勾股定理与特殊角度（30°、45°、60°）的灵活应用 2025年中考数学总复习考前板块训练

勾股定理与特殊角度（30°、45°、60°）的灵活应用—2025年中考数学总复习考前板块训练一、选择题1．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，∠OAB=30°，AB=23，点P为⊙O所在平面内一点，且OP=3，则点P与⊙OA．点P在⊙O内 B．点P在⊙O外 C．点P在⊙O上 D．无法确定2．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠AOB=60°，已知AB=1，则该矩形的面积是（）A．32 B．2 C．3 3．如图，CD与⊙O相切于点C，AD经过圆心O，若∠D=30°，CD=3，则ACA．2π3 B．π2 C．π34．如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，动点D从点A出发，沿A→C→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，过点D作DE⊥AB于点E，图②是点D运动时，△ADE的面积y(cm2A．4cm B．6cm C．8cm5．在《生活中的平移现象》的数学讨论课上，小王和小李先将一块含30°的三角板描边得到△ABC，后沿着直尺BC方向平移2cm，再描边得到△DEF，连接AD．如图，经测量发现AB的为4cm，则四边形ACFD的周长为（）A．43+2cm B．83+4cm C．436．如图，AC为⊙O的直径，点B，D在⊙O上，∠ABD=60°，CD=2，则AD的长为（）A．2 B．22 C．237．如图，菱形ABCD的边长为3，∠ADC=60°，过点D作DE⊥AB，交BA的延长线于点E，连结CE分别交BD，AD于点G，F，则FG的长为()A．75 B．275 C．38．菱形是日常生活中常见的图形，如伸缩衣架（如图1）等，为兼顾美观性和实用性，活动角α的取值范围宜为60°≤α≤120°（如图2），亮亮选购了如图2所示的伸缩衣架，已知图中每个菱形的边长为15cm，则其拉伸长度AB的适宜范围是（）A．30≤AB≤45 B．45≤AB≤453 C．45≤AB≤303 二、填空题9．如图，菱形ABCD的边长为8，∠A=45°，分别以点A，D为圆心，大于12AD的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，直线MN交AB于点E，连接CE，则CE的长为10．如图，四边形ABCD中，已知AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别为C，D．若BC＝2，CD＝32，∠ACD＝45°，则AB＝．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6，D是AB上一点，点E在BC上，连接CD12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝43，点E和点F分别是边AB、BC上两点．连接EF，将△BEF沿EF折叠，点B与点D重合，点D恰好是边AC的中点，则EF＝．13．已知等腰△ABC，∠A=120°，AB=2．现将△ABC以点B为旋转中心逆时针旋转45°，得到△A'BC'，延长C'A'交直线14．如图所示，等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，O是斜边AB的中点，M为BC下方一点，且OM=132，CM=5，∠BMC=45°，则BM=15．如图，在三角形△ABC中，∠A=45°，AB=8，CD为AB边上的高，CD=6，点P为边BC上的一动点，P1，P2分别为点P关于直线AB，AC的对称点，连接P1P216．如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC，垂足为D，AD=5，AE=3，过点E作EF⊥AD交AC于点F，连接DF，且满足∠DFE=2∠DAC，则BD+53EF17．如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD>90°，AC⊥BC，若AB=2，18．在菱形ABCD中，∠ABC=60∘，将△BCE沿BE翻折至△BFE，BF，CF的延长线分别交AD于H，G两点，若CEDE=2三、证明题19．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90，∠C=30°，E，F分别是BC，AC的中点，延长BA到点D，使AB=2AD，连接（1）试说明AF与DE互相平分；（2）若AB=2，求DE的长．四、解答题20．在学习了勾股定理后，小品对他家附近的一个公园里的音乐喷泉池产生了测量兴趣，如图，音乐喷泉池为四边形ABCD，在AC连线上有一地方性标志物E，据了解，修建该喷泉池时要求EC=23AE，四边形ABCD为人行观赏步道，小品通过仪器测量得到，A在C的正西方，D在A的东北方向，且DA=DC，B在E的正南方150米处，恰好又在A的南偏东30°方向，由此他脑海里产生了以下数学问题，请你帮他解决一下．（参考数据：2≈1.414，3≈1.732，（1）求A、C之间的距离（结果保留根号）；（2）小品和姐姐同时从A点出发，沿着不同的方向到C点汇合，其中小品沿着①：A→B→C的方向步行，姐姐沿着②A→D→C的方向步行，通过计算说明哪一条路更近？（结果精确到个位）五、实践探究题21．【背景】喜欢思考的小明在学习等边三角形的有关性质时注意到：等边△ABC顶角的平分线AD与底边BC上的中线、底边BC上的高线互相重合，则可得到直角三角形ABD，在Rt△ABD中，∠BAD=30°，∠BDA=90°，BD=12BC=【类比】由矩形对角线的性质，你可以得到直角三角形的一条性质：__________即在Rt△ADC中，线段OD和线段AC之间的数量关系是______．【应用】请利用以上结论解决下面两个问题在▱ABCD中，对角线AC垂直于AB，∠B=60°，AB=1，点E、F分别是BC、AD的中点．（1）判断四边形AECF的形状，并说明理由．（2）求四边形AECF的面积．22．【知识技能】（1）如图1，在等边三角形ABC内有一点M．若点M到顶点C,A,B的距离分别为6，10，8，求∠BMC的度数．为了解决本题，我们可以将△AMC绕顶点C逆时针旋转60°到△BM'C处，此时△BM'【构建联系】利用（1）的解答思想方法，解答下面的问题．（2）如图2，在△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC,P,Q为AB上的点，且∠PCQ=45°，求证：PQ【深入探究】（3）如图3，在等边三角形ABC中，AC=2,O为△ABC内一点，连接AO,BO,CO，且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°，求OA+OB+OC的值．

答案解析部分1．【答案】B2．【答案】C3．【答案】A4．【答案】C5．【答案】B6．【答案】C7．【答案】B8．【答案】B9．【答案】410．【答案】211．【答案】212．【答案】2113．【答案】4+214．【答案】715．【答案】2416．【答案】2517．【答案】1+18．【答案】519．【答案】（1）解：∵E，F分别是BC，AC的中点，

∴EF∥AB，AB=2EF，

∵AB=2AD，

∴EF=AD，

∴四边形ADFE是平行四边形，

∴AF与（2）解：∵AB=2，

∴AD=1，

∵∠BAC=90°，∠C=30°，

∴BC=2AB=4，

由勾股定理得，AC=BC2−AB2=23，

∴AF=3，OA=OF=12AF=32，

由勾股定理得，OD=A20．【答案】（1）解：连接BE，由题意得BE⊥AC，∠ABE=30°，BE=150米，在Rt△ABE中，AB=2AE，由勾股定理得AE2=A解得AE=503，AB=100∵EC=23∴EC=23∴AC=AE+CE=300+50（2）解：∵D在A的东北方向，∴∠DAC=45°，∵DA=DC，∴∠DAC=∠DCA=45°，∴∠ADC=90°，由勾股定理得AD∴DA=DC=2∴DA+DC=3002在Rt△BCE中，BC=C∴AB+BC=1003∵547>509，∴路线②更近．21．【答案】【类比】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；OD=12AC；

【应用】（1）菱形．理由如下：

∵AC⊥AB，

∴∠BAC=90°，

点E是BC的中点，

∴AE=12BC=EC，

∵AC⊥AB，AB∥CD，

∴AC⊥CD，∴∠ACD=90°，

点F是AD的中点，

∴CF=12AD=AF，

又∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AF∥EC，AD=BC，

即AE=EC=CF=AF，

∴四边形AECF为菱形；

（2）∵AB=1，∠B=60°，AC⊥AB，

∴∠ACB=30°，即AB=12BC=1，

∴BC=2，

∵BE=EC，

∴△AEC和△ABE是等底同高，

∴S△ABE=S△AEC，22．【答案】（1）150；（2）证明：如图2，把△APC绕点C逆时针旋转90°得到△BCP'，连接由旋转的性质得CP'=CP，BP'=AP∵∠PCQ=45°∴∠P∴∠PCQ=∠在△PCQ和△PCP=C∴△PCQ≌△∴PQ=∵∠ACB=90°，AC=BC∴∠A=∠A