2024-2025学年下学期初中数学北师大新版九年级期中必刷常考题之三角函数的应用

第23页（共23页）2024-2025学年下学期初中数学北师大新版九年级期中必刷常考题之三角函数的应用一．选择题（共5小题）1．（2024秋•莱州市期末）2024年我国粮食产量首次突破1.4万亿斤，秋粮收购点全面开放收粮，某收购点用输送带AB把粮袋从地面输送到高处，若输送带的坡度i=34，输送带的长度AB＝20米．①用计算器求输送带AB部分与地面的夹角，要求结果以“度、分、秒”为单位，按键顺序为：；②一袋粮食从底部输送到顶部，升高了12米；③坡角为∠B；④A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2024秋•城关区校级期末）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC＝25cm，∠ABC＝α，则高AD为（）cm．A．25tanα B．50cosα C．25tanα D．25sin3．（2024秋•南关区校级期末）2024年11月19日，长春四大滑雪场之一的天定山滑雪场举行了开板首滑仪式，标志着长春市2024﹣2025新雪季正式开始．如图，是一条坡角为18°的滑雪道，滑雪道AC长为500米，则滑需道的坡顶到坡底的竖直高度AB的长为（）A．500sin18°米 B．500sin18°C．500cos18°米 D．500cos4．（2024秋•宛城区期末）一束光从空气中以不同的角度射入水中，会发生反射和折射现象，如图1是光束在空水中的径迹，如图2，现将一束光以一定的入射角α(tanα=43)射入水面GK，此时反射光线与折射光线夹角恰为90°，直线l为法线，A、O、D三点共线，若水深OEA．2m B．4m C．74m D5．（2024秋•聊城期末）如图，当太阳光线与地面成60°的角时，测得空中热气球在地面上的影长是10m，则热气球的直径是（）A．20m B．103m C．53m 二．填空题（共5小题）6．（2024秋•湘潭期末）如图是传送带和水平地面所成斜坡的示意图．若该传送带把某物体从地面传送到离地面10米高的地方，该物体所经过的路程恰好是20米，那么传送带和地面所成斜坡的坡度i为（答案写成1：m的形式）．7．（2024秋•榆树市期末）如图，一个小球由地面沿着坡度为i＝3：4的坡面向上前进了25cm，则此时小球水平方向前进的距离是cm．8．（2024秋•海陵区期末）如图，一辆汽车在坡度i＝1：2（即tanα=12)的斜坡上沿斜坡前进了100米，则该汽车竖直方向升高了9．（2024秋•冷水江市期末）如图，将圆桶中的水倒入一个直径为4dm，高为5dm的圆口容器中，放置时圆桶顶部与水平线的夹角为60°，且容器中的水面不能与圆桶接触，则该容器中水的深度至多为dm．10．（2024秋•广饶县期末）某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把坡角由37°减至30°，已知原楼梯长为5米，则调整后的楼梯会加长米．（参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，三．解答题（共5小题）11．（2024秋•烟台期末）某小区在绿化改造项目中，要将一棵已经枯萎的树AB砍伐掉，通过测量知道，图中∠BCD＝30°，∠DCA＝35°，BD＝3米，这棵树周围10米处有花园和雕塑．在操作过程中，若不能损毁周围的花园和雕塑，李师傅能否直接从根部把树放倒？请通过计算说明理由：如果不行，请计算最少距离根部多长放倒？（结果保留到0.1米）（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1，312．（2025•雁塔区校级一模）风力发电作为一种清洁、可再生的能源，正逐步成为全球范围内的重要产业．周末某校数学兴趣小组对一架风力发电机的塔杆PD的高度进行了测量．塔杆PD安装在斜坡CD上，且PD垂直于地面AC．利用无人机分别在点A和点B处观察塔杆的顶端P，发现恰好满足AP∥CD，AP⊥BP．已知点B在点A的正上方，AB⊥AC，AB＝40米，斜坡CD的长为10米，其坡度为2．求该风力发电机塔杆PD的高度．（结果精确到1米）（参考数据：2≈1.414，3≈1.732，513．（2024秋•蓬莱区期末）随着时代的发展，手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流．某种手机支架如图1所示，立杆AB垂直于地面，其高为115cm，BC为支杆，它可绕点B旋转，其中BC长为30cm，CD为悬杆，滑动悬杆可调节CD的长度．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）（1）如图2，当B、C、D三点共线，CD＝40cm时，且支杆BC与立杆AB之间的夹角∠ABC为53°，求端点D距离地面的高度；（2）调节支杆BC，悬杆CD，使得∠ABC＝60°，∠BCD＝97°，如图3所示，且点D到地面的距离为148cm，求CD的长．（结果精确到1cm）14．（2024秋•海门区校级期末）2019年12月23日，湖南省政府批准，全国“十三五”规划重大水利工程一邵阳资水犬木塘水库，将于2020年开工建设施工测绘中，饮水干渠需经过一座险峻的石山，如图所示，AB，BC表示需铺设的干渠引水管道，经测量，A，B，C所处位置的海拔AA1，BB1，CC1分别为62m，100m，200m．若管道AB与水平线AA2的夹角为30°，管道BC与水平线BB2夹角为45°，求管道AB和BC的总长度（结果保留根号）．15．（2024秋•吴忠期末）某中学图书馆的通道闸机如图①所示，当它的双翼展开时，示意图如图②所示，双翼边缘的端点A与D之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝DF＝54cm，且与闸机箱的夹角∠ACB＝∠DFE＝30°，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度．

2024-2025学年下学期初中数学北师大新版九年级期中必刷常考题之三角函数的应用参考答案与试题解析题号12345答案BDACC一．选择题（共5小题）1．（2024秋•莱州市期末）2024年我国粮食产量首次突破1.4万亿斤，秋粮收购点全面开放收粮，某收购点用输送带AB把粮袋从地面输送到高处，若输送带的坡度i=34，输送带的长度AB＝20米．①用计算器求输送带AB部分与地面的夹角，要求结果以“度、分、秒”为单位，按键顺序为：；②一袋粮食从底部输送到顶部，升高了12米；③坡角为∠B；④A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；计算器—三角函数．【专题】三角形．【答案】B【分析】根据科学计算器按键顺序和解直角三角形的应用等知识点逐项判断解答即可．【解答】解：①按键顺序不对，最后两个步骤“DMS”和“＝”应该互换位置，故①错误；②∵i=∴tanA=∴sinA=在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴BC＝ABsinA＝12米，故②正确；③坡角为∠A，故③错误；④∵i=∴tanA=∴cosA=45故选：B．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，用计算器由三角函数值求锐角度数，掌握以上知识点是解答本题的关键．2．（2024秋•城关区校级期末）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC＝25cm，∠ABC＝α，则高AD为（）cm．A．25tanα B．50cosα C．25tanα D．25sin【考点】解直角三角形的应用；等腰三角形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．【答案】D【分析】在Rt△ABD中，根据sin∠【解答】解：在Rt△ABD中，sin∠∵AB＝AC＝25cm，∠ABC＝α，∴AD＝25sinαcm．故选：D．【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，关键是等腰三角形性质的熟练掌握．3．（2024秋•南关区校级期末）2024年11月19日，长春四大滑雪场之一的天定山滑雪场举行了开板首滑仪式，标志着长春市2024﹣2025新雪季正式开始．如图，是一条坡角为18°的滑雪道，滑雪道AC长为500米，则滑需道的坡顶到坡底的竖直高度AB的长为（）A．500sin18°米 B．500sin18°C．500cos18°米 D．500cos【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．【答案】A【分析】根据正弦的定义解答即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝18°，AC＝500米，∵sinC=AB∴AB＝AC•sinC＝500sin18°（米），故选：A．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．4．（2024秋•宛城区期末）一束光从空气中以不同的角度射入水中，会发生反射和折射现象，如图1是光束在空水中的径迹，如图2，现将一束光以一定的入射角α(tanα=43)射入水面GK，此时反射光线与折射光线夹角恰为90°，直线l为法线，A、O、D三点共线，若水深OEA．2m B．4m C．74m D【考点】解直角三角形的应用．【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．【答案】C【分析】根据题意可得：∠α＝∠FOB，∠OEC＝90°，从而可得∠EOC+∠ECO＝90°，再利用平角定义可得∠FOB+∠EOC＝90°，从而可得∠FOB＝∠ECO，进而可得∠α＝∠ECO，再利用对顶角相等可得∠EOD＝∠α，从而可得tanα=tan∠ECO=tan∠EOD=43，然后分别在Rt△ECO【解答】解：如图：由题意得：∠α＝∠FOB，∠OEC＝90°，∴∠EOC+∠ECO＝90°，∵∠BOC＝90°，∴∠FOB+∠EOC＝180°﹣∠BOC＝90°，∴∠FOB＝∠ECO，∴∠α＝∠ECO，∵∠EOD＝∠α，∴tanα=在直角三角形ECO中，OE＝3m，∴CE=在直角三角形EOD中，DE=∴CD=故选：C．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是作出辅助线，构造直角三角形解决问题．5．（2024秋•聊城期末）如图，当太阳光线与地面成60°的角时，测得空中热气球在地面上的影长是10m，则热气球的直径是（）A．20m B．103m C．53m 【考点】解直角三角形的应用．【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．【答案】C【分析】根据题意画出图形，再解直角三角形即可．【解答】解：如图，∠ABC＝60°，AB＝10m，∴AC＝AB•sin60°＝53m，∴MN＝AC＝53m，故选：C．【点评】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，理解题意是解题的关键．二．填空题（共5小题）6．（2024秋•湘潭期末）如图是传送带和水平地面所成斜坡的示意图．若该传送带把某物体从地面传送到离地面10米高的地方，该物体所经过的路程恰好是20米，那么传送带和地面所成斜坡的坡度i为1：3（答案写成1：【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】解直角三角形及其应用；几何直观；应用意识．【答案】1：【分析】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，明确坡度的定义．根据题意作出合适的辅助线，由坡度的定义可知，坡度等于坡角对边与邻边的比值，根据题目中的数据可以得到坡度，本题得以解决．【解答】解：把某物体从地面传送到离地面10米高的地方，该物体所经过的路程恰好是20米，如图，根据题意知AB＝20米，AC＝10米，在直角三角形ABC中，由勾股定理得：BC=∴斜坡的坡度i=故答案为：1：【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．7．（2024秋•榆树市期末）如图，一个小球由地面沿着坡度为i＝3：4的坡面向上前进了25cm，则此时小球水平方向前进的距离是20cm．【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】解直角三角形及其应用；数据分析观念．【答案】20．【分析】过B作BC⊥AC于C，由i＝BC：AC＝3：4，设BC＝3xcm，AC＝4xcm，则AB＝5xcm，即可求解．【解答】解：如图，过B作BC⊥AC于C，由i＝BC：AC＝3：4，设BC＝3xcm，AC＝4xcm，则AB＝5x＝25，解得x＝5，∴AC＝4×5＝20（cm）．故答案为：20．【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，能从实际问题中整理出直角三角形是解答本题的关键．8．（2024秋•海陵区期末）如图，一辆汽车在坡度i＝1：2（即tanα=12)的斜坡上沿斜坡前进了100米，则该汽车竖直方向升高了【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．【答案】205．【分析】设汽车竖直方向上升的高度为x米，根据坡度的概念用x表示出汽车前进的水平宽度，再根据勾股定理计算即可．【解答】解：设汽车竖直方向上升的高度为x米，∵斜坡的坡度i＝1：2，∴汽车前进的水平宽度为2x米，有勾股定理得：x2+（2x）2＝1002，解得：x＝205（负值舍去），则汽车竖直方向上升的高度为205米，故答案为：205．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．9．（2024秋•冷水江市期末）如图，将圆桶中的水倒入一个直径为4dm，高为5dm的圆口容器中，放置时圆桶顶部与水平线的夹角为60°，且容器中的水面不能与圆桶接触，则该容器中水的深度至多为（5-3）dm【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．【答案】（5-3【分析】根据已知条件得到依题意得△ABC是一个斜边为4dm的直角三角形，得到∠ABC＝60°，AB＝4dm，解直角三角形得到BC=12AB＝2dm，AC=AB2-BC2【解答】解：如图，∵圆桶放置的角度与水平线的夹角为60°，∠BCA＝90°，∴依题意得△ABC是一个斜边为4dm的直角三角形，∴∠ABC＝60°，AB＝4dm，∴BC=12AB＝2dm，AC=AB2∴此三角形中斜边上的高应该为AC⋅BCAB∵圆口容器的高为5dm，∴该容器中水的深度至多为（5-3）dm故答案为：（5-3【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，正确地识别图形是解题的关键．10．（2024秋•广饶县期末）某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把坡角由37°减至30°，已知原楼梯长为5米，则调整后的楼梯会加长1米．（参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．【答案】见试题解答内容【分析】根据正弦的定义求出AC，再根据含30°角的直角三角形的性质求出AD，得到答案．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝37°，AB＝5米，∵sin∠ABC=AC∴AC＝AB•sin∠ABC≈5×35在Rt△ADC中，∠ACB＝90°，∠ADC＝30°，则AD＝2AC＝6米，∴调整后的楼梯增加的长度为：6﹣5＝1（米），故答案为：1．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．三．解答题（共5小题）11．（2024秋•烟台期末）某小区在绿化改造项目中，要将一棵已经枯萎的树AB砍伐掉，通过测量知道，图中∠BCD＝30°，∠DCA＝35°，BD＝3米，这棵树周围10米处有花园和雕塑．在操作过程中，若不能损毁周围的花园和雕塑，李师傅能否直接从根部把树放倒？请通过计算说明理由：如果不行，请计算最少距离根部多长放倒？（结果保留到0.1米）（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1，3【考点】解直角三角形的应用．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】不能，直接从根部把树放倒，最少距离根部0.8米放倒．【分析】根据特殊角的三角函数值求出BC长，再利用65°的正切值可得树高AB，与10进行比较，即可得出答案．【解答】解：由条件可知tan30°=∵∠DCA＝35°，∴∠ACB＝65°．∴AB=∵10.71＞10，10.71﹣10≈0.71米，∴李师傅不能直接从根部把树放倒．最少距离根部0.8米放倒．【点评】本题考查解直角三角形在实际生活中的应用，题目新颖，得到两个直角三角形的公共边的长度是解决本题的关键．12．（2025•雁塔区校级一模）风力发电作为一种清洁、可再生的能源，正逐步成为全球范围内的重要产业．周末某校数学兴趣小组对一架风力发电机的塔杆PD的高度进行了测量．塔杆PD安装在斜坡CD上，且PD垂直于地面AC．利用无人机分别在点A和点B处观察塔杆的顶端P，发现恰好满足AP∥CD，AP⊥BP．已知点B在点A的正上方，AB⊥AC，AB＝40米，斜坡CD的长为10米，其坡度为2．求该风力发电机塔杆PD的高度．（结果精确到1米）（参考数据：2≈1.414，3≈1.732，5【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；相似三角形的应用．【专题】图形的相似；解直角三角形及其应用；应用意识．【答案】该风力发电机塔杆PD的高度约为23米．【分析】延长AC，PD交于H，则∠H＝90°，根据余角的性质得到∠B＝∠PAC，根据平行线的性质得到∠DCH＝∠PAH，求得∠DCH＝∠B，解直角三角形得到DH＝45米，在Rt△ABP中，tanB＝tan∠DCH=APPB=2，求得【解答】解：延长AC，PD交于H，则∠H＝90°，∵AP⊥BP，∴∠APB＝∠H＝90°，∵AB⊥AC，∴∠BAP+∠CAP＝∠B+∠BAP＝90°，∴∠B＝∠PAC，AP∥CD，∴∠DCH＝∠PAH，∴∠DCH＝∠B，∵斜坡CD的长为10米，其坡度为2．∴tan∠DCH=DHCH∴DH＝2CH，∵DH2+CH2＝CD2，∴5CH2＝100，∴CH＝25（负值舍去），∴DH＝45米，在Rt△ABP中，tanB＝tan∠DCH=∴AP＝2PB，∵AP2+PB2＝AB2，∴5PB2＝1600，∴PB＝85，∴AP＝165米，∵CD∥AP，∴△HCD∽△HAP，∴DHPH∴45∴PH＝32米，∴PD＝PH﹣DH＝32﹣45≈23答：该风力发电机塔杆PD的高度约为23米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度平角问题，相似三角形的应用，平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．13．（2024秋•蓬莱区期末）随着时代的发展，手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流．某种手机支架如图1所示，立杆AB垂直于地面，其高为115cm，BC为支杆，它可绕点B旋转，其中BC长为30cm，CD为悬杆，滑动悬杆可调节CD的长度．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）（1）如图2，当B、C、D三点共线，CD＝40cm时，且支杆BC与立杆AB之间的夹角∠ABC为53°，求端点D距离地面的高度；（2）调节支杆BC，悬杆CD，使得∠ABC＝60°，∠BCD＝97°，如图3所示，且点D到地面的距离为148cm，求CD的长．（结果精确到1cm）【考点】解直角三角形的应用．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】（1）端点D距离地面的高度为73（cm）；（2）CD的长为60（cm）．【分析】（1）如图所示，过点D作EF⊥AF，过点B作BE⊥EF于点E，则EF＝AB＝115cm，由题意得到BD＝BC+CD＝30+40＝70cm，∠BDE＝∠ABC＝53°，在Rt△BDE中，cos∠BDE=cos53°=DEBD，则DE≈42（2）如图所示，过点D作DG⊥AG，过点C作KH⊥AG，交AB，DG于点K，H，则BK=12BC=12×30=15cm，AK＝GH＝AB﹣BK＝115﹣15＝100（cm），DH＝DG﹣GH＝148﹣100＝48【解答】解：（1）如图所示，过点D作EF⊥AF，过点B作BE⊥EF于点E，则EF＝AB＝115cm，∵CD＝40cm，AB＝115cm，BC＝30cm，∴BD＝BC+CD＝30+40＝70cm，∠BDE＝∠ABC＝53°，在Rt△BDE中，cos∠∴DE＝BD•cos53°≈70×0.60＝42（cm），∴DF＝115﹣42＝73（cm），∴端点D距离地面的高度为73（cm）；（2）如图所示，过点D作DG⊥AG，过点C作KH⊥AG，交AB，DG于点K，H，∵∠ABC＝60°，BC＝30cm，∴∠BCK＝30°，cos∠∴BK=∴AK＝GH＝AB﹣BK＝100（cm），∵DG＝148cm，∴DH＝DG﹣GH＝48（cm），∵∠BCD＝97°，∴∠DCH＝180°﹣∠BCD﹣∠BCK＝53°，∴在Rt△CDH中，sin∠∴CD=∴CD的长为60（cm）．【点评】本题主要考查解直角三角形的运用，掌握锐角三角函数的计算是解题的关键．14．（2024秋•海门区校级期末）2019年12月23日，湖南省政府批准，全国“十三五”规划重大水利工程一邵阳资水犬木塘水库，将于2020年开工建设施工测绘中，饮水干渠需经过一座险峻的石山，如图所示，AB，BC表示需铺设的干渠引水管道，经测量，A，B，C所处位置的海拔AA1，BB1，CC1分别为62m，100m，200m．若管道AB与水平线AA2的夹角为30°，管道BC与水平线BB2夹角为45°，求管道AB和BC的总长度（结果保留根号）．【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】(76+1002【分析】先根据题意得到BO，CB2的长，在Rt△ABO中，由三角函数可得AB的长度，在Rt△BCB2中，由三角函数可得BC的长度，再相加即可得到答案．【解答】解：根据题意知，四边形AA1B1O和四边形BB1C1B2均为矩形，∴OB1＝AA1＝62m，B2C1＝BB1＝100m，∴BO＝BB1﹣OB1＝100﹣62＝38m，CB2＝CC1﹣B2C1＝200﹣100＝100m，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，∠BAO＝30°，BO＝38m，∴AB＝2BO＝2×38＝76m；在Rt△CBB2中，∠CB2B＝90°，∠CBB2＝45°，CB2＝100m，∴BC=∴AB+即管道AB和BC的总长度为：(76+1002【点评】考查了解直角三角形的应用，关键是根据三角函数得到AB和BC的长度．15．（2024秋•吴忠期末）某中学图书馆的通道闸机如图①所示，当它的双翼展开时，示意图如图②所示，双翼边缘的端点A与D之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝DF＝54cm，且与闸机箱的夹角∠ACB＝∠DFE＝30°，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度．【考点】解直角三角形的应用；含30度角的直角三角形．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为64cm．【分析】过点A作AG⊥BC，垂足为G，过点D作DH⊥EF，垂足为H，根据垂直定义可得：∠AGC＝∠DHF＝90°，然后在Rt△ACG和Rt△DHF中，利用含30度角的直角三角形的性质求出AG和DH的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【解答】解：过点A作AG⊥BC，垂足为G，过点D作DH⊥EF，垂足为H，∴∠AGC＝∠DHF＝90°，∵∠ACB＝∠DFE＝30°，AC＝DF＝54cm，∴AG=12AC＝27（cm），DH=12DF＝∵双翼边缘的端点A与D之间的距离为10cm，∴27+10+27＝64（cm），∴当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为64cm．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，含30度角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

考点卡片1．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．2．含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）