2024-2025学年高中数学第二章平面向量第2节平面向量的线性运算第3课时向量数乘运算及其几何性质教案含解析新人教A版必修4

PAGEPAGE1第3课时向量数乘运算及其几何意义[核心必知]1．预习教材，问题导入依据以下提纲，预习教材P87～P90的内容，回答下列问题．(1)已知非零向量a，依据向量的加法，作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a)，你认为它们与a有什么关系？提示：a＋a＋a＝3a的长度是a长度的3倍，且方向相同；(－a)＋(－a)＋(－a)＝－3a的长度是a长度的3倍，且方向相反．(2)λa与a(λ≠0，a≠0)的方向、长度之间有什么关系？提示：当λ＞0时，λa与a方向相同；当λ＜0时，λa与a方向相反，且λa的长度是a长度的|λ|倍．(3)若a＝λb，则a与b共线吗？提示：共线．2．归纳总结，核心必记(1)向量数乘运算一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②λa(a≠0)的方向eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(当λ>0时，与a方向相同，,当λ<0时，与a方向相反.))特殊地，当λ＝0或a＝0时，0a＝0或λ0＝0.(2)向量数乘的运算律设λ，μ为实数，则①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb.特殊地，(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.(3)共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.(4)向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于随意向量a、b，以及随意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.[问题思索](1)向量与实数可以求积，那么向量和实数可以进行加减运算吗？提示：不行以，向量与实数不能进行加减运算，如λ＋a，λ－2b无法运算．(2)数乘向量与实数的乘积等同吗？提示：不等同．数乘向量的结果仍旧是一个向量，既有大小又有方向．实数相乘运算的结果是一个实数，只有大小没有方向．(3)λ＝0时，λa＝0；a＝0时，λa＝0，这两种说法正确吗？提示：不正确，λa＝0中的“0”应写为“0”．[课前反思](1)向量数乘的概念：；(2)向量数乘的运算律：；(3)共线向量定理：；(4)向量的线性运算：.学问点1向量的线性运算[思索]向量的线性运算与代数多项式的运算有什么类似之处？名师指津：向量的线性运算类似于多项式的运算，具有实数与多个向量和的乘积形式，计算时应先去括号．共线向量可以“合并同类项”“提取公因式”，这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数．讲一讲1．化简下列各式：(1)3(6a＋b)－9eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,3)b))；(2)eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3a＋2b－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)b))))－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋\f(3,8)b))；(3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a.[尝试解答](1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a.(2)原式＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a＋\f(3,2)b))－a－eq\f(3,4)b＝a＋eq\f(3,4)b－a－eq\f(3,4)b＝0.(3)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c.类题·通法向量数乘运算的方法(1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多留意视察，恰当运用运算律，简化运算．练一练1．(1)设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)a－b))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(2,3)b))＋(2b－a)．(2)已知向量a，b，x，y满意关系式3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，试用向量a，b表示向量x，y.解：(1)原式＝eq\f(1,3)a－b－a＋eq\f(2,3)b＋2b－a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－1－1))a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＋\f(2,3)＋2))b＝－eq\f(5,3)a＋eq\f(5,3)b＝－eq\f(5,3)(3i＋2j)＋eq\f(5,3)(2i－j)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－5＋\f(10,3)))i＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(10,3)－\f(5,3)))j＝－eq\f(5,3)i－5j.(2)由题知3x－2y＝a①，－4x＋3y＝b②.由①×3＋②×2，得x＝3a＋2b.代入①，得3(3a＋2b)－2y＝a，所以y＝4a＋3b.学问点2用已知向量表示未知向量讲一讲2.已知在▱ABCD中，M，N分别是DC，BC的中点．若＝e1，＝e2，试用e1，e2表示，.[尝试解答]∵M，N分别是DC，BC的中点，∴MN綊eq\f(1,2)BD.∵＝－＝e2－e1，∴＝2＝2e2－2e1.又∵AO是△AMN的中线，∴＝eq\f(1,2)(＋)＝eq\f(1,2)e2＋eq\f(1,2)e1.类题·通法用已知向量表示未知向量的方法用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，联想相关的法则和几何图形的有关定理，将所求向量反复分解，直到全部可以用已知向量表示，其实质是向量线性运算的反复应用．练一练2.如图所示，四边形OADB是以向量＝a，＝b为邻边的平行四边形．又BM＝eq\f(1,3)BC，CN＝eq\f(1,3)CD，试用a，b表示，，.解：＝eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)＝eq\f(1,6)(－)＝eq\f(1,6)(a－b)，∴＝＋＝b＋eq\f(1,6)a－eq\f(1,6)b＝eq\f(1,6)a＋eq\f(5,6)b.∵＝eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)，∴＝＋＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＝eq\f(2,3)＝eq\f(2,3)(＋)＝eq\f(2,3)(a＋b)．＝－＝eq\f(2,3)(a＋b)－eq\f(1,6)a－eq\f(5,6)b＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,6)b.学问点3共线向量定理的应用[思索1]如何证明向量a与b共线？名师指津：要证向量a与b共线，只需证明存在实数λ，使得b＝λa(a≠0)即可．[思索2]如何证明A，B，C三点在同一条直线上？名师指津：证明与或与共线即可．讲一讲3．(1)已知e1，e2是两个不共线的向量，若＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，求证：A，B，D三点共线．(2)已知A，B，P三点共线，O为直线外随意一点，若＝x＋y，求x＋y的值．[尝试解答](1)证明：∵＝e1＋3e2，＝2e1－e2，∴＝－＝e1－4e2.又＝2e1－8e2＝2(e1－4e2)，∴＝2，∴∥.∵AB与BD有交点B，∴A，B，D三点共线．(2)由于A，B，P三点共线，所以向量，在同始终线上，由向量共线定理可知，必定存在实数λ使＝λ，即－＝λ(－)，所以＝(1－λ)＋λ，故x＝1－λ，y＝λ，即x＋y＝1.类题·通法用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路(1)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行；(2)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若向量＝λ，则，共线，又与有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法．练一练3．(1)已知P，A，B，C是平面内四点，且＋＋＝，则下列向量肯定共线的是()A．与B．与C．与D．与(2)设e1，e2是两个不共线的向量，＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，求实数k的值．解析：(1)因为＋＋＝，所以＋＋＋＝0，即－2＝，所以与共线．(2)若A，B，D三点共线，则与共线．设＝λ(λ∈R)，∵＝－＝2e1－e2－(e1＋3e2)＝e1－4e2，∴2e1＋ke2＝λe1－4λe2.由e1与e2不共线可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2e1＝λe1，,ke2＝－4λe2，))∴λ＝2，k＝－8.答案：(1)B[课堂归纳·感悟提升]1．本节课的重点是向量的数乘运算及共线向量定理，难点是共线向量定理的应用．2．驾驭与向量数乘运算有关的三个问题(1)向量的线性运算，见讲1；(2)用已知向量表示未知向量，见讲2；(3)共线向量定理及应用，见讲3.3．本节课的易错点当A、B、C、D四点共线时，与共线；反之不肯定成立．4．要驾驭用已知向量表示其他向量的两种方法(1)干脆法．(2)方程法．当干脆表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．5．留意以下结论的运用(1)以AB，AD为邻边作▱ABCD，且＝a，＝b，则对角线所对应的向量＝a＋b，＝a－b.(2)在△ABC中，若D为BC的中点，则＝eq\f(1,2)(＋)．(3)在△ABC中，若G为△ABC的重心，则＋＋＝0.课下实力提升(十六)[学业水平达标练]题组1向量的线性运算1.eq\f(1,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)2a＋8b－4a－2b))等于()A．2a－bB．2b－aC．b－aD．a－b解析：选B原式＝eq\f(1,6)(2a＋8b)－eq\f(1,3)(4a－2b)＝eq\f(1,3)a＋eq\f(4,3)b－eq\f(4,3)a＋eq\f(2,3)b＝－a＋2b＝2b－a.2．已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的为()①m(a－b)＝ma－mb；②(m－n)a＝ma－na；③若ma＝mb，则a＝b；④若ma＝na，则m＝n.A．①④B．①②C．①③D．③④解析：选B①和②属于数乘对向量与实数的安排律，正确；③中，若m＝0，则不能推出a＝b，错误；④中，若a＝0，则m，n没有关系，错误．题组2用已知向量表示未知向量3．在△ABC中，＝c，＝b，若点D满意＝2，则等于()A.eq\f(2,3)b＋eq\f(1,3)cB.eq\f(5,3)c－eq\f(2,3)bC.eq\f(2,3)b－eq\f(1,3)cD.eq\f(1,3)b＋eq\f(2,3)c解析：选A依题意＝2，∴＝＋＝＋eq\f(2,3)＝＋eq\f(2,3)(－)＝eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)＝eq\f(2,3)b＋eq\f(1,3)c，选A.4．在△ABC中，点P是AB上一点，且＝eq\f(2,3)＋eq\f(1,3)，又＝t，则t的值为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(5,3)解析：选A由题意可得＝－＝eq\f(2,3)＋eq\f(1,3)－＝eq\f(1,3)(－)＝eq\f(1,3)，又＝t，∴t＝eq\f(1,3).5．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝eq\f(1,2)AB，BE＝eq\f(2,3)BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2∈R)，则λ1＋λ2的值为________．解析：由＝－＝eq\f(2,3)－eq\f(1,2)＝eq\f(2,3)(－)＋eq\f(1,2)＝－eq\f(1,6)＋eq\f(2,3)，得λ1＝－eq\f(1,6)，λ2＝eq\f(2,3)，从而λ1＋λ2＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)6.如图所示，已知▱ABCD的边BC、CD的中点分别为K、L，且＝e1，＝e2，试用e1，e2表示，.解：法一：设＝x，则＝eq\f(1,2)x，＝e1－eq\f(1,2)x，＝eq\f(1,2)e1－eq\f(1,4)x，又＝x，由＋＝得x＋eq\f(1,2)e1－eq\f(1,4)x＝e2，解方程，得x＝eq\f(4,3)e2－eq\f(2,3)e1，即＝eq\f(4,3)e2－eq\f(2,3)e1，由＝－，＝e1－eq\f(1,2)x，得＝－eq\f(4,3)e1＋eq\f(2,3)e2.法二：设＝x，＝y，则＝eq\f(1,2)x，＝－eq\f(1,2)y.由＋＝，＋＝得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－y＋\f(1,2)x＝e1，①,x－\f(1,2)y＝e2.②))－2×②＋①得eq\f(1,2)x－2x＝e1－2e2，解得x＝eq\f(2,3)(2e2－e1)，即＝eq\f(2,3)(2e2－e1)＝eq\f(4,3)e2－eq\f(2,3)e1，同理得y＝eq\f(2,3)(－2e1＋e2)，即＝－eq\f(4,3)e1＋eq\f(2,3)e2.法三：如图所示，BC与AL的延长线相交于点E.则△DLA≌△CLE，从而＝2，＝，＝eq\f(3,2)，由＝－，得eq\f(3,2)＝2e2－e1，即＝eq\f(2,3)(2e2－e1)＝eq\f(4,3)e2－eq\f(2,3)e1.同理可得＝eq\f(2,3)(－2e1＋e2)＝－eq\f(4,3)e1＋eq\f(2,3)e2.题组3共线向量定理的应用7．对于向量a，b有下列表示：①a＝2e，b＝－2e；②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；③a＝4e1－eq\f(2,5)e2，b＝e1－eq\f(1,10)e2；④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2.其中，向量a，b肯定共线的有()A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④解析：选A对于①，a＝－b；对于②，a＝－eq\f(1,2)b；对于③，a＝4b；对于④，若a＝λb(λ≠0)，则e1＋e2＝λ(2e1－2e2)，即(1－2λ)e1＋(1＋2λ)e2＝0，所以1－2λ＝1＋2λ＝0，冲突，故④中a与b不共线．8．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且＝2，＝2，＝2，则＋＋与()A．反向平行B．同向平行C．相互垂直D．既不平行也不垂直解析：选A由－＝2(－)，得＝eq\f(1,3)＋eq\f(2,3).同理可得，＝eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)，＝eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)，所以＋＋＝－eq\f(1,3)，故选A.9．已知e1，e2是两个不共线的向量，而a＝k2e1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(5,2)k))e2与b＝2e1＋3e2是两个共线向量，则实数k＝________.解析：由题设知eq\f(k2,2)＝eq\f(1－\f(5,2)k,3)，所以3k2＋5k－2＝0，解得k＝－2或eq\f(1,3).答案：－2或eq\f(1,3)10．已知e，f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满意＝e＋2f，＝－4e－f，＝－5e－3f.(1)用e，f表示；(2)证明：四边形ABCD为梯形．解：(1)＝＋＋＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f＝－8e－2f.(2)证明：因为＝－8e－2f＝2(－4e－f)＝2，所以与方向相同，且的长度为BC长度的2倍，即在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，所以四边形ABCD是梯形．[实力提升综合练]1．设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则()A．＝－eq\f(1,3)＋eq\f(4,3)B．＝eq\f(1,3)－eq\f(4,3)C．＝eq\f(4,3)＋eq\f(1,3)D．＝eq\f(4,3)－eq\f(1,3)解析：选A＝＋＝＋eq\f(4,3)＝＋eq\f(4,3)(－)＝－eq\f(1,3)＋eq\f(4,3).2．已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，肯定可以使a，b共线的是()①2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e；②存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0；③xa＋yb＝0(其中实数x，y满意x＋y＝0)；④已知梯形ABCD，其中＝a，＝b.A．①②B．①③C．②D．③④解析：选A由2a－3b＝－2(a＋2b)得到b＝－4a，故①可以；λa－μb＝0，λa＝μb，故②可以；x＝y＝0，有xa＋yb＝0，但b与a不肯定共线，故③不行以；梯形ABCD中，没有说明哪组对边平行，故④不行以．3．已知△ABC和点M满意＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝()A．2B．3C．4D．5解析：选B如图，在△ABC中，以BM，CM为邻边作平行四边形MBDC，依据平行四边形法则可得＋＝，又＋＋＝0，则＝，两向量有公共点M，则A，M，D三点共线，设BC∩MD＝E，结合MD是平行四边形MBDC的对角线可知，AE是△ABC的中线，同理可证BM，CM也在△ABC的中线上，即M是△ABC的重心．以AB、AC为邻边作平行四边形ABFC，依据向量加法的平行四边形法则可得＋＝＝2＝2×eq\f(3,2)＝3，则＋＝3.4．如图所示，两射线OA与OB交于O，则下列选项中哪些向量的终点落在阴影区域内(不含边界)()①＋2；②eq\f(3,4)＋eq\f(1,3)；③eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)；④eq\f(3,4)＋eq\f(1,5).A．①②B．①②④C．①②③D．③④解析：选A依题意，在题图中的阴影区域内任取点E，连接OE交AB于点F，则有＝λ＝λ[x＋(1－x)]＝λx＋(1－x)λ，其中0＜x＜1，λ＞1，留意到λx＋(1－x)λ＝λ＞1；留意到1＋2＝3＞1，eq\f(3,4)＋eq\f(1,3)＞eq\f(3,4)＋eq\f(1,4)＝1，eq\f