2024-2025学年高中数学第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理练习含解析新人教A版必修4

PAGE1-第20课时平面对量基本定理对应学生用书P59学问点一基底的概念1．下面三种说法中，正确的是()①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面全部向量的基底；②一个平面内有多数多对不共线向量可作为该平面全部向量的基底；③零向量不行作为基底中的向量．A．①②B．②③C．①③D．①②③答案B解析只要平面内一对向量不共线，就可以作为该平面对量的一组基底，故①不正确，②正确；因为零向量与随意一个向量平行，所以③正确，故选B．2．已知e1与e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝λe1＋e2，且a与b是一组基底，则实数λ的取值范围是________．答案λ≠eq\f(1,2)解析考虑向量a，b共线，则有λ＝eq\f(1,2)，故当λ≠eq\f(1,2)时，向量a，b不共线，可作为一组基底．学问点二向量夹角的概念3．已知|a|＝|b|＝3，且a与b的夹角为80°，则a＋b与a－b的夹角是________．答案90°解析如图，作向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，以OA，OB为邻边作平行四边形，则四边形OACB为菱形．∵eq\o(OC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝a－b，eq\o(OC,\s\up6(→))⊥eq\o(BA,\s\up6(→))，∴a＋b与a－b的夹角为90°．4．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，|eq\o(CB,\s\up6(→))|＝1，则eq\o(AC,\s\up6(→))与eq\o(CB,\s\up6(→))的夹角θ＝________．答案120°解析在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝eq\r(3)，CB＝1，所以tan∠ACB＝eq\f(AB,CB)＝eq\r(3)，所以∠ACB＝60°，即eq\o(CB,\s\up6(→))与eq\o(CA,\s\up6(→))的夹角为60°，所以eq\o(AC,\s\up6(→))与eq\o(CB,\s\up6(→))的夹角为120°．学问点三用基底表示向量5．已知平行四边形ABCD中，E为CD的中点，eq\o(AP,\s\up6(→))＝yeq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AQ,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))，其中x，y∈R，且均不为0．若eq\o(PQ,\s\up6(→))∥eq\o(BE,\s\up6(→))，则eq\f(x,y)＝________．答案eq\f(1,2)解析因为eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\o(AQ,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))－yeq\o(AD,\s\up6(→))，由eq\o(PQ,\s\up6(→))∥eq\o(BE,\s\up6(→))，可设eq\o(PQ,\s\up6(→))＝λeq\o(BE,\s\up6(→))，即xeq\o(AB,\s\up6(→))－yeq\o(AD,\s\up6(→))＝λ(eq\o(CE,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→)))＝λ－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(λ,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AD,\s\up6(→))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(1,2)λ，,y＝－λ，))则eq\f(x,y)＝eq\f(1,2)．6．已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2，b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c．解因为a，b不共线，所以可设c＝xa＋yb．则xa＋yb＝x(3e1－2e2)＋y(－2e1＋e2)＝(3x－2y)e1＋(－2x＋y)e2＝7e1－4e2．又因为e1，e2不共线，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－2y＝7，,－2x＋y＝－4))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－2))，所以c＝a－2b．7．在▱ABCD中，设eq\o(AC,\s\up6(→))＝a，eq\o(BD,\s\up6(→))＝b，试用a，b表示eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))．解解法一：(转化法)如图，设AC，BD交于点O，则有eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a，eq\o(BO,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b．∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))－eq\o(BO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b．解法二：(方程思想)设eq\o(AB,\s\up6(→))＝x，eq\o(BC,\s\up6(→))＝y，则有eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))且eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＝y，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝a，,y－x＝b，))∴x＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b，y＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b，即eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b．8．如图所示，已知E，F分别是矩形ABCD的边BC，CD的中点，EF与AC交于点G，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，用a，b表示eq\o(AG,\s\up6(→))．解易知eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))，设eq\o(CG,\s\up6(→))＝λeq\o(CA,\s\up6(→))，则由平行四边形法则，得eq\o(CG,\s\up6(→))＝λ(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＝2λeq\o(CE,\s\up6(→))＋2λeq\o(CF,\s\up6(→))．由于E，G，F三点共线，则2λ＋2λ＝1，故λ＝eq\f(1,4)．从而eq\o(CG,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)(a＋b)．对应学生用书P60一、选择题1．在△ABC中，点D在BC边上，且eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，则eq\o(AD,\s\up6(→))可用基底a，b表示为()A．eq\f(1,2)(a＋b)B．eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)bC．eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)bD．eq\f(1,3)(a＋b)答案C解析因为eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，所以eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))．所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b．2．假如a与b是一组基底，则下列不能作为基底的是()A．a＋b与a－bB．a＋2b与2a＋bC．a＋b与－a－bD．a与－b答案C解析由已知，a与b不共线，依据平行四边形法则，可知A，B，D选项中的两个向量都可以作为基底，而a＋b与－a－b共线，不能作为基底．3．若eq\o(OP1,\s\up6(→))＝a，eq\o(OP2,\s\up6(→))＝b，eq\o(P1P,\s\up6(→))＝λeq\o(PP2,\s\up6(→))(λ≠－1)，则eq\o(OP,\s\up6(→))等于()A．a＋λbB．λa＋(1－λ)bC．λa＋bD．eq\f(1,1＋λ)a＋eq\f(λ,1＋λ)b答案D解析∵eq\o(P1P,\s\up6(→))＝λeq\o(PP2,\s\up6(→))，∴eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OP1,\s\up6(→))＝λ(eq\o(OP2,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)))，∴(1＋λ)eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OP1,\s\up6(→))＋λeq\o(OP2,\s\up6(→))，∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,1＋λ)eq\o(OP1,\s\up6(→))＋eq\f(λ,1＋λ)·eq\o(OP2,\s\up6(→))＝eq\f(1,1＋λ)a＋eq\f(λ,1＋λ)b．故选D．4．已知|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，c⊥a，则a与b的夹角为()A．eq\f(π,6)B．eq\f(5π,6)C．eq\f(π,3)D．eq\f(2π,3)答案D解析如图所示，∵c＝a＋b，c⊥a，∴a，b，c的模构成一个直角三角形，且θ＝eq\f(π,6)，所以a与b的夹角为eq\f(2π,3)．5．如图，在四边形ABCD中，eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，E为BC的中点，且eq\o(AE,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))，则3x－2y＝()A．eq\f(1,2)B．eq\f(3,2)C．1D．2答案C解析由题意，得eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))．∵eq\o(AE,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))，∴xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))．∵eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AD,\s\up6(→))不共线，∴由平面对量基本定理，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2,3)，,y＝\f(1,2).))∴3x－2y＝3×eq\f(2,3)－2×eq\f(1,2)＝1．故选C．二、填空题6．如图，在平行四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，M是DC的中点，以a，b为基底表示向量eq\o(AM,\s\up6(→))，则eq\o(AM,\s\up6(→))＝________．答案b＋eq\f(1,2)a解析eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DM,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝b＋eq\f(1,2)a．7．已知A，B，C为圆O上的三点，若eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，则eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))的夹角为________．答案90°解析∵eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，∴O为BC的中点．则BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°．故eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))的夹角为90°．8．如图，在△ABC中，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(NC,\s\up6(→))，P是BN上的一点，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,11)eq\o(AC,\s\up6(→))，则实数m的值为________．答案eq\f(3,11)解析设eq\o(BP,\s\up6(→))＝keq\o(BN,\s\up6(→))，则eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋keq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋k(eq\o(AN,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋keq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1－k)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(k,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，又eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,11)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以1－k＝m，eq\f(k,4)＝eq\f(2,11)，解得k＝eq\f(8,11)，m＝eq\f(3,11)．三、解答题9．如图所示，已知△AOB中，点C是以A为中点的点B的对称点，eq\o(OD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，DC和OA交于点E，设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b．(1)用a和b表示向量eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))；(2)若eq\o(OE,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))，求实数λ的值．解(1)由题意，A是BC的中点，且eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))，由平行四边形法则，eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))．∴eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝2a－b，eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＝(2a－b)－eq\f(2,3)b＝2a－eq\f(5,3)b．(2)eq\o(EC,\s\up6(→))∥eq\o(DC,\s\up6(→))．又∵eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OE,\s\up6(→))＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b，eq\o(DC,\s\up6(→))＝2a－eq\f(5,3)b，∴eq\f(2－λ,2)＝eq\f(1,\f(5,3))，∴λ＝eq\f(4,5)．10．如图所示，在△ABO中，eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))，AD与BC相交于点M．设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b．(1)试用向量a，b表示eq\o(OM,\s\up6(→))；(2)在线段AC上取点E，在线段BD上取点F，使EF过点M，设eq\o(OE,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OF,\s\up6(→))＝μeq\o(OB,\s\up6(→))，求证eq\f(1,λ)＋eq\f(3,μ)＝7．解(1)不妨设eq\o(OM,\s\up6(→))＝ma＋nb，一方面，由于A，D，M三点共线，则存在α(α≠－1)使得eq\o(AM,\s\up6(→))＝αeq\o(MD,\s\up6(→))，于是eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(\o(OA,\s\up6(→))＋α\o(OD,\s\up6(→)),1＋α)，又eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))，所以eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(\o(OA,\s\up6(→))＋\f(α,2)\o(OB,\s\up6(→)),1＋α)＝eq\f(1,1＋α)a＋eq\f(α,21＋α)b，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,1＋α)，,n＝\f(α,21