北师大版八年级数学下册第五章《分式与分式方程》（新课标同步教学设计）

北师大版八年级数学下册第五章《分式与分式方程》

(新课标同步教学设计)

一、个人备课情况

第五章本章所需课时数9课计

1.了解分式和最简分式的概念，能利用分式的基本性质进行约分和通分；

能进行简单的分式加减乘除运算.

2.能根据具体问题中的数量关系列出分式方程，体会分式方程是刻画现实

世界数量关系的有效模型.

3.能解可化为一元一次方程的分式方程.

4.能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理.

第1节“认识分式”.通过土地沙化、上海世博会等实例中存在的数量关

系引入分式概念，体会分式的模型作用；通过类比分数的基本性质，理解分式

的基本性质.

第2节”分式的乘除法”.通过类比分数乘除法的法则，获得分式乘除法

的法则，并会用法则进行分式运算.

第3节“分式的加减法”.通过类比分数加减法的法则，获得分式加减法

的法则，并会用法则进行分式运算.

第4节“分式方程”.通过列出刻画行程、捐款等实例的方程，分析所列

出方程的共同特征，理解分式方程的概念，进而学习怎样解分式方程，并会用

分式方程解决简单的实际问题.

本章内容主要包括：

(1)因式分解的相关概念，整式乘法与因式分解的关系；

(2)因式分解的两种方法——提公因式法和公式法，利用因式分解解决

实际问题等.

1.经历用分式、分式方程表示现实情境中数量关系的过程，了解分式、最

简分式、分式方程的概念，体会分式、分式方程的模型思想，进一步发展符号

意识.

2.经历通过观察、归纳、类比、猜想，获得分式的基本性质、分式乘除法

则、分式加减法则的过程，发展合情推理能力与代数式恒等变形能力，积累类

比的活动经验.

3.熟练掌握分式的基本性质，会进行分式的约分、通分和加减乘除四则运

算，会求分式的值，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验分式方程的

根，发展运算能力.

4.能解决一些与分式、分式方程有关的实际问题，发展分析问题、解决问

题的能力和应用意识.

教学重点：约分和通分；分式的加、减、乘除运算；解可化为一元一次方

教

学

程的分式方程.

重

难

教学难点：分式的加、减、乘除以及混合运算；了解产生增根的原因，并

点

会验根；列分式方程解应用题.

1.要让学生充分经历用字母表示实际问题中数量关系的过程，发展学生

教的符号意识.

与

学2.要抓住本章的学习特点——类比，发展学生的合情推理能力.

建

议3.要落实本章的教学重点——分式的四则运算，发展学生的运算能力.

4.要抓住分式方程教学的核心——转化与应用，发展学生的化归意识，

体会模型思想.

1认识分式（2课时）

第1课时分式的梃念

第2课时分式的化简

2分式的乘除法（1课时）

章3分式的加减法（3课时）

节

第课时同分母分式的加减

课1

时第2课时异分母分式的加减

分

配第3课时异分母分式的力口减

4分式方程（3课时）

第1课时分式方程的概念

第2课时分式方程的解法

第3课时列分式方程解应用题

回顾与思考（2课时）

1认识分式

第1课时分式的概念

授课类型新授课

课题第1课时分式的概念

授课人

我学

课本P108-110

内容

1、了解分式的^念，明确分式和整式的区别；

2、让学生经历用字母表示实际问题中数量关系的过程，体会分式是表

教学

示现实世界中的一类量的数学模型；

目标

3、培养学生观察、归纳、类比的思维，让学生学会自主探索，合作交

流.

教学

重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件.

重难

难点：能熟练地求出分式有意义的条件.

点

教学

多媒体课件

准备

教与学互动设计(教学过程)设计意图

1.创设情景，导入新课通过同学们身边

展示生活中的数学问题：(课件播放)的生活实例，进一步

丰富代数式的实际

背景，让学生感受字

母表示数的意义，发

展他们的符号感，并

中国是世界上受荒漠化、沙化危害最严重的国家之一,在这一过程中初步

感受分式的模型作

全国荒谟化、沙化上地向积占国上面积约40席.

用，初步体会分式的

面对日益严重的土地沙化问题，某县决定在一定期限内

意义.

固沙造林2400hm2,实际每月固沙造林的面积比原计划多

30hm7,结果提前完成原计划的任务.如果设原计划每月固

沙造林xhm2,那么

(1)原计划完成造林任务需要多少个月？

(2)实际完成造林任务用了多少个月？

师生活动：教师出示问题，学生回答，然后教师引出课

题。

学生回答：(1)—.(2)工竺2.(教师板书)

Ax+30

(板书课题：第1课时分式的概念)

2.实践探究，学习新知

【探究1】分式的概念

以生活中的实际问

做一做

题引入，在学生已有

(1)2010年上海世博会吸引了成千上万的参观者，某一的认识基础上，先让

时段内的统计结果显示，前a天日均参观人数35万人，后学生解决一些具体

b天日均参观人数45万人，这(a+6)天日均参观人数为的数的运算问题，逐

多少万人？步让学生体会和接

触分式的概念。

(2)文林书店库存一批图书，其中一种图书的原价是每

册a元，现每册降价x元销售，当这种图书的库存全部售

出时，其销售额为b元.降价销售开始时，文林书店这种图

书的库存量是多少？

师生活动：由学生来汇报自己的答案，结果是范"包

a+b

b

人；书店这种图书的库存量为-----本.

a-x

教师提问：对于以上四个代数式少史，必叫，

xx+30

35〃+45。通过分析，你发现它们有什么共同特征,

a+ba-x

它们与整式有什么区别？

师生活动：在学生小组合作的基础上，经过讨论分析，

学生自主归纳总结.教师注意适时引导.

学生回答：

(1)这四个代数式都有分母，分母中都有字母，并且分母

不为零.

(2)这四个代数式都是分式，因为它们都有分母，分母

中都有字母，这是它们与整式的区别.

教师提问：请你再举出2个和它们类似的例子，并尝试

总结分式的概念.

学生回答：一般地，用48表示两个整式，就可以

AA

表示成的形式，如果8中含有字母，式子色就叫做分

BB

式.其中，4叫做分式的分子，8叫做分式的分母，对于任意

一个分式，分母都不能为零.（教师板书）

教师追问：请同学们思考判断一个代数式如果是分式应

具备哪些条件？

学生归纳：两个条件：分母中有字母，分母不为零.

4

教师追问：为什么2•中8不能为零？

B

学生回答：因为8筝于零时分母为零，分式无意义.

师生活动：教师强调分式的定义和判断一个代数式是否

是分式的条件，学生练习，展示汇报答案.

判断下列代数式中，哪些是整式？哪些是分式？

1（1_x）3），2+1a+1

5）,22a-\

【白纳总结】师生共同讨论，归纳如下：

分式的概念：一般地，用48表示两个整式，力;8就可

AA

以表示成-的形式，如果8中含有字母，式子£•就叫做

BB

分式.其中，4叫做分式的分子，8叫做分式的分母，对于任

意一个分式，分母都不能为零.

a+l

【教材例题】例（1）当户1,2时，分别求分式的值；通过例题讲解，让学

生从两方面来理解，

。+11+1,

一是分式分式中的

解：（1）当3=1时，2a2x1

字母可以表示使分

fz+1_2+13式有意义的任何数；

当彳2时，2a-2x2-4

二是分式可与分数

a+1类比，分式的分母也

（2）当a取何值时，分式F"有意义？不能为零。让学生体

解：当分母的值为零时，分式没有意义，除此以外，分式会分式的意义，理解

都有意义.如果a的取值使得分

母的值为零，则分式

由分母2炉0,得炉0,

没有意义，反之有意

4+1

义.

所以，当a取零以外的任何数时，分式市"都有意义.

【探究2】分式有无意义和分式值为零的条件

教师提问：我们知道，要使分数有意义，分数中的分母

不能为0.要使分式有意义，分式£■中的分母应满足什么条

B

A

件？请同学们思考，使分式C■有意义或无意义的条件？

B

A通过分式有无意义

学生归纳：分式一有意义的条件是分母8不为零;使分

B和值为零的条件探

A

式三无意义的条件是分母8为零.究活动，让学生亲历

B

发现事物特征、规律

教师提问：当x取何值时，下列分式的值为零.

的过程，激发学生的

⑴w1x1-3学习兴趣，增强自信

7

x-1⑵上

心，引发主动学习的

师生活动：在学生小组合作的基础上，经过讨论分析，内在动机。

学生自主解答.教师注意适时引导.

教师追问：使分式微值为零的条件？

学生归纳：使分式〜值为零，分子4为零，分母8不等

B

于零.

【归纳总结】师生共同讨论，归纳如下：

1.分式的概念：一般地，用48表示两个整式，4F8就

AA

可以表示成-的形式，如果8中含有字母，式子2•就叫

BB

做分式.其中，彳叫做分式的分子，8叫做分式的分母，对于

任意一个分式，分母都不能为零.

2.分式有意义的条件：分母不等于零.

3.分式无意义的条件：分母等于零.

4.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零.

3.学以致用，应用新知

考点1分式的定义

例代数式乂3屋，工，2〉，至-,王2中，属于分式的有

3X3Kx+l

（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

答案：B

变式训练在式子①巨；②且；③工；④也：⑤

tx5cx-1

⑥且上中，分式有个.

n+i

答案：4通过例题讲解，巩固

考点2分式有（无）意义的条件及分式的值理解所学知识，训练

例分式/_有意义，则X应满足的条件是学生的分析和建立

x-2数学模型的能力，体

答案：xW2会教学与生活的联

变式训练若分式11心的值为0,则x的值为（）系。

x+2

A.±2B.CC.-2D.2

答案：D通过变式训练巩固

考点3根据实际问题列分式分式的相关知识，灵

例一辆汽车以60千米/时的速度行驶，从4城到8城需活运用所学知识解

2小时，如果该车的速度每小时增加v千米，那么从彳城到8决问题。

城需要（）小时.

A60tB50tcvt口

•~v~•v+60•v+60•-60

答案：B

变式训练一辆货车送货上山，并按原路下J.上山速

度为勿千米/时，下山速度为。千米/时.则货车上、下山的

平均速度为（）千米/时.

21nb0

A.y(m+b)B.亚C.m+b

m+bm+b2mb

答案：C

4.随堂训练，巩固新知

1.下列各式：

3、平、/蒋丫2、(.m)-2、式、白、淼中，分式有

a72mx~l8兀

()

答案：D

2.当x=3时，分式上上没有意义，则b的值为()

x+2b

A.-3B.旦C,旦D.3

22

答案：D

3.若分式二^的值为正数，则x的取值范围是()

3x~4

A.x<3B.0<x<^

3X3

C.x>0D.x<'且x丰。

3

答案：A为学生提供自

4.【新趋势开放性问题】已知分式满足条件“只含有我检测的机会，教师

字母x,且当x=0时分式的值为0”，请写出一个这样的分针对学生的学习情

式.况，及时调整授课，

查缺补漏。

答案：

x+1

5.用漫灌方式给绿地浇水，a天用水10吨，改用喷灌

方式后，10吨水可以比原来多用5天，那么喷灌比漫灌平

均每天节约用水_____吨.

答案：—四—或也」L

a(a+5)iaa+5

5.课堂小结，自我完善

通过本节课的学习，你学到了哪些知识？

分式定义；分式有意义、无意义时的条件；通过小结，使学生梳

分式有意义、无意义时的条件；理本节课所学内容，

掌握本节课的核心

分式的值为零的条件.

内容。

1.分式的概念：一般地，用48表示两个整式，A+B就

A4

可以表示成的形式，如果8中含有字母，式子方就叫

做分式.其中，4叫做分式的分子，片叫做分式的分母，对于

任意一个分式，分母都不能为零.

2.分式有意义的条件：分母不等于零.

3.分式无意义的条件：分母等于零.

4.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零

6.布置作业课后练习双固，

课本P109习题5.1中的T1—T5。让所学知识得以运

用，提高计算能力和

做题效率。

板书设计

第1课时分式的概念

提纲掣领，重点

一、分式的概二、分式有无三、分式值投影区

突出。

念意义的条件为0的条件

学生活动区

教后反思

1、概念的创新教学

在学习分式概念时，避免传统教学中对于概念直接给出，

叫学生死记硬背，忽略了学生学的过程，也不考虑学生是否

真正理解，本课时是让学生通过观察、归纳、总结整式与分

式的异同，从而得出分式概念.

2、注重能力培养

新课标注重学生探索，创新、合作能力的培养，本课时观反思，更进一步

察分式与整式的异同时，就是采取学生自主探索，合作交流提升。

的形式.

3、课堂反馈效果良好

对学生学习效果的反馈采用有我校特色的“举反馈牌”

的方法，能较全面的了解学生的学习情况，对不足之及时补

充，有良好效果.

4、需要加强的方面

在学习中，要注意观察学生的情感变化，是否遇到困难，

积极性、热情是否发挥出来，投入的程度有多少，是否每个

学生都参与其中等等，作为教师应时刻关注这些，以便适时

的引导他们，调动他们，鼓励他们.

1认识分式

第2课时分式的基本性质

授课类型新授课

课题第2课时分式的基本性质

授课人

我学

课本P110-113

内容

1.理解分式的基本性质并能利用性质进行分式的约分；

教学2.通过对分式的基本性质的归纳，培养学生观察，类比，推理的能力；

目标3.让学生在讨论活动中通过相互间的合作与交流，进一步发展学生合

作交流的能力和数学表达能力.

教学

重点：理解分式的基本性质并能利用性质进行分式的约分.

重难

难点：准确灵活地运用分式的基本性质化简分式.

点

教学

多媒体课件

准备

教与学互动设计（教学过程）设计意图

1.创设情景，导入新课

教师提问：我们来看如何做不同分母的分数的加法：-+

2

2

3,

学生解答：

232x33x2666

教师追问：这里将异分母化为同分母，i=—=-,通过分数的约分复

22x36习分数的基本性质，

1=—=-.这是根据什么呢？通过类比来学习分

33x26

式的基本性质.

学生回答：根据分数的基本性质：分数的分子与分母都

乘（或除以）同一个不等于零的数，分数的值不变.

教师引导：分式是一般化了的分数，我们是否可以推想

分式也有分数的这一类似的性质呢？

这就是我们今天所要研究的内容——分式的基本性质.

（版书课题：第2课时分式的法本性质）

2.实践探究，学习新知

【探究1】分式的基本性质

让学生通过观察，类

教师提问：你认为分式色与■!■相等吗？《与2呢？与

比，推理出分式的基

2。2mnm

本性质，并让学生明

同伴交流.

白类比的理由是字

学生回答：分式幺与L相等，在分式乌中，石不0,所以母可以表示任何

2a22a

数.加强学生抽象概

a_a-i-a_I

括能力的培养，使学

2a2a+a2

生进一步概括出分

分式工与2也是相等的.在分式工中，〃芋o,所以工式的基本性质.

mnmmnmn

_n2n_n

mn+ntn

教师提问：由此，类比对照分数的基本性质，你能推想

出分式的基本性质吗？

学生归纳：分式是一般化了的分数，类比分数的基本性

质，我们可推想出分式的基本性质：分式的分子与分母都乘

（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.

教师追问：在运用此性质时，应特别注意什么？

学生归纳：应特别强调分式的分子、分母都乘（或除以）

同一个不为零的整式中的“都”“同一个”“不为零”.

教师总结：我们利用分数的基本性质可对一个分数进行

等值变形.同样我们利用分式的基本性质也可以对分式进行

等值变形.

【教材例题】下列等式的右边是怎样从左边得到的？（多媒

体出示）

（D2二生（":⑵丝W

2x2xybxb

学生回答：（1）因为v手o,利用分式的基本性质，在2

2x

的分子、分母中同乘匕即可得到右边，即_L=_L1二上L；

2x2x-y2xy

教师提问：在（1）中，题目中已说明y=#0,因此我们可

用分式的基本性质直接求得.可（2）中右边又是如何从左边

得到的呢？

学生回答：在（2）中，丝可以分子、分母同除以x得

bx

.axax-i-xa

至£，r即Jn一=-----=—.

bxbx-i-xb

教师追问：“x”如果等于“0”呢？还是“x”确定不会等

于“0”呢?

师生活动：在学生小组合作的基础上，经过讨论分析，

学生自主解答.教师注意适时引导.

学生归纳：在竺中，x不会为“0”，如果是“0”，丝中

bxbx

分母就为“0”，分式丝将无意义，所以（2）中虽然没有直接

bx

告诉我们xwo,但要由竺得到巴，竺必须有意义，即sxw

bxbbx

0由此可得6左0且*WO.

【归纳总结】师生共同讨论，归纳如下：

分式的基本性质：分式的分子与分母都乘（或除以）同一

个不等于零的整式，分式的值不变.

【探究2】分式的约分

教师提问：利用分数的基本性质可以对分数进行化简.利

用分式的基本性质也可以对分式化简.

加深学生对分式的

例（多媒体出示）化简下列各式：基本性质的理解和

（1）—;（2）2'一］.应用，让学生了解把

abx2-2x+1一个分式的分子和

教师引导：在分数化简中，我们约去了分子、分母的公分母的公因式约去，

这种变形称为分式

约数，那么在分式化简中，我们应怎么做？

的约分.引导学生找

学生回答：约去分子、分母中的公因式.（1）中才A可

出他们的公因式，并

分解为6）.分母中也含有因式以，因此利用分式的基

学会利用分式的基

本性质：本性质进行约分，使

解.(1)/be_a%c+(")_(〃cab)+(")结果为最简分式或

abab+(ab)ab+(ab)整式.

教师追问：我们可以注意到(1)中的分式，分子、分母

都是单项式，把公有的因式分离出来，然后利用分式的基本

性质，把公因式约去即可.这样的公因式如何分离出来呢？同

学们可小组讨论.

学生总结：如果分子、分母是单项式，公因式应取系数

的最大公约数，相同的字母取它们中最低次寐.

教师提问：(2)中的分式，分子、分母都是多项式，又如

何化简呢？

学生回答：分子、分母是多项式的分式，通过对分子、分

母因式分解，找到它们的公因式.

解.(2)尸一］_(丁-1)(%+1)_%+1

*x2-2x+l(I)?

教师总结：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这

种变形我们称为分式的约分.

【归纳总结】师生共同讨论，归纳如下：

分式的约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，

这种变形我们称为分式的约分.

【探究3】最简分式

做一做(多媒体出示)化简下列分式：

(1)%;(2)名丝”通过做一做，和议一

2()x'yb(a+b)议，检查学生对分式

的约分的掌握情况，

教师提问：议一议:在化简至21时，小颖是这样做的:

20x-y对于错误及时指出

并纠正.引出最简分

上二二二".你对上述做法有何看法？与同伴交流.

20x2y20x2式的概念.

SY

学生总结：我认为小颖的做法中，三7中还有公因式5x,

20x

没有化简完，也就是说没有化成最简结果.

解：(1)5肛二一迎_

20x2y(4x)•(5xy)4x'

(2)〃(〃+")二q.

b(a+b)b

教师强调：31如果化简成说明化简的结果中已

20x2y4x

没有公因式，这种分式称为最简分式.因此，我们通常使结果

成为最简分式或者整式.

【归纳总结】师生共同讨论，归纳如下：

最简分式：分子和分母没有公因式的分式称为最简分式.

在化简分式时，通常要使结果成为最简分式或者整式.

3.学以致用，应用新知

考点1分式的基本性质

例下列代数式变形正确的是()

2

Aa_a+lBa(c+1)-a

•b-b+l'b(c2+l)b

通过例题讲解，

c0.2x=2xD_xW二xW

0.lx+2yx+2y-x-yx-y巩固理解分式的基

答案：B

本性质及约分，一方

变式训练如果将分式空中的字母x与y的值分别扩面力口强学生对知识

x+y

的掌握，从而提高知

大为原来的5倍，那么这个分式的值()

识的应用能力；另一

A.扩大为原来的5倍B.扩大为原来的10倍

方面可以差缺补漏。

C.缩小为原来的2D.不改变

5

答案：D

通过变式训练巩固

考点2约分及最简分式

所学知识，灵活运用

例下列约分：①二^=工；②且超=曳；③_?_=」

2分式的基本性质解

3X3xb+mb2+al+<

决问题。

④生x=i；⑤⑥二其中正确

xy+2a+1(x-y)/y-x

的有()

A.3个B.4个C.5个D.6个

答案：A

变式训练下列分式是最简分式的是（）

A."yB.q'

22

10xyx-y

C.空型D.x2+y2

3x-3y22

x八_yJ

答案：D

考点3分式的化简求值

2

例化简生*得_________;当勿=-1时，原式的值

3m-12

为_______.

答案：贮1

3

2

变式训练若小为禁数，则能使m-2m+l也为整数的由

m2-l

有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

答案：C

4.随堂训练，巩固新知

1.若x、y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保

持不变的是（）

A.qB.立C.且D.且

y+1x+1x+y3x-y

答案：D

2.小丽在化简分式时，*部分不小心滴上了墨

x2-lx+1

水，请你推测，*部分的式子应该是（）

A.x-2A+1B.V+2/1

为学生提供自

C.V-1D.x-2x-1

我检测的机会，教师

答案：A针对学生的学习情

3.把分式T7："约分得到的结果是___________.况，及时调整浅课，

（加+2）（机—1）查缺补漏。

m-\

答案：〃?+2

4.先化简，再求值：

2

(1)2a~8,其中3=1；

a2-4a+4

2

(2)—生❷——,其中b=2a.

-b2+6ab-9a2

解：(1)2a2-8

a?-4a+4

_2(a+2)(a-2)

(a-2)2

:2(a+2)

a-2'

当石=1时，上式=22£3=-6,即2a--8=-6.

1-2a2-4a+4

(2)—型量—,

-b2+6ab_9a2

_a(b-3a)

-(b-3a)2

__a

b-3a

2

当6=2石时，上式=----=1,即——ab-3a---=

2a-3a-b2+6ab-9a

1.

5.课堂小结，自我完善

通过本节课的学习，你学到了哪些知识？

1.分式的基本性质：分式的分子与分母都乘（或除以）同

通过小结，使学

一个不等于零的整式，分式的值不变.生梳理本节课所学

2.分式的约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，内容，掌握本节课的

这种变形我们称为分式的约分.核心内容。

3.最简分式：分子和分母没有公因式的分式称为最简分

式.在化简分式时，通常要使结果成为最简分式或者整式.

6.布置作业课后练习巩固，

课本P113习题5.2中的T1—T4O让所学知识得以运

用，提高计算能力和

做题效率。

板书设计

第2课时分式的化简

提纲掣领，重点

一、分式的基二、分式的约三、最简分

投影区突出。

本性质分式

学生活动区

教后反思

1.在分式的约分教学中，要及时发现学生的错误，并当作错

误例题进行全班范围的分析，找出原因，让其他学生也认识

到这种错误，不能只是改正答案.

2.在让学生小组讨论之前应给学生一定的时间独立思考，不

反思，更进一步

要让一些思维活跃的同学的回答代替了其他学生的思考，从

提升。

而掩盖了其他学生的疑问和错误.教师应对学生的讨论给予

引导，对学习困难的学生给予及时的帮助，是小组合作学习

更具实效性.

3.找公因式是约分的关键，应设计一些找公因式的练习，作

为铺垫，这样学生可能对约分掌握得更好.

2分式的乘除法

授课类型新授课

课题2分式的乘除法

授课人

教学

课本P114-116

内容

1.类比分数的乘除运算法则，探索分式的乘除运算法则。

教学2.理解分式的乘除运算法则，会进行简单的分式的乘除法运算

目标3.能解决一些与分式有关的简单的实际问题。

4.通过师生讨论、交流，培养学生合作探究的意识和能力。

教学

重点：分式乘除法的法则及应用.

重难

难点：分子、分母是多项式的分式的乘除法的运算.

点

教学

多媒体课件

准备

教与学互动设计（教学过程）设计意图

1.创设情景，导入新课数学来源于实际