2025年九年级数学中考二轮专题复习：相似三角形压轴练习

2025年九年级数学中考二轮专题复习：相似三角形压轴练习1．如图1，矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、OA．（1）求证：△OCP∽△PDA；（2）若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长；（3）如图2，擦去折痕AO、线段OP，连结BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．探究：当点M、N在移动过程中，线段EF与线段PB有何数量关系？并说明理由．2．如图，在菱形中，点在对角线上，延长交于点.（1）求证：；（2）已知点在边上，请以为边，用尺规作一个与相似，并使得点在上.（只须作出一个，保留作图痕迹，不写作法）3．（1）证明推断：如图（1），在正方形中，点，分别在边，上，于点，点，分别在边，上，．①求证：；②推断：的值为；（2）类比探究：如图（2），在矩形中，（为常数）．将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点．试探究与之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接，当时，若，，求的长．4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，过点C作⊙O的切线与AD的延长线相交于点E，，交BC的延长线于点F．(1)求证：；(2)若，，，求CF的长．5．已知：如图，在四边形ABCD中，，点E在边BC上，且，作交线段AE于点F，连接BF．(1)求证：：(2)如果，求证：．6．在直角坐标系中，矩形的边、在坐标轴上，B点坐标是，M、N分别是边、上的点．将△沿着直线翻折，若点O的对应点是．(1)①若N与C重合，M是的中点，则的坐标是___________；②，若翻折后在AC上，求的解析式．(2)已知M坐标是，若的外接圆与线段BC有公共点，求N的纵坐标n的取值范围．7．在和中，，，，且．(1)如图1，当点在线段上时，连接，若，，求线段的长；(2)如图2，将图1中绕着点逆时针旋转，使点在的内部，连接，．线段，相交于点，当时，求证：；(3)如图3，点是点关于的对称点，连接，，在（2）的基础上继续逆时针旋转，过作的平行线，交直线于点，连接，，，若，请直接写出线段的最小值，以及当线段长度最小时的面积．8．(1)【活动背景】在鹿鸣成长课程中，同学们探究了一类“三等分线段、角”的问题．如图，在矩形的边和上分别取点E、F，且，连接、交于点O，将边沿着过点O的直线折叠，使得点A、D分别落在和上，试说明：点Q是边的三等分点．(2)【活动操作】同学们进一步发现，在作图的过程中也可以参考类似的方法．如图，已知线段，点E是的中点，请用无刻度直尺和圆规作平行四边形，使得．（不写作法参保留作图痕迹）(3)【活动证明】同学们通过查阅资料发现，不能通过圆规直接三等分角，但可以通过圆规和带刻度的直尺得出三等分角、如图，点C是上一点，用尺规作出，后，将直尺一端放在点O处，不断转动直尺与、交干点M、N，当与满足某种数量关系时，即可得到，试猜想与的数量关系并证明．(4)【活动思考】在上面的活动操作中所探究的平行四边形，若，请直接写出k的取值范围．9．【教材呈现】表格是华师版九年级上册数学教材第页的部分内容：如图，在中，点、分别是、的中点，可以猜想：且．请用演绎推理写出证明过程．【结论应用】如图在四边形中，，点是对角线的中点，是中点，是中点，与相交于点求证：；【拓展延伸】如图，正方形的边长为，的顶点、分别在边、上运动，，，为边中点，连接则运动过程中的最大值为______．10．如图，已知在中，，点是边中点，在边上取一点，使得，延长交延长线于点．(1)求证：；(2)设的中点为点，①如果为经过、、三点的圆的一条弦，当弦恰好是正十边形的一条边时，求的值；②经过、两点，联结、，当，，时，求的半径长．11．已知菱形中，点E是对角线上一点，点F是边上一点，连接、、，【特例探究】(1)如图1，若且，线段、满足的数量关系是________；(2)如图2，若且，判定线段、满足的数量关系，并说明理由；(3)【一般探究】如图3，根据特例的探究，若，，请求出的值（用含的式子表示）；(4)【发现应用】如图3，根据“一般探究”中的条件，若菱形边长为1，，点F在直线上运动，则面积的最大值为________，12．如图，在矩形的边上取一点，将沿直线折叠得到，此时点的对称点恰好落在边上，G为中点，连接BG分别与，交于M，N两点，且，连接．(1)求证：四边形为菱形；(2)猜想和的数量关系，并说明理由；(3)，求线段的长和的值．13．【问题呈现】如图1，和都是等边三角形，连接．求证：．【类比探究】如图2，和都是等腰直角三角形，．连接．请直接写出的值．【拓展提升】如图3，和都是直角三角形，，且．连接．延长交于点F，交于点G．求的值．14．如图，点为线段上一点，分别以为等腰三角形的底边，在的同侧作等腰和等腰，且．在线段上取一点，使，连接．

(1)如图1，求证：；(2)如图2，若的延长线恰好经过的中点，求的长．15．如图，在梯形中，点F，E分别在线段，上，且，

(1)求证：(2)若，求证：16．在平行四边形中（顶点按逆时针方向排列），为锐角，且．

(1)如图1，求边上的高的长．(2)是边上的一动点，点同时绕点按逆时针方向旋转得点．①如图2，当点落在射线上时，求的长．②当是直角三角形时，求的长．17．【问题背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图，即）．小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点E处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A．经测得，小军的眼睛离地面的距离，，，求建筑物AB的高度．

【活动探究】观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图）：他让小军站在点D处不动，将镜子移动至处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端G，测出；再将镜子移动至处，恰好通过镜子看到广告牌的底端A，测出．经测得，小军的眼睛离地面距离，，求这个广告牌AG的高度．

【应用拓展】小军和小明讨论后，发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔AB的高度．他们给出了如下测量步骤（如图）：①让小军站在斜坡的底端D处不动（小军眼睛离地面距离），小明通过移动镜子（镜子平放在坡面上）位置至E处，让小军恰好能看到塔顶B；②测出；③测出坡长；④测出坡比为（即）．通过他们给出的方案，请你算出信号塔AB的高度（结果保留整数）．

18．如图所示，在等腰直角三角形中，，，于点D，点P从点A出发，沿A→C方向以的速度运动到点C停止，在运动过程中，过点P作交于点Q，以线段为边作等腰直角三角形，且（点M，C位于异侧），设点P的运动时间为x（），与重叠部分的面积为y（）．

(1)如图2，当点M落在上时，_______；(2)求点M落在上时x的值；(3)若M点在下方时，求重叠部分面积y与运动时间x的函数表达式．19．综合与实践【思考尝试】（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边上一点，于点F，，，．试猜想四边形的形状，并说明理由；【实践探究】（2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形中，E是边上一点，于点F，于点H，交于点G，可以用等式表示线段，，的数量关系，请你思考并解答这个问题；【拓展迁移】（3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，E是边上一点，于点H，点M在上，且，连接，，可以用等式表示线段，的数量关系，请你思考并解答这个问题．

20．数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有角的三角尺放在正方形中，使角的顶点始终与正方形的顶点重合，绕点旋转三角尺时，角的两边，始终与正方形的边，所在直线分别相交于点，，连接，可得．

【探究一】如图②，把绕点C逆时针旋转得到，同时得到点在直线上．求证：；【探究二】在图②中，连接，分别交，于点，．求证：；【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线与三角尺角两边，分别交于点，．连接交于点，求的值．参考答案1．（1）证明：由折叠的性质可知，∠APO=∠B=90°，∴∠APD+∠CPO=90°，又∠APD+∠DAP=90°，∴∠DAP=∠CPO，又∠D=∠C=90°，∴△OCP∽△PDA；（2）∵△OCP∽△PDA，面积比为1：4，∴，∴CP=4，设AB=x，则AP=x，PD=x-4，由勾股定理得，AD2+PD2=AP2，即82+（x-4）2=x2，解得，x=10，即AB=10；（3）PB=2EF．作MH∥AB交PB于H，∴∠PHM=∠PBA，∵AP=AB，∴∠APB=∠PBA，∴∠APB=∠PHM，∴MP=MH，又BN=PM，∴MH=BN，又∵MH∥AB，∴BF=FH，∵MP=MH，ME⊥BP，∴PE=EH，∴PB=2EF．2．解：（1）∵四边形是菱形，∴.∴.∴.（2）∵四边形是菱形∴DA=DC∴∠DAC=∠DCA∴只需做∠CPQ=∠AEF或∠CPQ=∠AFE，即可得出与相似，尺规作图如图所示：①作∠CPQ=∠AEF，步骤为：以点E为圆心，以任意长度为半径，作弧，交EA和EF于点G、H，以P为圆心，以相同长度为半径作弧，交CP于点M，以M为圆心，以GH的长为半径作弧，两弧交于点N，连接PN并延长，交AC于Q，就是所求作的三角形；②作∠CPQ=∠AFE，作法同上；或∴就是所求作的三角形（两种情况任选其一即可）.3．（1）①证明：∵四边形是正方形，∴，．∴．∵，∴．∴．∴≌，∴．②解：结论：．理由：∵，，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∴，∵，∴，∴．故答案为1．（2）解：结论：．理由：如图2中，作于．∵，∴，∴，，∴，∴∽，∴，∵，∴四边形是矩形，∴，∴．（3）解：如图2﹣1中，作交的延长线于．∵，，∴，∴，∴可以假设，，，∵，，∴，∴，∴或﹣1（舍弃），∴，，∵，∴，∴，，∵，∴，，∴，∴∽，∴，∴，∴，，∴，∴．4．（1）证明：如答图1，（方法一）∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝∠DAC＋∠DCA＝90°，∵CE是⊙O切线，∴∠ACE＝∠DCE＋∠DCA＝90°，∴∠DAC＝∠DCE，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠DAB＋∠BCD＝180°，∵∠DCF＋∠BCD＝180°，∴∠DAB＝∠DCF，∴∠BAC＝∠ECF．（方法二）如答图2，作EC的延长线EG，∵AC为⊙O的直径∴∠ABC＝∠BAC＋∠BCA＝90°，∵CE是⊙O切线，∴∠ACG＝∠BCG＋∠BCA＝90°，∴∠BAC＝∠BCG，∵∠ECF＝∠BCG，∴∠BAC＝∠ECF．（2）解：如答图1，∵AC为⊙O的直径∴∠ADC＝∠CDE＝90°，由（1）知∠DAC＝∠DCE，∴△ACD∽△CED，∴∵AD＝4，CD＝2，∴，∴DE＝1，∴CE＝＝由（1）知∠BAC＝∠ECF∴，∵EF⊥BC，∴∠CFE＝90°，∴在Rt△CEF中，，∴．5．（1）∵，∴∵∴∵∴∴∵∴四边形AFCD是平行四边形∴∴∴（2）∵∴在中，∴∴∵，在与中∴∴∵∴6．（1）解：①如图1，在直角坐标系中，矩形的边、在坐标轴上，B点坐标是（4，2），∴，，若N与C重合，M是的中点，，则：，由折叠的性质得∶四边形为正方形，∴的坐标为；故答案为：；②连接交于点D，如图2所示：∵，∴，∴∵关于对称，∴，∴，，∴，设的解析式为：，则：，解得：，∴的解析式为：；（2）解：设的外接圆为⊙G，当⊙G与相切时，如图3所示：设半径为r，则，∵M坐标是，∴，∴，解得：，∴，∴，又∵N是边上的点，∴．7．（1）解：如图1中，过点C作交的延长线于H．则．∵，，，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，在中，由勾股定理得；（2）证明：如图，过点B作交于P．∵，，，∴和是等腰直角三角形，∴，∵，，，∴．∵，∴，∴，．∵，∴，∴．∵，∴，又∵，∴，∴．（3）解：∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴A、B、C、G四点共圆且圆心为的中点，直径为，如图所示，取的中点O，连接交于H，过点于M，过点H作于N，∴点G在以点O为圆心，为直径的圆上运动，∴当三点共线时，即点G与点H重合时最小，∵，∴，∵点是点关于的对称点，∴，，∴，∴在中，由勾股定理得，∴；∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，即，∴，∴，∴当最小时，8．（1）解：在矩形中，，，∵将边沿着过点O的直线折叠，使得点A、D分别落在和上，，，在矩形中，，四边形是矩形，，，，即Q是边的三等分点．（2）解：如图2，以为直径画圆O，在圆O上取点N，连接，延长至D，使，延长至A，使，连接，则四边形为所求四边形；证明：∵，，∴，∵，∴，∴，，∴，又∵E为的中点，∴，∴，∴四边形是平行四边形，∵为圆O的直径，∴，∴；∴平行四边形符合条件；（3）取的中点H，连接，，，，，∵点H是的中点，，，，，，，，，，，，；（4）作于点M，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴；在和中，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，综上所述，k的取值范围是．9．教材呈现：证明：点、分别是、的中点，，，，，∽，，，且．结论应用：证明：、、分别是、、的中点，，，，，，．拓展延伸：解：如图，取的中点，连接、，，为的中点，，四边形是正方形，点、分别在边、上，，，，，，的最大值为，故答案为：．10．（1）证明：，，∴，∴，，∴，（2）①连，∵D是BC的中点，∴∴为圆的直径，联结，设经过、、三点的圆半径为r，弦恰好是正十边形的一条边，∴，∴，又∵O、D是的中点，∴，∴，∴，∴，∵∴则，即，解得（舍），∴，②∵，∴，又∵∴，∴，设，由①可知，，∴，∴，∴，即如图，过点D作于点，在中，，∴，解得，∴，，∵，M是所在圆的半径，∴，又∵∴∴，∴,∴，∴，即解得，联结，∴．11．（1）∵四边形是菱形，，∴，∴和都是等边三角形，∴，∵，∴，∴是等边三角形，，∴，在和中，∴，∴；故答案为：，（2）解：，理由如下：∵四边形是菱形，，∴，∴，∵，∴，∴∴，∴∴；（3）如图3，过点作于点，∵四边形是菱形，，∴，∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴（4）如图4，连接交于点，过点作于点，由（3）可得：，，，∴，∴，∴，设，则，∵四边形是菱形，∴，∴∴，∵，∴，，∴∴∵，∴，∴，∴，即∵，∴当时，有最大值：．故答案为：．12．（1）证明：沿直线折叠得到，，，，，，，，四边形为平行四边形，又，为菱形；（2）解：，理由如下：连接，，，，即在矩形中又是菱形，平分在和中，；（3）解：为中点，，，在荾形中，且在矩形中，，，，得且，设，则，，解得（舍去），在中，.13．［问题呈现］证明：和都是等边三角形，，，，即［类比探究］解：和都是等腰直角三角形，，，，，，即，；［拓展提升］解：和都是直角三角形，，且，，，，即，，，，，，设，则，14．（1）证明：∵等腰和等腰，∴，，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴；（2）解：取的中点H，连接，

∵点是的中点，∴是的中位线，∴，，设，则，∵，∴，∵，∴，∴，∴，即，整理得，解得（负值已舍），经检验是所列方程的解，且符合题意，∴．15．（1）证明：，，在和中，，，．（2）证明：，，，即，在和中，，，，由（1）已证：，，．16．（1）在中，，在中，．（2）①如图1，作于点，由（1）得，，则，作交延长线于点，则，

∴．∵∴．由旋转知，∴．设，则．∵，∴，∴，∴，即，∴，∴．②由旋转得，，又因为，所以．情况一：当以为直角顶点时，如图2．

∵，∴落在线段延长线上．∵，∴，由（1）知，，∴．情况二：当以为直角顶点时，如图3．

设与射线的交点为，作于点．∵，∴，∵，∴，∴．又∵，∴，∴．设，则，∴∵，∴，∴，∴，∴，化简得，解得，∴．情况三：当以为直角顶点时，点