山西一模理科试题及答案

山西一模理科试题及答案姓名：____________________

一、单项选择题（每题2分，共10题）

1.下列关于平面几何的知识，错误的是（）

A.同一直线上两点可以确定一条直线

B.任意三角形都可以内接于一个圆

C.圆的内接四边形对角互补

D.直角三角形的两条直角边长度相等

2.若函数$f(x)=\frac{x^2-3x+2}{x-1}$的定义域为$\{x|x\neq1\}$，则该函数的图像与坐标轴交点个数是（）

A.2

B.3

C.4

D.无穷多

3.已知$a^2+b^2=10$，则$2ab$的取值范围是（）

A.$[-\sqrt{40},\sqrt{40}]$

B.$[-10,10]$

C.$[-5,5]$

D.$[-2\sqrt{5},2\sqrt{5}]$

4.已知$y=ax^2+bx+c$在$x=1$时取得最大值，且$y=-x^2+4x+3$在$x=2$时取得最小值，则$a$，$b$，$c$的大小关系是（）

A.$a<b<c$

B.$a>b>c$

C.$c>b>a$

D.$a<b<c$

5.下列函数中，在定义域内单调递增的是（）

A.$y=x^3$

B.$y=\frac{1}{x}$

C.$y=x^2$

D.$y=\sqrt{x}$

6.若向量$\overrightarrow{a}=(1,2)$，向量$\overrightarrow{b}=(3,4)$，则向量$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$的坐标是（）

A.$(4,6)$

B.$(4,-6)$

C.$(-4,-6)$

D.$(-4,6)$

7.若$a,b,c$为等差数列，且$a+b+c=15$，则$a^2+b^2+c^2$的值为（）

A.45

B.50

C.60

D.75

8.若$a,b,c$为等比数列，且$a+b+c=8$，$ab+bc+ca=20$，则$a^2+b^2+c^2$的值为（）

A.48

B.52

C.56

D.60

9.下列不等式成立的是（）

A.$x^2-3x+2>0$，$x>1$或$x<2$

B.$x^2-4x+4\leq0$，$x\in[2,4]$

C.$x^2+3x+2>0$，$x\in\mathbb{R}$

D.$x^2-5x+6<0$，$x\in[1,2]$

10.下列命题正确的是（）

A.函数$y=\sqrt{x^2+1}$的值域为$[0,+\infty)$

B.函数$y=\frac{1}{x}$的图像关于y轴对称

C.函数$y=ax^2+bx+c$在定义域内单调递增，当$a>0$，$b=0$，$c<0$时成立

D.向量$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}$，则$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{c}$

二、判断题（每题2分，共10题）

1.函数$y=\sqrt{x}$的图像是一条通过原点的射线。（）

2.如果一个三角形的两边长分别为3和4，那么它的第三边长必定大于7。（）

3.所有的一元二次方程都有两个实数根。（）

4.对于任何实数$x$，都有$x^2\geq0$。（）

5.等差数列的任意一项都是前一项与后一项的平均数。（）

6.向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的数量积为0，则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$垂直。（）

7.若$ab=0$，则$a=0$或$b=0$。（）

8.函数$y=\frac{1}{x}$的图像在第一象限内是单调递增的。（）

9.在平面直角坐标系中，任意一条直线都可以表示为$y=mx+b$的形式。（）

10.一个函数的定义域是所有可能的输入值，值域是所有可能的输出值。（）

三、简答题（每题5分，共4题）

1.简述如何判断一个一元二次方程的根的情况。

2.给出两个不同的方法来证明三角形两边之和大于第三边。

3.说明等差数列和等比数列的基本性质，并举例说明。

4.解释向量共线的定义，并给出一个向量共线的例子。

四、论述题（每题10分，共2题）

1.论述函数$y=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的图像与$x$轴的交点个数与系数$a$，$b$，$c$之间的关系，并举例说明。

2.论述在解决实际问题中，如何运用数学知识解决几何问题，并举例说明。

试卷答案如下：

一、单项选择题（每题2分，共10题）

1.D

解析：根据平面几何的基本公理，同一直线上两点可以确定一条直线，故A正确；任意三角形都可以内接于一个圆，故B正确；圆的内接四边形对角互补，故C正确；直角三角形的两条直角边长度相等，故D错误。

2.B

解析：函数$f(x)=\frac{x^2-3x+2}{x-1}$的定义域为$\{x|x\neq1\}$，当$x\neq1$时，$f(x)$存在两个根，因此图像与x轴交点个数为3。

3.D

解析：由柯西-施瓦茨不等式，有$(a^2+b^2)(1^2+1^2)\geq(a+b)^2$，即$a^2+b^2\geq2ab$，因此$2ab$的取值范围为$[-2\sqrt{5},2\sqrt{5}]$。

4.C

解析：$y=ax^2+bx+c$在$x=1$时取得最大值，说明对称轴$x=-\frac{b}{2a}=1$，因此$a<0$。$y=-x^2+4x+3$在$x=2$时取得最小值，说明对称轴$x=-\frac{b}{2a}=2$，因此$a>0$。故$a<b<c$。

5.A

解析：$y=x^3$在定义域内单调递增，其他选项在定义域内不单调。

6.A

解析：向量加法满足交换律，$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}$，所以$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(1+3,2+4)=(4,6)$。

7.C

解析：等差数列的通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_1$为首项，$d$为公差。由等差数列的性质，$a+b+c=3a_1+3d=15$，则$a_1+d=5$。又因为$a^2+b^2+c^2=(a_1+d)^2=5^2=25$。

8.B

解析：等比数列的通项公式为$a_n=a_1\cdotr^{n-1}$，其中$a_1$为首项，$r$为公比。由等比数列的性质，$ab+bc+ca=a_1^2+a_1^2r+a_1^2r^2=20$，则$a_1^2(1+r+r^2)=20$。又因为$a^2+b^2+c^2=a_1^2(1+2r+r^2)=20+a_1^2=52$。

9.C

解析：$x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$，所以$x^2-3x+2>0$当$x>2$或$x<1$时成立。

10.D

解析：函数的定义域是所有可能的输入值，值域是所有可能的输出值，这是函数的基本定义。

二、判断题（每题2分，共10题）

1.×

解析：函数$y=\sqrt{x}$的定义域为$x\geq0$，图像是一条通过原点的射线。

2.×

解析：三角形的两边之和大于第三边是三角形存在的一个基本条件，但题目中的条件不足以判断第三边长是否大于7。

3.×

解析：一元二次方程的根的情况取决于判别式$\Delta=b^2-4ac$的值，当$\Delta>0$时，方程有两个不相等的实数根；当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；当$\Delta<0$时，方程没有实数根。

4.√

解析：任何实数的平方都是非负数，因此$x^2\geq0$对所有实数$x$都成立。

5.√

解析：等差数列的任意一项都是前一项与后一项的平均数，这是等差数列的定义。

6.√

解析：向量的数量积为零表示两个向量垂直，这是向量共线的一个充分必要条件。

7.√

解析：如果$ab=0$，则至少有一个因子为零，即$a=0$或$b=0$。

8.×

解析：函数$y=\frac{1}{x}$在第一象限内是单调递减的，而不是单调递增。

9.×

解析：不是所有直线都可以表示为$y=mx+b$的形式，例如斜率不存在的直线。

10.√

解析：这是函数的基本定义。

三、简答题（每题5分，共4题）

1.解析：判断一元二次方程的根的情况，可以通过计算判别式$\Delta=b^2-4ac$的值来确定。如果$\Delta>0$，方程有两个不相等的实数根；如果$\Delta=0$，方程有两个相等的实数根；如果$\Delta<0$，方程没有实数根。

2.解析：证明三角形两边之和大于第三边的方法有：直接证明法、反证法、综合法等。例如，可以直接证明任意两边之和大于第三边，或者假设两边之和小于或等于第三边，然后推导出矛盾。

3.解析：等差数列的基本性质包括：首项和末项的和等于项数乘以平均项；任意两项之差等于公差；等差数列的前$n$项和等于首项与末项之和乘以项数除以2。等比数列的基本性质包括：首项和末项的乘积等于项数乘以平均项；任意两项之比等于公比；等比数列的前$n$项和等于首项与末项之比乘以公比的$n-1$次方除以公比减1。

4.解析：向量共线的定义是：如果两个非零向量共线，那么它们在同一直线上或者其中一个向量是另一个向量的倍数。一个向量共线的例子是：向量$\overrightarrow{a}=(1,2)$和向量$\overrightarrow{b}=(2,4)$共线，因为$\overrightarrow{b}=2\overrightarrow{a}$。

四、论述题（每题10分，共2题）

1.解析：函数$y=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的图像与$x$轴的交点个数与系数$a$，$b$，$c$之间的关系如下：当$\Delta=b^2-4ac>0$时，图像与$x$轴有两个交点；当$\Delta=b^2-4ac=0$时，图像与$x$轴有一个交点；当$