∥平面α的情况，应选D.4.【根基经典题】α、β、γ是三个平面，a、b是两条直线，有以下三个条件：①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b〞为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(填上你认为正确的所有序号)．【答案】：①③5.【选自2016高考新课标Ⅲ文数】如图，四棱锥中，平面，，，，为线段上一点，，为的中点．〔I〕证明平面；【答案】〔Ⅰ〕见解析．【解析】试题分析：〔Ⅰ〕取的中点，然后结合条件中的数据证明四边形为平行四边形，从而得到，由此结合线面平行的判断定理可证；〔Ⅱ〕由条件可知四面体的高，即点到底面的距离为棱的一半，由此可顺利求得结果．试题解析：〔Ⅰ〕由得，取的中点，连接，由为中点知，.......3分又，故，四边形为平行四边形，于是.因为平面，平面，所以平面.........6分【考点深度剖析】空间中的平行关系在高考命题中，主要与平面问题中的平行、简单几何体的构造特征等问题相结合，通过对图形或几何体的认识，考察线面平行、面面平行的判定与性质，考察转化思想、空间想象能力、逻辑思维能力及运算能力，以多面体为载体、以解答题形式呈现是主要命题方式．【经典例题精析】考点一直线与平面平行的判定与性质【1-1】【2016·长沙模拟】假设直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是()A.b⊂αB.b∥αC.b⊂α或b∥α D.b与α相交或b⊂α或b∥α【答案】D【解析】可以构造草图来表示位置关系，经历证，当b与α相交或b⊂α或b∥α时，均满足直线a⊥b，且直线a∥平面α的情况，应选D.【1-2】在四面体ABCD中，M、N分别是面△ACD、△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是__________．【答案】平面ABC、平面ABD【1-3】α，β，γ是三个不重合的平面，a，b是两条不重合的直线，有以下三个条件：①a∥γ，bβ；②a∥γ，b∥β；③b∥β，aγ.如果命题“α∩β＝a，bγ，且________，则a∥b〞为真命题，则可以在横线处填入的条件是()A．①或② B．②或③C．①或③ D．只有②【答案】C【解析】由定理“一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行〞可得，横线处可填入条件①或③，结合各选项知，选C.【1-4】如以以下列图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1.【答案】M在线段HF上【1-5】如图，四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．(1)求证：MN∥AB；(2)求证：CE∥面PAD.【答案】见解析.证法二：如图(2)，连接CF.因为F为AB的中点，所以AF＝eq\f(1,2)AB.又CD＝eq\f(1,2)AB，所以AF＝CD.又AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形．所以CF∥AD.又CF⊄平面PAD，所以CF∥平面PAD.因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA.又EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD.因为CF∩EF＝F，故平面CEF∥平面PAD.又CE⊂平面CEF，所以CE∥平面PAD.【课本回眸】直线与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件a∩α＝∅a⊂α，b⊄α，a∥ba∥αa∥α，a⊂β，α∩β＝b结论a∥αb∥αa∩α＝∅a∥b【方法规律技巧】判断或证明线面平行的常用方法：利用线面平行的定义，一般用反证法；利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与直线平行，证明时注意用符号语言的表达；)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．【新题变式探究】【变式1】如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB、CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线()A．不存在 B．有1条C．有2条 D．有无数条【答案】D【解析】由题设知平面ADD1A1与平面D1EF有公共点D1，由平面的根本性质3知必有过该点的公共直线l，在平面ADD1A1内与l平行的直线有无数条，且它们都不在平面D1EF内，由线面平行的判定定理知它们都与平面D1EF平行，应选D．【变式2】假设平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥BD的充要条件是()A．AB∥CDB．AD∥CBC．AB与CD相交 D．A，B，C，D共面【答案】D【解析】当AC∥CD时，A，B，C，D一定共面；当A，B，C，D共面时，平面ABCD∩α＝AC，平面ABCD∩β＝BD，由α∥β得AC∥BD，应选D.【变式3】在空间中，以下命题正确的选项是()A．假设a∥α，b∥a，则b∥αB．假设a∥α，b∥α，a⊂β，b⊂β，则β∥αC．假设α∥β，b∥α，则b∥βD．假设α∥β，a⊂α，则a∥β【答案】D【变式4】设α，β是两个不同的平面，l，m为两条不同的直线，命题p：假设α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；命题q：假设l∥α，m⊥l，m⊂β，则α⊥β.以下命题为真命题的是()A．p∨q B．p∧qC．(p)∨q D．p∧(q)【答案】C【解析】分别在两个平行平面内的直线未必平行，故命题p是假命题；当m⊥l，l∥α时，m不一定与α垂直，α⊥β不一定成立，命题q也是假命题．(p)∨q为真命题，应选C.综合点评：解决有关线面平行的根本问题的本卷须知：(1)易无视判定定理与性质定理的条件，如易无视线面平行的判定定理中直线在平面外这一条件；(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断；(3)可举反例否认结论或用反证法判断结论是否正确.考点二平面与平面平行的判定与性质【2-1】【安徽卷】，是两条不同直线，，是两个不同平面，则以下命题正确的选项是〔〕〔A〕假设，垂直于同一平面，则与平行〔B〕假设，平行于同一平面，则与平行〔C〕假设，不平行，则在内不存在与平行的直线〔D〕假设，不平行，则与不可能垂直于同一平面【答案】D【2-2】【北京卷】设，是两个不同的平面，是直线且．“〞是“〞的〔〕A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为，是两个不同的平面，是直线且．假设“〞，则平面可能相交也可能平行，不能推出，反过来假设，，则有，则“〞是“〞的必要而不充分条件.【2-3】【2016·哈尔滨模拟】给出以下关于互不一样的直线m，l，n和平面α，β的四个命题：①假设m⊂α，l∩α＝A，点A∉m，则l与m不共面；②假设m、l是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；③假设l∥α，α∥β，m∥β，则l∥m；④假设l⊂α，m⊂α，l∩m＝A，l∥β，m∥β，则α∥β.其中为真命题的是()A.①③④B.②③④C.①②④D.①②③【答案】C【解析】①由条件知，l与m符合异面直线的定义，∴l与m不共面，是真命题；②∵m、l是异面直线，∴可构造l′∥l，且与m相交于平面β.则l′∥α，m∥α，∴α∥β.再由n⊥l，得n⊥l′，结合n⊥m，∴n⊥β，∴n⊥α，是真命题；③l与m可能平行、相交、异面，是假命题；由两平面平行的判定定理可知④是真命题.应选C.【2-4】m、n是两条直线，α、β是两个平面，给出以下命题：①假设n⊥α，n⊥β，则α∥β；②假设平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β；③假设n、m为异面直线，n⊂α，n∥β，m⊂β，m∥α，则α∥β.其中正确命题的个数是()A．3个 B．2个C．1个 D．0个【答案】B【2-5】如以以下列图，斜三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点．(1)当eq\f(A1D1,D1C1)等于何值时，BC1∥平面AB1D1?(2)假设平面BC1D∥平面AB1D1，求eq\f(AD,DC)的值．【答案】〔1〕当eq\f(A1D1,D1C1)＝1时，BC1∥平面AB1D1.〔2〕1.【解析】(1)如以以下列图，取D1为线段A1C1的中点，此时eq\f(A1D1,D1C1)＝1.连接A1B，交AB1于点O，连接OD1.由棱柱的性质知，四边形A1ABB1为平行四边形，∴点O为A1B的中点．在△A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，∴OD1∥BC1.又∵OD1⊂平面AB1D1，BC1⊄平面AB1D1，∴BC1∥平面AB1D1.∴当eq\f(A1D1,D1C1)＝1时，BC1∥平面AB1D1.(2)由平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O得BC1∥D1O，∴eq\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(A1O,OB)，又由题可知eq\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(DC,AD)，eq\f(A1O,OB)＝1，∴eq\f(DC,AD)＝1，即eq\f(AD,DC)＝1.【课本回眸】面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件α∩β＝∅a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥αα∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝bα∥β，a⊂β结论α∥βα∥βa∥ba∥α【方法规律技巧】证明两个平面平行的方法有：①用定义，此类题目常用反证法来完成证明；②用判定定理或推论(即“线线平行⇒面面平行〞)，通过线面平行来完成证明；③根据“垂直于同一条直线的两个平面平行〞这一性质进展证明；④借助“传递性〞来完成．面面平行问题常转化为线面平行，而线面平行又可转化为线线平行，需要注意转化思想的应用．【新题变式探究】【变式1】设m，n是平面α内的两条不同直线；l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是()．A．m∥β且l1∥αB．m∥l1且n∥l2C．m∥β且n∥βD．m∥β且n∥l2【答案】B【解析】对于选项A，不合题意；对于选项B，由于l1与l2是相交直线，而且由l1∥m可得l1∥α，同理可得l2∥α，又l1与l2相交，故可得α∥β，充分性成立，而由α∥β不一定能得到l1∥m，它们也可以异面，故必要性不成立，应选B；对于选项C，由于m，n不一定相交，故是必要非充分条件；对于选项D，由n∥l2可转化为n∥β，同选项C，故不符合题意．【变式2】【河北石家庄高三调研试题】设表示直线表示不同的平面，则以下命题中正确的选项是〔〕A．假设且，则B．假设且，则C．假设且，则D．假设且，则【答案】D【解析】A：应该是或；B：如果是墙角的三个面就不符合题意；C：，假设时，满足，，但是不正确，所以选D.【变式3】【稳派全国统一考试模拟信息卷】假设是两个相交平面，则“点A不在内，也不在内〞是“过点A有且只有一条直线与和都平行〞的〔〕条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【答案】C【变式4】【选自2016年4月湖北省七市〔州〕教科研协作体高三联考】如图，在四棱锥中，面，，，，，，，为的中点.〔1〕求证：面；【答案】(1)见解析.【解析】综合点评：判定面面平行的常用方法：(1)面面平行的定义，即判断两个平面没有公共点；(2)面面平行的判定定理；(3)垂直于同一条直线的两平面平行；(4)平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行.考点三线面、面面平行的综合应用【3-1】【河北石家庄高三调研】设表示直线表示不同的平面，则以下命题中正确的选项是〔〕A．假设且，则B．假设且，则C．假设且，则D．假设且，则【答案】D【3-2】如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论中正确的选项是________．①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥平面CB1D1；③AC1与底面ABCD所成角的正切值是eq\r(2)；④CB1与BD为异面直线．【答案】①②④【3-3】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点，求证：(1)直线EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.【答案】见解析.【解析】(1)如图，连接SB，∵E，G分别是BC，SC的中点，∴EG∥SB.又∵SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1，∴直线EG∥平面BDD1B1.(2)连接SD，∵F，G分别是DC，SC的中点，∴FG∥SD.又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，∴FG∥平面BDD1B1，且EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1.【3-4】如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，点M，N分别为A1C1与A1B的中点．(1)求证：MN∥平面BCC1B1；(2)求证：平面A1BC⊥平面A1ABB1.【答案】见解析.【课本回眸】1．平面与平面的位置关系有相交、平行两种情况．2．直线和平面平行的判定(1)定义：直线和平面没有公共点，则称直线平行于平面；(2)判定定理：aα，bα，且a∥b⇒a∥α；(3)其他判定方法：α∥β；aα⇒a∥β.3．直线和平面平行的性质定理：a∥α，aβ，α∩β＝l⇒a∥l.4．两个平面平行的判定(1)定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行；(2)判定定理：aα，bα，a∩b＝M，a∥β，b∥β⇒α∥β；(3)推论：a∩b＝M，a，bα，a′∩b′＝M′，a′，b′β，a∥a′，b∥b′⇒α∥β.5．两个平面平行的性质定理(1)α∥β，aα⇒a∥β；(2)α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b⇒a∥b.6．与垂直相关的平行的判定(1)a⊥α，b⊥α⇒a∥b；(2)a⊥α，a⊥β⇒α∥β.【方法规律技巧】解决探究性问题一般要采用执果索因的方法，假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，如果找到了符合题目结果要求的条件，则存在；如果找不到符合题目结果要求的条件(出现矛盾)，则不存在．【新题变式探究】【变式1】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，当点Q在〔〕位置时，平面D1BQ∥平面PAO.A．Q与C重合 B．Q与C1重合C．Q为CC1的三等分点 D．Q为CC1的中点【答案】D【变式2】如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中点，AA1＝AB＝a.(1)求证：AD⊥B1D；(2)求证：A1C∥平面AB1D；【答案】见解析.【变式3】如图，在四棱锥PABCD中，底面是平行四边形，PA⊥平面ABCD，点M、N分别为BC、PA的中点．在线段PD上是否存在一点E，使NM∥平面ACE假设存在，请确定点E的位置；假设不存在，请说明理由．【答案】见解析.【变式4】如图，在三棱锥A－BOC中，AO⊥平面COB，∠OAB＝∠OAC＝eq\f(π,6)，AB＝AC＝2，BC＝eq\r(2)，D、E分别为AB、OB的中点．〔Ⅰ〕求证：CO⊥平面AOB；〔Ⅱ〕在线段CB上是否存在一点F，使得平面DEF∥平面AOC，假设存在，试确定F的位置；假设不存在，请说明理由．【答案】见解析.【解析】〔Ⅰ〕因为AO⊥平面COB，所以AO⊥CO，AO⊥BO.即△AOC与△AOB为直角三角形．又因为∠OAB＝∠OAC＝eq\f(π,6)，AB＝AC＝2，所以OB＝OC＝1.由OB2＋OC2＝1＋1＝2＝BC2，可知△BOC为直角三角形．所以CO⊥BO.又因为AO∩BO＝O，AO平面AOB，BO平面AOB，所以CO⊥平面AOB.综合点评：在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维〞到“高维〞的转化，其转化关系为在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化〞.【易错试题常警觉】易错典例：如图，、分别是正方体的棱，上的中点.求证：四边形是平行四边形.【错解】在正方体中，平面平面，由两个平行平面于第三个平面相交得交线平行，故，同理，故四边形是平行四边形.【错因】主要错在盲目地在立体几何证明题中套用平面几何定理.例题几何问题只有在化为平面几何问题后才能直接使用平面几何知识解题.故四边形是平行四边形.温馨提醒：1.在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.2.线面平行关系证明的难点在于辅助面和辅助线的添加，在添加辅助线、辅助面时一定要以某一性质定理为依据，绝不能主观臆断.3.解题中注意符号语言的标准应用.【学科素养提升之思想方法篇】化“生〞为“熟〞——转化与化归的思想方法1.转化与化归的思想方法是数学中最根本的思想方法，数学中一切问题的解决(当然包括解题)都离不开转化与化归，数形结合思想表达了数与形的相互转化；函数与方程思想表达了函数、方程、不等式间的相互转化；分类讨论思想表达了局部与整体的相互转化，以上三种思想方法都是转化与化归思想的具体表达。各种变换方法、分析法、反证法、待定系数法、构造法等都是转化的手段。所以说，转化与化归是数学思想方法的灵魂.2.转化包括等价转化和非等价转化，非等价转化又分为强化转化和弱化转化等价转化要求在转化过程中的前因后果既是充分的又是必要的，这样的转化能保证转化的结果仍为原问题所需要的结果，非等价转化其过程则是充分的或必要的，这样的转化能给人带来思维的启迪，找到解决问题的突破口，非等价变形要对所得结论进展必要的修改.非等价转化〔强化转化和弱化转化〕在思维上带有跳跃性，是难点，在压轴题的解答中常常用到，一定要特别重视！3.转化与化归的原则〔1〕熟悉化原则：将不熟悉和难解