2025版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第5节椭圆教学案文含解析北师大版

PAGE1-第五节椭圆[考纲传真]1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.驾驭椭圆的定义、几何图形、标准方程及简洁几何性质．1．椭圆的定义(1)我们把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆．这两定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距．(2)集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a＞0，c＞0.①当2a＞|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆；②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2；③当2a＜|F1F2|时，M点的轨迹不存在．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)离心率e＝eq\f(c,a)，且e∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b2eq\o([常用结论])与椭圆定义有关的结论以椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则(1)|PF1|＋|PF2|＝2a.(2)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cosθ.(3)Seq\s\do8(△PF1F2)＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|·sinθ，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，Seq\s\do8(△PF1F2)取最大值，为bc.(4)焦点三角形的周长为2(a＋c)．(5)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.[基础自测]1．(思索辨析)推断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆． ()(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)． ()(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆． ()(4)方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)表示的曲线是椭圆． ()[答案](1)×(2)√(3)×(4)√2．(教材改编)设P是椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于()A．4B．5C．8D．10D[依椭圆的定义知：|PF1|＋|PF2|＝2×5＝10.]3．若方程eq\f(x2,5－m)＋eq\f(y2,m＋3)＝1表示椭圆，则m的取值范围是()A．(－3,5) B．(－5,3)C．(－3,1)∪(1,5) D．(－5,1)∪(1,3)C[由方程表示椭圆知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5－m>0，,m＋3>0，,5－m≠m＋3，))解得－3<m<5且m≠1.]4．已知椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,m2)＝1(m>0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝()A．2B．3C．4D．9B[由左焦点为F1(－4,0)知c＝4.又a＝5，∴25－m2＝16，解得m＝3或－3.又m>0，故m＝3.]5．(教材改编)已知椭圆的一个焦点为F(1,0)，离心率为eq\f(1,2)，则椭圆的标准方程为________．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1[设椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．因为椭圆的一个焦点为F(1,0)，离心率e＝eq\f(1,2)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c＝1，,\f(c,a)＝\f(1,2)，,a2＝b2＋c2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2c＝2，,b2＝3，))故椭圆的标准方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.]椭圆的定义与标准方程1．已知△ABC的顶点B，C在椭圆eq\f(x2,3)＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是()A．2eq\r(3)B．6C．4eq\r(3)D．12C[由椭圆的方程得a＝eq\r(3).设椭圆的另一个焦点为F，则由椭圆的定义得|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a，所以△ABC的周长为|BA|＋|BC|＋|CA|＝|BA|＋|BF|＋|CF|＋|CA|＝(|BA|＋|BF|)＋(|CF|＋|CA|)＝2a＋2a＝4a＝4eq\r(3).]2．(2024·济南调研)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A.eq\f(x2,64)－eq\f(y2,48)＝1 B.eq\f(x2,48)＋eq\f(y2,64)＝1C．eq\f(x2,48)－eq\f(y2,64)＝1 D．eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,48)＝1D[设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|，所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16,2c＝8，故所求的轨迹方程为eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,48)＝1.]3．(2024·徐州模拟)已知F1、F2是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积为9，则b＝________.3[设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r1＋r2＝2a，,r\o\al(2,1)＋r\o\al(2,2)＝4c2，))所以2r1r2＝(r1＋r2)2－(req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2))＝4a2－4c2＝4b2，所以Seq\s\do8(△PF1F2)＝eq\f(1,2)r1r2＝b2＝9，所以b＝3.]4．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(5,2)))，(eq\r(3)，eq\r(5))，则椭圆方程为________．eq\f(y2,10)＋eq\f(x2,6)＝1[设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m，n>0，m≠n)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))eq\s\up10(2)m＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))eq\s\up10(2)n＝1，,3m＋5n＝1，))解得m＝eq\f(1,6)，n＝eq\f(1,10).∴椭圆方程为eq\f(y2,10)＋eq\f(x2,6)＝1.][规律方法]1.椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等．(2)通常定义和余弦定理结合运用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题．2．求椭圆标准方程的常用方法(1)求椭圆的标准方程多采纳定义法和待定系数法．(2)利用定义法求椭圆方程，要留意条件2a>|F1F2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．椭圆的几何性质►考法1求离心率的值或取值范围【例1】(1)(2024·浙江高考)椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的离心率是()A.eq\f(\r(13),3)B.eq\f(\r(5),3)C．eq\f(2,3)D．eq\f(5,9)(2)若椭圆上存在点P，使得点P到两个焦点的距离之比为2∶1，则此椭圆离心率的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,3)))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))(1)B(2)D[(1)∵椭圆方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1，∴a＝3，c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(9－4)＝eq\r(5).∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),3).故选B.(2)设P到两个焦点的距离分别为2k，k，依据椭圆定义可知：3k＝2a，又结合椭圆的性质可知，椭圆上的点到两个焦点距离之差的最大值为2c，即k≤2c，∴2a≤6c，即e≥eq\f(1,3).又∵0<e<1，∴eq\f(1,3)≤e<1.]►考法2依据椭圆的性质求参数的取值范围问题【例2】(1)已知椭圆eq\f(x2,m－2)＋eq\f(y2,10－m)＝1的长轴在x轴上，焦距为4，则m等于()A．8B．7C．6D．5(2)(2024·合肥质检)如图，焦点在x轴上的椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,b2)＝1的离心率e＝eq\f(1,2)，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上随意一点，则eq\o(PF,\s\up13(→))·eq\o(PA,\s\up13(→))的最大值为________．(1)A(2)4[(1)∵椭圆eq\f(x2,m－2)＋eq\f(y2,10－m)＝1的长轴在x轴上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－2＞0，,10－m＞0，,m－2＞10－m，))解得6＜m＜10.∵焦距为4，∴c2＝m－2－10＋m＝4，解得m＝8.(2)由题意知a＝2，因为e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，所以c＝1，b2＝a2－c2＝3.故椭圆方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.设P点坐标为(x0，y0)．所以－2≤x0≤2，－eq\r(3)≤y0≤eq\r(3).因为F(－1,0)，A(2,0)，eq\o(PF,\s\up13(→))＝(－1－x0，－y0)，eq\o(PA,\s\up13(→))＝(2－x0，－y0)，所以eq\o(PF,\s\up13(→))·eq\o(PA,\s\up13(→))＝xeq\o\al(2,0)－x0－2＋yeq\o\al(2,0)＝eq\f(1,4)xeq\o\al(2,0)－x0＋1＝eq\f(1,4)(x0－2)2.当x0＝－2时，eq\o(PF,\s\up13(→))·eq\o(PA,\s\up13(→))取得最大值4.][规律方法]1.求椭圆离心率的方法(1)干脆求出a，c的值，利用离心率公式干脆求解．(2)列出含有a，b，c的齐次方程或不等式，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程或不等式求解．2．利用椭圆几何性质求参数的值或范围的思路求解与椭圆几何性质有关的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系．建立关于a、b、c的方程或不等式．(1)已知F1，F2分别是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，若椭圆C上存在点P，使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2，则椭圆C离心率的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(\r(2),2)))C．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))(2)已知焦点在x轴上的椭圆C：eq\f(x2,a2)＋y2＝1(a>0)，过右焦点作垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，且|AB|＝1，则该椭圆的离心率为________．(1)C(2)eq\f(\r(3),2)[(1)如图所示，∵线段PF1的中垂线经过F2，∴|PF2|＝|F1F2|＝2c，即椭圆上存在一点P，使得|PF2|＝2c，∴a－c≤2c≤a＋c.∴e＝eq\f(c,a)∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1)).(2)因为椭圆eq\f(x2,a2)＋y2＝1(a>0)的焦点在x轴上，所以c＝eq\r(a2－1)，又过右焦点且垂直于x轴的直线为x＝c，将其代入椭圆方程中，得eq\f(c2,a2)＋y2＝1，则y＝±eq\r(1－\f(c2,a2))，又|AB|＝1，所以2eq\r(1－\f(c2,a2))＝1，得eq\f(c2,a2)＝eq\f(3,4)，所以该椭圆的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)(负值舍去)．]直线与椭圆的位置关系【例3】已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点．[解]将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x＋m，①,\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1，②))将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.(1)当Δ>0，即－3eq\r(2)<m<3eq\r(2)时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m＝±3eq\r(2)时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个相互重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．(3)当Δ<0，即m<－3eq\r(2)或m>3eq\r(2)时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．[规律方法]直线与椭圆的位置关系的类型及解题方法(1)类型：一是推断位置关系；二是依据位置关系确定参数的取值范围．(2)解题方法：一是联立方程，借助一元二次方程的判别式Δ来推断，二是借助几何性质来推断，如下面的跟踪训练．直线y＝kx－1与椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,a)＝1相切，则k，a的取值范围分别是()A．a∈(0,1)，k∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))B．a∈(0,1]，k∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))C．a∈(0,1)，k∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))D．a∈(0,1]，k∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))B[∵直线y＝kx－1是椭圆的切线，且过点(0，－1)，∴点(0，－1)必在椭圆上或其外部，∴a∈(0,1]．由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,\f(x2,4)＋\f(y2,a)＝1))消去x，得(a＋4k2)y2＋2ay＋a－4ak2＝0.∵直线和椭圆相切，∴Δ＝(2a)2－4(a＋4k2)(a－4ak2)＝16ak2(a－1＋4k2)＝0，∴k＝0或a＝1－4k2.∵0＜a≤1，∴0＜1－4k2≤1，∴k2＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up10(2)，∴k∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))]1．(2024·全国卷Ⅰ)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,4)＝1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C．eq\f(\r(2),2)D．eq\f(2\r(2),3)C[不妨设a>0，因为椭圆C的一个焦点为(2,0)，所以c＝2，所以a2＝4＋4＝8，所以a＝2eq\r(2)，所以椭圆C的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2).]2．(2024·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为()A．1－eq\f(\r(3),2) B．2－eq\r(3)C．eq\f(\r(3)－1,2) D．eq\r(3)－1D[由题设知∠F1PF2＝90°，∠PF2F1＝60°，|F1F2|＝2c，所以|PF2|＝c，|PF1|＝eq\r(3)c.由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a，即eq\r(3)c＋c＝2a，所以(eq\r(3)＋1)c＝2a，故椭圆C的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,\r(3)＋1)＝eq\r(3)－1.故选D．]3．(2024·全国卷Ⅰ)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的eq\f(1,4)，则该椭圆的离心率为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C．eq\f(2,3)D．eq\f(3,4)B[不妨设直线l经过椭圆的一个顶点B(0，b)和一个焦点F(c,0)，则直线l的方程为eq\f(x,c)＋eq\f(y,b)＝1，即bx＋cy－bc＝0.由题意知eq\f(|－bc|,\r(b2＋c2))＝eq\f(1,4)×2b，解得eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，