2025版高考数学一轮复习第五章平面向量第1讲平面向量的概念及其线性运算教案理含解析新人教A版

PAGEPAGE7第1讲平面对量的概念及其线性运算基础学问整合1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有eq\o(□,\s\up1(01))方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的eq\o(□,\s\up1(02))模．(2)零向量：长度为eq\o(□,\s\up1(03))0的向量，其方向是随意的．(3)单位向量：长度等于eq\o(□,\s\up1(04))1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或eq\o(□,\s\up1(05))相反的非零向量，又叫共线向量．规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向eq\o(□,\s\up1(06))相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向eq\o(□,\s\up1(07))相反的向量．2．向量的线性运算3．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最终一个向量终点的向量，即eq\o(A1A2,\s\up6(→))＋eq\o(A2A3,\s\up6(→))＋eq\o(A3A4,\s\up6(→))＋…＋An－1An＝eq\o(A1An,\s\up6(→)).特殊地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．2．若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))．3.eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1.1．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案A解析当a＋b＝0时，a＝－b，所以a∥b；当a∥b时，不肯定有a＝－b，所以“a＋b＝0”是“a∥b”的充分不必要条件．故选A.2．(2024·嘉兴学科基础测试)在△ABC中，已知M是BC中点，设eq\o(CB,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，则eq\o(AM,\s\up6(→))＝()A.eq\f(1,2)a－b B.eq\f(1,2)a＋bC．a－eq\f(1,2)b D．a＋eq\f(1,2)b答案A解析eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(CM,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a－b.故选A.3．已知a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是()A．a＋b＝0 B．a＝bC．a与b共线反向 D．存在正实数λ，使a＝λb答案D解析因为a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则a与b共线同向，故D正确．4．已知向量i与j不共线，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝i＋mj，eq\o(AD,\s\up6(→))＝ni＋j，若A，B，D三点共线，则实数m，n应当满意的条件是()A．m＋n＝1 B．m＋n＝－1C．mn＝1 D．mn＝－1答案C解析由A，B，D共线可设eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AD,\s\up6(→))，于是有i＋mj＝λ(ni＋j)＝λni＋λj.又i，j不共线，因此eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λn＝1，,λ＝m，))即有mn＝1.5．(2024·大同模拟)△ABC所在的平面内有一点P，满意eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，则△PBC与△ABC的面积之比是()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,4)答案C解析因为eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→))，所以eq\o(PC,\s\up6(→))＝－2eq\o(PA,\s\up6(→))＝2eq\o(AP,\s\up6(→))，即P是AC边的一个三等分点，且PC＝eq\f(2,3)AC，由三角形的面积公式可知，eq\f(S△PBC,S△ABC)＝eq\f(PC,AC)＝eq\f(2,3).核心考向突破考向一平面对量的概念例1给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若a与b共线，b与c共线，则a与c也共线；③若A，B，C，D是不共线的四点，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，则ABCD为平行四边形；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；⑤已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中真命题的序号是________．答案③解析①错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不肯定有相同的起点和终点．②错误，若b＝0，则a与c不肯定共线．③正确，因为eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|且eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(DC,\s\up6(→))；又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形．④错误，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．⑤错误，当λ＝μ＝0时，a与b可以为随意向量，满意λa＝μb，但a与b不肯定共线．故填③.触类旁通平面对量有关概念的四个关注点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．eq\a\vs4\al(2共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.)3向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混淆.eq\a\vs4\al(4非零向量a与\f(a,|a|)的关系：\f(a,|a|)是与a同方向的单位向量.)即时训练1.设a0为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.假命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3答案D解析向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不肯定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种状况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.故选D.考向二平面对量的线性运算角度eq\o(\s\up7(),\s\do1(1))向量加减法的几何意义例2(1)在四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－4a－b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝－5a－3b，则四边形ABCD的形态是()A．矩形 B．平行四边形C．梯形 D．以上都不对答案C解析由已知得，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝a＋2b－4a－b－5a－3b＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2eq\o(BC,\s\up6(→))，故eq\o(AD,\s\up6(→))∥eq\o(BC,\s\up6(→)).又因为eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))不平行，所以四边形ABCD是梯形．故选C.(2)(2024·全国卷Ⅱ)设非零向量a，b满意|a＋b|＝|a－b|，则()A．a⊥b B．|a|＝|b|C．a∥b D．|a|＞|b|答案A解析解法一：∵|a＋b|＝|a－b|，∴|a＋b|2＝|a－b|2.∴a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·∴a·b＝0.∴a⊥b.故选A.解法二：利用向量加法的平行四边形法则．在▱ABCD中，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，由|a＋b|＝|a－b|知|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(DB,\s\up6(→))|，从而▱ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.故选A.角度eq\o(\s\up7(),\s\do1(2))平面对量线性运算例3(1)(2024·全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则eq\o(EB,\s\up6(→))＝()A.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))B.eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))D.eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))答案A解析依据向量的运算法则，可得eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，故选A.(2)(2024·唐山统考)在等腰梯形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝－2eq\o(CD,\s\up6(→))，M为BC的中点，则eq\o(AM,\s\up6(→))＝()A.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→)) B.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AD,\s\up6(→)) D.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up6(→))答案B解析因为eq\o(AB,\s\up6(→))＝－2eq\o(CD,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→)).又M是BC的中点，所以eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))＋\o(AD,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→)).故选B.角度eq\o(\s\up7(),\s\do1(3))利用线性运算求参数例4(1)在△ABC中，点D在边CB的延长线上，且eq\o(CD,\s\up6(→))＝4eq\o(BD,\s\up6(→))＝req\o(AB,\s\up6(→))－seq\o(AC,\s\up6(→))，则s＋r等于()A．0B.eq\f(4,5)C.eq\f(8,3)D．3答案C解析因为eq\o(CD,\s\up6(→))＝4eq\o(BD,\s\up6(→))，所以eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(CB,\s\up6(→)).又因为eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以r＝s＝eq\f(4,3)，s＋r＝eq\f(8,3).(2)(2024·河南中原联考)如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若eq\o(DE,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2＝()A.eq\f(5,8)B.eq\f(1,4)C．1D.eq\f(5,16)答案A解析eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)(eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up6(→))，所以λ＝eq\f(1,4)，μ＝－eq\f(3,4)，故λ2＋μ2＝eq\f(5,8).故选A.触类旁通平面对量线性运算的一般规律(1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量的加法、减法、数乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理．(2)在求向量时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线、相像三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有干脆关系的向量来求解．即时训练2.已知四边形ABCD是平行四边形，O为平面上随意一点，设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，eq\o(OD,\s\up6(→))＝d，则()A．a＋b＋c＋d＝0 B．a－b＋c－d＝0C．a＋b－c－d＝0 D．a－b－c＋d＝0答案B解析如图所示，a－b＝eq\o(BA,\s\up6(→))，c－d＝eq\o(DC,\s\up6(→))，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB綊DC，且eq\o(BA,\s\up6(→))与eq\o(DC,\s\up6(→))反向，即eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝0，也就是a－b＋c－d＝0.3．设D为△ABC所在平面内一点，eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(CD,\s\up6(→))，则()A.eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→))B.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))D.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))答案A解析eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→)).故选A.4．(2024·唐山模拟)在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2eq\r(3)，BC＝2，点E在线段CD上，若eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋μeq\o(AB,\s\up6(→))，则μ的取值范围是________．答案0≤μ≤eq\f(1,2)解析由题意可求得AD＝1，CD＝eq\r(3)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→)).∵点E在线段CD上，∴eq\o(DE,\s\up6(→))＝λeq\o(DC,\s\up6(→))(0≤λ≤1)．∵eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))，又eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋μeq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋2μeq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2μ,λ)eq\a\vs4\al(\o(DE,\s\up6(→)))，∴eq\f(2μ,λ)＝1，即μ＝eq\f(λ,2).∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤eq\f(1,2).考向三共线向量定理的应用例5(1)(2024·朔州模拟)设e1与e2是两个不共线向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝3e1＋2e2，eq\o(CB,\s\up6(→))＝ke1＋e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3e1－2ke2，若A，B，D三点共线，则k的值为()A．－eq\f(9,4) B．－eq\f(4,9)C．－eq\f(3,8) D．不存在答案A解析由题意，A，B，D三点共线，故必存在一个实数λ，使得eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BD,\s\up6(→)).又eq\o(AB,\s\up6(→))＝3e1＋2e2，eq\o(CB,\s\up6(→))＝ke1＋e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3e1－2ke2，所以eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝3e1－2ke2－(ke1＋e2)＝(3－k)e1－(2k＋1)e2，所以3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＝λ3－k，,2＝－λ2k＋1，))解得k＝－eq\f(9,4).故选A.(2)(2024·河北衡水调研)始终线l与平行四边形ABCD中的两边AB，AD分别交于点E，F，且交其对角线AC于点M，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝3eq\o(AF,\s\up6(→))，eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))－μeq\o(AC,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则eq\f(5,2)μ－λ＝()A．－eq\f(1,2) B．1C.eq\f(3,2) D．－3答案A解析eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))－μeq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))－μ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝(λ－μ)eq\o(AB,\s\up