山西省晋中市2025届高三下学期4月质量检测数学试卷（含解析）

2024～2025学年高三4月质量检测卷数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：高考范围.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若，则（）A. B.2 C. D.4【答案】C【详解】因为，又，所以，解得，所以.故选：C2.已知函数是奇函数，且时，，则（）A.10 B.9 C. D.【答案】D【详解】由奇函数的定义得，故选：D.3.已知全集，集合，，则下列关系中正确的是（）A. B.C. D.【答案】B【详解】由题意可得，由可得或，对于A，，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，不包含，故C错误；对于D，，，故D错误.故选：B4.用数字1，2，3，4组成没有重复数字的三位数，则这些三位数中是3的倍数的有（）A.3个 B.6个 C.9个 D.12个【答案】D【详解】从数字，，，中选择个数，有，，；，，；，，；，，共四种情况，其中由，，和，，组成的三位数是的倍数，所以这些三位数中是3的倍数的有个.故选：D5.已知抛物线的焦点为F，P是抛物线C上一点，若P到x轴的距离为4，且，则（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】A【详解】由题得，代入得，，即，解得，故选：A.6.设随机变量，若，则（）A.60 B.56 C.12 D.8【答案】A【详解】由二项分布的性质得，，故选：A.7.已知，，则（）A. B.C. D.【答案】C【详解】已知，，所以，所以，所以，，则.故选：C.8.数学中的玫瑰线是一种具有周期性的曲线，常见的玫瑰线有三叶玫瑰线、四叶玫瑰线和六叶玫瑰线.已知一个四叶玫瑰线的方程为，其图象如图所示.若将满足，的点称为整点，则满足的整点有（）A.9个 B.17个 C.25个 D.33个【答案】C【详解】由，得，则满足，因为，所以，即，则第一象限内满足整点有，其中满足的有，共6个，所以满足的整点有个.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.对于函数，则（）A.函数的图象关于直线对称B.函数在区间上单调递减C.函数在区间上的值域为D.将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象【答案】AC【详解】，对于A：，故A正确；对于B：，此时有增有减，故B错误；对于C：，此时，故C正确；对于D：函数的图象向右平移个单位得，故D错误，故选：AC．10.已知定义域为R的函数满足，且对任意的，，时，恒成立，则“不等式成立”的一个充分不必要条件为（）A. B.C. D.【答案】BC【详解】因为对任意的，，时，恒成立，设，则，所以函数在上单调递减，又，所以不等式成立等价于，又定义域为R的函数满足，即函数关于直线对称，当时，，解得；当时，因为关于直线对称，即，所以，解得，综上不等式成立的条件为，所以“不等式成立”的一个充分不必要条件为其子集，即或.故选：BC11.如图，在直三棱柱中，，，点M是线段上一点，则下列说法正确的是（）A.当M为的中点时，平面B.四面体的体积为定值C.的最小值为D.四面体的外接球半径的取值范围是【答案】ABD【详解】对于A，在直三棱柱中，平面，平面，所以，因为，为中点，所以，又平面，所以，即平面，故A正确；对于B，在直三棱柱中，，又平面，平面，所以平面，即到平面的距离等于到平面的距离，所以，即四面体的体积为定值，故B正确；对于C，将翻折到与矩形共面，如图所示，连接与相交于点，此时取得最小值，在中，，，由余弦定理可得，故C错误；对于D，在直三棱柱中，以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，所以，设，，，因为点M是线段上任意一点，由，所以，所以可取，，设四面体的外接球球心为，半径为，则，即，由对称关系可得，又，所以，解得，因为，所以，，故D正确.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，，，若，则a的值为________.【答案】或【详解】，，即，所以或，故答案为：或.13.已知双曲线（，）的上、下焦点分别为，，过的直线l与双曲线C的上、下两支分别交于点P，Q.若，，则双曲线C的离心率为________.【答案】【详解】因为，，所以设所以，则，所以，所以，又因为，所以，则双曲线C的离心率为.故答案：.14.在中，若，的面积为6，则边长度的最小值是________.【答案】【详解】设，则，由，得，由余弦定理得，令，则，即（其中），所以，即，得，解得或，即或（舍去），解得或（舍去），所以的最小值为.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.2024年12月14日，人民日报健康客户端从深圳市市场监督管理局获悉，深圳率先获批农业农村部农产品质量安全监管司水果质量分级试点，建立优质水果品质评价制度.深圳在全国率先研制集口感、香气、营养等客观理化指标的水果质量分级“深圳标准”，将水果分为、A和B三个等级，其中蓝莓按照横径x（mm）分类标准是：为等级，为A等级，为B等级.某蓝莓生产基地收获蓝莓后按照蓝莓横径x（）（mm）进行分类包装，包装标准为，，，，，，，，质检部从生产线上抽取500盒蓝莓作为样本进行检测，并按横径绘制了频率分布直方图如下.（1）用样本估计这批蓝莓横径的中位数（精确到0.01mm）；（2）按等级用比例分配的分层随机抽样的方式从样本中抽取25盒蓝莓做进一步检测，从所抽取的25盒蓝莓中任选2盒.设事件M：2盒蓝莓的等级不相同，事件N：2盒中至少有1盒为B等级，判断事件M与事件N是否相互独立，并说明理由.【答案】（1）（2）事件M与事件N不相互独立，理由见详解【小问1详解】由频率分布直方图得，解得.又，，设这批蓝莓横径的中位数为，则，，解得，所以这批蓝莓横径的中位数为.【小问2详解】因为为等级，为A等级，为B等级，则由频率分布直方图得水果的B等级，A等级和等级的盒数之比为，所以25盒蓝莓中B等级，A等级和等级盒数为13盒，8盒，4盒，所以，，，因为，则，所以事件M与事件N不相互独立.16.如图，正方体的棱长为3，M为CD的中点，点N在线段上（不含端点）.（1）若平面，求证：N为的中点；（2）若平面与平面夹角的余弦值为，求线段CN的长度.【答案】（1）证明见解析（2）【小问1详解】连接，经过的平面平面，又平面，所以，因为M为CD的中点，所以为的中位线，所以N为的中点【小问2详解】以为原点，，，分别为，，轴建立如图空间直角坐标系坐标系，则，，，，，，，设，，则，设平面的法向量为，则，则，取，得，所以，设平面的法向量为，则，则，取，得，所以，由题可得，解得，所以.17.已知数列的前n项和为，，.（1）证明：数列为等比数列；（2）设，求数列的前n项和.【答案】（1）证明见解析（2）【小问1详解】由题意，，又，解得，，①，②②减①得，所以，即，所以数列为以为首项，以3为公比的等比数列.【小问2详解】由（1）知，，所以，当时，，所以，即，经检验，当时，满足上式，所以，因为，所以.18.已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）若，求曲线与曲线公切线；（3）已知，若的两个极值点为，，求的取值范围.【答案】（1）当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减（2）（3）【小问1详解】，当时，在时恒成立，此时在单调递增；当时，令，当时，，单调递增，当时，，单调递减，综上当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减；【小问2详解】，，，设公切线在上的切点坐标为，则切线的斜率为，，此时切线方程为，设公切线在上的切点坐标为，则切线的斜率为，此时切线方程为，所以，，时两边都是单调的，且时，等号成立，故，公切线方程为；【小问3详解】，，即，因为的两个极值点为，，所以有两个不同的正数解，所以又，代入解得，，，令，，，所以在单调递减，，故答案为.19.某数学兴趣研究小组发现鸡蛋的形状类似于椭球体，椭球体的表面为椭球面.在空间直角坐标系下，椭球面的方程为（，，），研究小组通过祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”得到对应的椭球体的体积为.该研究小组通过测量得到某鸡蛋对应的椭球面的方程为.（1）求椭球面C对应的椭球体的体积；（2）已知椭球面C与坐标面的截痕是椭圆E，过椭圆E的右焦点F作直线l与椭圆E相交于M，N两点，过点M，N分别作椭圆E的切线，两切线交于点A.①证明：点A在定直线上；②求面积的取值范围.【答案】（1）（2）①证明见解析；②【小问1详解】由题得；【小问2详解】①当时，得椭圆，右焦点F，当直线l的斜率存在时，设l：，，与椭圆