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第五章定积分【定积分定义与性质】假如函数在区间上持续，用分點等提成n個小区间，在每個小区间上任取一點（i=1，2，...，n），作和式當時，上述和式無限靠近某個常数，這個常数叫做函数在区间上的定积分（definite

integral），记作，即這裏，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间叫做积分区间，函数叫做被积函数，x叫做积分变量，叫做被积式．從几何上看，假如在区间上函数持续且恒有，那么定积分

表达由直线x=a，，y=0和曲线所围成的曲边梯形（如下图）的面积．這就是定积分的几何意义．定积分的性质1．规定：，。2．线形：（、為常数）。3．可加性：。4．。5．广义保号性：。6．不等式：。7．绝對值不等式：。8．估值不等式：，其中，。9．定积分中值定理：设，，使。函数可积的条件必要条件设在上可积一定是上的有界函数反之不一定。例：在上不可积。充足条件1．若，则在上可积。2．若在上有界且只有有限個间断點，则在上可积。3．上的單调有界函数，在上可积。形如上式的积分，叫做变限积分。三、微积分基本公式定理1、变上限函数：推论1推论2推论3<变上限积分变化上下限，变号。><上限是复合函数的状况求导。><上下限都是变的時候，用上限的減去下限的。>2．（原函数存在定理）设，则就是上的一种原函数。3．牛顿莱布尼兹公式（微积分基本公式）：设是在上的一种原函数，即，则它給出了持续函数求定积分的一般措施，把求定积分的問題转化為求原函数的問題四、积分措施：换元法设，满足①，②在或上有持续导数，其值域不超過，则分部积分法设、在上有持续导数，则推论1．，则2．，认為周期，则五、無穷限的广义积分定义注1．设被积函数在對应区间上持续，其中2．若各式右边的极限存在，则称左边的广义积分收敛，否则称為发散。3．，當時收敛，當時发散。六、無界函数的广义积分定义注；1．设被积函数在對应区间上持续，且依次在點的右邻域、的左邻域、或的邻域内無界，且。2．若各式右边的极限存在，则称左边的广

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