四川省广安市友谊中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

广安友谊中学年春季高级3月月考数学试题学校：姓名：班级：考号：一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.数列的一个通项公式是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据数列分子分母的规律求得通项公式.【详解】由于数列的分母是从开始的奇数，分子为，所以通项公式是.故选：.2.下列求导运算正确的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由基本初等函数的导数公式及复合函数求导逐项判断即可.【详解】对于A，，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，，故C错误；对于D，，故D正确.第1页/共18页故选：D3.已知事件与事件互斥，且，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据事件概率的基本运算法则直接计算求解.【详解】对于A，由于不清楚事件与事件是否相互独立，所以无法计算，故A错误；对于B，因为事件与事件互斥，所以，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，，故D错误.故选：B4.在等比数列中，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据等比数列的项的性质化简求解.【详解】在等比数列中，，则则.故选：B.5.从某小区抽取10050到350则用电量低于150度的户数为（）第2页/共18页A.30B.18C.36D.24【答案】A【解析】【分析】先利用频率分布直方图求得用电量低于150度频率，然后即可求解频数.【详解】由频率分布直方图得：用电量低于150度的频率为，所以用电量低于150度的户数为.故选：.6.已知等差数列的，公差，则数列的前2025项和为（）A.B.C.505D.1013【答案】D【解析】【分析】利用等差数列通项公式求出，再将目标数列求出，利用并项求和法求和即可.【详解】因为，，所以，此时令，而其前项和为，，故D正确.故选：D7.已知数列满足是数列的前项和，则（）A.64B.75C.128D.32【答案】B【解析】第3页/共18页【分析】由递推公式求得前4项，即可求解.【详解】由，可得：，得，，得，得所以，故选：B8.已知一个各项非零的数列满足且且）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】令，递推关系可化为，证明，证明数列为等比，，条件下判断函数的单调性可得结论.【详解】由条件可得：且，，所以，设，则，第4页/共18页所以若，则,，与矛盾，所以，故，所以数列为以为首项，公比为的等比数列，所以，故，若，则，数列为递增数列，且，所以数列为递减数列，与已知矛盾；若，则，所以数列为递减数列，且，所以数列为递增数列，满足条件；当时，，故，所以数列为递减数列，令，可得，第5页/共18页所以当，且时，，当，且时，，与条件矛盾，所以的取值范围是，故选：A.二､多选题：本题共3个小题，共分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图显示物体甲、乙在时间0到范围内路程的变化情况，下列说法正确的是（）A.在处，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度B.在处，甲的瞬时速度小于乙的瞬时速度C.在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度D.在到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度【答案】AC【解析】【分析】对AB，根据导数的物理意义判断即可；对CD，根据平均速度的定义判断即可.ABA正确，B错误；对CD，在到范围内，甲增加的路程更多，故平均速度更大，故C正确，D错误.故选：AC第6页/共18页10.已知数据的平均数为10，方差为1，且，则下列说法正确的是（）A.数据的方差为4；B.数据的平均数为24；C.数据的平均数为10，方差大于1；D.若数据的中位数为，分位数为，则.【答案】ABD【解析】【分析】根据平均数和方差的计算方法即可判断，，；由中位数和百分位数的计算方法即可判断.【详解】对于，因为，所以，所以数据的平均数为，故正确；对于，因为，所以，所以数据的方差为，故正确；对于，，，故错误；对于，将数据从小到大排序，所以中位数为第三个数和第四个数的平均数，第7页/共18页因为，所以分位数为第五个数，按从小到大排序后，第五个数大于等于第三个数和第四个数的平均数，所以，故正确.故选：.分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：13610称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则下列说法正确的是（）A.；B.1225既是三角形数，又是正方形数；C.；D.，总存在，，使得成立；【答案】ABD【解析】【分析】根据数列和的递推公式，由累加法得通项公式，放缩法验证选项A；用通项公式验证选项B；裂项相消求和验证选项C；取实例验证选项D.【详解】依题意，数列中，，，，，，，，第8页/共18页于是得，满足上式，数列中，，，，，，，，于是得，满足上式，因此，，对于A，，则，A正确；对于B，因为，则，又，则，B正确；对于C，当时，，则，C错误；对于D，，，取，，则，所以，，总存在，，使得成立，D正确.故选：ABD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共分.12.若函数可导，则__________.【答案】【解析】第9页/共18页【分析】根据导数的定义求解即可.【详解】根据导数的定义可得.故答案为：.13.已知数列的通项公式为，函数的对称中心为，则__________.【答案】【解析】【分析】已知数列通项，观察可得待求表达式首末两项与首末等距离的两项和为定值，应用逆序求和思想，结合对称中心性质可得解.【详解】因为，且关于对称，所以，则，又因为，所以.故答案为：.14.设首项是1的数列的前n项和为,若数m的最大值是_______．【答案】【解析】【分析】分为偶数与奇数，利用递推公式及构造法推导出通项公式，进而根据分组求和结合等比求和公式可得为偶数时的前项和，再确定的值即可．第10页/共18页【详解】，当为偶数时，，，又，故，故；当为奇数时，，，又，故，故；当为偶数时，由于当时，，当时，，当为奇数时，，当时，，故正整数的最大值是，故答案为：11.四､解答题：本题共5小题，共分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1在点处的切线与轴，轴分别交于点，为第11页/共18页（2）求曲线过点的切线方程.【答案】（1）（2）【解析】1，形面积；（2可得可得切线方程.【小问1详解】因为函数，所以，所以，又，所以在点处切线方程为，即，当时，，当时，，所以，，所以；【小问2详解】设过点的切线与曲线相切于点，由，所以，所以切线方程为，因为切线过点，所以，解得，所以所求切线方程为：，即.16.在正项等比数列中，前n项和为，已知.（1）证明：数列为等差数列；（2）令为数列的前n项和，求.【答案】（1）证明见解析第12页/共18页（2）【解析】1差数列的定义可证得结果；（2的前项和．【小问1详解】证明：等比数列中，已知∴，解得：或（舍）.∴是以2为首项，2为公比的等比数列，∴，.∴，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列.【小问2详解】由（1），∴，，两式相减得：，整理得：.17.在①，，..已知数列的各项均为正数，其前项和为，且对任意正整数，有__________.（1）求的通项公式；第13页/共18页（2）设，数列的前项和为，证明：.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】1）选①，利用与的关系即可求解；选②，由已知可得数列是等差数列，可得与的关系即可求解；选③，由已知可得时可得成立即可求解；（2）由（1）可得，根据裂项相消法求和，再求解即可【小问1详解】选①，当时，，解得，当时，，所以，因为数列的各项均为正数，所以，所以，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以；选②，因为，且，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以，所以，当时，，当时，，当时，，所以；选③，因为，所以，第14页/共18页所以当时，，当时，，所以；【小问2详解】因，所以，，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以，所以，所以，即得证.18.单项选择与多项选择题是数学标准化考试中常见题型，单项选择一般从A，B，C，D四个选项中选出一个正确答案，其评分标准为全部选对的得5分，选错的得0分；多项选择题一般从A，B，C，D四个选6分选对的得部分分（两个答案的每个答案3分，三个答案的每个答案20分.（1）考生甲有一道单项选择题不会做，他随机选择一个选项，求他猜对本题得5分的概率；（2）考生乙有一道答案为ABD多项选择题不会做，他随机选择两个或三个选项，求他猜对本题得4分的概率；（32道两个正确答案的多项选择题，根据训练经验，每道题考生丙得6分的概率为3分的概率为；考生丁得6分的概率为3分的概率为.丙、丁二人答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题丙丁两位考生总分刚好得18分的概率.【答案】（1）（2）（3）【解析】第15页/共18页1）利用古典概型的概率求解；（2）利用古典概型的概率求解；（312699分和丙得612分三种情况，利用独立事件和互斥事件的概率求解.【小问1详解】甲同学所有可能的选择答案有A，B，C，D共4种可能结果，样本空间，其中正确选项只有一个，设M=“猜对本题得5分”，故.【小问2详解】乙同学所有可能的选择答案有10种：AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，样本空间，共有10个样本点，设N=“猜对本题得4分”，，有3个样本点，故.【小问3详解】由题意得丙得0分的概率为，丁得0分的概率为，丙丁总分刚好得18分的情况包含：事件A：丙得12分有6+6一种情况，丁得6分有6+0，0+6，3+3三种情况，则；事件B：丙得9分有6+3，3+6两种情况，丁得9分有6+3，3+6两种情况，则；事件C：丙得6分有6+0，0+6，3+3三种情况，丁得12分有6+6一种情况，则；所以丙丁总分刚好得18分的概率.19.已知双曲线在上，为常数，.按照如下方式依次构造点：过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为第16页/共18页（1）若，求；（2）证明：数列是公比为的等比数列；（3）设为的面积，证明：对任意正整数.【答案】（1），（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】1）直接根据题目中构造方式计算出的坐标即可；（2）利用点差法和合比性质即可证明；（3）利用点差法得到，，再结合（2）中的结论得，最后