2024年抛物线及其性质知识点大全

抛物线及其性质1．抛物线定义：平面内到一定點F和一条定直线的距离相等的點的轨迹称為抛物线．2．抛物线四种原则方程的几何性质：图形参数p几何意义参数p表达焦點到准线的距离，p越大，開口越阔.開口方向右左上下標准方程焦點位置X正X负Y正Y负焦點坐標准线方程范围對称轴X轴X轴Y轴Y轴顶點坐標（0,0）离心率通径2p焦半径焦點弦長焦點弦長的补充认為直径的圆必与准线相切若的倾斜角為，若的倾斜角為，则3．抛物线的几何性质：(1)范围：由于p>0，由方程可知x≥0，因此抛物线在轴的右侧，當的值增大時，||也增大，阐明抛物线向右上方和右下方無限延伸．(2)對称性：對称轴要看一次项，符号决定開口方向．(3)顶點（0，0），离心率：，焦點，准线，焦准距p．(4)焦點弦：抛物线的焦點弦，,,则．弦長|AB|=x1+x2+p,當x1=x2時，通径最短為2p。4．焦點弦的有关性质：焦點弦，,，焦點(1)若AB是抛物线的焦點弦（過焦點的弦），且，，则：，。(2)若AB是抛物线的焦點弦，且直线AB的倾斜角為α，则（α≠0）。(3)已知直线AB是過抛物线焦點F,(4)焦點弦中通径最短長為2p。通径：過焦點垂直于焦點所在的轴的焦點弦叫做通径．(5)两個相切：eq\o\ac(○,1)以抛物线焦點弦為直径的圆与准线相切.eq\o\ac(○,2)過抛物线焦點弦的两端點向准线作垂线，以两垂足為直径端點的圆与焦點弦相切。5．弦長公式：,是抛物线上两點，则6.直线与抛物线的位置关系

直线，抛物线，

，消y得：

（1）當k=0時，直线与抛物线的對称轴平行，有一种交點；

（2）當k≠0時，Δ＞0，直线与抛物线相交，两個不一样交點；Δ=0，直线与抛物线相切，一种切點；Δ＜0，直线与抛物线相离，無公共點。若直线与抛物线只有一种公共點,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）7.有关直线与抛物线的位置关系問題常用处理措施直线：抛物线，联立方程法：设交點坐標為,，则有,以及，還可深入求出，在波及弦長，中點，對称，面积等問題時，常用此法，例如相交弦AB的弦長或b.中點,，點差法：设交點坐標為，，代入抛物线方程，得将两式相減，可得在波及斜率問題時，在波及中點轨迹問題時，设线段的中點為，，即，同理，對于抛物线，若直线与抛物线相交于两點，點是弦的中點，则有（注意能用這個公式的条件：1）直线与抛物线有两個不一样的交點，2）直线的斜率存在，且不等于零）【經典例題】（1）抛物线——二次曲线的友好线椭圆与双曲线均有两种定义措施，可抛物线只有一种：到一种定點和一条定直线的距离相等的所有點的集合.其离心率e=1，這使它既与椭圆、双曲线相依相伴，又鼎立在圆锥曲线之中.由于這個美好的1，既使它享尽友好之美，又生出多少华丽的篇章.【例1】P為抛物线上任一點，F為焦點，则以PF為直径的圆与y轴（）相交相切相离位置由P确定【解析】如图，抛物线的焦點為，准线是.作PH⊥于H，交y轴于Q，那么，且.作MN⊥y轴于N则MN是梯形PQOF的中位线，.故以PF為直径的圆与y轴相切，选B.【评注】相似的問題對于椭圆和双曲线来說，其結论则分别是相离或相交的.（2）焦點弦——常考常新的亮點弦有关抛物线的试題，許多都与它的焦點弦有关.理解并掌握這個焦點弦的性质，對破解這些试題是大有协助的.【例2】過抛物线的焦點F作直线交抛物线于两點，求证：（1）（2）【证明】（1）如图设抛物线的准线為，作，.两式相加即得：（2）當AB⊥x轴時，有成立；當AB与x轴不垂直時，设焦點弦AB的方程為：.代入抛物线方程：.化简得：∵方程（1）之二根為x1，x2，∴..故不管弦AB与x轴与否垂直，恒有成立.（3）切线——抛物线与函数有缘有关抛物线的許多试題，又与它的切线有关.理解并掌握抛物线的切线方程，是解題者不可或缺的基本功.【例3】证明：過抛物线上一點M（x0，y0）的切线方程是：y0y=p（x+x0）【证明】對方程两边取导数：.由點斜式方程：y0y=p（x+x0）（4）定點与定值——抛物线埋在深处的宝藏抛物线中存在許多不不易发現，却轻易為人疏忽的定點和定值.掌握它們，在解題中常會故意想不到的收获.例如：1.一動圆的圆心在抛物线上，且動圆恒与直线相切，则此動圆必過定點（）显然.本題是例1的翻版，该圆必過抛物线的焦點，选B.2.抛物线的通径長為2p；3.设抛物线過焦點的弦两端分别為，那么：如下再举一例【例4】设抛物线的焦點弦AB在其准线上的射影是A1B1，证明：以A1B1為直径的圆必過一定點【分析】假定這条焦點弦就是抛物线的通径，那么A1B1=AB=2p，而A1B1与AB的距离為p，可知该圆必過抛物线的焦點.由此我們猜测：一切這样的圆都過抛物线的焦點.如下我們對AB的一般情形給于证明.【证明】如图设焦點两端分别為，那么：设抛物线的准线交x轴于C，那么.這就阐明：以A1B1為直径的圆必過该抛物线的焦點.●通法特法妙法（1）解析法——為對称問題解困排难解析几何是用代数的措施去研究几何，因此它能处理纯几何措施不易处理的几何問題（如對称問題等）.【例5】（10.四川文科卷.10題）已知抛物线y=-x2+3上存在有关直线x+y=0對称的相异两點A、B，则|AB|等于（）A.3B.4C.3D.4【分析】直线AB必与直线x+y=0垂直，且线段AB的中點必在直线x+y=0上，因得解法如下.【解析】∵點A、B有关直线x+y=0對称，∴设直线AB的方程為：.由设方程（1）之两根為x1，x2，则.设AB的中點為M（x0，y0），则.代入x+y=0：y0=.故有.從而.直线AB的方程為：.方程（1）成為：.解得：，從而，故得：A（-2，-1），B（1，2）.，选C.（2）几何法——為解析法添彩扬威虽然解析法使几何學得到長足的发展，但伴之而来的却是难以防止的繁杂计算，這又使得許多考生對解析几何习題望而生畏.针對這种現实状况，人們研究出多种使计算量大幅度減少的优秀措施，其中最有成效的就是几何法.【例6】（11.全国1卷.11題）抛物线的焦點為，准线為，通過且斜率為的直线与抛物线在轴上方的部分相交于點，，垂足為，则的面积（）A． B．C． D．【解析】如图直线AF的斜率為時∠AFX=60°.△AFK為正三角形.设准线交x轴于M，则且∠KFM=60°，∴.选C.【评注】（1）平面几何知识：边長為a的正三角形的面积用公式计算.（2）本題假如用解析法，需先列方程组求點A的坐標，，再计算正三角形的边長和面积.虽不是很难，但决没有如上的几何法简朴.（3）定义法——追本求真的简朴一著許多解析几何习題咋看起来很难.但假如返朴归真，用最原始的定义去做，反而尤其简朴.【例7】（07.湖北卷.7題）双曲线的左准线為，左焦點和右焦點分别為和；抛物线的线為，焦點為与的一种交點為，则等于（）A． B． C． D．【分析】這道題假如用解析法去做，计算會尤其繁杂，而平面几何知识又一時用不上，那么就從最原始的定义方面去寻找出路吧.如图，我們先做必要的准备工作：设双曲线的半焦距c，离心率為e，作，令.∵點M在抛物线上，，這就是說：的实质是离心率e.另一方面，与离心率e有什么关系？注意到：.這样，最终的答案就自然浮出水面了：由于.∴选A..（4）三角法——自身也是一种解析三角學蕴藏著丰富的解題资源.运用三角手段，可以比较轻易地将异名异角的三角函数转化為同名同角的三角函数，然後根据多种三角关系实行“九九归一”——到达解題目的.因此，在解析几何解題中，恰當地引入三角资源，常可以挣脱困境，简化计算.【例8】（09.重庆文科.21題）如图，倾斜角為a的直线通過抛物线的焦點F，且与抛物线交于A、B两點。（Ⅰ）求抛物线的焦點F的坐標及准线l的方程；（Ⅱ）若a為锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于點P，证明|FP|-|FP|cos2a【解析】（Ⅰ）焦點F（2，0），准线.（Ⅱ）直线AB：代入（1），整顿得：设方程（2）之二根為y1，y2，则.设AB中點為AB的垂直平分线方程是：.令y=0，则故于是|FP|-|FP|cos2a=，故為定值.（5）消去法——合理減负的常用措施.防止解析几何中的繁杂运算，是革新、创新的永恒課題.其中最值得推荐的优秀措施之一便是设而不求，它类似兵法上所說的“不战而屈人之兵”.【例9】与否存在同步满足下列两条件的直线：（1）与抛物线有两個不一样的交點A和B；（2）线段AB被直线：x+5y-5=0垂直平分.若不存在，阐明理由，若存在，求出直线的方程.【解析】假定在抛物线上存在這样的两點∵线段AB被直线：x+5y-5=0垂直平分，且.设线段AB的中點為.代入x+5y-5=0得x=1.于是：AB中點為.故存在符合題设条件的直线，其方程為：（6）探索法——奔向数學措施的高深层次有某些解析几何习題，初看起来好似“树高荫深，叫樵夫难如下手”.這時就得冷静分析，探索规律，不停地猜测——证明——再猜测——再证明.终于发現“無限風光在险峰”.【例10】（10.安徽卷