2025年河南省中考数学二轮复习压轴题：证明和猜想练习

2025年河南省中考数学九年级二轮复习压轴题：探究与猜想练习1．【模型建立】（1）如图1，在等边中，点、分别在、边上，，求证：；【模型应用】（2）如图2，在中，，，于点，点在边上，，点在边上，，则的值为_________；【模型拓展】（3）如图3，在钝角中，，点、分别在、边上，，若，，求的长．

2．【基础巩固】(1)如图1，在中，D为上一点，连结，E为上一点，连结，若，求证：．【尝试应用】(2)如图2，在平行四边形中，对角线交于点O，E为上一点，连结，若，求的长．【拓展提升】(3)如图3，在菱形中，对角线交于点O，E为中点，F为上一点，连结，若，，求菱形的边长．3．【证明体验】（1）如图1，为的角平分线，，点在线段上，，求证：平分；【思考探究】（2）如图2，在（1）的条件下，为上一点，连接交于点．若，求证：；【拓展延伸】（3）如图3，在四边形中，对角线平分，，点在上，，若，，，求的长．

4．【问题背景】人教版八年级下册数学教材第63页“实验与探究”问题1如下：如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形绕点怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的.想一想，这是为什么？（此问题不需要作答）九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究、内容如下：正方形的对角线相交于点，点落在线段上，（为常数）．

【特例证明】（1）如图1，将的直角顶点与点重合，两直角边分别与边，相交于点，.①填空：______；②求证：．（提示：借鉴解决【问题背景】的思路和方法，可直接证明；也可过点分别作，的垂线构造全等三角形证明．请选择其中一种方法解答问题②．）【类比探究】（2）如图2，将图1中的沿方向平移，判断与的数量关系（用含的式子表示），并说明理由．【拓展运用】（3）如图3，点在边上，，延长交边于点，若，求的值．5．某数学学习小组学习完四边形后进行了如下探究，已知四边形为矩形，请你帮助他们解决下列问题：(1)【初步尝试】：他们将矩形的顶点、分别在如图（1）所示的的边、上，顶点、恰好落在的对角线上，求证：；(2)【深入探究】：如图2，若为菱形，，若，求的值；(3)【拓展延伸】：如图（3），若为矩形，；且，请直接写出此时的值是________（用含有，的代数式表示）．6．【问题背景】已知D、E分别是的边和边上的点，且，则，把绕着点A逆时针方向旋转，连接和.如图2，找出图中的另外一组相似三角形__________；并加以证明．【迁移应用】如图3，在中，，，，D、E、M分别是、、中点，连接．①如图4，把绕着点A逆时针方向旋转，在旋转过程中直接写出线段CE和BD始终存在的位置关系和数量关系：__________、__________；②把绕着点A逆时针方向旋转到如图5所在的位置，连接和，取中点N，连接，若，求的长．【创新应用】如图6：，，是直角三角形，，将绕着点A旋转，连接，F是上一点，，连接，请直接写出的取值范围．7．在矩形中，点E为射线上一动点，连接．(1)当点E在边上时，将沿翻折，使点B恰好落在对角线上点F处，交于点G．①如图1，若，求的度数；②如图2，当，且时，求的长．(2)在②所得矩形中，将矩形沿进行翻折，点C的对应点为C'，当点E，，D三点共线时，求的长．8．【问题发现】（1）如图1所示，和均为正三角形，B、D、E三点共线．猜想线段，之间的数量关系为；；【类比探究】（2）如图2所示，和均为等腰直角三角形，，，，B、D、E三点共线，线段、交于点F．此时，线段，之间的数量关系是什么？请写出证明过程并求出的度数；【拓展延伸】（3）如图3所示，在中，，，，为的中位线，将绕点A顺时针方向旋转，当所在直线经过点B时，请直接写出的长．9．在中，，，D为边上一动点，且（n为正整数），在直线上方作，使得．(1)如图1，在点D运动过程中，与始终保持相似关系，请说明理由；(2)如图2，若，M为中点，当点E在射线上时，求的长；(3)如图3，设的中点为P，求点D从点C运动到点B的过程中，点P运动的路径长（用含n的代数式表示）．10．如图（1），在矩形中，．(1)____；(2)若点P是线段上一点，当是等腰三角形时，求的长；(3)如图（2），点E是边上一点，且，则：①=_____；②如图（3）分别以为边作矩形，若，求的长．11．如图1，在矩形中，E为延长线上一点，且，交于点F，．

(1)求证：；(2)求证：；(3)如图2，G为上一点，，相交于点O，连接．若，且，求的长．12．【模型建立】：如图1，在正方形中，E，F分别是边上的点，且，探究图中线段之间的数量关系．（1）小宋的探究思路如下：延长到点G，使，连接，先证明，再证明．之间的数量关系为______．若，则______．【模型应用】：（2）如图2，在矩形中，，点F为中点，，求的长．【拓展提升】：（3）通过对图2的分析，小宋同学在深入思考后，他发现一个很有意思的结论，若，且，则______．（用含a、b的代数式表示）13．在中，，，点E在内部，以为斜边作等腰直角三角形，使得点D，E在AC的异侧，连接交于点M，点G在上，且满足．(1)如图1，求证：；(2)当点E是的中点时，连接，如图2，求的值；(3)连接，延长交于点F，如图3，求证：点F是的中点．14．【原题呈现】如图1，在等边中，D、E是、上的点，且，求度数．解答过程：在等边中，，又，【操作探究】如图2，将绕点C逆时针旋转到，连接，连接交于点O，求证：【深入思考】如图3，延长交于点P，若点P恰好是的中点．①请直接写出；②若，求的长．15．【探究】如图①，在矩形中，点E在边上，连接，过点D作于点G，交边于点F．若，，求的值；【应用】（1）如图②，在中，，点为边的中点，连结，过点作于点，交边于点D．若，则的值为；（2）如图③，在，点为的中点，连结，过点作于点，交边于点F，若，则的值为．16．如图，中，，点D是射线上的动点，点E是边上的动点，连接，将沿翻折到所在平面得，点F恰好落在直线上．

(1)如图1，当点F与点C重合时，若，求长；(2)如图2，当时，求的值；(3)如图3，设直线与直线交于点M，当最小时，求的值．17．实践与探究【问题情境】（1）①如图1，，，，分别为边上的点，，且，则______；②如图2，将①中的绕点顺时针旋转，则所在直线较小夹角的度数为______．【探究实践】（2）如图3，矩形，，，为边上的动点，为边上的动点，，连接，作于点，连接．当的长度最小时，求的长．【拓展应用】（3）如图4，，，，，为中点，连接，分别为线段上的动点，且，请直接写出的最小值．18．如图1，在平面直角坐标系中，的直角边在轴的正半轴上，且，，点为线段上一动点．(1)若动点在的平分线上时，求此时点的坐标；(2)如图2，若点为线段的中点，连接，以为折痕，在平面内将折叠，点的对应点为，当时，求折痕的长；(3)如图3，若为线段上一点，且，连接，将线段绕点顺时针方向旋转得线段，连接，直接写出周长的最小值及此时点的坐标．19．已知，如图①，四边形是矩形，对角线相交于点O，．(1)【问题解决】在图①中，根据给出的条件，直接写出一条未知线段的长度或一个角的大小；(2)【问题探究】如图②，在矩形中，点P是对角线上的一个动点，连接，过点P作交于点E，连接，在点P运动的过程中试探究的大小，并写出证明过程；(3)【拓展延伸】如图③，在矩形中，点P是对角线上的一个动点，连接，在的左下方作，使，，在点P从点B向点D的运动过程中，猜想点Q的运动路径并求出它的长度．20．如图1，在四边形中，，对角线、交于点，已知，且．(1)求的度数；(2)如图2，若点为的中点，连接．①证明：；②若，，求的值．参考答案1．（1）证明：∵是等边三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴；（2）解：∵，，∴，∵，，∴，∴，∵，∴为等边三角形，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴是直角三角形，∴，∵，∴，∴，∴，即，故答案为：2；（3）解：在上截取，连接，如图3，

∵，∴，∴是等边三角形，∴，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，解得（舍去）或，∴．2．（1）证明：∵，（2）解：∵四边形是平行四边形，设，则（舍），设，则，（舍去），（3）解：如图，延长，交于点，设则∵四边形是菱形，即在中，∵为的中点，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴(舍去)，∴，即菱形的边长为3．（1）证明：∵为的角平分线∴∵，∴∴∴∴平分（2）证明：∵∴∵∴∴，由（1）可知：∴∴（3）解：如图，在上取一点，使得，连接

∵平分∴∵∴∴∵∴∵∴∴∵∴∵,∴∴∵∴解得：∴4．解：（1）①由正方形的性质可知：，∵将的直角顶点与点重合，∴，故答案为：1；②证明：∵四边形是正方形，∴，，，∴，即，∴，∴．（2），理由如下：过点作交于，

∴，，∵四边形是正方形，∴，，∴，，∴，，即，∴，∴．（3）过点作交于，作于，作于，

则，∴，即，∴，由（2）和已知条件可得：，，∴，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴，同理可得：，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，令，则，，，∴，∴．5．（1）证明：∵矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，，∴，∴，∵，∴；（2）解：如图（2），连接，交于，由（1）可知，，∴，∵，∴四边形是平行四边形，又∵矩形，∴，∵为菱形，，∴，，，，∴，，∴，如图（2）作于，∴，∴，∴，故答案为：；（3）解：∵为矩形，；，由勾股定理得，，如图（3），连接，作于，同理（2）可知，，∵，∴，∴，即，解得，∴，∵，∴，故答案为：．6．解：【问题背景】如图，，,又，．故答案为：．【迁移应用】如图，在中，,，，又，．如图，延长与相交于点，与相交于点，，，又，，，，又，，，即，．故答案为：；．如图，连接，，，又，，，∴，又∵M是的中点，N是的中点，；【创新应用】如图，过点作，过点作，连接，，，，又，，，，即，．7．（1）解：①∵四边形是矩形，，，，，，，由折叠的性质得：，是等边三角形，，；②由折叠的性质得：，，，，，，∵四边形是矩形，，，，，，，，，，解得：或（舍去），即的长为（2）当点E，，D三点共线时，分两种情况：i如图3：由②可知，，∵四边形是矩形，，，，，，，由折叠的性质得：，，，，，，，；ii如图4：由折叠的性质得：，，，，，，，在中，由勾股定理得：，，综上所述，的长为或．8．（1）和均为正三角形，，，，，，即，在和中，，，，，B、D、E三点共线，，，，综上所述，线段、之间的数量关系是，；故答案为：，．（2），；和均为等腰直角三角形，，，，，在和中，，，，，，又，，，，，，，，；（3）的长为或．理由如下：分两种情况：①如图1，当在内部时，，，，，，未旋转前，为的中位线，，，，，图1中，，，，，，，，，，，设，则，，在中，，解得或（舍去），；②如图2，当在外部时，同①，得，则，，设，则，，在中，，解得或（舍去），，综上所述，的长为或．9．（1）解：，，，，，，；（2）解：作于点，，，，且，，，M为中点，，，，解得，，，解得，，由（1）可知，，，，，，，，即，解得，，，解得．（3）解：取的中点，连接，的中点为P，，，，点在经过中点，且垂直于的直线上运动，，，，，在点D从点C运动到点B的过程中，当D与C重合时，P与N重合，当D与B重合时，最大，线段的长，即为点P运动的路径长，当D与B重合时，，，，，点P运动的路径长．10．（1）在矩形中，，，∴，，∴设，∴，解得（负值舍去），∴，故答案是：8；（2）由（1）知，，在矩形中，，要使是等腰三角形，有三种情况讨论如下：①当时，；②当时，，∵，∴，∴，∴；③当时，如图（2），过点D作于Q，则，∵，∴，∴，∴，∴；综上，的值为4或5或；（3）①设，如图（3），过P作交于N、M，则．∴，∴，∴，即∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，即，∴故答案是：；②如图（3），连接，记与的交点为O，连接，∵四边形和是矩形，∴，∴，∴，∵，∴，在矩形中，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，在中，，∴，∴，∴，∵，∴．11．（1）证明：∵四边形为矩形，∴，，，又∵，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴．（2）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，由（1）可知，∴，∴，∴，即．

（3）解：连接，如图所示：

∵，且，∴，，又∵，∴，∴，∵O为的中点，∴，∵，∴．由（2）可知：，则，设，则，在中，，即，解得：（负值舍去）．∴，，又∵，∴，∴在中，．12．解：（1）延长到点G，使，连接，∵在正方形中，，，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴；∵，∴，，设，则，，在中，由勾股定理得，∴，解得：，即，故答案为：，；（2）如图2，延长，至M、N，使四边形是正方形，延长到点H，使，连接，延长交于P，连接，∵，点F为中点，∴，∴，设，则，由（1）得：，在中，由勾股定理得，∴，解得：，∵，∴，∴，即，∴；（3）如图2作辅助线，∵，∴设，，∴，设，则，由（2）得：，在中，由勾股定理得，∴，解得：，∴，故答案为：．13．（1）∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴．图1（2）设，在中，，∴．∵点E是的中点，∴，∵，∴，由（1）得，∴，∴，即，∴过点G作交BD于点N，∵，∴，∴，∴在中，．（3）法一：延长至点H，使得，连接，∵，∴，，∴，，∴，，∵，，∴，，∴，，∴，∴，由（1）得，∴，∴，又，∴，即点F是EC的中点．法二：过点B作，延长交于点N，连接，∴，∴，∵，，∴，，∵，，∴，∴，，∵，∴．设，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，即点F是EC的中点．14．操作探究：延长至点G，使得，连接，如图，且，是等边三角形，，，又，，，在与中，，，；【深入思考】①由【操作探究】知，，∴，，∴，，四边形是平行四边形，又，四边形是菱形，∴，∴，，；②连接，如图，是等边三角形，，由①知，，，由【操作探究】知，，，又，，，，，是的中点，，，，中，，中，，由①知，，，，，，，．15．〖探究〗解：四边形是矩形，，，，，，，，，，；〖应用〗解：（1），设，，，，点是的中点，，，，，，，，，，，，故答案为：；（2）如图，作于，设，，则，，，，由（1）知：，，设，，，，，由得，，，，，故答案为：．16．（1）解：∵，，∴，∴，∵折叠，∴垂直平分，又点与点重合，∴；（2）∵，∴，∵折叠，∴，∵，∴，过点作，交于点，则：，

∵，∴，∴，又，∴，∴，∴，∴，∵，∴设，则：，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴；（3）过点作，

∵折叠，∴，，∴，∵，∴，即：当时，，此时最小，过点作，则：，

∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，当时，由（2）可知：，∴，∵，∴，∴．17．解：（1）①，，，故答案为：；②如图，延长交于，令交于，由①可得，由旋转的性质可得：，，，，所在直线较小夹角的度数为，故答案为：；（2）延长，相交于点，连接．四边形是矩形，，，∴，，∴，∴，∴点为中点，，∵于点，∴在中，，∵在中，，且为定值，∴当，三点共线时取得最小值，∵，∴，此时为等边三角形，．（3）如图，分别过点和作垂线，两线相交于点，连接、、，则，，，，，为中点，，，，为等边三角形，，，，，，，，，，，，四点共圆，