内蒙古自治区通辽市科左后旗甘旗卡第二高级中学2024-2025学年高三下学期期中联考数学试题理试题含解析

内蒙古自治区通辽市科左后旗甘旗卡第二高级中学2024-2025学年高三下学期期中联考数学试题[理]试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．抛物线y2=ax(a>0)的准线与双曲线C:x28A．8 B．6 C．4 D．22．已知集合，集合，则（）.A． B．C． D．3．过抛物线的焦点且与的对称轴垂直的直线与交于，两点，，为的准线上的一点，则的面积为（）A．1 B．2 C．4 D．84．若双曲线：的一条渐近线方程为，则（）A． B． C． D．5．已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（）A． B． C． D．6．执行下面的程序框图，若输出的的值为63，则判断框中可以填入的关于的判断条件是（）A． B． C． D．7．定义域为R的偶函数满足任意，有，且当时，.若函数至少有三个零点，则的取值范围是（）A． B． C． D．8．函数的图象大致是（）A． B．C． D．9．某大学计算机学院的薛教授在2019年人工智能方向招收了6名研究生.薛教授欲从人工智能领域的语音识别、人脸识别，数据分析、机器学习、服务器开发五个方向展开研究，且每个方向均有研究生学习，其中刘泽同学学习人脸识别，则这6名研究生不同的分配方向共有（）A．480种 B．360种 C．240种 D．120种10．若函数有两个极值点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．11．设复数满足，在复平面内对应的点的坐标为则（）A． B．C． D．12．已知向量，则向量在向量方向上的投影为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数是定义在上的奇函数，则的值为__________．14．已知点是抛物线的焦点，，是该抛物线上的两点，若，则线段中点的纵坐标为__________．15．展开式中，含项的系数为______.16．记为等比数列的前n项和，已知，，则_______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数．（1）当时，解关于x的不等式；（2）当时，若对任意实数，都成立，求实数的取值范围．18．（12分）已知矩阵的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量.19．（12分）已知函数（1）求函数的单调递增区间（2）记函数的图象为曲线，设点是曲线上不同两点，如果在曲线上存在点，使得①；②曲线在点M处的切线平行于直线AB，则称函数存在“中值和谐切线”，当时，函数是否存在“中值和谐切线”请说明理由20．（12分）已知椭圆的离心率为，直线过椭圆的右焦点,过的直线交椭圆于两点(均异于左、右顶点).（1）求椭圆的方程；（2）已知直线,为椭圆的右顶点.若直线交于点，直线交于点，试判断是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由.21．（12分）在，角、、所对的边分别为、、，已知.（1）求的值；（2）若，边上的中线，求的面积.22．（10分）在中，角所对的边分别是，且.（1）求；（2）若，求.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．A【解析】

求得抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，解得两交点，由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．【详解】抛物线y2=ax(a>0)的准线为x=-a4，双曲线C:x28-y24本题考查三角形的面积的求法，注意运用抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，考查运算能力，属于基础题．2．A【解析】

算出集合A、B及，再求补集即可.【详解】由，得，所以，又，所以，故或.故选：A.本题考查集合的交集、补集运算，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.3．C【解析】

设抛物线的解析式，得焦点为，对称轴为轴，准线为，这样可设点坐标为，代入抛物线方程可求得，而到直线的距离为，从而可求得三角形面积．【详解】设抛物线的解析式，则焦点为，对称轴为轴，准线为，∵直线经过抛物线的焦点，，是与的交点，又轴，∴可设点坐标为，代入，解得，又∵点在准线上，设过点的的垂线与交于点，，∴.故应选C.本题考查抛物线的性质，解题时只要设出抛物线的标准方程，就能得出点坐标，从而求得参数的值．本题难度一般．4．A【解析】

根据双曲线的渐近线列方程，解方程求得的值.【详解】由题意知双曲线的渐近线方程为，可化为，则，解得.故选：A本小题主要考查双曲线的渐近线，属于基础题.5．D【解析】

由变形可得,可知函数在为增函数,由恒成立,求解参数即可求得取值范围.【详解】,即函数在时是单调增函数.则恒成立..令,则时,单调递减,时单调递增.故选:D.本题考查构造函数,借助单调性定义判断新函数的单调性问题,考查恒成立时求解参数问题,考查学生的分析问题的能力和计算求解的能力,难度较难.6．B【解析】

根据程序框图，逐步执行，直到的值为63，结束循环，即可得出判断条件.【详解】执行框图如下：初始值：，第一步：，此时不能输出，继续循环；第二步：，此时不能输出，继续循环；第三步：，此时不能输出，继续循环；第四步：，此时不能输出，继续循环；第五步：，此时不能输出，继续循环；第六步：，此时要输出，结束循环；故，判断条件为.故选B本题主要考查完善程序框图，只需逐步执行框图，结合输出结果，即可确定判断条件，属于常考题型.7．B【解析】

由题意可得的周期为，当时，，令，则的图像和的图像至少有个交点，画出图像，数形结合，根据，求得的取值范围.【详解】是定义域为R的偶函数，满足任意，，令，又，为周期为的偶函数，当时，，当，当，作出图像，如下图所示：函数至少有三个零点，则的图像和的图像至少有个交点，，若，的图像和的图像只有1个交点，不合题意，所以，的图像和的图像至少有个交点，则有，即，.故选:B.本题考查函数周期性及其应用，解题过程中用到了数形结合方法，这也是高考常考的热点问题，属于中档题.8．A【解析】

根据复合函数的单调性，同增异减以及采用排除法，可得结果.【详解】当时，，由在递增，所以在递增又是增函数，所以在递增，故排除B、C当时，若，则所以在递减，而是增函数所以在递减，所以A正确，D错误故选：A本题考查具体函数的大致图象的判断，关键在于对复合函数单调性的理解，记住常用的结论：增+增=增，增-减=增，减+减=减，复合函数单调性同增异减，属中档题.9．B【解析】

将人脸识别方向的人数分成：有人、有人两种情况进行分类讨论，结合捆绑计算出不同的分配方法数.【详解】当人脸识别方向有2人时，有种，当人脸识别方向有1人时，有种，∴共有360种.故选：B本小题主要考查简单排列组合问题，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.10．A【解析】试题分析：由题意得有两个不相等的实数根，所以必有解，则，且，∴．考点：利用导数研究函数极值点【方法点睛】函数极值问题的常见类型及解题策略（1）知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号.（2）已知函数求极值.求f′（x）―→求方程f′（x）＝0的根―→列表检验f′（x）在f′（x）＝0的根的附近两侧的符号―→下结论.（3）已知极值求参数.若函数f（x）在点（x0，y0）处取得极值，则f′（x0）＝0，且在该点左、右两侧的导数值符号相反.11．B【解析】

根据共轭复数定义及复数模的求法，代入化简即可求解.【详解】在复平面内对应的点的坐标为，则，，∵，代入可得，解得.故选：B.本题考查复数对应点坐标的几何意义，复数模的求法及共轭复数的概念，属于基础题.12．A【解析】

投影即为，利用数量积运算即可得到结论.【详解】设向量与向量的夹角为，由题意，得，，所以，向量在向量方向上的投影为.故选：A.本题主要考察了向量的数量积运算，难度不大，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【解析】

先利用辅助角公式将转化成,根据函数是定义在上的奇函数得出,从而得出函数解析式,最后求出即可.【详解】解:,又因为定义在上的奇函数,则,则,又因为,所以,,所以.故答案为:本题考查三角函数的化简,三角函数的奇偶性和三角函数求值,考查了基本知识的应用能力和计算能力,是基础题.14．2【解析】

运用抛物线的定义将抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离，然后求解结果.【详解】抛物线的标准方程为：，则抛物线的准线方程为，设，，则，所以，则线段中点的纵坐标为.故答案为：本题考查了抛物线的定义，由抛物线定义将点到焦点距离转化为点到准线距离，需要熟练掌握定义，并能灵活运用，本题较为基础.15．2【解析】

变换得到，展开式的通项为，计算得到答案.【详解】，的展开式的通项为：.含项的系数为：.故答案为：.本题考查了二项式定理的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.16．【解析】

设等比数列的公比为，将已知条件等式转化为关系式，求解即可.【详解】设等比数列的公比为，，.故答案为:.本题考查等比数列通项的基本量运算，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）（2）【解析】

（1）当时，利用含有一个绝对值不等式的解法，求得不等式的解集.（2）对分成和两类，利用零点分段法去绝对值，将表示为分段函数的形式，求得的最小值，进而求得的取值范围.【详解】（1）当时，由得由得解：，得∴当时，关于的不等式的解集为（2）①当时，，所以在上是减函数，在是增函数，所以，由题设得，解得.②当时，同理求得.综上所述，的取值范围为.本小题主要考查含有一个绝对值不等式的求法，考查利用零点分段法解含有两个绝对值的不等式，属于中档题.18．另一个特征值为，对应的一个特征向量【解析】

根据特征多项式的一个零点为3，可得，再回代到方程即可解出另一个特征值为，最后利用求特征向量的一般步骤，可求出其对应的一个特征向量.【详解】矩阵的特征多项式为：，是方程的一个根，，解得，即方程即，，可得另一个特征值为：，设对应的一个特征向量为：则由，得得，令，则，所以矩阵另一个特征值为，对应的一个特征向量本题考查了矩阵的特征值以及特征向量，需掌握特征多项式的计算形式，属于基础题.19．（1）见解析（2）不存在，见解析【解析】

（1）求出函数的导数，通过讨论的范围求出函数的单调区间即可；（2）求出函数的导数，结合导数的几何意义，再令，转化为方程有解问题，即可说明.【详解】(1)函数的定义域为，所以当时，；，所以函数在上单调递增当时，①当时，函数在上递增②，显然无增区间；③当时，，函数在上递增，综上当函数在上单调递增.当时函数在上单调递增；当时函数无单调递增区间当时函数在上单调递增(2)假设函数存在“中值相依切线”设是曲线上不同的两个点，且则曲线在点处的切线的斜率为，.令，则，单调递增，，故无解，假设不成立综上，假设不成立，所以不存在“中值相依切线”本题考查了函数的单调性，导数的几何意义，考查导数的应用以及分类讨论和转化思想，属于中档题．20．（1）（2）定值为0.【解析】

（1）根据直线方程求焦点坐标，即得c，再根据离心率得，（2）先设直线方程以及各点坐标，化简，再联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理代入化简得结果.【详解】（1）因为直线过椭圆的右焦点,所以，因为离心率为，所以，（2），设直线，则因此由得，所以，因此即本题考查椭圆方程以及直线与椭圆位置关系，考查综合分析求解能力，属中档题.21．(1)(2)答案不唯一，见解析【解析】

（1）由题意根据和差角的三角函数公式可得，再根据同角三角函数基本