2025版高考数学一轮复习课后限时集训40垂直关系理含解析北师大版

PAGE1-课后限时集训(四十)垂直关系(建议用时：60分钟)A组基础达标一、选择题1．已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则()A．β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直B．β内不肯定存在直线与m平行，不肯定存在直线与m垂直C．β内不肯定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直D．β内必存在直线与m平行，不肯定存在直线与m垂直C[如图，在平面β内的直线若与α，β的交线a平行，则有m与之垂直．但却不肯定在β内有与m平行的直线，只有当α⊥β时才存在．故选C.]2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是()A．若α⊥β，mα，nβ，则m⊥nB．若α∥β，mα，nβ，则m∥nC．若m⊥n，mα，nβ，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥βD[若α⊥β，mα，nβ，则m与n可能平行，故A错；若α∥β，mα，nβ，则m与n可能平行，也可能异面，故B错；若m⊥n，mα，nβ则α与β可能相交，也可能平行，故C错；对于D项，由m⊥α，m∥n，得n⊥α，又知n∥β，故α⊥β，所以D项正确．]3．(2024·全国卷Ⅲ)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则()A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1 D．A1E⊥ACC[如图，∵A1E在平面ABCD上的投影为AE，而AE不与AC，BD垂直，∴选项B，D错误；∵A1E在平面BCC1B1上的投影为B1C，且B1C⊥BC1，∴A1E⊥BC1，故选项C正确；(证明：由条件易知，BC1⊥B1C，BC1⊥CE，又CE∩B1C＝C，∴BC1⊥平面CEA1B1.又A1E平面CEA1B1，∴A1E⊥BC1)∵A1E在平面DCC1D1上的投影为D1E，而D1E不与DC1垂直，故选项A错误．故选C.]4．(2024·长春质检)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，直线A1C1与平面ABC1D1所成角的正弦值为()A．1 B．eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(2),2) D．eq\f(1,2)D[如图所示：连接A1D，AD1交于点O，连接OC1，在正方体中，∵AB⊥平面AD1，∴AB⊥A1D．又A1D⊥AD1，且AD1∩AB＝A，∴A1D⊥平面AD1C1B，又OC1平面AD1C1B，∴A1D⊥OC1，所以∠A1C1O即为所求角，在Rt△A1C1O中，sin∠A1C1O＝eq\f(1,2)，所以A1C1与平面ABC1D1所成角的正弦值为eq\f(1,2)，故选D．]5.如图，在四面体D­ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列正确的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDEC[因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE，所以选C.]二、填空题6．如图所示，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线是________；与AP垂直的直线是________．AB，BC，ACAB[∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC.∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，∴AB⊥平面PAC，∴AB⊥AP，故与AP垂直的直线是AB．]7．如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满意________时，平面MBD⊥平面PCD．(只要填写一个你认为是正确的条件即可)DM⊥PC(或BM⊥PC)[连接AC，BD，则AC⊥BD，∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD．又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MB D．而PC平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD．]8．(2024·全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为eq\f(7,8)，SA与圆锥底面所成角为45°.若△SAB的面积为5eq\r(15)，则该圆锥的侧面积为________．40eq\r(2)π[如图所示，设S在底面的射影为S′，连接AS′，SS′.△SAB的面积为eq\f(1,2)·SA·SB·sin∠ASB＝eq\f(1,2)·SA2·eq\r(1－cos2∠ASB)＝eq\f(\r(15),16)·SA2＝5eq\r(15)，∴SA2＝80，SA＝4eq\r(5).∵SA与底面所成的角为45°，∴∠SAS′＝45°，AS′＝SA·cos45°＝4eq\r(5)×eq\f(\r(2),2)＝2eq\r(10).∴底面周长l＝2π·AS′＝4eq\r(10)π，∴圆锥的侧面积为eq\f(1,2)×4eq\r(5)×4eq\r(10)π＝40eq\r(2)π.]三、解答题9．(2024·江苏高考)在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1.求证：(1)AB∥平面A1B1C；(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.[证明](1)在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AB∥A1B1.因为AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C.(2)在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．又因为AA1＝AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B．又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC.又因为A1B∩BC＝B，A1B平面A1BC，BC平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC.因为AB1平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.10.(2024·辽宁五校联考)如图所示，等腰梯形ABCD的底角A等于60°，直角梯形ADEF所在的平面垂直于平面ABCD，∠EDA＝90°，且ED＝AD＝2AB＝2AF.(1)证明：平面ABE⊥平面EBD；(2)若三棱锥A­BDE的外接球的体积为eq\f(8\r(2)π,3)，求三棱锥A­BEF的体积．[解](1)证明：∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，ED⊥AD，ED平面ADEF，∴ED⊥平面ABCD，∵AB平面ABCD，∴AB⊥ED，设AD＝2a，则AB＝a，又∠BAD＝60°，∴AB⊥BD．又BD∩ED＝D，BD平面EBD，ED平面EBD，∴AB⊥平面EBD，又AB平面ABE，∴平面ABE⊥平面EBD．(2)由(1)得AD⊥DE，AB⊥BE，∴三棱锥A­BDE的外接球的球心为线段AE的中点．∴eq\f(4,3)·π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AE,2)))3＝eq\f(8\r(2)π,3)，解得AE＝2eq\r(2)，则AD＝ED＝2，AB＝AF＝1，∴VA­BEF＝VB­AEF＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×2×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),6).B组实力提升1.如图，在斜三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在平面ABC上的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC的内部A[连接AC1(图略)，因为AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，所以AC⊥平面ABC1，又AC平面ABC，所以平面ABC1⊥平面ABC，所以点C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上，故选A.]2.如图，四棱锥P­ABCD中，△PAB与△PBC是正三角形，平面PAB⊥平面PBC，AC⊥BD，则下列结论不肯定成立的是()A．PB⊥ACB．PD⊥平面ABCDC．AC⊥PDD．平面PBD⊥平面ABCDB[如图，对于选项A，取PB的中点O，连接AO，CO.∵在四棱锥P­ABCD中，△PAB与△PBC是正三角形，平面PAB⊥平面PBC，∴AO⊥PB，CO⊥PB，∵AO∩CO＝O.∴PB⊥平面AOC，∵AC平面AOC，∴PB⊥AC，故选项A正确；对于选项B，设AC与BD交于点M，易知M为AC的中点，若PD⊥平面ABCD，则PD⊥BD，由已知条件知点D满意AC⊥BD且位于BM的延长线上，∴点D的位置不确定，∴PD与BD不肯定垂直，∴PD⊥平面ABCD不肯定成立，故选项B不正确；对于选项C，∵AC⊥PB，AC⊥BD，PB∩BD＝B，∴AC⊥平面PBD，∵PD平面PBD，∴AC⊥PD，故选项C正确；对于选项D，∵AC⊥平面PBD，AC平面ABCD，∴平面PBD⊥平面ABCD，故选项D正确．故选B．]3．如图所示，在正方形ABCD中，AC为对角线，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点．现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H.下列说法错误的是________(将符合题意的序号填到横线上)．①AG⊥△EFH所在平面；②AH⊥△EFH所在平面；③HF⊥△AEF所在平面；④HG⊥△AEF所在平面．①③④[依据折叠前AB⊥BE，AD⊥DF可得折叠后AH⊥HE，AH⊥HF，可得AH⊥平面EFH，即②正确；∵过点A只有一条直线与平面EFH垂直，∴①不正确；∵AG⊥EF，AH⊥EF，∴EF⊥平面HAG，∴平面HAG⊥平面AEF，过H作直线垂直于平面AEF，该直线肯定在平面HAG内，∴③不正确；∵HG不垂直AG，∴HG⊥平面AEF不正确，④不正确，综上，说法错误的是①③④.]4.如图，在底面是菱形的四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，∠ABC＝60°，AA1＝AC＝2，A1B＝A1D＝2eq\r(2)，点E在A1D上．(1)证明：AA1⊥平面ABCD；(2)当eq\f(A1E,ED)为何值时，A1B∥平面EAC，并求出此时直线A1B与平面EAC之间的距离．[解](1)证明：因为四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，所以AB＝AD＝AC＝2，在△AA1B中，由AAeq\o\al(2,1)＋AB2＝A1B2，知AA1⊥AB，同理AA1⊥AD，又AB∩AD＝A，所以AA1⊥平面ABCD．(2)当eq\f(A1E,ED)＝1时，A1B∥平面EAC.证明如下：如图，连接BD交AC于点O，当eq\f(A1E,ED)＝1，即点E为A1D的中点时，连接OE，则OE∥A1B，又A1B平面EAC，所以A1B∥平面EAC.直线A1B与平面EAC之间的距离等于点A1到平面EAC的距离，因为E为A1D的中点，所以点A1到平面EAC的距离等于点D到平面EAC的距离，VD­EAC＝VE­ACD，设AD的中点为F，连接EF，则EF∥AA1，且EF＝1，所以EF⊥平面ACD，又△ACD为边长为2的等边