2024年高考数学二轮复习专题五直线与圆圆锥曲线第1讲直线与圆梯度训练含解析新人教A版VIP

PAGE14-第1讲直线与圆选题明细表学问点·方法巩固提高A巩固提高B直线及其方程1,4,10两条直线的位置关系2,84,9,15点到直线的距离16圆的方程3,5,1413直线与圆、圆与圆的位置关系6,9,11,15,162,6,11,12圆的弦长131,5,10,14综合问题7,12,173,7,8,16巩固提高A一、选择题1.过点(2,1)且倾斜角比直线y=-x-1的倾斜角小的直线方程是(A)(A)x=2 (B)y=1 (C)x=1 (D)y=2解析:因为直线y=-x-1的斜率为-1,则倾斜角为,依题意,所求直线的倾斜角为-=,所以斜率不存在,所以过点(2,1)的直线方程为x=2.2.(2024·金丽衢十二校)设两直线l1:(3+m)x+4y=5-3m与l2:2x+(5+m)y=8,则“l1∥l2”是“m<-1”的(A)(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件解析:若l1∥l2,则(3+m)(5+m)=4×2,解得m=-7或m=-1,当m=-1时,两直线重合,当m=-7时l1∥l2,所以“l1∥l2”是“m<-1”的充分不必要条件.故选A.3.方程|y|-1=表示的曲线是(D)(A)一个椭圆 (B)一个圆(C)两个圆 (D)两个半圆解析:由题意知|y|-1≥0,则y≥1或y≤-1,当y≥1时,原方程可化为(x-1)2+(y-1)2=1(y≥1),其表示以(1,1)为圆心、1为半径、直线y=1上方的半圆;当y≤-1时,原方程可化为(x-1)2+(y+1)2=1(y≤-1),其表示以(1,-1)为圆心、1为半径、直线y=-1下方的半圆.所以方程|y|-1=表示的曲线是两个半圆,选D.4.直线l过点P(-1,2)且与以点M(-3,-2),N(4,0)为端点的线段恒相交,则l的斜率取值范围是(D)(A)[-,5](B)[-,0)∪(0,2](C)(-∞,-)∪[5,+∞)(D)(-∞,-]∪[2,+∞)解析:如图,因为P(-1,2),M(-3,-2),N(4,0),所以kPM==2,kPN==-.由图可知,使直线l与线段MN相交的l的斜率取值范围是(-∞,-]∪[2,+∞).故选D.5.抛物线y2=4x与过其焦点且垂直于x轴的直线相交于A,B两点,其准线与x轴的交点为M,则过M,A,B三点的圆的标准方程是(D)(A)x2+y2=5 (B)(x-1)2+y2=1(C)(x-1)2+y2=2 (D)(x-1)2+y2=4解析:由抛物线方程及题意知A(1,2),B(1,-2),M(-1,0),设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,所以解得从而所求方程为x2+y2-2x-3=0,即圆的标准方程为(x-1)2+y2=4.故选D.6.直线x-2y-3=0与圆C:(x-2)2+(y+3)2=9交于E,F两点,则△ECF的面积为(B)(A) (B)2 (C) (D)解析:由已知可得圆心到直线的距离为d=,所以|EF|=4,所以S△ECF=×4×=2.故选B.7.已知平面上两点A(-a,0),B(a,0)(a>0),若圆C:(x-3)2+(y-4)2=1上存在点P,使得∠APB=90°,则a的取值范围是(C)(A)[3,6] (B)[3,7] (C)[4,6] (D)[0,7]解析:因为圆C:(x-3)2+(y-4)2=1,所以圆心C(3,4),半径r=1;设点P(m,n)在圆C上,则=(a+m,n),=(m-a,n);因为∠APB=90°,所以⊥,所以(m+a)(m-a)+n2=0,即a2=m2+n2,又|OP|=,|OP|的最大值是|OC|+r=5+1=6,最小值是|OC|-r=5-1=4,所以a的取值范围是[4,6].故选C.8.已知直线a2x+y+2=0与直线bx-(a2+1)y-1=0相互垂直,则|ab|的最小值为(C)(A)5 (B)4 (C)2 (D)1解析:由题意得a2b+[-(a2+1)]=0,所以b=,所以|ab|=|a×|=|a+|=|a|+||≥2.当且仅当|a|=1时等号成立.故选C.二、填空题9.直线l:x=my+2与圆M:x2+2x+y2+2y=0相切,则m的值等于.

解析:圆心M(-1,-1),圆半径为.由直线与圆相切得d==,得m=-7或m=1.答案:-7或110.过点(2,-3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为.

解析:若直线过原点,则直线方程为3x+2y=0;若直线不过原点,则斜率为1,方程为y+3=x-2,即为x-y-5=0,故所求直线方程为3x+2y=0或x-y-5=0.答案:3x+2y=0或x-y-5=011.动直线l:y=kx-k+1(k∈R)经过的定点坐标为,若l和圆C:x2+y2=r2恒有公共点,则半径r的最小值是.

解析:当x=1时,y恒为1,故定点为(1,1),要直线和圆恒有公共点,则需(1,1)在圆内,即12+12≤r2,r≥.答案:(1,1)12.当方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆的面积取最大值时,直线y=(k-1)x+2的倾斜角α=.

解析:由题意可知,圆的半径r==≤1,当半径r取最大值时,圆的面积最大,此时k=0,r=1,所以直线方程为y=-x+2,则有tanα=-1,又α∈[0,π),故α=.答案:13.若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦长为2,则a=.

解析:两圆方程作差易知弦所在的直线方程为y=,如图,由已知得|AC|=,|OA|=2,所以|OC|==1,所以a=1.答案:114.C的圆心在y轴正半轴上,且与x轴相切,被双曲线x2-=1的渐近线截得的弦长为,则圆C的方程为.

解析:依题意得,题中的双曲线的一条渐近线的斜率为,倾斜角为60°,结合图形(图略)可知,所求的圆C的圆心坐标是(0,1)、半径是1,因此其方程是x2+(y-1)2=1.答案:x2+(y-1)2=115.直线y=-x+m与圆x2+y2=1在第一象限内有两个不同的交点,则m的取值范围是.

解析:当直线经过点(0,1)时,直线与圆有两个不同的交点,且另一个交点在第一象限,此时m=1;当直线与圆相切时,圆心到直线的距离d==1,解得m=(切点在第一象限),所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点,则1<m<.答案:(1,)16.当正实数m改变时,斜率不为0的定直线始终与圆(x-2m)2+(y+m)2=m2相切,则直线的方程为.

解析:设定直线的方程为y=kx+b,则=m,即(3k2+4k)m2+2b(2k+1)m+b2=0,因为该等式对随意m>0成立,故3k2+4k=0,2b(2k+1)=0,b2=0,即k=-,b=0,则直线的方程为y=-x.答案:y=-x三、解答题17.已知点G(5,4),圆C1:(x-1)2+(y-4)2=25,过点G的动直线l与圆C1相交于E,F两点,线段EF的中点为C,且C在圆C2上.(1)若直线mx+ny-1=0(mn>0)经过点G,求mn的最大值;(2)求圆C2的方程;(3)若过点A(1,0)的直线l1与圆C2相交于P,Q两点,线段PQ的中点为M.l1与l2:x+2y+2=0的交点为N,求证:|AM|·|AN|为定值.解:(1)因为点G(5,4)在直线mx+ny-1=0上,所以5m+4n=1,5m+4n≥2(当且仅当5m=4n时取等号),所以1≥80mn,即mn≤,所以(mn)max=.(2)由已知得圆C1的圆心为(1,4),半径为5,设C(x,y),则=(x-1,y-4),=(5-x,4-y),由题设知·=0,所以(x-1)(5-x)+(y-4)(4-y)=0,即(x-3)2+(y-4)2=4,所以C2的方程是(x-3)2+(y-4)2=4.(3)证明:当直线l1的斜率不存在时,直线l1与圆C2相切,当直线l1的斜率为0时,直线l1与圆C2相离,故设直线l1的方程为kx-y-k=0(k≠0).由直线l1与圆C2相交,得<2,解得k>.由得N(,-),又直线C2M与l1垂直,由得M(,),所以|AM|·|AN|=·=··=6(定值).巩固提高B一、选择题1.若过点M(1,1)的直线l与圆(x-2)2+y2=4相交于两点A,B,且M为弦AB的中点,则|AB|为(A)(A)2 (B)4 (C) (D)2解析:圆心坐标为(2,0),半径为2,因为[]2+()2=22,所以|AB|=2.故选A.2.已知圆x2+y2=4与直线x+y-t=0,则“t=2”是“直线与圆相切”的(A)(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:由已知,令=2,所以t=±2.故选A.3.若圆C1:x2+y2+2ax+a2-4=0(a∈R)与圆C2:x2+y2-2by+b2-1=0(b∈R)恰有三条公切线,则a+b的最大值为(D)(A)-3 (B)-3 (C)3 (D)3解析:由已知得两圆外切,则|C1C2|=r1+r2,C1(-a,0),C2(0,b),所以a2+b2=9,因为()2≤,所以a+b≤3.故选D.4.已知点A在直线x+2y-1=0上,点B在直线x+2y+3=0上,线段AB的中点为P(x0,y0),且满意y0>x0+2,则的取值范围为(A)(A)(-,-) (B)(-∞,-](C)(-,-] (D)(-,0)解析:设A(x1,y1),=k,则y0=kx0,因为AB的中点为P(x0,y0),所以B(2x0-x1,2y0-y1).因为A,B分别在直线x+2y-1=0和x+2y+3=0上,所以x1+2y1-1=0,2x0-x1+2(2y0-y1)+3=0,所以2x0+4y0+2=0,即x0+2y0+1=0.因为y0=kx0,所以x0+2kx0+1=0,即x0=-.又y0>x0+2,所以kx0>x0+2,即(k-1)x0>2,即(k-1)(-)>2,即<0,解得-<k<-.故选A.5.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-2,3),B(-2,-1),C(6,-1),以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点,则圆的方程为(D)(A)x2+y2=1 (B)x2+y2=4(C)x2+y2= (D)x2+y2=1或x2+y2=37解析:如图所示,因为A(-2,3),B(-2,-1),C(6,-1).所以过A,C的直线方程为=,化为一般式为x+2y-4=0.点O到直线x+2y-4=0的距离d==>1,又|OA|==,|OB|==,|OC|==.所以以原点为圆心的圆若与三角形ABC有唯一的公共点,则公共点为(0,-1)或(6,-1),所以圆的半径分别为1或,则圆的方程为x2+y2=1或x2+y2=37.6.已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=2与y轴在其次象限所围成区域的面积为S,直线y=2x+b分圆C的内部为两部分,其中一部分的面积也为S,则b等于(D)(A) (B)± (C)- (D)±解析:圆心(1,2)到y轴的距离为1,由题意知,圆心(1,2)到直线y=2x+b的距离也为1,即=1,解得b=±.故选D.7.已知A(-2,0),B(0,2),实数k是常数,M,N是圆x2+y2+kx=0上两个不同点,P是圆x2+y2+kx=0上的动点,假如M,N关于直线x-y-1=0对称,那么△PAB面积的最大值是(C)(A)3- (B)4(C)3+ (D)6解析:依题意得圆x2+y2+kx=0的圆心(-,0)位于直线x-y-1=0上,于是有--1=0,即k=-2,因此圆心坐标是(1,0),半径是1.由题意可得|AB|=2,直线AB的方程是+=1,即x-y+2=0,圆心(1,0)到直线AB的距离等于=,点P到直线AB的距离的最大值是+1,所以△PAB面积的最大值为×2×=3+,故选C.8.过点P(-3,0)作直线2ax+(a+b)y+2b=0(a,b不同时为零)的垂线,垂足为M,已知点N(2,3),则当a,b改变时,|MN|的取值范围是(A)(A)[5-,5+](B)[5-,5](C)[5,5+](D)[0,5+]解析:直线2ax+(a+b)y+2b=0,整理为a(2x+y)+b(y+2)=0,从而可得直线过定点Q(1,-2),如图,∠PMQ=90°或者M与P,Q之一重合,PQ=2,故点M在以PQ为直径的圆上运动,设该圆的圆心为F,则线段MN确定的范围为|FN|-≤|MN|≤|FN|+,所以|MN|的取值范围是[5-,5+].故选A.二、填空题9.若m>0,n>0,点(-m,n)关于直线x+y-1=0的对称点在直线x-y+2=0上,那么+的最小值等于.

解析:设点(-m,n)关于直线x+y-1=0的对称点为(a,b),则解得则(-m,n)关于直线x+y-1=0的对称点为(1-n,1+m),则1-n-(1+m)+2=0,即m+n=2.于是+=(m+n)(+)=×(5++)≥×(5+2×2)=,当且仅当m=,n=时等号成立.答案:10.直线l:kx+y+4=0(k∈R)是圆C:x2+y2+4x-4y+6=0的一条对称轴,过点A(0,k)作斜率为1的直线m,则直线m被圆C所截得的弦长为.

解析:由l:kx+y+4=0(k∈R)是圆C:x2+y2+4x-4y+6=0的一条对称轴知,其必过圆心(-2,2),因此k=3,则过点A(0,k)斜率为1的直线m的方程为y=x+3,圆心到其距离d==,所以弦长等于2=2=.答案:11.已知圆C1:x2+y2=4和圆C2:(x-2)2+(y-2)2=4,若点P(a,b)(a>0,b>0)在两圆的公共弦上,则+的最小值为.

解析:由题意,两圆的方程相减,可得公共弦方程为x+y=2,因为点P(a,b)(a>0,b>0)在两圆的公共弦上,所以a+b=2,所以+=(+)(a+b)=(10++)≥(10+6)=8,当且仅当b=3a=时,取等号,+的最小值为8.答案:812.过x轴上一点P向圆C:x2+(y-2)2=1作切线,切点分别为A,B,则△PAB面积的最小值是.

解析:因为圆的方程为x2+(y-2)2=1,所以圆心C(0,2),半径r为1,设点P(a,0),则|PC|=,|PA|=|PB|=,sin∠APB=2×=,所以S△PAB=|PA|·|PB|sin∠APB=,令=t,t≥,所以S△PAB==在[,+∞)上单调递增,所以当t=时,△PAB面积有最小值为.答案:13.已知圆C的圆心与抛物线y2=4x的焦点关于直线y=x对称,直线4x-3y-2=0与圆C相交于A,B两点,且|AB|=6,则圆C的方程为.

解析:设所求圆的半径为r,依题意得,抛物线y2=4x的焦点坐标是(1,0),则圆C的圆心坐标是(0,1),圆心到直线4x-3y-2=0的距离d==1,则r2=d2+()2=10,故圆C的方程为x2+(y-1)2=10.答案:x2+(y-1)2=1014.过点P(1,)作圆O:x2+y2=1的两条切线,切点分别为A和B,则弦长|AB|=.

解析:如图所示,因为PA,PB分别为圆O:x2+y2=1的切线,所以OA⊥AP,|AB|=2|AC|.因为P(1,),O(0,0),所以|OP|==2,又因为|OA|=1,所以∠AOP=60°,所以|AB|=2|AC|=2|AO|sin∠AOP=.答案:15.已知曲线-=1与直线y=2x+m有两个交