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第=page11页,共=sectionpages11页2024-2025学年吉林省四平实验中学高一(下)第一次月考数学试卷一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知向量a=(1,m),b=(3,−2),且(a+bA.−8 B.−6 C.6 D.82.设{e1,eA.2e1+e2和e1−e2 B.3e1−3.在直角三角形ABC中,斜边BC长为2,O是平面ABC内一点,点P满足OP=OA+12(A.2 B.1 C.12 D.4.已知AB=a+5b,BC=−2aA.A、B、D三点共线 B.A、B、C三点共线
C.B、C、D三点共线 D.A、C、D三点共线5.设x∈R,向量a=(3,x),b=(1,−1)且a⊥bA.1010 B.31010 6.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,sin(B+C)⋅sin(B−C)=sin2A.正三角形 B.等腰直角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形7.在△ABC中,AD为BC边上的中线,且AE=2ED,则BE=A.−23AB+13AC B.8.已知点P是边长为2的菱形ABCD内的一点(包含边界),且∠BAD=120°,则AP⋅AB的取值范围是(
)A.[−2,4] B.(−2,4) C.[−2,2] D.(−2,2)二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。9.已知平行四边形的三个顶点(−3,0),(2,−2),(5,2),则第四个顶点的坐标可能是(
)A.(10,0) B.(0,4) C.(−6,−4) D.(6,−1)10.由下列条件解三角形问题中,对解的情况描述正确的是(
)A.a=20,b=11,A=30°,有两解 B.c=2,b=2,B=30°,有两解
C.a=8,b=16,A=30°,有两解 D.b=23,c=3411.已知两个向量e1和e2满足|e1|=2,|e2|=1,e1与e2的夹角为πA.−6 B.−142 C.−三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.已知|a|=2,且a⋅b=−213.已知△ABC的角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=1,b+c=2,A=π4,则sinB+sinC=______.14.如图,在△ABC中,N为线段AC上靠近A点的四等分点,若AP=(m+110)AB四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)
已知向量a=(1,0),b=(3,2).
(1)求向量a+3b,4a16.(本小题15分)
在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a2=b2+c2−bc.
(1)求角A的大小;
(2)若b=2,c=3,求a的值;17.(本小题15分)
已知|a|=2,|b|=1,(a−3b)⋅(a+b)=318.(本小题17分)
△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知3(bsinC+csinB)=4asinBsinC.
(1)求角A;
(2)若a=7,且△ABC的面积为19.(本小题17分)
如图,我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛,小岛B与小岛A、小岛C粗距都为5nmile,与小岛D相距为35nmile,小岛A对小岛B与D的视角为钝角,且sinA=35.
(1)求小岛A与小岛D
参考答案1.D
2.B
3.B
4.A
5.B
6.C
7.A
8.A
9.ABC
10.BD
11.AD
12.−a13.214.3515.解:(1)因为向量a=(1,0),b=(3,2),
所以a+3b=(1,0)+(9,6)=(10,6),
4a−2b=(4,0)−(6,4)=(−2,−4);
(2)因为向量a=(1,0),b=(3,2),
所以a+b=(4,2),
所以|a+b|=42+22=25.
16.解:(1)因为a2=b2+c2−bc,所以b2+c2−a2=bc,
由余弦定理得,cosA=b17.解:∵|a|=2,|b|=1,(a−3b)⋅(a+b)=3,
∴22−3×12−2a⋅b=3,解得a⋅b18.解:(1)因为3(bsinC+csinB)=4asinBsinC,
所以由正弦定理可得3(sinBsinC+sinCsinB)=23sinBsinC=4sinAsinBsinC,
因为B,C为三角形内角,sinBsinC≠0,
所以sinA=32,
又因为A∈(0,π),
所以A=π3或2π3;
(2)因为A=π3或2π3,a=7,且△ABC的面积为32,
所以由题意可得△ABC的面积32=12bcsinA=34bc,解得bc=219.解:(1)根据sinA=35,且角A为钝角,可得cosA=−1−(35)2=−45,
在△AB
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