高三数学《基本数学方法》专题复习教案 新人教A版

专题九基本数学方法专题

【命题趋向】数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴涵在数学

知识发生、发展和应用的过程中.因此，对于数学思想和方法的考查必然要与数学知识的考

查结合进行，通过对数学知识的考查，反映考生对数学思想、方法的理解和掌握程度.考查

时，要从学科整体意义和思想含义上立意，注重通性通法，淡化特殊技巧，有效地检测考生

对中学数学知识中所蕴涵的数学思想和方法的掌握程度.

一般认为，中学数学基本思想是指渗透在中学数学知识与方法中具有普遍适应性的本质

思想.中学数学涉及的数学思想主要有：函数与方程思想，数形结合思想，分类与整合思想,

化归与转化思想，特殊与一般思想，有限与无限思想，或然与必然思想等.数学基本方法主

要有：待定系数法、换元法、配方法、割补法等.数学逻辑方法或思维方法主要有：分析与

综合、归纳与演绎、比较与类比、具体与抽象等.它们是理解、思考、分析与解决数学问题

的普通方法，对数学思想和方法的考查要结合数学知识多层次进行.

高考对数学方法的考查突出常规方法和通性通法，不追求对特殊技巧的考查，高考考查

的内容可以划分为三类，他们是数学基础知识、数学思想方法和数学能力.高考是以知识为

载体，以方法为依托，以能力为目的来进行考查的，命题时则是以能力立意，以方法和知识

为素材来进行命题设计的，在一套高考试卷中体现数学方法的试题占有较大的比例，预计2009

年的高考考查数学基本方法的试题仍会占有较大比例，高考对数学基本方法的考查不会降低

要求.

【考点透析】我们结合上面的论述，本专题主要研讨综合法、分析法、反证法、数学

归纳法、换元法、配方法、待定系数法、割补法、构造法、特值法等十种数学基本方法.

【例题解析】

题型1综合法：由因导果的一种推理论证方法.

例1.1(2008陕西理)己知函数/(x)=2sin2cos2-2百sit?土+省.

444

(1)求函数/(幻的最小正周期及最值；

(2)令g(x)=/x+],判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由.

分析：将三角函数式化为一个角的一个三角函数.

解析：⑴•.•/(x)=sin'+G(l-2sin22)=sin±+Gcos'

2422

271

/(%)的最小正周期T=芋=4兀.

2

当sin]+]=-1时，/（元）取得最小值一2；当sin]+]=1时，/（元）取得最大值

2.

X71

(2)由(2)知/(x)=2sin--1•又g(x)=/'(x+D

2-3

2cos5=g(x)

，函数g（x）是偶函数.

点评：本题考查三角恒等变换、三角函数的性质，解题的基本方法就是综合法.

例1.2.（2008天津文、理）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形.已知

AB=3,AT>=2,E4=2,PD=2叵,ZPAB=60°.

（1）证明A。，平面Q46；

（2）求异面直线PC与AD所成的角的大小：

（3）求二面角P—30—A的大小.

分析：（1）根据演绎推理的三段论模式，根据有关的已知定理进行推证，注意转化的思

想；（2）也得根据异面直线的角的定义这个大前提，作出两异面直线所成的角，在进行

求解；（3）根据二面角的定义，作出二面角的平面角，在进行具体的计算.

解析：（1）在中，由题设PA=2,AD=2,尸。=2收，可得24?+44=92,

于是.在矩形A8CD中，AD_LAB,又24口48=4，所以ADJ_平面Q43.

（2）由题设，BC//AD,所以NPCB（或其补角）是异面直线PC与AO所成的角.

在中，由余弦定理得

PB=yjPAr+AB2-2PA.AB»cosPAB=S.

由(I)知A£>d_平面PA3,PBu平面PAB,

所以AQ1.PB,因而BC_LP3,于是△P3C是直角三角形,

痂,p「n_PB_币

故tanPCB==—.

BC2

V7

所以异面直线PC与AO所成的角的大小为arctan

(3)过点P作PHLAB于H,过点H作HELBD于E,连结PE.

因为A。，平面Q钻，PHu平面PAB,所以AD_LP”.又A£)nAB=A,因而

P7/L平面ABC。，故"E为PE在平面A3CD内的射影.由三垂线定理可知，

BDLPE.从而NPE”是二面角P-M—A的平面角.

由题设可得，

PH—PA^sin60—y/3,AH=PA»cos60—1,

BH=AB—AH=2,BD7ABhAD?=而,

4

HE—.BH=

BD>­

PH_V39

于是在Rt4P/7E中，tanPEH

HE~A

所以二面角P—3。一4的大小为arctan

4

点评：高考数学试题中的绝大多数题目都是通过综合法解决的，综合法是最广泛的一种

解决问题的方法.

题型2分析法：执果索引的一种推理论证方法.

77

例2.1已知函数/(x)=tanx,xe(0,5),若且，证明：.

分析：从结论出发逐步到处已知.

证明：欲证

；

o(tanX|+tan%)>tani------=-

2

1sinx.sinx,、皿(，，化弦，，)

<=>-(-----L+-------)>3-

2cos%1cosx21+cos(x,+x2)

只要证明，则以上最后一个不等式成立，在题设条件下易得此结论.

点评：分析法是思考问题的一种基本方法，在己知和未知之间的关系不明朗时可以通过

从结论出发探究问题的思路.

例2.2已知i,机,〃是正整数，且.

(1)证明：〃'％〈加4.

(2)证明：.

分析：题设条件过于简便，不好使用，从结论出发，用分析法.

证明：（i）欲证"A；<o4<A

m'n'

,对，

有成立，故上面最后一个不等式成立.

（2）欲证

〃A'〃

=X•—>y•—

<=>A：>”'4（成立）

点评：本题从分析要证明的结论入手，轻而易举地解决了问题.

题型3反证法：反设结论，导出矛盾的一种推理论证方法.

例3.1设是公比不相等的两个等比数列，，证明数列不是等比数列.

分析：假设结论成立，导致矛盾.

证明：假设是等比数列，则有.又设的公比分别是p,q,

%=（出+为丫=（4+4）•（%+A）

即

,即

,这与题设的公比不相等矛盾，故数列不是等比数列.

点评：宜用反证法证明的题型：有①易导出与已知矛盾的命题；②一些基本定理；③“否

定性”命题；④“惟--性”命题；⑤“必然性”命题；⑥“至少”、“至多”命题等.

例3.2（2008高考江苏19）（1）设。”牝，……。”是各项均不为零的"项（"24）等差数

歹!I,且公差d/0,若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：

①当〃=4时求"的数值；②求〃的所有可能值.

a

（2）求证：对于给定的正整数〃（〃24）,存在一个各项及公差均不为零的等差数列

b血,……b„,其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列.

解析：（1）①当”=4时，q,4，中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续

三项成等比数列，则推出4=0.

若删去%，则即（q+2d）2=a/（4+3d）化简得q+4d=0,得色=-4

若删去。3，则即(。|+4)2=%•(4+34)化简得4=0,得幺=1

d

综上，得以=7或色=1.

dd

②当〃=5时，4，。2，“3，。4，。5中同样不可能删去4，。2，〃4，a5，否则出现连续三项.

若删去生，则％・%=%・4，即4(q+44)=(q+d)-(q+3d)化简得3d2=0,因为

dH0,所以由不能删去；

当〃26时，不存在这样的等差数列.事实上，在数列q,4,生，…，&-2，”“-I，4中，由于

不能删去首项或末项，若删去的，则必有％这与dwO矛盾；同样若删去

4,1也有4•《,=4,%-2，这与d^O矛盾；若删去的，…，4-2中任意一个，则必有

•an=a2-an_t,这与dwO矛盾.(或者说：〃26当时，无论删去哪一项，剩余的项中

必有连续的三项)

综上所述，〃=4.

(2)假设对于某个正整数〃，存在一个公差为d的〃项等差数列4,打，……bn,其中

么+也M(O«x<y<z<〃-1)为任意三项成等比数列，则b2M=4+1丸+1，即

(仿+yd)2=(a+xd).(4+zd),化简得(y?—xz)/=(x+z-2y)b|d(*)

由白1#0知，V一血与x+z-2y同时为0或同时不为0,

当y?-xz与x+z-2y同时为0时，有％=y=z与题设矛盾.

故y2—xz与x+z—2y同时不为0,所以由(*)得&=-.V一工二

dx+z-2y

h

因为O〈x<y<z<n—1,且x,y,z为整数，所以上式右边为有理数，从而」•为有理数.

d

于是，对于任意的正整数〃(〃24),只要4为无理数，相应的数列就是满足题意要求的数

d

列.

例如〃项数列1,1+&，1+2&,……，1+S-1)及满足要求.

点评：本题利用考生所熟悉的等差数列、等比数列的知识背景，考查考生分析问题解决

问题的能力，考查创造性解决问题的能力，是一道以能力立意为主的创新型试题.命题

者从“如果一个各项都不为零的三项数列，既是等差数列又是等比数列，则这个数列一

定是常数数列”这个基本事实出发，把这样的数列设计为超过三项，得到了本题的第一

问中的两个问题.第一个小问题，只能删除第二或第三项；第二个小问题是如果这个数

列有五项，则只能删除中间一项，解决这个问题是反证的思想，即“如果删除其它项就

会在数列中出现基本事实，与题目中要求的公差不为零矛盾”，这个问题解决后，如果

数列的项数超过五，则无论删除哪一项，都会出现基本事实，产生矛盾，从而使问题解

决.本题的第二问，是一个结论为否定的存在性命题，解决的基本思想是反证，可以说

是一个以数列知识为依托，考查推理与证明的题目.

题型4数学归纳法：解决与正整数有关的问题的一个数学方法，经常与归纳法联用.

例4.1(2008高考天津理)在数列｛4｝与也,｝中，卬=1,优=4,数列｛%｝的前〃项和S„

满足

nSn+l-(n+3)5„=0,2a同为b“与3+i的等比中项，neN*.

(1)求心，%的值；

(2)求数列上｝与也“｝的通项公式；

(3)设7；=(—1尸4+(—1)"屹+…+(-1)%勿,〃eN*.证明以<2“2,〃23.

分析：求出数列的前几项，猜测通项公式，用数学归纳法进行证明.

解析：(1)由题设有4+%-4q=0,q=l,解得。2=3.由题设又有4a2?=%白，

4=4,解得仿=9.

(2)由题设〃S“+]-(〃+3)S“=0,a〕=1,4=4,及。2=3,b2=9,进一步可得的=6,

4=16,%=10，a=25,猜想4,=?("+),2=5+1)2,nwN".

小、十n(7?+l)人产

先证Q〃=————,neN.

当〃=1时，①Jx(l+D,等式成立.当〃22时用数学归纳法证明如下：

2

(1)当〃=2时，Q)=2xC+1),等式成立.

一2

(2)假设〃=%时等式成立，即4="()),k>2.

由题设，kSM=(k+3)Sk①

(&-1电=伏+2»1②

①的两边分别减去②的两边，整理得37句=(4+2)%，从而

k+2k+2k(k+l)伏+1)[(Z+1)+1]

a.------=---------------------------------.

k+'kkk22

这就是说，当〃=左+1时等式也成立.根据(1)和(2)可知，等式4=?("+D对任

何的成立.

综上所述，等式％=妁詈对任何的〃eN*都成立/=普辿

再用数学归纳法证明勿=(〃+1尸，〃eN*.

(1)当〃=1时，4=(1+1)2,等式成立.

(2)假设当〃=左时等式成立，即4=(左+1)2,那么

6+1）2（%+2）2

=[（^+1）+1]2.

一+1）2

这就是说，当〃=4+1时等式也成立.根据(1)和(2)可知，等式勿=5+1)2对任何

的“cN*都成立.

(3)(略)

点评：本题以数列知识为依托，查归纳意识和数学归纳法.

例5.2(2008浙江理)已知数列{%},>0,卬=0,+4+|-1=eN.).记

Sn=4]+/+,,•+〃〃•

1+q（1+。]）（1+。2）（1+。]）（1+。2）…（1+。”）

求证：当〃£N•时，

⑴a„<a„+l；

(2)S“>〃—2；

(3)Tn<3.

分析：根据给出的递推式试图求出通项在解答显然不现实，可考虑用数学归纳法解决.

(1)证明：用数学归纳法证明.

①当〃=1时，因为%是方程V+x—1=0的正根，所以q〈生.

②假设当〃=&(■GN*)时,ak<%],

因为+；一。；=(%+22+%+2-1)一(4+:+%+|-1)

=（4+2-4+1）（%2+%+1+D，

所以4+1<%+2-

即当7=k+1时,4<2+］也成立.

根据①和②，可知a,,<an+i对任何〃GN*都成立.

（2）、（3）（略）

点评：本题以递推式给出了数列，数学归纳法是解决与递推数列问题的一个有力方法.

题型5待定系数法：对于某些数学问题，如果得知所求结果具有某种确定的形式，则可

引进一些尚待确定的系数（或参数）来表示这种结果，然后利用己知条件通过变形与比较,

根据恒等关系列出含有待定系数的方程（组），解之即得待定的系数，进而使问题获解，

这种常用的数学基本方法称之为待定系数法.待定系数法的实质是方程的思想，这个方

法是将待定的未知数与已知数统一在方程关系中，从而通过解方程（组）求得未知数.用

待定系数法解题，具有思路清晰、可操作性强等特点，因而在数学各分支中，都有比较

广泛的应用.

例5.1（2008全国I卷文、理）双曲线的中心为原点。，焦点在x轴上，两条渐近线分

别为4,12,经过右焦点F垂直于4的直线分别交4,4于AB两点.已知

|砺卜|而卜|画成等差数列，且百户与所同向.

（1）求双曲线的离心率；

（2）设AB被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程.

分析：（1）利用方程思想；（2）待定系数.

解析：（1）设。4=/〃一“，AB—m,OB=m+d

由勾股定理可得：（加一1>+病=（m+〃）2

得：d--m,tanZ.AOF--,tanZAOB-tan2ZAOF--—

4aOA3

由倍角公式.•・一鼻=一4，解得2h=上1

4932

则离心率e=15.

2

（2）过产直线方程为丁=—@（x—c）

b

X2y2

与双曲线方程+-9=1联立

将a=%,c=后代入，化简有鸟公一随x+21=0

4Z?'b

解得匕=3

22

最后求得双曲线方程为：—-^-=1.

369

点评：本题以双曲线和直线的知识为载体，重点考查方程思想和待定系数法.

例5.2在公差为d(dwO)的等差数列｛凡｝和公比为q的等比数列｛〃,｝中，己知

%=仇=1,a2=b2,a&=b3.

(1)求实数d、q的值；

(2)是否存在常数a/，使得对于一切自然数〃，都有a”=log“£+b成立？若存在，

求出。力的值；若不存在，请说明理由.

分析：第一问可以根据方程的思想解决；第二问是一个等式的恒成立问题，就是看是不

是对所有的〃有没有常数。力使等式成立，我们就待定这两个系数.

解析：(1)由已知q=仇=1,a2=b2>ag=b3,

\+d=q[d=5

即4,而由于dwO,则解得1；

1+7d=q-1q=6

(2)由(1)可知见=5〃-4,bn=6"'',

设存在常数。力，使得对于一切自然数〃，都有册=logaa+。成立,

那么5〃-4=log“6,,_|+b,即5/?-4=nlog„6-log„6+b,

比较系数可知[电6=5,即卜="

b-log“6=-4[b=\

评析：在解决一些存在性问题中，经常通过待定系数法先假设命题成立，结合题意中给

出的信息加以分析和求解，来说明命题成立与否.在数列题中也是经常碰到的一类问题.

题型6换元法：换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法.所谓换元

法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来

的式子，使它简化，使问题易于解决.

例6.1(2008高考江西卷3)若函数y=/(x)的值域是[L3]，则函数F(x)=f(x)+—

2/(x)

的值域是

A.[p3]B.[2,y]C.[|,y]D.[3,y]

分析：令r=/(x),将尸(x)=/(x)+—转换为关于r的函数，利用函数的性质解决.

f(x)

解析：令，=/(力，贝he-,3,则/(x)=/(x)+」一可化为y=f+Le己,3],

易知，当r=1时，y有最小值2,当，=3时有最大值日.故函数F(x)的值域为[2,曰].答

案B.

点评：不换元就没有办法使用函数的性质.

A

例6.2(2008高考山东文15)已知/(3)=4xlog23+233,则

/⑵+/(4)+/(8)+…+/(28)的值等于.

分析：通过换元法将函数解析式求出来解决.

解析：令/=33

则x=log31,/(。=4log3Zlog,3+233=4^-^log23+233=4log2f+233,

log23

所以

y(2)+/(4)+/⑻+…+/(28)=4x(l+2+3+…+8)+8x233=144+1864=2008

点评：本题考查指数与对数的基础知识、换元法的基本思想、运算求解能力.解决的关

键是利用换元法求出函数/(x)的解析式.

2

例6.3(2008高考江苏卷选考)在平面直角坐标系xOy中，点P(x,y)是椭圆]■+丁=1

上的一个动点，求5=1+丁的最大值.

分析：5+>2=1=（定）+/

1,三角换元解决.

Y

解析：根据分析，令^=cos6,y=sin，，则》=6(：056,故可设动点P的坐标为

V3

(6cose,sin。)，其中048<2乃.

因此S=x+y=Gcos6+sin6=Z^^-cosO+'Sin6)=2sin(8+5)

TT

所以.当。=X是，S取最大值2.

6

点评：本题原意是考查椭圆的参数方程的简单应用，但也可以从三角换元的角度解决.

例6.4已知a,8,ceR”,且a+Z?+c=l,求证：J3a+1+,3。+1+J3c+143收.

分析：设，进行均值换元.

证明：设，

再设13a+1=—+/),3b+1=—+ta,d3c+1=—+Zj>其中：+芍+4=0，

3a+l+3Z>+l+3c+l=(—+r,)2+(—+L)2+(—+L)2,

333

k22k2k2r-

即6=—+—攵(4+。2+G)+彳+考+彳=一+(彳+名+£；),6>一,解得《<3夜，

13a+1+《3b+1+13c+1<3,^2.

点评：本题可以根据平均值不等式或柯西不等式证明，这里的换元法证明也很漂亮.

题型7配方法：配方法是对数学式子进行一种定向的变形技巧，由于这种配成“完全平

方”的恒等变形，使问题的结构发生了转化，从中可找到已知与未知之间的联系，促成

问题的解决.

例7.1(2008高考四川卷)求函数y=7-4sinxcosx+4cos2x-4cos"x的最大值与

最小值.

分析：三角变换后化为一个角的三角函数.

解析：y=7-4sinxcosx+4cos2x-4cos4x

=7-2sin2x+4cos2x(l-cos2x)

=7-2sin2x+4cos2xsin2x

=7-2sin2x+sin22x

=(1-sin2x)-+6

由于函数z=(“一1)2+6在［—1,1］中的最大值为

Zmax=(-1-1)2+6=10

最小值为

Zmin=(1-1)2+6=6

故当sin2x=—1时y取得最大值10,当sin2x=l时y取得最小值6

点评：本题重点考查的是三角函数恒等变换，但最后问题的解决要依靠配方法.

例7.2(2008福建文、理)已知向量机=(sinA,cosA),〃=(1,一2),且加=0.(1)

求tanA的值；(2)求函数/(x)=cos2x+tanAsin=Q£R)的值域.

分析：(1)根据已知列方程；(2)变换为一个角的三角函数后配方解决.

解析：(1)m-n=sinA-2cosA=0=>tan-A=2,

123

(2)f(x)=cos2x+2sinx=-2(sin+—，

,/XG/?,/.sinxG［-l,1］

13

当sinx=/,/(外有最大值;；

当sinx=-1,f(x)有最小值-3.

3

所以，值域为［―3,万］.

点评：解决的关键是最后的配方.

例7.3(2008高考上海理16)已知双曲线C:与-丫2=］,p为C上的任意点.

(1)求证：点尸到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；

(2)设点A的坐标为(3,0),求|PA|的最小值.

分析：(1)设点、代入公式、计算；(2)归结为一个变量的函数，用配方法解决.

解析：(1)设P(斗，y)是双曲线上任意一点，该双曲的两条渐近线方程分别是x—2y=0

1再一2%|

和x+2y=0.点P(x„y,)到两条渐近线的距离分别是~JT~它

们的乘积是,言!•।.

V5V555

点P到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常数.

(2)设的坐标为(x,y),则|PAF=(x-3)2+y2

r15124

=/(X—o3)\2-H----1=—(x----)24--

4455

v|x|>2,

当尤=?时，|PA『的最小值为即|PA|的最小值为半.

点评：本题考查例双曲线的几何性质和点到直线的距离公式等基本知识，考查代数与几

何知识的交汇，其中在第二问中使用配方法求最值.

题型8割补法：割补法主要是针对平面图形或空间图形所采用的一种几何变换，其主要

思想是把不规则问题转化为规则问题，这个方法常常用来求不规则平面图形的面积或不

规则空间几何体的体积.

例8.1(2008高考福建文、理)若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为百，则其

外接球的表面积是.

分析：将其补成一个正方体.

解析：这样的三棱锥实际上是正方体被一个平面所截下来的，我们考虑在原来的正方体

中解决这个问题.设原来的正方体的棱长为百，则本题中的三棱锥和原来的正方体具有

同一个外接球，这个球的直径就是正方体的体对角线，长度为6x6=3,即球的半径

是|,故这个球的表面积是4万(|)=9万.

点评：三条侧棱两两垂直的三棱锥习惯上称为“直角三棱锥"，它就隐含在正方体之中，

在解题中把它看作正方体的一个部分，在整个正方体中考虑问题，往往能化难为易，起

到意想不到的作用.

例8.2如图，已知多面体MC-OEFG中，AB,AC,两两互相垂直，平面AfiC〃平

面。EFG,平面班尸〃平面ADGC,AB^AD^DC^2,AC^EF=l,则该多面体的

体积为

A.2B.4C.6D.8

分析：这个几何体即可以看作两个三棱柱拼合而成的，也可以看作是从一个正方体割下

来的.

解析一（割）：如图，过点C作于〃，连结EH,这样就把多面体分割成一个

直三棱柱DEH-ABC和一个斜三棱柱BEF-CHG.于是所求几何体的体积为

xAD+S^BEFxDE=[—X2X]|X2+[—x2xl|x2=4.

V=S&DEH

解析二（补）：如图，将多面体补成棱长为2的正方体，那么显然所求的多面体的体积即

为该正方体体积的一半.于是所求几何体的体积为V=1X23=4.

2

点评：割补法是我们解决不规则空间几何体体积的最主要的技巧，其基本思想是利用割

补将其转化为规则空间几何体加以解决.

题型9构造法：在解题时:我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构

造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程（组）、一个等式、一个函数、一个等价命题等,

架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为

构造法.

例9.1（2008高考全国卷）若直线二+2=1通过点M（cosa,sina）,贝U

ab

A.a2+b2B.a2+h2^1

c.D.与+121

a2b2a2b2

n

分析：根据点在直线上可以得到9ccs丝+生Qin吧/y=1,联想向量的数量积的坐标运算法则，

ab

可以构造向量.

解析：设向量加=（cosa,sina）,〃=（!」），由题意知"""+"=1

abab

cosasina

由w同可得i

ab

点评：平面向量进入高中教材后，其主要的功能就好应用，在高考试题中明着的和暗着

的使用平面向量的题目很多，注意平面向量的这个特点.

\a+b\LI\h\

例9.2（构造一个函数）求证：-L_

1+,+41+时i+例

分析：根据所证不等式的结构特点，构造函数/（x）=」一（xNO）,利用函数的单调性

1+X

解决.

证明：设F（x）=W（xNO）,由|a+.〈同+科，

又/（x）在［0,+8）上是一个单调递增函数，所以有/（,+月）〈/（时+网），

k+4<时+网=时+网<旦+H

1+|c/+h\1+pz|+\b\1+|a|+1+\a\+\b\1+\a1+\b\

例9.3（构造一个图形）ftcos50+cos770+cos149"+cos2210+cos293°.

分析：注意到50,55,149,221,293。成公差为72。的等差数列，而在向量中涉及角的就

是向量的夹角，于是想到通过画有向线段找到这些角.

解析：以单位长1为边长作正五边形A44A&&,且卷与x轴正方向夹角为5°.

由正五边形内角108,，得x轴正方向逆时针转到京,京,京,京的角分别为

77°,149,221°,293°.

AA,+A,Aj+A3Aj+A4A；+"5A=0,

又和向量的投影等于各个向量投影的和，

在轴上投影的和为

AtA2,4A3,44,A4A；,A4x0,

即A242kos5。+|&431cos77。+A3A4cos149°

+卜4A5kos221。+|&4cos2930=0,

cos5°+cos770+cos149°+cos221+cos293=0.

例9.4(构造一个不等式)已知a/,c>0,证明：CT++-^C—~4+/7+C.

b+cC+Qa+b2

分析：直接用一个式子或两个式子都不好直接构造轮换不等式.观察其结构特点，必须

想办法去掉不等式左端各项的分母，为此可以做变换：在不等式两端都加上巴心士£,

2

即我们证明不等式上一+上一+工+丝包£2a+6+c,这时把"+'拆成

b+cc+aa+b22

就可以构造轮换不等式了.

444

证明：工+小£之。，工,-^―+—>c,三式相加即得所证不

b+c4c+a4a+b4

等式.

点评：本题的证明方法具有很大的价值，我们可以使用这个方法证明一些高难度的不等

式，如：

(1)已知q>0,且4+a2+—卜4=1.

十、ra；a；*a；1

4+a,a2+a3an_I+anan+q2

提示：等价于证明一^+幺土歪+…++%±A之弓+凡+…+为

(4+44)(a“+44；

2222

(2)已知七>0,则&+王-+・一+&±+±-2尤］+%2+-・+占・

工2七怎不

提示：二+々225，其余同理，相加即证.

%

题型10特值法:所谓特值法是指解题中可以以特殊代替一般而不改变问题本质的一种方

法，特值法的“特值”是泛指，是指能用特殊代替一般的一个解题方法，这些“特值”

可以是特殊点、特殊直线、特殊几何图形、特殊函数等，并不一定就是一个特殊的“数”，

特值法也指可以通过特殊值检验解答选择题的方法.

例10.1(2008高考陕西卷11)定义在R上的函数/(%)满足

f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,yeR),f(1)=2，贝，。(一3)等于()

A.2B.3C.6D.9

分析：对给出的式子给予一些特殊值.

解析：

法一令x=〃,y=l,则得/("+1)=/(〃)+/(1)+2〃，

即/(〃+1)—/(〃)=2〃+2,于是得/(〃)=/+〃，则/(—3)=9—3=6.

法二：由已知可得/(0)=0,/(1)=2,/(3)=6,/(3)=12,可猜/(”)-/(〃—1)=2〃，

以下同上.

法三抽象函数问题，对对应法则合理使用，反复赋值求解，

2=/(I+0)=/(1)+/(0)+0=>/(0)=0

/(l+l)=/(l)+/(l)+2=2+2+2=6,/(3)=/(l+2)=/(l)+/(2)+2xlx2=12

/(3)=/(l+2)=/(l)+/(2)+2xlx2=i>/(3)=12,/(0)=/(3-3)=/(3)+/(-3)+2x3(-3)^/(-3)=6

答案C.

点评：特值法是解决抽象函数问题的一个基本方法.

例10.2若F+22-I---k(n-1)2=air'+bn2+cn(neN*),则。=.，

b=,c-.

分析：既然所给等式对任意正整数都成立，必然对其中的一些特殊的正整数成立，故可

以用特值法解决.

'a+b+c=0,

解析：分别令〃=1,2,3,可得，8a+4b+2c=1,解得a=《，b=_g,c=，.

326

27a+9/?+3c=5.

点评：若一个结论对每个集合中的任意的元素都成立，那它必然对这个集合中的一些特

殊元素成立，这就是特值法的依据.数列中有很多这样的问题.

例10.3(特值法)(2008高考重庆卷6)若定义在R上的函数/(x)满足：对任意x1,x2eR

有/(西+々)=/(内)+/(々)+1，则下列说法一定正确的是

A./(x)为奇函数B./(x)为偶函数

C./(x)+l为奇函数I)./(x)+l为偶函数

分析：根据题目特点可以给玉以特殊值，找到函数所满足的关系式.

解析：令%]=々=0,则有/(0)=-1,再令玉=X,%2=-8可得：

/(0)=/(%)+/(—x)+1所以0=/(x)+1+/(-%)+1即+1=-[/(-x)+l].选C.

点评：抽象函数问题中，要充分发挥特值法的作用，同时特值法也是高考中快速解得选

择题的一个重要方法.

例10.4(全国II卷理4文5)若xe(e，l),a=\nx,b-IXnx,c=lrr'x,则

A.a<h<cB.c<a<b

C.b<a<cD.b<c<a

分析：特值检验.

解析：由eT<x<l=-l<lnx<0,令/'=且取f=——如A<a<c.答案C.

2

点评：特值法解答选择题有它很大的优越性.

此外还有判别式法、参数法、比较法、放缩法等适用于一类具体数学问题的方法.

【专题训练与高考预测】

一、选择题

1.函数/(cosx)=cos?x-3cos尤+2的最小值为()

A.2B.0C.——1).6

4

2.已知点P(x,y)在圆/+>2=1上，则丁一2x的取值范围是()

A.[-1,1]B.卜庭，夜]C.[-5,5]D.[-石,6]

3.已知数列｛凡｝的通项公式是凡=—"，其中。、人均为正常数，那么%与。用的大小

bn+1

关系是()

A.an>an+lB.a„<an+lC.an=a„+l1).与〃的取值相关

4.无论加为任何实数，二次函数y=/-(2-m)x+根的图像总是过点()

A.(1,-3)B.(1,0)C.(-1,3)D.(-1,0)

5.已知长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为

()

A.2A/3B.V14C.5D.6

6.若双曲线工-£=1的左焦点在抛物线y2=2px的准线上，则〃的值为()

3P

A.2B.3C.4D.4夜

二、填空题

7.函数y=x+4+19一52的最小值是__.

8.设/(%)是R上的函数，且满足/(0)=1,并且对任意实数苍y都有

/(x_y)=/(x)—M2x-y+l),则/(x)的表达式是.

9.若a>/>>c>0,则苫2(—，(­，幅(。叫的大小关系是_____________.

abc

三、解答题

10.若函数〃6=4*+/2,+4+1在(-oo,yo)上存在零点，求实数a的取值范围.

11.已知Q4_L平面ABC。，PA^AB=AD=2,

AC与BD交于E点、,BD=2,BC=CD=叵,

(1)取尸。中点尸，求证尸B〃平面ARC；

(2)求多面体的体积.

12.数列｛%｝中，4=1，a=~an-an+C(C>1为常数,〃=1,2,3,…)，且%—a.

n+l8

(1)求c的值;

(2)证明：an<an+{-,

"140

(3)比较£一与空4用的大小，并加以证明.

39

【参考答案】

1.解析：(换元、配方)设f=cosx,则/⑺=〃—3f+2,fe[—1,1],所以有

3,1

结合二次函数的单调性，可知当「=1时，函数/(f)有最小值即为0,故选B.

答案：B.

x-cos0

2.解析：（三角换元）由于f+y2=l,可设<,则

y=sin。

y-2x=sin6-2cose=J^sin（e+e）,故其取值范围是［一君,君］.

答案：D.

n〃+1

3.解析：（特值法）取4=人=1,则%=——，。向=——，所以。“<4+一选B.

n+ln+2

答案B.

4.解析：（特值法）判断图像是否经过某点，只需分别把各点坐标代入解析式，能使左右两

边相等的点就在图像上，验算结果只能选C.本题由于加为任何实数，所以也可以取较易

计算的，如帆=1代入得y=/-x+l,再把A、B、C、D逐项代入检验即可选C.

答案：C.

5.解析：（待定系数法）设长方体三条棱长分别为x,y,z,则有2（孙+yz+zx）=ll,

4（x+y+z）=24,

而欲求的对角线长为J?+y2+z2,因此需将对称式/+y2+z2写成基本对称式

y+z及个+yz+zx的组合形式，

那么x2+y2+z2=（x+y+z）2-2（盯+yz+xz）=62-11=25,

**•J/+y2+z-=5,应选C.

答案：c.

6.解析：（待定系数法）双曲线的左焦点坐标为：（一）3+2,0）,抛物线V=2px的准线

V16

方程为X=—K,所以〃+左_=一解得：p=4,故选C.

2V162

答案：C.

7.解析：（三角换元）由9—dzo得一3<x<3,

故可令x=3sine（6e（这样做的目的是便于开方）.则

y=3sin。+4+，9-9sin、0=3sin。+3cos。+4=3x/2sin［。+4

「八万7t34八71।A/2.

又e+一£——,一，所以sme+一£—,1所以”[1,3近+4].

4L44」I4j2

答案：1.

8.解析：(特值法)令x=0,得/(0—y)=/(0)—y(—y+1)，又/(0)=1

/(-y)=i-y(-y+D-又令一y=x，

/./(%)=1+%(%+1),即/(x)=x2+x+l.

答案：f(x)=x2+x+l.

9.解析：(构造函数)构造函数/(x)=log2(x+l)，

问题就是函数f(x)图像上的三个点(a,/(a)),3,/(/?)),(c,/(c))

与原点连线的斜率在比较大小，观察图像立得.

答案.1。82(。+1)/og20+l)Jog2(c+1)

abc

10.解一:(换元)设2、=f,则函数外力=4*+82*+4+1化为

g⑺=r+々+a+1(re(0,+℃)).

函数/(同=4'+。2+4+1在(-。,+8)上存在零点，等价于方程

/+。，+。+1=0①

有正实数根.

(1)当方程①有