2024-2025学年下学期初中数学北师大新版八年级期中必刷常考题之图形的旋转

第25页（共25页）2024-2025学年下学期初中数学北师大新版八年级期中必刷常考题之图形的旋转一．选择题（共5小题）1．（2024秋•大兴区期末）如图，在△ABC中，∠CAB＝70°，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转α得到△AB'C'，且C'C∥AB，则α的度数为（）A．20° B．35° C．40° D．55°2．（2024秋•临淄区期末）如图4×4的正方形网格中，其中一个三角形①绕某点旋转一定的角度，得到三角形②，则其旋转中心是（）A．点A B．点B C．点C D．点D3．（2024秋•曲阜市期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝35°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A'B'C，使点A'恰好落在AB上，则旋转角度为（）A．35° B．55° C．70° D．90°4．（2024秋•沂源县期末）下列说法正确的是（）A．平移和旋转都不改变图形的大小和位置，只是形状发生了变化 B．平移和旋转都不改变图形的位置和形状，只是大小发生了变化 C．平移和旋转都不改变图形的大小和形状，只是位置发生了变化 D．平移和旋转都不改变图形的大小、形状和位置5．（2024秋•沙坪坝区校级期末）如图，∠CAB＝25°，∠ABC＝40°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AED，连接CD，若点D，C，B在同一条直线上，则∠BDE的度数为（）A．65° B．60° C．55° D．50°二．填空题（共5小题）6．（2024秋•张店区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝4，点P是边BC上一动点，连接AP，将AP绕点A顺时针旋转60°得到AQ，连接CQ，则CQ长的最小值为．7．（2024秋•招远市期末）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，将线段CD绕点C逆时针旋转90°后得到CE，连接BE，若∠ABE的度数为80°，则∠BAD的度数为．8．（2024秋•沂源县期末）如图，在正方形网格中，线段A′B′是线段AB绕某点逆时针旋转α得到的，点A′与点A对应，则α的大小为．9．（2024秋•邗江区期末）如图，已知△ABC是直角三角形，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，现在将CA绕着点A逆时针旋转90°到DA，将BA绕着点A顺时针旋转90°到EA，连接DE，则点A到直线DE的距离为cm．10．（2024秋•桃城区校级期末）一副三角板按图1方式拼接在一起，其中边OA，OC与直线EF重合，∠AOB＝45°，∠COD＝60°，保持三角板COD不动，将三角板AOB绕着点O顺时针旋转一个角度α，（如图2），在转动过程中两块三角板都在直线EF的上方，当OB平分由OA，OC，OD其中任意两边组成的角时，α的值为．三．解答题（共5小题）11．（2024秋•广饶县期末）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，0），C（0，0）．（1）画出将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；（2）画出将△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到△A2B2O；（3）在x轴上存在一点P，满足点P到A1与点A2距离之和最小，请直接写出P点的坐标．12．（2024秋•三河市期末）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）．（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C；（2）平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为（0，﹣4），画出平移后对应的△A2B2C2；（3）若将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2；请直接写出旋转中心的坐标；（4）在x轴上找一点P，使PA+PB最短，直接写出P点坐标．13．（2024秋•高青县期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，AD＝5，BE＝2，求线段DE的长．14．（2024秋•淄川区期末）如图，方格纸上每个小方格的边长都是1，△ABC与△A1B1C1成中心对称．（1）画出对称中心O；（2）画出将△A1B1C1向上平移6个单位长度得到的△A2B2C2；（3）△A2B2C2绕点C2按顺时针方向至少旋转多少度，才能与△CC1C2重合？15．（2024秋•东城区期末）如图，在等边△ABC中，D为AB上一点，连接CD，E为线段CD上一点（CE＞DE），将线段CE绕点C顺时针旋转60°得到线段CF，连接AF．（1）求证：BE＝AF；（2）点G为BC延长线上一点，连接AG交CF于点M．若M为AG的中点，用等式表示线段CE，MF，DE之间的数量关系，并证明．

2024-2025学年下学期初中数学北师大新版八年级期中必刷常考题之图形的旋转参考答案与试题解析题号12345答案CBCCD一．选择题（共5小题）1．（2024秋•大兴区期末）如图，在△ABC中，∠CAB＝70°，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转α得到△AB'C'，且C'C∥AB，则α的度数为（）A．20° B．35° C．40° D．55°【考点】旋转的性质；平行线的性质．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【答案】C【分析】由旋转的性质可得AC＝AC'，∠BAB'＝∠CAC'＝α，可得∠ACC'＝∠AC'C＝70°，即可求解．【解答】解：∵C'C∥AB，∴∠CAB＝∠ACC'＝70°，∵将△ABC绕点A逆时针旋转α得到△AB'C'，∴AC＝AC'，∠BAB'＝∠CAC'＝α，∴∠ACC'＝∠AC'C＝70°，∴∠CAC'＝40°＝α，故选：C．【点评】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．2．（2024秋•临淄区期末）如图4×4的正方形网格中，其中一个三角形①绕某点旋转一定的角度，得到三角形②，则其旋转中心是（）A．点A B．点B C．点C D．点D【考点】旋转的性质．【专题】平移、旋转与对称．【答案】B【分析】根据旋转的性质，找出两组对应顶点的连线的垂直平分线，交点即为旋转中心．【解答】解：如图：作出三角形①和三角形②两组对应点所连线段的垂直平分线的交点B为旋转中心．故选：B．【点评】本题考查了旋转的性质，主要利用了旋转中心的确定，是基础题，比较简单．3．（2024秋•曲阜市期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝35°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A'B'C，使点A'恰好落在AB上，则旋转角度为（）A．35° B．55° C．70° D．90°【考点】旋转的性质．【专题】平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．【答案】C【分析】由∠ACB＝90°，∠ABC＝35°，得∠A＝55°，由旋转得A′C＝AC，则∠CA′A＝∠A＝55°，所以∠ACA′＝180°﹣∠CA′A﹣∠A＝70°，于是得到问题的答案．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝35°，∴∠A＝90°﹣∠ABC＝90°﹣35°＝55°，由旋转得A′C＝AC，∴∠CA′A＝∠A＝55°，∴∠ACA′＝180°﹣∠CA′A﹣∠A＝180°﹣55°﹣55°＝70°，∴旋转角度为70°，故选：C．【点评】此题重点考查旋转的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质等知识，证明A′C＝AC并且求得∠CA′A＝∠A＝55°是解题的关键．4．（2024秋•沂源县期末）下列说法正确的是（）A．平移和旋转都不改变图形的大小和位置，只是形状发生了变化 B．平移和旋转都不改变图形的位置和形状，只是大小发生了变化 C．平移和旋转都不改变图形的大小和形状，只是位置发生了变化 D．平移和旋转都不改变图形的大小、形状和位置【考点】旋转的性质；平移的性质．【答案】C【分析】本题考查平移、旋转的共同性质：变换前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．【解答】解：平移和旋转的共同特点是：图形的形状、大小不发生变化，位置发生变化，A、形状发生了变化，错误；B、大小发生了变化，错误；D、平移和旋转都不改变图形的大小、形状和位置，错误；正确说法为C．故选C．【点评】平移、旋转、翻折是三种全等的图形变换，是“等大”的变换，只有位置上的不同，变换的方式不同．5．（2024秋•沙坪坝区校级期末）如图，∠CAB＝25°，∠ABC＝40°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AED，连接CD，若点D，C，B在同一条直线上，则∠BDE的度数为（）A．65° B．60° C．55° D．50°【考点】旋转的性质．【专题】平移、旋转与对称；几何直观．【答案】D【分析】由题意得∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝115°，∠ACD＝∠CAB+∠ABC＝65°．由旋转得，∠ADE＝∠ACB＝115°，AD＝AC，则∠ADC＝∠ACD＝65°，再根据∠BDE＝∠ADE﹣∠ADC可得答案．【解答】解：∵∠CAB＝25°，∠ABC＝40°，∴∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝115°，∵点D，C，B在同一条直线上，∴∠ACD＝∠CAB+∠ABC＝65°．由旋转得，∠ADE＝∠ACB＝115°，AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD＝65°，∴∠BDE＝∠ADE﹣∠ADC＝50°．故选：D．【点评】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．二．填空题（共5小题）6．（2024秋•张店区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝4，点P是边BC上一动点，连接AP，将AP绕点A顺时针旋转60°得到AQ，连接CQ，则CQ长的最小值为2．【考点】旋转的性质；垂线段最短；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．【专题】平移、旋转与对称；运算能力．【答案】2．【分析】在AB上截取AD＝AC，连接DP，过点D作DE⊥BC于点E，证明△CAQ≌△DAP（SAS），得出CQ＝DP，结合垂线段最短可知当点P与点E重合时，DP最短，即CQ最小，且为DE的长．最后根据含30度角的直角三角形的性质求解即可．【解答】解：在AB上截取AD＝AC＝4，连接DP，过点D作DE⊥BC于点E，如图，由题意可得：∠CAB＝90°﹣30°＝60°．由旋转的性质可得：AQ＝AP，∠PAQ＝60°，∴∠CAB﹣∠CAP＝∠PAQ﹣∠CAP，即∠CAQ＝∠PAD，又∵AD＝AC，AQ＝AP，∴△CAQ≌△DAP（SAS），∴CQ＝DP，∴当DP最短时，CQ最小．∴当点P与点E重合时，DP最短，即为DE的长．∵AC＝4，∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴AB＝2AC＝8，∴BD＝AB﹣AD＝8﹣4＝4．∵DE⊥BC，∴∠BED＝90°，∵∠B＝30°，∴DE=故答案为：2．【点评】本题考查三角形全等的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，垂线段最短．正确作出辅助线，构造全等三角形是解题关键．7．（2024秋•招远市期末）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，将线段CD绕点C逆时针旋转90°后得到CE，连接BE，若∠ABE的度数为80°，则∠BAD的度数为10°．【考点】旋转的性质．【专题】平移、旋转与对称．【答案】10°．【分析】根据题意可得出∠EBC＝35°，再证明△BEC≌△ADC（SAS），利用全等转化角即可求解．【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝45°，∵∠ABE＝80°，∴∠EBC＝∠ABE﹣∠ABC＝80°﹣45°＝35°，∵∠BCE+∠BCD＝∠ECD＝90°，∠BCD+∠ACD＝∠BCA＝90°，∴∠BCE＝∠ACD，由题意得，CE＝CD，在△BEC和△ADC中，BC=∴△BEC≌△ADC（SAS），∴∠DAC＝∠EBC＝35°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝45°﹣35°＝10°，故答案为：10°．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定、等腰直角三角形的性质、旋转的性质，解决问题的关键是利用旋转性质得到全等判定的条件，利用全等转化角解决问题．8．（2024秋•沂源县期末）如图，在正方形网格中，线段A′B′是线段AB绕某点逆时针旋转α得到的，点A′与点A对应，则α的大小为90°．【考点】旋转的性质．【专题】平移、旋转与对称．【答案】见试题解答内容【分析】如图：连接AA′，BB′，作线段AA′，BB′的垂直平分线交点为O，点O即为旋转中心．连接OA，OB′，∠AOA′即为旋转角．【解答】解：如图：连接AA′，BB′，作线段AA′，BB′的垂直平分线交点为O，点O即为旋转中心．连接OA，OB′∠AOA′即为旋转角，∴旋转角为90°故答案为：90°【点评】本题考查了旋转的性质，解题的关键是能够根据题意确定旋转中心的知识，难度不大．9．（2024秋•邗江区期末）如图，已知△ABC是直角三角形，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，现在将CA绕着点A逆时针旋转90°到DA，将BA绕着点A顺时针旋转90°到EA，连接DE，则点A到直线DE的距离为61313【考点】旋转的性质；点到直线的距离；全等三角形的判定与性质．【专题】平移、旋转与对称；运算能力．【答案】613【分析】如图，过点A作AT⊥DE于点T，过点D作DH⊥EA交EA的延长线于点H，过点C作CJ⊥AB于点J．利用全等三角形的性质求出DH，AH，利用勾股定理求出DE，再利用面积法求解．【解答】解：如图，过点A作AT⊥DE于点T，过点D作DH⊥EA交EA的延长线于点H，过点C作CJ⊥AB于点J．∵∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，∴AB=AC2+∵12•AC•BC=12•AB∴CJ=125（∴AJ=AC2-CJ2=32-(125)2=∵∠DAC＝∠HAJ＝90°，∴∠DAH＝∠CAJ，∵AD＝AC，∠DHA＝∠AJC＝90°，∴△DHA≌△CJA（AAS），∴DH＝CJ=125cm，AH＝AJ=∴EH＝AH+AE＝5+95=∴DE=DH2+E∵12•DE•AT=12•AE∴AT=5×125故答案为：613【点评】本题考查旋转性质，点到直线的距离，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．10．（2024秋•桃城区校级期末）一副三角板按图1方式拼接在一起，其中边OA，OC与直线EF重合，∠AOB＝45°，∠COD＝60°，保持三角板COD不动，将三角板AOB绕着点O顺时针旋转一个角度α，（如图2），在转动过程中两块三角板都在直线EF的上方，当OB平分由OA，OC，OD其中任意两边组成的角时，α的值为30°或90°或105°．【考点】旋转的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．【答案】见试题解答内容【分析】根据旋转的性质和已知条件以及角平分线的定义即可得到结论．【解答】解：当OB平分∠AOD时，∵∠AOE＝α，∠COD＝60°，∴∠AOD＝180°﹣∠AOE﹣∠COD＝120°﹣α，∴∠AOB=12∠AOD＝60°-12∴α＝30°，当OB平分∠AOC时，∵∠AOC＝180°﹣α，∴∠AOB＝90°-12α＝∴α＝90°；当OB平分∠DOC时，∵∠DOC＝60°，∴∠BOC＝30°，∴α＝180°﹣45°﹣30°＝105°，综上所述，旋转角度α的值为30°或90°或105°；故答案为：30°或90°或105°．【点评】本题考查了旋转的性质，角的计算，角平分线的定义，正确的理解题意是解题的关键．三．解答题（共5小题）11．（2024秋•广饶县期末）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，0），C（0，0）．（1）画出将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；（2）画出将△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到△A2B2O；（3）在x轴上存在一点P，满足点P到A1与点A2距离之和最小，请直接写出P点的坐标．【考点】作图﹣旋转变换；轴对称﹣最短路线问题；作图﹣平移变换．【专题】作图题；几何直观．【答案】（1）（2）作图见解析部分；（3）作图见解析部分，P（165，0【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；（2）利用旋转变换的性质分别作出A，B的对应点A2，B2即可；（3）作点A2关于x轴的对应点A′，连接A′A1交x轴于点P，点P即为所求．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，△A2B2O即为所求；（3）如图，点P即为所求，P点的坐标（165，0【点评】本题考查作图﹣平移变换，旋转变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质．12．（2024秋•三河市期末）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）．（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C；（2）平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为（0，﹣4），画出平移后对应的△A2B2C2；（3）若将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2；请直接写出旋转中心的坐标；（4）在x轴上找一点P，使PA+PB最短，直接写出P点坐标．【考点】作图﹣旋转变换；轴对称﹣最短路线问题；作图﹣平移变换．【专题】作图题；几何直观．【答案】见试题解答内容【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出A，B的对应点A1，B1即可；（2）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可；（3）对应点连线的交点Q即为旋转中心；（4）作点A关于x轴的对称点A′，连接BA′交x轴于点P，点P即为所求．【解答】解：（1）如图，△A1B1C即为所求；（2）如图，△A2B2C2即为所求；（3）将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，旋转中心Q的坐标（1.5，﹣1）；（4）如图，点P即为所求，P点坐标（﹣2，0）．【点评】本题考查作图﹣旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质，属于中考常考题型．13．（2024秋•高青县期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，AD＝5，BE＝2，求线段DE的长．【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．【答案】见试题解答内容【分析】（1）①由已知推出∠ADC＝∠BEC＝90°，因为∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，推出∠DAC＝∠BCE，根据AAS即可得到答案；②由①得到AD＝CE，CD＝BE，即可求出答案；（2）与（1）证法类似可证出∠ACD＝∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD＝CE，CD＝BE，代入已知即可得到答案．【解答】（1）①证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠BCE，在△ADC和△CEB中，∠CDA∴△ADC≌△CEB（AAS）；②证明：由（1）知：△ADC≌△CEB，∴AD＝CE，CD＝BE，∵DC+CE＝DE，∴AD+BE＝DE；（2）证明：∵BE⊥EC，AD⊥CE，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠EBC+∠ECB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ECB+∠ACE＝90°，∴∠ACD＝∠EBC，在△ADC和△CEB中，∠ACD∴△ADC≌△CEB（AAS），∴AD＝CE，CD＝BE，∴DE＝EC﹣CD＝AD﹣BE＝5﹣2＝3．【点评】本题主要考查了邻补角的意义，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证出符合全等的条件是解此题的关键，题型较好，综合性比较强．14．（2024秋•淄川区期末）如图，方格纸上每个小方格的边长都是1，△ABC与△A1B1C1成中心对称．（1）画出对称中心O；（2）画出将△A1B1C1向上平移6个单位长度得到的△A2B2C2；（3）△A2B2C2绕点C2按顺时针方向至少旋转多少度，才能与△CC1C2重合？【考点】作图﹣旋转变换；作图﹣平移变换．【专题】平移、旋转与对称；几何直观．【答案】见试题解答内容【分析】（1）连接AA1，BB1，CC1，交点即为对称中心O．（2）根据平移的性质作图即可．（3）根据旋转的性质可得答案．【解答】解：（1）连接AA1，BB1，CC1，交于点O，则点O即为所求．（2）如图，△A2B2C2即为所求．（3）连接CC2，C1C2，由图可知，△A2B2C2绕点C2按顺时针方向至少旋转90°，才能与△CC1C2重合．【点评】本题考查作图﹣旋转变换、平移变换，熟练掌握旋转的性质、平移的性质是解答本题的关键．15．（2024秋•东城区期末）如图，在等边△ABC中，D为AB上一点，连接CD，E为线段CD上一点（CE＞DE），将线段CE绕点C顺时针旋转60°得到线段CF，连接AF．（1）求证：BE＝AF；（2）点G为BC延长线上一点，连接AG交CF于点M．若M为AG的中点，用等式表示线段CE，MF，DE之间的数量关系，并证明．【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力．【答案】（1）证明见解答；（2）CE＝2MF+DE，证明见解答．【分析】（1）由等边三角形的性质得BC＝AC，∠ACB＝60°，由旋转得CE＝CF，∠FCE＝60°，则∠BCE＝∠ACF＝60°﹣∠ACE，即可根据“SAS”证明△BCE≌△ACF，则BE＝AF；（2）作AH∥BC交CF的延长线于点H，则∠H＝∠GCM，∠CAH＝∠ACB＝60°，而AM＝GM，∠AMH＝∠GMC，即可根据“AAS”证明△AMH≌△GMC，得HM＝CM，再根据“ASA”证明△BCD≌△ACH，得CD＝CH，所以DE＝HF，因为CF＝2MF+DE，所以CE＝2MF+DE．【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AC，∠ACB＝60°，∵将线段CE绕点C顺时针旋转60°得到线段CF，∴CE＝CF，∠FCE＝60°，∴∠BCE＝∠ACF＝60°﹣∠ACE，∴△BCE≌△ACF（SAS），∴BE＝AF．（2）解：CE＝2MF+DE，证明方法一：作AH∥BC交CF的延长线于点H，则∠H＝∠GCM，∠CAH＝∠ACB＝60°，∵M为AG的中点，∴AM＝GM，∵∠AMH＝∠GMC，∴△AMH≌△GMC（AAS），∴HM＝CM，∵∠CBD＝60°，∴∠CBD＝∠CAH，由旋转得∠BCD＝∠ACH，∵BC＝AC，∴△BCD≌△ACH（ASA），∴CD＝CH，∵CE＝CF，∴CD﹣CE＝CH﹣CF，∴DE＝HF，∵CF＝MF+CM＝MF+HM＝MF+MF+HF＝2MF+DE，∴CE＝2MF+DE．证明方法二：在MC上取一点N，使MN＝MF，连接CN，∵M为AG的中点，∴AM＝MG，∵∠AMF＝∠GMN，MF＝MN，∴△AMF≌△GMN（SAS），∴AF＝GN，∠AFM＝∠GNM，由（1）得△BCE≌△ACF，∴∠BEC＝∠AFC，∵∠BED+∠BEC＝180°，∠GNC+∠MNG＝180°，∴∠BED＝∠GNC，∵∠BDE＝120°﹣∠BCD，∠NCG＝120°﹣∠BCD，∴∠BDE＝∠NCG，∵BE＝GN，∴△BDE≌△GNN（AAS），∴DE＝CN，∴CE＝CF＝FN+CN＝2MF+DE．【点评】此题重点考查等边三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．

考点卡片1．垂线段最短（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．（2）垂线段的性质：垂线段最短．正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．2．点到直线的距离（1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．（2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形．3．平行线的性质1、平行线性质定理定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．2、两条平行线之间的距离处处相等．4．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．5．等边三角形的性质（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．（