河北省唐山市2024年八年级《数学》上学期期末试题与参考答案

9/21河北省唐山市2024年八年级《数学》上学期期末试题与参考答案一、选择题本大题共14小题，每小题2分，共28分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．第19届杭州亚运会刚刚落下帷幕，在以下给出的运动图片中，属于轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形的概念解答即可．解：A，B，C选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；D选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．故选：D．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．要使分式的值为0，则x的值应满足（）A．x≠1 B．x＝1 C．x≠0 D．x＝0【分析】根据分式的值为零的条件可得x＝0且x﹣1≠0，再解即可．解：由题意得：x＝0且x﹣1≠0，解得：x＝0，故选：D．【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键．3．x8÷x2＝（）A．x4 B．x6 C．x10 D．x16【分析】利用同底数幂幂的除法公式求解即可．解：x8÷x2＝x8﹣2＝x6；故选：B．【点评】本题考查了同底数幂的除法运算，熟练掌握该运算法则是关键．4．已知（2x+1）（x+3）＝2x2+mx+3，则m的值是（）A．5 B．﹣5 C．7 D．﹣7【分析】先根据多项式乘多项式计算（2x+1）（x+3），然后根据（2x+1）（x+3）＝2x2+mx+3，求出m即可．解：（2x+1）（x+3）＝2x2+6x+x+3＝2x2+7x+3，因为（2x+1）（x+3）＝2x2+mx+3，所以m＝7，故选：C．【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则．5．约分的结果是（）A． B． C． D．【分析】先确定分式的分子与分母的公因式，再约分即可．解：＝＝﹣，故选：B．【点评】本题考查的是分式的约分，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．6．四边形的内角和等于x°，五边形的外角和等于y°，则下列关系成立的是（）A．x＝y B．x＝2y C．x＝y+180 D．y＝x+180【分析】根据多边形的内角和定理与多边形外角的关系即可得出结论．解：因为四边形的内角和等于x°，所以x°＝（4﹣2）•180°＝360°．因为五边形的外角和等于y°，所以y°＝360°，所以x＝y．故选：A．【点评】本题考查的是多边形的内角与外角，熟知多边形的内角和定理是解答此题的关键．7．如果把分式中的x和y都扩大为原来的2倍，那么这个分式的值（）A．不变 B．扩大为原来的2倍 C．扩大为原来的4倍 D．缩小为原来的【分析】根据题意得出新的分式，然后约分比较即可．解：把分式中的x和y都扩大为原来的2倍，则，即分式的值不变，故选：A．【点评】本题考查了分式的基本性质：分式的分子、分母都乘以或除以同一个不为0的数，分式的值不变．8．如图，将△ABC沿折痕l折叠，使AC边落在AB边上，则得到结论一定正确的是（）A．AD＝AC B．BD＝CD C．∠ADC＝90° D．∠BAD＝∠CAD【分析】由折叠的性质即可得出结果．解：由折叠的性质得：∠BAD＝∠CAD，而AD长和AC长不一定相等，BD长和CD长不一定相等，∠ADC不一定是90°，故选：D．【点评】本题考查了折叠的性质等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．9．已知（3x+2）（ax+b）＝9x2﹣4，则a+b的值是（）A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5【分析】根据平方差公式进行计算，从而可得：a＝3，b＝﹣2，然后把a，b的值代入式子中进行计算，即可解答．解：因为（3x+2）（3x﹣2）＝9x2﹣4，所以a＝3，b＝﹣2，所以a+b＝3+（﹣2）＝1，故选：C．【点评】本题考查了平方差公式，多项式乘多项式，熟练掌握平方差公式的特征是解题的关键．10．如图，已知△ABC，以B为圆心，BA长为半径画弧，交BC于D点，以C为圆心，CA长为半径画弧，交BC于E点．若∠B＝40°，∠C＝36°，则∠EAD的度数是（）A．34° B．36° C．38° D．40°【分析】由等腰三角形的性质推出∠BAD＝∠BDA，∠CAE＝∠CEA，而∠B＝40°，∠C＝36°，即可求出∠BDA＝70°，∠CEA＝72°，由三角形内角和定理即可求出∠EAD＝180°﹣70°﹣72°＝38°．解：由题意得：BA＝BD，CA＝CE，所以∠BAD＝∠BDA，∠CAE＝∠CEA，因为∠B＝40°，∠C＝36°，所以∠BDA＝×（180°﹣40°）＝70°，∠CEA＝×（180°﹣36°）＝72°，所以∠EAD＝180°﹣70°﹣72°＝38°．故选：C．【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，关键是由等腰三角形的性质求出∠BDA、∠CEA的度数．11．对于下列多项式，能用平方差公式进行因式分解的是（）①a2+b2；②a2﹣b2；③﹣a2+b2；④﹣a2﹣b2．A．①② B．①④ C．③④ D．②③【分析】利用平方差公式检验即可．解：①a2+b2，不能用平方差公式分解；②a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），符合题意；③﹣a2+b2＝（﹣a+b）（a+b），符合题意；④﹣a2﹣b2，不能用平方差公式分解．故选：D．【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．12．如图，点P在线段AB外，且PA＝PB．求证：点P在线段AB的垂直平分线上．在证明该结论时，三位同学辅助线的作法如下：甲：作∠APB的平分线PC交AB于点C．乙：过点P作PC⊥AB，垂足为C．丙：过点P作PC⊥AB于点C，且AC＝BC．其中，正确的是（）A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．全对【分析】利用三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的判定判断四个选项是否成立即可．解：因为作∠APB的平分线PC交AB于点C，所以∠APC＝∠BPC，在△PCA和△PCB中，，所以△PCA≌△PCB（SAS），所以CA＝CB，∠PCA＝∠PCB＝90°，所以点P在线段AB的垂直平分线上，故甲符合题意；因为PC⊥AB，所以△PCA和△PCB是直角三角形，在Rt△PCA和Rt△PCB中，，所以△PCA≌△PCB（HL），所以CA＝CB，所以点P在线段AB的垂直平分线上，故乙符合题意；因为过线段外一点作已知线段的垂线，不能保证也平分此条线段，故丙不符合题意；故选：A．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判断方法是解本题的关键．13．嘉淇准备完成题目：解方程+＝0．发现分母的位置印刷不清，查阅答案后发现标准答案是x＝﹣1，请你帮助嘉淇推断印刷不清的位置可能是（）A．x﹣1 B．﹣x﹣1 C．x+1 D．x2﹣1【分析】设印刷不清的位置的式子为a，把x＝﹣1代入分式方程计算确定出a即可．解：设印刷不清的位置的式子为a，即+＝0，把x＝﹣1代入得：+1＝0，解得：a＝﹣2，检验：把a＝﹣2代入得：a≠0，所以分式方程的解为a＝﹣2，即x﹣1＝﹣1﹣1＝﹣2，则推断印刷不清的位置可能是x﹣1．故选：A．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．14．在△ABC和△A′B′C′中，∠B＝∠B'＝30°，AB＝AB′＝3，AC＝A'C＝4，已知∠C＝n°，则∠C′的度数是（）A．30° B．n° C．n°或180°﹣n° D．30°或150°【分析】分两种情况讨论，当BC＝B′C′时，则△ABC≌△A′B′C′，得出∠C′＝∠C＝n°，当BC≠B′C′时，如图，利用等腰三角形的性质求得∠A′C″C′＝∠C′＝n°，从而求得∠A′C″B′＝180°﹣n°．解：在△ABC和△A′B′C′中，所以△ABC≌△A′B′C′（SSA），所以∠C′＝∠C＝n°，当BC≠B′C′时，利用等腰三角形的性质求得∠A′C″C′＝∠C′＝n°，∠A′C″B′＝180°﹣n°．故选：C．二、填空题本大题共4个小题，每小题3分，共12分。15．20＝1．【分析】根据零指数幂的性质得出答案．解：20＝1，故答案为：1．【点评】本题考查零指数幂，掌握“任意一个不为0的零次幂等于1”是正确解答的关键．16．如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B＝40°，∠A＝70°，则∠ACD等于110°．【分析】利用三角形的外角的性质解决问题即可．解：因为∠ACD是△ABC的外角，所以∠ACD＝∠A+∠B＝40°+70°＝110°，故答案为：110．【点评】本题考查三角形的外角的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．17．如图，△ABC是等边三角形，AC＝4，AD⊥BC于点D，则BD＝2．【分析】由等边三角形的性质推出BC＝AC＝4，BD＝BC＝2．解：因为△ABC是等边三角形，所以BC＝AC＝4，因为AD⊥BC于点D，所以BD＝BC＝2．故答案为：2．【点评】本题考查等边三角形的性质，关键是由等边三角形的性质推出BD＝BC．18．如图，将一张三角形纸片沿着DE折叠（点D、E分别在边AB、AC上），点A落在点A′的位置，若∠A＝70°，则∠1+∠2＝140°．【分析】在△ADE中，利用三角形内角和定理，可求出∠ADE+∠AED的度数，由折叠的性质，可知∠A′DE＝∠ADE，∠A′ED＝∠AED，再结合∠ADE+∠A′DE+∠2＝180°，∠AED+∠A′ED+∠1＝180°，即可求出∠1+∠2的度数．解：在△ADE中，∠A＝70°，所以∠ADE+∠AED＝180°﹣∠A＝180°﹣70°＝110°．由折叠的性质，可知：∠A′DE＝∠ADE，∠A′ED＝∠AED．因为∠ADE+∠A′DE+∠2＝180°，∠AED+∠A′ED+∠1＝180°，所以∠ADE+∠A′DE+∠2+∠AED+∠A′ED+∠1＝180°+180°，即2（∠ADE+∠AED）+∠1+∠2＝360°，所以∠1+∠2＝360°﹣2（∠ADE+∠AED）＝360°﹣2×110°＝140°．故答案为：140．【点评】本题考查了三角形内角和定理以及翻折变换（折叠问题），牢记“三角形内角和是180°”是解题的关键．三、解答题本大题共7个小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19．（1）a2•a4﹣（a2）3﹣（2a）3；（2）（x+2）2﹣（x+1）（x﹣1）．【分析】（1）先算乘方，再算乘法，后算加减，即可解答；（2）利用完全平方公式，平方差公式进行计算，即可解答．解：（1）a2•a4﹣（a2）3﹣（2a）3＝a6﹣a6﹣8a3＝﹣8a3；（2）（x+2）2﹣（x+1）（x﹣1）＝x2+4x+4﹣（x2﹣1）＝x2+4x+4﹣x2+1＝4x+5．【点评】本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．20．如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝20°．（1）求∠B的度数；（2）求∠C的度数．【分析】（1）由题意，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝20°，根据等腰三角形的性质可以求出底角，（2）根据三角形内角与外角的关系即可求出内角∠C，解：（1）在△ABD中，AB＝AD，∠BAD＝20°，所以∠B＝∠ADB＝（180°﹣20°）×＝80°，（2）因为AD＝DC，所以∠C＝∠CAD＝∠ADB＝×80°＝40°．21．化简：，下面是甲、乙两同学的部分运算过程：解：原式＝[+]•…解：原式＝•+•…（1）甲同学解法的依据是②，乙同学解法的依据是③；（填序号）①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程．【分析】（1）根据乘法分配律，以及分式的基本性质进行计算，即可解答；（2）若选择甲同学的解法：先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答；若选择乙同学的解法：先利用乘法分配律计算分式的乘法，再算加减，即可解答．解：（1）甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律，故答案为：②；③；（2）若选择甲同学的解法：＝[+]•＝•＝•＝2x；若选择乙同学的解法：＝•+•＝•+•＝x﹣1+x+1＝2x．【点评】本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．22．如图，∠A＝∠B＝50°，P为AB中点，过P点作直线分别交射线AC、BD于点M、N（分别不与点A、B重合），设∠BPN＝α．（1）求证：PM＝PN；（2）当△APM为直角三角形时，求α的度数．【分析】（1）根据AAS证明△APM≌△BPN，根据全等三角形的性质即可得解；（2）分两种情况，根据三角形内角和定理求解即可．【解答】（1）证明：因为P是AB的中点，所以PA＝PB，在△APM和△BPN中，，所以△APM≌△BPN（ASA），所以PM＝PN；（2）解：因为∠A＝50°，所以当△APM为直角三角形时，∠APM＝90°或∠AMP＝90°，当∠APM＝90°时，α＝∠APM＝90°，当∠AMP＝90°时，∠APM＝180°﹣∠AMP﹣∠A＝40°，所以α＝40°，综上，当△APM为直角三角形时，α的度数为90°或40°．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．23．已知k为任意整数，设a＝2k+3，b比a小3．（1）b＝2k；（用含k的代数式表示）（2）求证：a2﹣b2总能被3整除．【分析】（1）已知a＝2k+3，b比a小3，可得b的值；（2）先因式分解a2﹣b2，再代值，最后化简可证．解：（1）因为a＝2k+3，b比a小3，所以b＝2k，故答案为：2k；（2）证明：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝（2k+3+2k）（2k+3﹣2k）＝（4k+3）×3，因为（4k+3）×3总能被3整除，所以a2﹣b2总能被3整除．【点评】本题考查了列代数式、因式分解的应用，关键是掌握因式分解的运用．24．如图，已知点A、B、C在同一直线上，AB＝6km，AC＝10km，甲、乙两人同时从A地出发，同向而行，分别前往B地和C地，甲、乙的速度比是3：4，结果甲比乙提前20min到达目的地．（1）设甲的速度为3xkm/h，完成下表：路程速度时间甲63x乙104x（2）求甲、乙的速度．【分析】（1）设甲的速度为3xkm/h，则乙的速度为4xkm/h，得乙到达C地所用的时间为h即可；（2）根据甲比乙提前20min到达目的地．列出分式方程，解方程即可．解：（1）设甲的速度为3xkm/h，则乙的速度为4xkm/h，所以乙到达C地所用的时间为：h，故答案为：4x，；（2）由题意得：﹣＝，解得：x＝1.5，经检验，x＝1.5是原方程的解，且符合题意，所以3x＝3×1.5＝4.5，4x＝4×1.5＝6，答：甲的速度为4.5km/h，乙的速度为6km/h．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．25．如图1和图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，BC＝6，点P从点A出发沿折线AB﹣BC匀速移动，速度为1单位/秒，运动到C时停止，点Q在AC边上随P移动，且始终保持∠APQ＝∠B．（设点P的运动时间为t秒）（1）如图1，点P在AB上时，AP＝t，CQ＝6﹣t；（用含t的代数式表示）（2）如图2，点P在边BC上，∠APC＝60°时，∠BAP＝15°，∠AQP＝60°；（3）如图2，点P在边BC上，若BP＝6﹣6，求证：△ABP≌△PCQ；（4）当6≤t≤6+6时，若△CPQ为等腰三角形，直接写出AQ的长．【分析】（1）由AB＝AC＝6，得∠B＝∠C，因为点P在AB上，∠APQ＝∠B，所以AP＝t，PQ∥BC，可证明∠APQ＝∠AQP，则AQ＝AP＝t，所以CQ＝6﹣t，于是得到问题的答案；（2）由∠BAC＝90°，AB＝AC，得∠APQ＝∠B＝∠C＝45°，而∠APC＝60°，则∠PAC＝180°﹣∠APC﹣∠C＝75°，可求得∠BAP＝∠BAC﹣∠PAC＝15°，∠AQP＝180°﹣∠APQ﹣∠PAC＝60°，于是得到问题的答案；（3）由∠B＝∠C＝∠APQ＝45°，推导出∠BAP＝∠CPQ＝135°﹣∠APB，则BC＝6，BP＝6﹣6，求得PC＝BC﹣BP＝6，则AB＝PC，即可根据“AAS”证明△ABP≌△PCQ；（4）当PQ＝CQ，则∠QPC＝∠C＝45°，则∠APC＝∠APQ+∠PQC＝90°，∠PQC＝180°﹣∠QPC﹣∠C＝90°，所以AP⊥BC，PQ⊥AC，则AP＝CP＝BP＝BC，所以AQ＝AC＝3；当CP＝CQ，则∠CPQ＝∠CQP＝67.5°，可推导出∠BPA＝∠BAP＝67.5°，则PB＝AB＝6，所以CP＝CQ＝6﹣6，求得AQ＝AC﹣CQ＝12﹣6；若PQ＝PC，则∠PQC＝∠C＝45°，可推导出∠BAP＝90°＝∠BAC，则点P与C重合，所以不存在以PQ和PC为腰的等腰三角形，则AQ的长是3或12﹣6．【解答】（1）解：如图1，因为AB＝AC＝6，所以∠B＝∠C，因为点P在AB上，∠APQ＝∠B，所以AP＝t，PQ∥BC，所以∠AQP＝∠C，所以∠APQ＝∠AQP，所以AQ＝AP＝t，所以CQ