高考数学复习第七章数列与数学归纳法第6节数学归纳法理

第6节数学归纳法最新考纲1.了解数学归纳法原理；2.能用数学归纳法证实一些简单数学命题.1/341.数学归纳法证实一个与正整数n相关命题，可按以下步骤进行：(1)(归纳奠基)证实当n取______________________时命题成立；(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证实当________时命题也成立.只要完成这两个步骤，就能够断定命题对从n0开始全部正整数n都成立.知

识

梳

理第一个值n0(n0∈N*)n＝k＋12/342.数学归纳法框图表示3/34[惯用结论与微点提醒]1.数学归纳法证题时初始值n0不一定是1.2.推证n＝k＋1时一定要用上n＝k时假设，不然不是数学归纳法.4/34诊断自测1.思索辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)用数学归纳法证实等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.(

)(2)全部与正整数相关数学命题都必须用数学归纳法证实.(

)(3)用数学归纳法证实问题时，归纳假设能够不用.(

)(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证实时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项.(

)5/34解析对于(2)，有些命题也能够直接证实；对于(3)，数学归纳法必须用归纳假设；对于(4)，由n＝k到n＝k＋1，有可能增加不止一项.答案

(1)√

(2)×

(3)×

(4)×6/34解析三角形是边数最少凸多边形，故第一步应检验n＝3.答案

C7/348/34答案

D9/3410/345.用数学归纳法证实“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(k∈N*)命题为真时，进而需证n＝________时，命题亦真.解析因为步长为2，所以2k－1后一个奇数应为2k＋1.答案

2k＋111/346.(·宁波调研)用数学归纳法证实“当n为正偶数时，xn－yn能被x＋y整除”第一步应验证n＝________时，命题成立；第二步归纳假设成立应写成________.解析因为n为正偶数，故第一个值n＝2，第二步假设n取第k个正偶数成立，即n＝2k，故应假设成x2k－y2k能被x＋y整除.答案

2

x2k－y2k能被x＋y整除12/34考点一用数学归纳法证实等式证实

(1)当n＝1时，左边＝右边，所以等式成立.13/3414/34规律方法

(1)用数学归纳法证实等式问题，要“先看项”，搞清等式两边组成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少.(2)由n＝k时等式成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边改变(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证实过程，不利用归纳假设证实，就不是数学归纳法.15/34【训练1】

求证：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N*).证实(1)当n＝1时，等式左边＝2，右边＝2，故等式成立；(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)＝2k·1·3·5·…·(2k－1)，那么当n＝k＋1时，左边＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k＋1)＝(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)＝2k·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)·2＝2k＋1·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)，所以当n＝k＋1时等式也成立.由(1)(2)可知，对全部n∈N*等式成立.16/34考点二用数学归纳法证实不等式【例2】

(·浙江五校联考)等比数列{an}前n项和为Sn.已知对任意n∈N*，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b>0，且b≠1，b，r均为常数)图象上. (1)求r值；17/3418/3419/3420/34规律方法应用数学归纳法证实不等式应注意问题(1)当碰到与正整数n相关不等式证实时，应用其它方法不轻易证，则可考虑应用数学归纳法.(2)用数学归纳法证实不等式关键是由n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，证实时用上归纳假设后，可采取分析法、综正当、求差(求商)比较法、放缩法、结构函数法等证实方法.21/3422/3423/3424/34考点三归纳——猜测——证实25/3426/34规律方法

(1)利用数学归纳法能够探索与正整数n相关未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜测—证实”，即先由合情推剪发觉结论，然后经逻辑推理论证结论正确性.(2)“归纳—猜测—证实”基本步骤是“试验—归纳—猜测—证实”.高中阶段与数列结合问题是最常见问题.27/34【训练3】

设函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)导函数. (1)令g1(x)＝g(x)，gn＋1(x)＝g(gn(x))，n∈N*，求gn(x)表示式； (2)若f