圆的有关性质-垂直于弦的直径（全国赛课公开课一等奖）课件-九年级数学新人教版上册

人教版九年级上册垂直于弦的直径

熊宝宝要过生日了！要把蛋糕平均分成四块，你会分吗？教学目标010203进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.

灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.01重点：能初步应用垂径定理进行计算和证明.02难点：理解圆的轴对称性及垂径定理的推导.重难点引入新课3.我们所学过的图形中，哪些图形既是轴对称图形又是中心对称图形？2.什么是中心对称图形？我们学过哪些中心对称图形？在平面内，如果一个图形沿一条直线对折,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫轴对称图形。1.什么是轴对称图形？我们学过哪些轴对称图形？在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。线段、矩形、正方形、角、菱形、等腰三角形.线段、矩形、正方形、菱形、平行四边形.线段、矩形、正方形、菱形.复习提问：赵州桥37m7.23m你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？观察思考赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.01圆的对称性

由此你能得到圆的什么特性？活动

不借助任何工具，你能找到圆形纸片的圆心吗?

?圆的轴对称性知识点折一折：你能通过折叠的方式找到圆形纸片的对称轴吗？在折的过程中你有何发现？观察思考

把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？

圆的对称性

圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴.●O说一说（2）如何来证明圆是轴对称图形呢？O圆是中心对称图形吗?它的对称中心在哪里?·圆是中心对称图形它的对称中心是圆心.探究：圆的中心对称性圆绕圆心旋转任意角度，都能够与原来的图形重合.圆具有旋转不变性圆的对称性：1、圆是轴对称图形，有无数条对称轴，其对称轴是任意一条过圆心的直线。2、圆是中心对称图形，对称中心是圆心。BOACDE

是轴对称图形．大胆猜想已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E．【思考】左图是轴对称图形吗？满足什么条件才能证明圆是轴对称图形呢？你能用数学方法证明刚才的结论吗？

如图，AB是⊙O的任一条直径，C是⊙O上点A,B以外任意一点.∵在△OCD中，OC=OD.∴△OCD是等腰三角形∵OE⊥CD∴CE=ED即AB是CD的垂直平分线。这就是说对于圆上任意一点C，在圆上都有关于直线AB的对称点D，因此⊙O关于直线AB对称。·OCBEAD过点C作CD⊥AB，交⊙O于点D，垂足为E.连接OC,OD.02垂径定理

如图，AB是⊙O的一条弦,直径CD⊥AB,垂足为E.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧?为什么?线段:AE=BE?弧:AC=BC,AD=BD?⌒⌒⌒⌒理由：

把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC和BC,AD与BD重合．⌒⌒⌒⌒·OABDEC垂径定理及其推论知识点CD是⊙O的一条弦，直径AB⊥CD，垂足为E.求证：CE=DE⌒⌒AC=AD⌒⌒

BC=BD.ABCDOE分析：要证CE=DE，只要证CE,DE构成的三角形全等.要证，只需证明C点与D点关于直径AB对称.⌒⌒AC=AD⌒⌒

BC=BD同位讨论同位讨论CD是⊙O的一条弦，直径AB⊥CD，垂足为E.求证：CE=DE⌒⌒AC=AD⌒⌒

BC=BD.ABCDOE证明：连接OC,OD,则OC=OD.在Rt△OCE和Rt△ODE中：

______________________________________∴Rt△OCE≌Rt△ODE（）∴CE=_____∴点_____和点_____关于AB对称.∵⊙O关于AB对称.∴当圆沿着直线AB对折时，点C与点D重合，重合，重合.

∴_________,________________,________________.OE=OEOC=ODHLDECD⌒⌒AC与AD⌒⌒

BC与BDCE=DEAC=AD⌒⌒

BC=BD⌒⌒探究OAA'M直径CD平分弦AA'，且平分，.AM=A'MCD点A与点A'重合；AM与A'M重合；与

重合；与重合.在刚刚的证明过程中，你能发现图中有哪些相等的线段、弧吗？垂径定理·OABCDE垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.∵

CD是直径，CD⊥AB.∴

AE=BE⌒⌒AC

=BC⌒⌒AD=BD推导格式：温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.题设：①CD是⊙O直径②CD

AB①直径②垂直于弦ECOABD垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.结论：①平分弦②平分弦所对的两条弧①AE

BE②探究：垂径定理的三种语言定理

垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧.●OABCDM└CD⊥AB∵CD是直径∴AM=BM⌒⌒

AC=BC⌒⌒

AD=BD.条件①一条直径②垂直于弦③直径平分弦④平分弦所对的劣弧结论⑤平分弦所对的优弧判断下列图是否是表示垂径定理的图形。是不是，因为没有垂直是练一练是是注意：垂径定理中的垂径可以是

、半径或过圆心的直线或

，其本质是“过圆心”直径线段抢答想一想怎样修改图（2）、（4）能够满足垂径定理的条件？ECOABDECOABDCOAB（1）（2）（3）（4）DOABCCOABEOABD垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.过圆心垂径定理的几个基本图形：ABOCDEABOEDABOCABODC

归纳总结03垂径定理推论如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？想一想·OCEABD

举例证明其中一种组合方法.已知:求证：②AB⊥CD垂足为E

③CE=DE④AC=AD⑤BC=BD⌒⌒⌒⌒·OCEABD小组讨论①AB是直径举例证明其中一种组合方法.已知:求证：②AB⊥CD，垂足为E

③CE=DE④AC=AD⑤BC=BD⌒⌒⌒⌒·OCEABD小组讨论①AB是直径思考：CD可以是直径吗？CDCDD

举例证明其中一种组合方法.已知:求证：②AB⊥CD，垂足为E

③CE=DE（CD不是直径）④AC=AD⑤BC=BD⌒⌒⌒⌒·OCEABD小组讨论①AB是直径如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.（1）CD⊥AB吗？为什么？（2）BD（2）由垂径定理可得AC=BC，AD=BD.⌒⌒⌒⌒（1）连接AO,BO,则AO=BO.又AE=BE，

OE=OE.∴△AOE≌△BOE（SSS）.∴∠AEO=∠BEO=90°.∴CD⊥AB.证明举例⌒AC与BC相等吗？AD与BD相等吗？为什么？⌒⌒⌒DOABEC证明：垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。∵①AB是直径②CE=DE且CD不是直径符号语言：∴③AB⊥CD④AC=AD⑤BC=BD.⌒⌒⌒⌒归纳总结·OCEABD思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如不能，请举出反例.

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.垂径定理的推论·OABCD特别说明：圆的两条直径是互相平分的.归纳总结思考当直径CD平分一条弦AB(不是直径)时，能否得出CD

AB?OABCDE垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.为什么？圆的任意两条直径都互相平分，但它们不一定互相垂直.想一想判断下列说法是否正确：1.垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的两条弧.2.平分弦的直径垂直于弦.COABDECOABD3.平分一条直径的弦必垂直于这条直径.过圆心不是直径延伸垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.①过圆心②垂直于弦③平分弦④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧.④平分弦所对的弧①②→③④⑤①③→②④⑤还有别的结论吗？如：①④→②③⑤？延伸①过圆心

②垂直于弦

③平分弦④平分弦所对的优弧

⑤平分弦所对的劣弧.条件结论①②③④⑤垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.①③②④⑤平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.①④②③⑤①⑤②③④平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分这条弦，并且平分弦所对的另一条弧.②③①⑤④弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧.………………知二推三04垂径定理的应用例如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=

cm.·OABE解析：连接OA，∵OE⊥AB.∴AB=2AE=16cm.16∴cm.考点垂径定理及其推论的计算

如图，⊙

O的弦AB＝8cm，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长.·OABECD解：连接OA，∵

CE⊥AB于D.∴.设OC=xcm，则OD=x-2.根据勾股定理，得.解得x=5即半径OC的长为5cm.x2=42+(x-2)2例已知：⊙O中弦AB∥CD求证：AC＝BD.⌒⌒.MCDABON证明：作直径MN⊥AB.∵AB∥CD，∴MN⊥CD.则AM＝BM，CM＝DM.（垂直于弦的直径平分弦所对的弧）

AM－CM＝BM－DM.∴AC＝BD.⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒平行弦夹的弧相等利用垂径定理及推论证明相等考点

解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距（垂线段），或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.归纳总结OOOAAABBBCCDEMN如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E.求证:四边形ADOE是正方形．D·OABCE又∵AC=AB.∴AE

=AD.∴四边形ADOE为正方形.证明：∵OE⊥AC，OD⊥AB，AB⊥AC.∴∠OEA=∠EAD=∠ODA=90°.∴四边形ADOE为矩形，AE=AC,AD=AB.试一试：根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出引入中赵州桥主桥拱半径的问题吗?垂径定理的实际应用解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.∴AB=37m，CD=7.23m.解得R≈27.3（m）.即主桥拱半径约为27.3m.=18.52+(R-7.23)2

∴AD=AB=18.5mOD=OC-CD=R-7.23.OA2=AD2+OD2

如图a、b,一弓形弦长为cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为＿＿＿____＿.C

DCBOADOAB图a图b2cm或12cm练一练：

在圆中有关弦长a,半径r,弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.涉及垂径定理时辅助线的添加方法弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：弓形中重要数量关系d+h=r

OABC·归纳总结ABCDOhrd随堂练习1.

在⊙O中，若CD

AB于M，AB为直径，则下列结论不正确的是().

A.

B.

C.AM

OM

D.CM

DMMAOCDBC2.

已知⊙O的直径AB10，弦CD

AB于M，OM3，则CD

.MAOCDB85343.

在⊙O中，弦CD

AB于M，AB为直径，若CD10，

AM1，则⊙O的半径为

.MBOCDAr15r1(r

1)252

r213解决有关弦的问题时，半径是常用的一种辅助线的添法．往往结合勾股定理计算.4.⊙O的半径为13cm，AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离.MAOCDBN解：过点O向AB，CD作垂线，垂足分别为M，N，连接OB，OD.由垂径定理可得：

BM

AB12cm，DN

CD5cm.

又∵OB

OD13cm

在Rt△OBM，Rt△ODN中.

由勾股定理得：OM5cm，ON12cm.

∴AB和CD之间的距离MN

OM

ON7cm

或MN

OM

ON17cmMNOACDB分类讨论已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆