高中数学不等式证明专题讲解

高中数学不等式证明专题讲解

例1若0<x<l,证明|loga(l-x)|>|loga(l+x)](a>0且awl).

分析1用作差法来证明.需分为a>l和0<a<l两种情况，去掉绝对值符

号，然后比较法证明.

解法1(1)当a>l时,

因为。<1-x<l,l+x>l,

2

所以|lOga(l-刈-|k)ga(l+X)|=-lOga(l—X)-lOg/l+x)=-logfl(1-%)>0.

(2)当0<a<l时，

因为。<1-X<1,1+X>1

2

[U|logfl(l-x)|-|loga(l+x)|=logfl(l-x)+logfl(l+x)=logfl(l-x)>0.

综合(1)(2)|loga(l-x)|>|loga(l+x)|.

分析2直接作差，然后用对数的性质来去绝对值符号.

解法2作差比较法.

因为11呜(一)|—13(1+刈=|"，I尺/

=]：—+=]：­।lg(l--lg(l+x)]=I：—rlg(l-x2)>0,

|lg4|lga||lg4

所以|bga(l-X)|>|lOg°(l+X)|.

例2设a>6>0,求证：aabb>abba.

证明：喏=

aib

/.^->l,a-b>0.(/fl.•ab

•a>b>0?一>i.

又,「a”">。，/.aabb>abba..

例3对于任意实数a、b,求证《士以2（"）4（当且仅当a=〃时取等号）

22

22

证明:Va+b＞2ab（当且仅当时取等号）

4222

两边同加（/+b）:2（/+/）＞（a+b）,

，+〃〉(/+/)2(])

即:(

2~~-2-1

又：Va2+b2＞2ab（当且仅当a=b时取等号）

两边同加(«2+b2):2(«2+b2)>(a+b)2

•a2+b2a+b

•2()2

22

a+b■)4(2)

2

由（1）和（2）可得"（当且仅当a”时取等号）.

例4已知a、b>ceR+,a+〃+c=l,—+—+—>9.

abc

证明：•*a+〃+c=l

.•._।__।_1—_1__1___a।_+_b_+_c__a।_+_b_+_c__a+b+c

abcabc

“bc、，c、7ab，、笫a、ca、cb、

=(1+-+-)+(T+1+7)+(-+-+1)=3+(-+-)+(-+-z)+(7+-z)

aabbccabacbe

•.心+益2户=2,同理:^4>2

-+->2,

ab\abacbc

•111ccccc

••—I---1—23+2+2+2=9.

abc

—+'>0.

例5已知a>b>c9求证：

a-bb-cc-a

证明一：（分析法书写过程）

为了证明」一+」一+」一＞0

a-bb-cc-a

只需要证明」工+J＞」一

a-bb-ca-c

•a>b>c•.a-c>a-b>0,b-c>0

成立

a-ba-cb-ca-bb-ca-c

>0成立

a-bb-cc-a

证明二：(综合法书写过程)

•••

•a>b>c••a-c>a-b>0,b-c>0

a-ba-cb-c

：.——+—+—>0成立

a-bb-ca-ca-bb-cc-a

例6若〃>0乃>0,且2c>〃+/?,求证：c—y/c2—ab<a<c+A/C2-ab.

证明：为要证c7c2-ab<a<c+y/c2-ab.

只需证—y/c2—ab<a—c<个c2—ab,即证-c|<\jc2-ab,

2

也就是(〃—c)2<c-ab9即证/一2〃0<一而，即证2ac>a(a+b),

a>0,2c>a+b,b>0,

c>a+'>,故，>即有。,

2

又由2c>a+〃可得2〃c>〃(〃+〃)成立，

**.所求不等式C-J/—<a<c-\-Vc2-ab成5L.

例7若/+/=2,求证。+x2.

TjH:彳良7^1a+b>29贝!]/+/;3=([+b)(a?—ab+Z?2)>2(〃—ab+/??),

而a?+方=2,故储一"+>)<1.

•*.\+ab>a2+b2>2ab.从而ab<\,a1+b2<1+ab<2.

••(a+人)之=。2+/?2_|_2ab<2+2ab<4・••a+Z?v2.

这与假设矛盾，故a+H2.

证法二：假设a+6>2,则a>2—6,

故2=苏+/>(2一力3+/,即2>8-12b+6b久，gp(b-1)2<0,

这不可能.从而a+0V2.

证法二：假设a+b>2?贝！J(Q+b)3=a3+b3+3ab(a+Z?)>8.

由+/=2,得3ab(a+b)>6,故ab(a+b)>2.

又a3+b3=(a+b\a2-ab+b2)=2,

••ab(a+Z?)>(4Z+b\a2-ab+b2).••a1-ab+b2<ab^艮口(a-b)2<0・

这不可能,故“+6W2.

22

例8设x、y为正数，求证yjx+y>正+,3.

分析：用综合法证明比较困难，可试用分析法.

证明：要证/2+俨〉疝3+,3,只需证(x2+/)3>(/+y3)2,

即证/+3x4/+3x2/+/>X6+2/y3+y6,

化简得3/y2+3x2y4>2x3y3,x2y2(3x2-2xy+3y2)>0.

•A=4y之-4x3x3y2<0,•・3x2-2xy+3y2>0.

/.尤2/32_2孙+3y2)>o..•.原不等式成立.

22

例9已知1V*2+y2(2,求证；vX-xy+y<3.

证明：从条件看，可用三角代换，但需要引入半径参数厂.

*/l<x2+y2<2,

••可设光=〃cos0,y=rsinG,其中1W厂WV2,0<0<2TI.

••x1—xy+y2=r2-r2sin0cos0=r2(l-^sin20).

由—<1-—sin20<—,故,户<r2(l--sin20)<—r2・

222222

W—r2>—5-r2<35—<x2-xy+y2<3.

2222

例10设〃是正整数，求证!…+，<1.

2〃+1n+22n

分析：要求一个〃项分式」：+」+…+4的范围，它的和又求不出来,

可以采用“化整为零”的方法，观察每一项的范围，再求整体的范围.

证明：由2n>n+k>n(k=1,2,•••,〃),得

2nn+kn

当左=1时，—<^-<1:

2n几+1n

当％=2时，—

2n九+2n

当左=〃时，—<^—<->

2nn-\-nn

•In111n

••一=-<---1---------F---1-----<一=1.

22nn+\n+22nn

例11已知a>b>0,求证：一疝<3i.

8a28b

证明：欲证

8a28b

只须证+6_2Q<丝血.

4a4b

即要证"〈后-四〈一即要证正〈马业,

2-va2Jb21a2＜b

即要证逅》＜2〈逅即要证1+理＜2＜平+1,即及＜1〈、口

84byla4b\a\b

即要证纥1二（*）

ab

•a>b>G9••(*)显然成立,

故-b)”a+br-r

<--------"vab<

8a8b

888233233233

例12如果尤，y,ZGR,求证：x+j+z>xyz+yzx+zxy.

证明：:*8+y8+8

z(x4)2+(/)2+(z4)2

、444444

>xy+yx+zx

=(2+(丹2)2+户)2

>x2y2•y2z2+y2z2-z2x2+z2x2-x2y2

=(xy2z)2+(yz2x)2+(zx2y)2

>xy2z-yz2x+yz2x-zx2y+zx2y-xy2z

233233233

=xyz+yzx+zxy

,f+y8+z82x2y3z3+y2z\3+z\3y3.

例13已知0<a<l,O<Z?<1,0<c<l,求证：在(1-a)b,(l-6)c,(l-c)a三数中,不

可能都大于；.

4

证明：假设(1-a)6,(l-6)c,(l-c)a三数都大于L

4

(1-a)b>—,(1-Z?)c>—,(1-c)a>—.

444

又•0<a<l,O<Z?<1,0<c<l,

•,J(1-a)b>—,J(1-b)c>—,J(1-c)a>—.

••y/(l-d)b+y](l-b)c+J(1-c)a>y(J)

以上三式相加，即得：

y](l-a)-b+J(1-6)•c+J(1-c)•a<②

显然①与②相矛盾，假设不成立，故命题获证.

例14已知a、b、。都是正数，求证：21等—而13[空手-麻].

证法一:要证彳等）-而＜3『±产

只需证a+b-2y[ab<a-\-b-\-c-3^1abc

即—2y[ab<c-3y1abc,移项9得c+2y[^b>3y[abc.

由a、b>c为正数，得c+14ab=c+y!~ab+>[ab>3y[abc・

...原不等式成立.

证法二：二a、b、c为正数，

/.c+y[ab+>[ab>3\c4ab•yfab=3^1abc.

艮Rc+2y[ab>3y1abc,故-2y[ab<c-3^1abc.

a+b-2y[ab<a+b-\-c-3y1abc9

竽-而<31^±|±£一司.

说明：题中给出的言，册,丝产，吼薪，只因为°、以c都是正数，

形式同算术平均数与几何平均数定理一样，不加分析就用算术平均数

与几何平均数定理来求证，问题就不好解决了.

例15已知〃>o,b>o,且Q-〃=1.求证：o<-(V^--^)(VF+3)<I.

ay/a

证明：令。=5氏20,Z?=tan20,且0<0〈二，

2

贝U—(V^—j=)(4b+—j=)=---(sec0-------)•(tan0H-----)

ayjaTbsec0secOtan0

1八、sin0cos。、

=cos2n0/(------cos0)-(z-----+-----)

cos0cosOsinQ

2s—e1

=cos0----------------=sin6

cos0sin0cos0

•7T艮口0<—(Va一一+-^=)<1成立.

•o<e<-,••O<sin0<l9

2ay/aTb

例16已知x是不等于1的正数，〃是正整数，求证(1+犬〃)(1+%)〃>2用*

证明：是不等于1的正数,

••1+x>2>\/x>0,

(i+a>2"7F.①

又l+x”>2甘>0.②

将式①，②两边分别相乘得

(l+xn)(l+x)n>2y[x"-2n-Tx7,(l+x")(l+x)n>2n+1-xn.

例17已知，x,y,zeR+,且%+y+z=l,求证+"+当.

证明：要证五+4+正<V3,只需证x+y+z+2(y[xy+4xz+y[y