2025年 九年级数学中考二轮复习 反比例函数与几何图形综合 解答题专题提升训练

2025年春九年级数学中考二轮复习《反比例函数与几何图形综合》解答题专题提升训练（附答案）1．如图，一次函数y=kx+2（k≠0）的图象与反比例函数y=mx（m≠0，x>0）的图象交于点A2,n，与y轴交于点B，与x(1)求k与m的值；(2)Pa,0为x轴上的一动点，连接BP，若△ABP的面积为△CBO面积的34，求2．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，顶点A，B都在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，直线AC⊥x轴，垂足为D，连接OA，OC，并延长OC交AB于点E，当AB=2OA时，点E恰为AB的中点，若

(1)求反比例函数的解析式；(2)求∠EOD的度数．3．如图，一次函数y1=ax+b的图象与反比例函数y2=m(1)求一次函数的表达式以及m的值；(2)根据图象直接写出当x>2时，y2(3)连接OA、OB，求△AOB的面积？4．如图，正比例函数y=−2x与反比例函数y=kx的图象交于A、B两点，点A的横坐标为(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标；(2)根据图象直接写出不等式kx(3)点P是x轴上一点，连接PA、PB，当△PAB是直角三角形且以AB为直角边时，直接写出点P的坐标．5．如图，直线y=2x+2与x轴交于C点，与y轴交于B点，在直线上取点A(2,a)，过点A作反比例函数y=k

(1)求反比例函数的表达式；(2)点P为反比例函数y=kx(x>0)图象上的一点，若S(3)在x轴是否存在点Q，使得∠BOA=∠OAQ，若存在请求出点Q坐标，若不存在请说明理由．6．如图，在平面直角坐标系中，点A0,4，点B2,0，反比例函数(1)求直线AB的函数关系式；(2)一条与AB平行的直线CD与反比例函数y=6(3)将线段AB平移，使点A的对应点A′在反比例函数图像上，则点B的对应点B′能否在反比例函数图象上？若能，请求出点B′的坐标；若不能，请说明理由．7．已知：如图，正比例函数y=ax的图象与反比例函数y=kx的图象交于点(1)试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；(2)根据图象回答，在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？(3)Mm,n是反比例函数图象上的一动点，其中0<m<3，过点M作直线MB∥x轴，交y轴于点B；过点A作直线AC∥y轴，交x轴于点C，交直线MB于点D．当四边形OADM的面积为6时，请判断线段BM与DM8．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A在x轴上，点B在y轴上，且OA=3，OB=4，反比例函数y=kxk≠0(1)求反比例函数的关系式；(2)求将正方形ABCD沿x轴向左平移多少个单位长度时，点C恰好落在反比例函数的图象上；(3)若点E是线段OA上一动点，点F是线段OB上一动点，是否存在直线EF将Rt△ABO的周长和面积同时平分？若存在这样的直线EF，则求出线段EF的长；若不存在这样的直线EF9．定义：如图，在平面直角坐标系中，点P是第一象限内任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A，B．若矩形OAPB的周长与面积的数值相等，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”．【尝试初探】（1）判断：点C2,3______“美好点”，E【深入探究】（2）我们从函数的角度研究“美好点”，已知点Px,y是“美好点”．求y关于x的函数表达式，并写出自变量x【拓展延伸】（3）对于任意一个“美好点”Px,y，代数式2−x10．已知一次函数y=kx+b的图象直线与反比例函数y=mx的图象双曲线相交于点A(−2,−3)和点B(1,n)，且直线与x轴、y轴相交于点C、点(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)点P(p,q)为直线AB上的动点，过P作x轴垂线，交双曲线于点E，交x轴于点F，请选择下面其中一题完成解答：①连接DE，若S△PDE=6S②点P在点E上方时，判断关于x的方程(p+1)x11．【教材呈现】下图是华师版八年级下册数学教材第75页练习的部分内容：如图，如果直线l1∥l2那么【方法探究】如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，若BE=2EC，则S△ABE与【方法应用】如图，已知四边形OABC是菱形，CD⊥x轴，垂足为D，函数y=4x的图象经过点C，且与AB交于点E．若OD=2，12．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=kxx>0的图象与直线OA交于点A(8，4)，过点A作AB⊥y(1)求k的值；(2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段AO的垂直平分线；(要求：不写作法，保留作图痕迹)(3)(2)中所作的垂直平分线与AB交于点C，与x轴交于点D，连接OC、AD，求证：四边形OCAD是菱形．13．如图，反比例函数y1=mx图象与正比例函数y2(1)试求反比例函数y1=mx与正比例函数(2)请直接写出mx(3)现把y2=nx的图象绕O点顺时针旋转90°得到了y3=ax．试问在y3=ax函数图象上是否存在一动点E，使14．如图，四边形ABCD为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA=4，OB=2，反比例函数y=kxk≠0(1)求点C的坐标和反比例函数的解析式；(2)若点N为直线OD上的一动点（不与点O重合），在y轴上是否存在点M，使以点A、M、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，在平行四边形ABCD中，点A、B、D的坐标分别是1,0、3,1、1,2，双曲线y=kx（k≠0，x>0）过点(1)写出C点坐标；(2)求双曲线的解析式；(3)作直线AC交y轴于点E，连接DE，求△CDE的面积．16．如图，点A和点E2,1是反比例函数y=kxx>0图象上的两点，点B在反比例函数y=6xx<0的图象上，分别过点A，B作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，AC=BD(1)求反比例函数y=k(2)设点A的横坐标为a，点F的纵坐标为m，求am的值；(3)连接CE，DE，当∠CED=90°时，求点17．如图，直线y=12x+2分别与x轴，y轴交于点A，点C，点P是反比例函数y=kx(k≠0)图象与直线AC在第一象限内的交点，过点P作(1)求反比例函数的表达式；(2)点D是直线PB右侧反比例函数图象上一点，且S△APD=92，直线PD交y轴于点E，点M，N是直线AC上两点，点M在点N的左侧且MN=AP，求(3)在（2）的条件下，点F为反比例函数图象上一点，若∠PEF−∠PAB=45°，请直接写出所有符合条件的点F的横坐标．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=3x−2的图象与反比例函数y=kx的图象相交于Aa,−6(1)求反比例函数的表达式：(2)点C是反比例函数第三象限图象上一点，且在直线AB的上方，若三角形ABC的面积与三角形AOB面积的相等，求点C的坐标：(3)对平面内任意一点Pa,b，定义K变换：若a≥b，则P变为P′−b,−a；若a<b，则点P变为P′a,−b，若线段AB经过K19．如图，函数y=kxx>0的图像过点A(1)求n和k的值；(2)将直线OA向上平移得到直线DE，交x轴于点D，交y轴于点E，交y=kxx>0于点C，若S(3)在（2）的条件下，第二象限内是否存在点F，使得△DEF为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．20．如图1，已知点Ab,0，B0,a，且a、b满足a+b+3+b+12=0，▱ABCD的边AD与y轴交于点E，且E为AD中点，双曲线y=k(1)求m和k的值；(2)点P在双曲线y=kx上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求出满足要求的所有点(3)以线段AB为对角线作正方形AFBH（如图3），点T是边AF上一动点，M是HT的中点，MN⊥HT，交AB于N，当T在AF上运动时，∠THN的度数为______．参考答案1．（1）解：把C−4,0代入y=kx+2，得k=1∴y=1把A2,n代入y=12∴A(2,3)，把A(2,3)代入y=mx，得∴k=12，（2）解：当x=0时，y=2，∴B(0,2)，∵P(a,0)为x轴上的动点，∴PC=|a+4|，∴S△CBP=∵S△CAP=S△ABP+S△CBP，∴32∴a=−10或2．2．（1）解：∵直线AC⊥x轴，垂足为D，∠AOD=45°，∴△AOD是等腰直角三角形，∵OA=22∴OD=AD=2，∴A(2,2)，∵顶点A在反比例函数y=k∴k=2×2=4，∴反比例函数的解析式为y=4（2）解：∵AB=2OA，点E恰为AB的中点，∴OA=AE，∴∠AOE=∠AEO，在Rt△ABC中，∠ACB=90°∴CE=AE=BE，∴∠ECB=∠EBC，∵∠AEO=∠ECB+∠EBC=2∠EBC，∵BC∥∴∠EOD=∠ECB，∴∠AOE=2∠EOD，∵∠AOD=45°，∴∠EOD=15°．3．解：（1）把A1,6代入反比例函数y2=∴反比例函数的表达式是y2∵反比例函数y2=6∴−2=6n，得∴B−3,−2∵一次函数y1=ax+b的图象过点A1,6∴a+b=6−3a+b=−2解得：a=2b=4∴一次函数的表达式是y1（2）当x=2时，y∴反比例函数经过点2,3由图象可得，当x>2时，0<y<3；（3）如图，设一次函数y1=2x+4的图象与x轴交于点∵当y1=0时，解得x=−2∴C−2,0∴OC=2，∴S△AOB4．（1）解：当x=−2时，y=−2×−2∴点A的坐标为−2,4，∵点A−2,4在反比例函数y=∴4=k∴k=−8，∴反比例函数的表达式为：y=−8又∵点A，B关于原点O对称，且点A的坐标为−2,4，∴点B的坐标为2,−4；（2）观察函数图象，可知：当x<−2或0<x<2时，正比例函数y=−2x的图象在反比例函数y=k∴不等式kx+2x≤0的解集为x≤−2或（3）点P的坐标为10,0或−10,0．设Pm,0∵A−2,4，B∴ABPA2=当△PAB是直角三角形且以AB为直角边时，则当PA边为斜边时，PA即m+22解得：m=10；当PB边为斜边时，PB即m−22解得：m=−10，故点P的坐标为：P10,0或5．解：（1）把A2,a代入y=2x+2中得：a=2×2+2=6∴A2,6把A2,6代入y=kxx>0中得：∴反比例函数解析式为y=12（2）设Pm,把x=0代入y=2x+2得y=2，∴OB=2．∵S△POB∴12∴m=4，∴P（3）当点Q在x轴的负半轴上时，如图，设AQ交y轴于D，D0,m

∵∠BOA=∠OAQ，∴OD=AD，∴0−22解得m=10∴D0,设直线AD的解析式为y=k∴2k∴k′∴直线AD的解析式为y=4在y=43x+103∴Q−2.5,0当点Q在x轴的正半轴上时，如图，作AQ∥OB

∴∠BOA=∠OAQ∴Q2,0综上可知，点Q的坐标−2.5,0或2,0．6．（1）解：设直线AB的函数关系式为y=kx+bk≠0代入点A0,4，点B得4=b0=2k+b，解得b=4k=−2，所以（2）解：设直线CD的函数关系式为y=−2x+m则有y=−2x+my=6x只有一个公共点，∴x1由题得x>0，所以x1=3，则y（3）解：设A′a,−2a+m，B′则有A′B′=AB=5解得a=1b=3所以B′3,27．（1）解：把A3,2代入y=ax中得：2=3a，解得a=∴正比例函数解析式为y=2把A3,2代入y=kx中得：2=∴反比例函数解析式为y=6（2）解：由函数图象可知，当0<x<3时，反比例函数的值大于正比例函数的值；（3）解：BM=DM，理由如下：∵BD∥x轴，CD∥y轴，∴BD⊥OB，∵A3,2∴OC=3，∵点A和点M都在反比例函数图象上，∴S△OBM∵四边形OADM的面积为6，∴S四边形∴OC⋅OB=12，∴OB=4，∴12∴BM=3又∵BD=OC=3，∴BM=DM=38．（1）解：如图，作DE⊥x轴于E，，∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD，∴∠BAO+∠OBA=90°，∵∠BAO+∠DAE=90°，∴∠DAE=∠ABO，在△ABO和△DAE中，∠DAE=∠ABO∴△ABO≌∴AE=OB=4，∴OE=OA+AE=3+4=7，∴D(7，∴k=7×3=21，∴反比例函数的关系式为y=21（2）解：如图2，过点C作CF⊥y轴于点F，交双曲线于点M，同（1）可得△AOB≌∴CF=OB=4，∴C4,7∵在反比例函数y=21x中，当y=7时，∴M3,7∵CM=CF−MF=4−3=1，∴将正方形ABCD沿x轴向左平移1个单位长度时，点C恰好落在反比例函数的图象上．（3）解：不存在，设Em,0,F0,n在Rt△OAB中，OA=3,OB=4∴AB=O∴△AOB的周长=3+4+5=12，△AOB的面积=1∵直线EF将Rt△OAB∴m+n=6,mn=6∴m整理得m解得m当m=3+3时，n=3−当m=3−3时，n=3+∵0≤m≤3,0≤n≤4∴不存在直线EF将Rt△ABO9．解：（1）∵2+3×2=10≠2×3=6∴点C2,3∵3+6×2=18=3×6∴点E3,6故答案为：不是，是（2）∵点Px,y∴x+y×2=xy∴y=2x化简得：y=2x∵第一象限内的点的横坐标为正，∴x>02x解得：x>2，∴y关于x的函数表达式为：y=4x−2+2（3）对于任意一个“美好点”Px,y，代数式2−x∵y=4∴2−xy−2∴对于任意一个“美好点”Px,y，代数式2−x⋅y−210．解：（1）把A(−2,−3)代入y=mx得：∴m=6，∴反比例函数的解析式为y=6把B(1,n)代入y=6x得∴B(1,6)；把A(−2,−3)，B(1,6)代入y=kx+b得：−2k+b=−3k+b=6解得k=3b=3∴一次函数的解析式为y=3x+3；（2）①∵y=3x+3与x轴、y轴相交于点C、点D，求得C(−1,0)，D(0,3)，∴S∴S∵P(p,q)，∴Ep,连接EO，∴S△EOF∵S∴PEEF=∴PE>EF，点P在线段EF外，如图，∴PE②由图象可知，点P在点E上方时，∴−2<p<0或p>1，当p=−1时，方程(p+1)x2+(p−1)x−∴方程有一个实数根．当p≠−1时，方程(p+1)xΔ=∴当p>1时，Δ>0当−2<p<−13，且p≠−1时，(3p+1)(p−1)>0，即当−13<p<0时，(3p+1)(p−1)<0当−13=p当p=−1时，方程有一个实数解．11．解：教材呈现：如图，过点A作AM⊥l2于M，过点D作DH⊥l2于∵l1∴四边形AMHD是平行四边形，∴AM=DH，∵S△ABC=1∴S△ABC即△ABC的面积和△DBC的面积相等；方法探究：如图，过点A作AG⊥BC于G，过点D作DF⊥BC的延长线于点F，同理教材呈现可得AG=DF，∵S△ABE=1∴S△ABE故答案为：S△ABE方法应用：连接AC，由教材呈现可得，S△OCE∵CD⊥x轴，函数y=4x的图象经过点∴S△ODC=1∴12∴CD=2，∴OC=O∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC=22∴S△OCA∴S△OCE12．解：（1）∵点A(8,4)在反比例函数y=k∴k=4×8=32；（2）解：如图，分别以点O，A为圆心，以大于12OA的长为半径画弧，两弧分别相交于M,N两点，作直线MN即为线段（3）证明：设垂直平分线与OA交于点E，由作图易知：OC=AC,OD=AD∴∠COA=∠CAO，∵AB⊥y轴于点B，∴AB∥OD，∴∠CAO=∠AOD，∴∠COA=∠AOD，又∵OE=OE,∠CEO=∠DEO=90°,∴△OCE≌△ODEASA∴OC=OD，∴OC=AC=AD=OD，∴四边形OCAD是菱形.13．（1）解：∵反比例函数y1=mx图象与正比例函数∴m=−1×2=−2，即反比例函数表达式为y1n=2−1=−2∵反比例函数y1=mx图象与正比例函数y2∴联立y1=−2xy2=−2x（2）解：mx∵A−1，2、∴当−1<x<0或x>1时，反比例函数图象在正比例函数图象上方，即mx>nx的解集是−1<x<0（3）解：如图所示：∵把y2=−2x的图象绕O点顺时针旋转90°得到了y∴直线y3=1∵A−1，2与B∴直线y3=1∴当E在直线y3=1若使△ABE是以BE为底边的等腰三角形，则AB=AE，∴此时△ABE是等边三角形，在Rt△BOE中，∠BEO=30°，OB=12+2设Em,12m，则OE=15∴E23,14．（1）解：如图，过点C作CE⊥x轴，垂足为E，∵ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°，∴∠ABO+∠EBC=90°，∵∠AOB=90°，∴∠OAB+∠ABO=90°，∴∠OAB=∠EBC，在△AOB和△BEC中，∠OAB=∠EBC∠AOB=∠BEC=90°∴△AOB≌△BECAAS∴AO=BE=4，OB=CE=2，∴OE=OB+BE=2+4=6，∴C6∵C6∴k=6×2=12，∴反比例函数解析式为：y=12（2）解：存在，理由如下：根据（1）中求C点坐标，同理可得点D坐标4，设直线OD解析式为y=kx，代入点D坐标得：6=4k，解得：k=3∴直线OD解析式为：y=3设M0，y当AC为平行四边形的对角线时，得：xA即：0+6=0+x解得：yM∴M0当AN为平行四边形的对角线时，得：xA即：0+x解得：yM∴M0当CN为平行四边形的对角线时，得：xC即：6+x解得：yM∴M0综上所述，符合条件的点M有3个，坐标为0，−3或0，15．（1）解：如图，连接BD交AC于M，设Cm∵平行四边形ABCD，A、B、D的坐标分别是1,0、3,1、1,2，∴m+12解得，m=3n=3∴C3（2）解：将D1,2代入y=kx得，解得：k=2，∴双曲线的解析式为y=2（3）解：∵D1,2，A1∴AD⊥x轴，∴S△CDE∴△CDE的面积为3．16．（1）解：∵点E2,1是反比例函数y=∴k2解得：k=2，故反比例函数的关系式为：y=2（2）解：在△ACF和△BDF中，∵∠ACF=∠BDF，∴△ACF≌△BDFAAS∴S△BDF∵点A坐标为a,2a，则可得∴AC=a，OC=2∵AC=BD，点B在y=6∴B(−a,−6∴12整理得am=−2；（3）解：设点A坐标为a,2a，则可得C0,∵E2,1，∠CED=90°∴CE即22解得a=−2（舍去）或a=6∴A点的坐标为：6517．（1）解：在一次函数y=12x+2中，令y=0∴OA=4，∵AB=6，∴OB=2，当x=2时，y=1∴P(2,3)，∵点P在反比例函数图象上，∴k=6，∴反比例函数解析式为y=6（2）解：如图，过点D作y轴的平行线交直线AC于点K，设点Da,6a，a>2∵S∴12整理得：a2解得a=3或a=−4（舍去），∴D(3,2)，设直线PD的解析式为y=kx+b，3k+b=22k+b=3，解得k=−1∴直线PD的解析式为y=−x+5，∴E(0,5)，∵A(−4,0)，P(2,3)，∴MN=AP=(−4−2)将点D沿着射线PA方向平移35个单位长度得到点D′(−3,−1)，连接M则四边形DD′MN∴EM+DN=EM+D当点E、M、D′共线时取等号，此时EM+DN最小，最小值为D∵D′(−3,−1)，E(0,5)，∴直线D′E的解析式为y=2x+5，由y=12x+2∴M(−2,1)，则N(4,4)，∴EM+DN的最小值为35，此时N(4,4)（3）解：①当EF在ED左侧时，如图所示，设PE与x轴交于点Q，则Q(5,0)，∴OE=OQ=5，则∠OEQ=∠OQE=45°，∵当x=0时，y=1∴C(0,2)，则OC=2，过点M作MH⊥y轴，垂足为H，∴∠MHE=∠COA=90°，MH=OC=2，HE=OA=4，∴△MHE≌△COASAS∴∠HEM=∠CAO，则∠PEM=∠HEM+∠OEQ=∠PAB+45°，∵∠PEF−∠PAB=45°，∴∠PEF=∠PAB+45°，∴∠PEF=∠PEM，即点E、M、F共线，则点F为直线y=2x+5与反比例函数y=6由y=6xy=2x+5解得x=−5−734点F的横坐标为−5−73②当EF在ED右侧时，如图，ES∥x轴，则则∠PEF=∠FES+45°=∠PAB+45°，∴∠FES=∠PAB，则EF∥∴直线EF的解析式为y=1由y=6xy=解得x=−5+37或x=−5−∴在ED右侧的点F横坐标为−5+37综上分析，符合条件的点F的横坐标为−5−734或18．（1）解：由题意，将Aa,−6代入y=3x−2∴3a−2=−6．∴a=−4∴A−又∵点A在反比例函数y=k∴k=−4∴反比例函数的解析式为y=8（2）∵三角形ABC的面积与三角形AOB面积的相等，∴直线OC∥直线AB，∴直线OC解析式为y=3x，联立y=8x和y=3x得：∴x=±2∵点C是反比例函数第三象限图象上一点，且在直线AB的上方，∴C−（3）联立y=3x−2，y=8x得：∴x=−4∴B2,4，则经过K变换后，B′为2,−4，A设线段AB上任意点坐标为Px,3x−2，−当x=3x−2时，x=1，即线段AB经过点M1,1，经过K变换后，M′为当x≥3x−2时，即−43≤x≤1时，经过K∵−x=13∴当−43≤x≤1时，经过K变换后，P′在直线当x<3x−2时，即1<x≤2时，经过K变换后，P′∴当1<x≤2时，经过K变换后，P′在直线y=−3x+2上，且1<x≤2即线段AB经过K变换后的图形为线段A′M′、B当线段A′M′与反比例函数y=即x2∴Δ=−22当反比例函数y=mxm<0经过M当反比例函数y=mxm<0经过B∵线段AB经过K变换后的图形与反比例函数y=m∴−1≤m<−13或19．（1）解：函数y=kxx>0的图像过点A∴k=4nk=解得：n=2k=8∴n=2，k=8；（2）解：由（1）可知，n=2，∴A4,2设直线OA的解析式为y=ax，则4a=2，解得：a=1∴直线OA的解析式为y=1过点C作CH⊥x轴，交x轴于点H，交OA于点G，设Cm,8m，则H∴CG=8m−∴S△ACO即12解得：m=2，m=−8（舍），∴C2,4∵直线DE由直线OA沿x轴向左平移得到，∴设直线DE的解析式为y=1将C2,4代入得：1解得：b=3，∴直线DE的解析式为y=1（3）解：存在，点F的坐标为−9,6或−3,9或−9∵直线DE交x轴于点D，交y轴于点E，∴令x=0，则y=3；令y=0，则0=12x+3∴E0,3，D∴OD=6，OE=3，∵△DEF是等腰直角三角形，①当点D为直角顶点时，此时DE=DF，∠E