数学第一章 数列同步练习-2024-2025学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册VIP

第一章数列A组基础巩固1.在数列{an}中,a1=1,an+1=an2-1(n∈N+),则a1+a2+a3+a4+a5=(A.-1 B.1 C.0 D.22.某种细胞开始有2个,1小时后分裂成4个并死去1个,2小时后分裂成6个并死去1个,3小时后分裂成10个并死去1个……按此规律进行下去,6小时后细胞存活的个数是().A.33 B.65 C.66 D.1293.已知等比数列{an}的通项公式为an=2·3n-1,现把每相邻两项之间都插入两个数(与an不相等),构成一个新的数列{bn},那么162是新数列{bn}的().A.第5项 B.第12项C.第13项 D.第6项4.定义:称np1+p2+…+pn为n个正数p1,p2,…,pn的“均倒数”,若数列{an}的前n项的“均倒数”为12A.an=2n-1 B.an=4n-1C.an=4n-3 D.an=4n-55.(多选题)已知数列{an}是等比数列,公比为q,则下列说法错误的是().A.若a1<a2,则a4<a5B.若a1<a2,则a3<a4C.若S3>S2,则a1<a2D.若S3>S2,则a1>a26.在等差数列{an}中,a1<a2<…<an,且a3,a6为x2-10x+16=0的两个实根,则此数列的前n项和Sn=,通项公式为an=.

7.在正项等比数列{an}中,已知a3=4,a4=a2+6.(1)求数列{an}的前n项和Sn;(2)对于(1)中的Sn,设b1=S1,且bn+1-bn=Sn(n∈N+),求数列{bn}的通项公式.8.已知数列{an}是递增的等比数列,且a1+a4=9,a2a3=8.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设Sn为数列{an}的前n项和,bn=an+1SnSn+1,求数列{bnB组能力提升1.已知数列{an}的前n项和是Sn,如果Sn=3+2an(n∈N+),那么这个数列一定是().A.等比数列B.等差数列C.除去第一项后是等比数列D.除去第一项后是等差数列2.设数列{an}是等比数列(公比q≠-1),它的前n项和、前2n项和及前3n项和分别为X,Y,Z,则下列等式恒成立的是().A.X+Z=2YB.Y(Y-X)=Z(Z-X)C.Y2=XZD.Y(Y-X)=X(Z-X)3.(多选题)在数列{an}中,a1=1,an+1=2anan+2(n∈N+),A.{an}是等差数列 B.{an}是递减数列C.1anD.1a4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1>0,若存在自然数p≥10,使得Sp=ap,则当n>p时,Sn与an的大小关系是().A.an>Sn B.an≥SnC.an<Sn D.an≤Sn5.已知公差不为零的正项等差数列{an}中,Sn为其前n项和,lga1,lga2,lga4也成等差数列,若a5=10,则S5=.

6.已知{an}是整数组成的数列,a1=1,且点(an,an+1)(n∈N+)在函数y=x2+1的图象上(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{bn}满足b1=1,bn+1=bn+2an,求证:bnbn+2<7.已知等差数列{an}满足a3=7,a5+a7=26,等差数列{an}的前n项和为Sn.(1)求an及Sn;(2)令bn=1an2-1(n∈N+),求数列{bn}的前参考答案A组基础巩固1.答案:A2.答案:B解析:设细胞数由先到后排列构成数列{an},则a1=2,an+1=2an-1,∴an+1∴数列{an-1}是首项为1,公比为2的等比数列,∴an-1=1×2n-1.∴an=2n-1+1,∴a7=26+1=65.3.答案:C解析:∵an=2×3n-1,∴162=2×3n-1,解得n=5.又每相邻两项之间插入两个数,∴a5=b13.4.答案:C解析:∵数列{an}的前n项的“均倒数”为12∴数列{an}的前n项和Sn=(2n-1)n.∴an=Sn-Sn-1=(2n-1)n-(2n-3)(n-1)(n≥2).∴an=4n-3(n≥2),当n=1时,a1=S1=1,满足an=4n-3.∴an=4n-3(n∈N+).5.答案:ACD解析:等比数列{an}中,q2>0,当a1<a2时,可得a1q2<a2q2,即a3<a4,故B正确;但a4=a1q3和a5=a2q3不能判断大小(因为q3的正负不确定),故A错误;当S3>S2时,a1+a2+a3>a1+a2,可得a3>0,即a1q2>0,可得a1>0,由于q不确定,不能确定a1,a2的大小,故C,D错误.6.答案:n2-3n2n-4解析设等差数列{an}的公差为d,因为a1<a2<…<an,所以公差d>0.因为a3,a6为x2-10x+16=0的两个实根,所以a3=2,a6=8,所以a解得a所以Sn=-2n+n(n-1)2×2=n2-3n,an=a1+(n-1)d=-2+(n-1)×7.解:(1)设正项等比数列{an}的公比为q(q>0),由a3=4及a4=a2+6得,4q=4q+化简得2q2-3q-2=0,解得q=2或q=-12(舍去负值)于是a1=4q2=1,所以Sn=1-2n1-2=2(2)由已知b1=S1=1,bn+1-bn=Sn=2n-1(n∈N+),所以当n≥2时,由累加法得bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1=(2n-1+2n-2+…+21)-(n-1)+1=2(1-2n-1又b1=1也适合上式,所以{bn}的通项公式为bn=2n-n,n∈N+.8.解:(1)由题设得a1a4=a2a3=8,结合a1+a4=9,可解得a1=1,a记公比为q.由a4=a1q3得q=2,故an=a1qn-1=2n-1.(2)Sn=a1(1-qn因为bn=an所以Tn=b1+b2+…+bn=1S1-1S2+1S2-1S3+…+1SB组能力提升1.答案:A解析:由题意知,a1=3+2a1,即a1=-3.∵Sn=2an+3,an=Sn-Sn-1=(2an+3)-(2an-1+3)(n≥2),∴an=2an-1(n≥2),∴anan-1=∴数列{an}是等比数列,公比为2.2.答案D解析由题意,设数列{an}的前n项和为Sn,则Sn=X,S2n=Y,S3n=Z.因为数列{an}是等比数列(q≠-1),所以Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列,即X,Y-X,Z-Y成等比数列,所以(Y-X)2=X·(Z-Y).整理,得Y2-XY=ZX-X2,即Y(Y-X)=X(Z-X).3.答案:BCD解析:因为an+1=2anan+2,a1=1,所以1a即1a又a1=1,则1a1所以1an是以1为首项,12为公差的等差数列所以1an=1a1+所以an=2n所以{an}不是等差数列,但为递减数列.4.答案:A解析:设数列{an}的公差为d.∵Sp=ap,∴Sp-ap=0,即Sp-1=0.∵a1>0,∴d<0.Sn=d2n2+a1-d2n,an=dn+(a1-d).作出y=d2x2+a1-d2x,y=dx+(a1-d(第4题)由图象可知,当n>p时,an>Sn.5.答案:30解析:设{an}的公差为d,则d≠0.由lga1,lga2,lga4也成等差数列,得2lga2=lga1+lga4,∴a22=a1a即(a1+d)2=a1(a1+3d),d2=a1d.又d≠0,故d=a1,∴a5=5a1=10,∴d=a1=2,∴S5=5a1+5×42×6.(1)解:由已知得an+1=an+1,∴数列{an}是以1为首项,公差为1的等差数列,∴an=1+(n-1)·1=n.(2)证明bn+1-bn=2an=2n,bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1=2n-1+2n-2+2n-3+…+2+1=1-2n1-2=当n=1时也符合,∴bn=2n-1.∵bnbn+2-bn+12=(2