2025版高考数学二轮复习第1篇专题3数列学案

PAGEPAGE1专题三数列年份卷别小题考查大题考查2024全国卷Ⅰ—T17·递推数列、等比数列的判定及其通项公式全国卷Ⅱ—T17·等差数列的通项，前n项和的最值全国卷Ⅲ—T17·等比数列的通项，前n项和的有关问题2024全国卷Ⅰ—T17·等比数列的通项公式与前n项和，等差数列的判定全国卷Ⅱ—T17·等差、等比数列的通项公式及前n项和全国卷Ⅲ—T17·数列的递推关系及通项公式，裂项相消法求和2024全国卷Ⅰ—T17·等差数列的通项公式及等比数列求和全国卷Ⅱ—T17·等差数列的通项公式，数列求和全国卷Ⅲ—T17·数列的递推关系及通项公式数列问题重在“化”——化归等差数列与等比数列是我们最熟识的两个基本数列，在中学阶段它们是一切数列问题的动身点与落脚点．首项与公差(比)称为等差(比)数列的基本量，大凡涉及这两个数列的问题，我们总希望把已知条件化归为等差或等比数列的基本量间的关系，从而达到解决问题的目的．这种化归为基本量处理的方法是解决等差或等比数列问题特有的方法，对于不是等差或等比的数列，可通过转化化归，转化为等差(比)数列问题或相关问题求解．由于数列是一种特别的函数，也可依据题目特点，将数列问题化归为函数问题来解决．【典例】Sn为数列{an}的前n项和．已知an>0，aeq\o\al(2,n)＋2an＝4Sn＋3．(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝eq\f(1,anan＋1)，求数列{bn}的前n项和．[解题示范](1)由aeq\o\al(2,n)＋2an＝4Sn＋3， ①可知aeq\o\al(2,n＋1)＋2an＋1＝4Sn＋1＋3. ②②－①，得aeq\o\al(2,n＋1)－aeq\o\al(2,n)＋2(an＋1－an)＝4an＋1，即2(an＋1＋an)＝aeq\o\al(2,n＋1)－aeq\o\al(2,n)＝(an＋1＋an)(an＋1－an)．由an>0，得an＋1－an＝2.❶又aeq\o\al(2,1)＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1(舍去)或a1＝3.所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an＝2n＋1．(2)由an＝2n＋1可知bn＝eq\f(1,anan＋1)＝eq\f(1,2n＋12n＋3)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n＋1)－\f(1,2n＋3))).❷设数列{bn}的前n项和为Tn，则Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,5)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)－\f(1,7)))＋…＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n＋1)－\f(1,2n＋3)))))＝eq\f(n,32n＋3)．❶化归：由条件化归为等差数列项与项之间的关系．❷化归：把数列的通项分拆后使得求和时某些项可以相消，即为裂项相消法求和．对于数列的备考：一是精确驾驭数列中an与Sn之间的关系，这是解决数列问题的基础；二是重视等差与等比数列的复习，熟识其基本概念、公式和性质，这是解决数列问题的根本；三是留意数列与函数、不等