2024年无穷级数知识点

無穷级数级数收敛充要条件：部分和存在且极值唯一，即：存在，称级数收敛。2.若任意项级数收敛，发散，则称条件收敛，若收敛，则称级数绝對收敛，绝對收敛的级数一定条件收敛。.任何级数收敛的必要条件是3.若有两個级数和，则①，。②收敛，发散，则发散。③若两者都发散，则不确定，如发散，而收敛。4．三個必须记住的常用于比较判敛的参照级数：等比级数：P级数：對数级数：5.三個重要結论①收敛存在②正项（不变号）级数收收，反之不成立，③和都收敛收，收常用收敛快慢正整数由慢到快持续型由慢到快7.正项（不变号）级数敛散性的判据与常用技巧达朗贝尔比值法柯西根值法比阶法①代数式②极限式，其中：和都是正项级数。，，也可选用基准级数就可知原级8、任意项级数的敛散性的判据与常用技巧●莱布尼茨判交錯级数（任意项级数的特例）①②收敛。這是一种必要条件，假如①不满足，则必发散，若只有②不满足，则不一定收敛還是发散，要使用绝對收敛鉴别其敛散性。●任意项级数判敛使用绝對值，使之转换為正项级数，即绝對收敛、条件收敛或发散。●任意项级数判敛的两個重要技巧：微分积分法。换成持续变量，再运用微积分有关定理与性质。阶無穷小试探法。在不能估计出通项的無穷小阶次時，使用该试探法，9.幂级数1．阿贝尔（Abel）定理假如级数當點收敛，则级数在圆域内绝對收敛；假如级数當點发散，则级数在圆域外发散。由阿贝尔（Abel）定理可見收敛點集或发散點集是分别连接成對称持续区域，這一定理是引入幂级数收敛半径、收敛区间和收敛区域概念的理论根据。注意，除外，该定理并没有完全保证圆上每一點的敛散性，對的理解阿贝尔定理是學好幂级数的关键。如推论：假如不是仅在一點收敛，也不是在整個数轴上都收敛，则必有一种确定的正数存在，使得：10．幂级数收敛半径、收敛区间和收敛区域已知，若；则根据比值判敛法有：收敛。●收敛半径：。●收敛区间：级数在收敛；幂级数的收敛区间是非空點集，對至少在处收敛，對至少在处收敛。由阿贝尔定理可以推出：幂级数的条件收敛點只能位于收敛区间端點。●收敛域：由于级数在收敛区间的端點上（收敛半径上）收敛性待定，故收敛域是、、或四种状况之一。3．在收敛区域内的性质(1)的和函数持续并有任意阶导数；(2)可逐项微分(3)可逐项积分(4)绝對收敛。11．运用泰勒公式可将常用初等函数展開成幂级数－泰勒级数展開的充要条件是泰勒公式中余项（包括拉氏余项，佩亚若余项）為零。如下是几种常用的麦克劳林展開結论。①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩，5.幂级数求和措施●函数项级数求和措施一般先求收敛域，然後逐次积分或微分，运用上述10各泰勒级数結论進行零部件组装●数项级数求和措施构造辅助幂级数法。付立叶级数1．周期函数展開成付裏叶级数為在上周期為的周期函数，则尤其地，當時當是偶函数當是奇函数2．非周期函数展開成付裏叶级数措施假如非周期函数只是定义在区间，两种区间可以令互相转换，為了运用付裏叶级数展開，必须将拓展，其方式有两种，即：（1）偶拓展令，使成為上的周期偶函数，展開後取上的函数值即為的付裏叶展開。（2）奇拓展令，使成為上的周期奇函数，展開後取