2024-2025学年下学期初中数学北师大新版九年级期中必刷常考题之利用三角函数测高

第24页（共24页）2024-2025学年下学期初中数学北师大新版九年级期中必刷常考题之利用三角函数测高一．选择题（共5小题）1．（2025•南山区校级一模）如图，一枚运载火箭从地面L处发射，雷达站R与发射点L水平距离为8km，当火箭到达A点时，雷达站测得仰角为53°，则这枚火箭此时的高度AL为（）km．A．8sin53° B．8cos53° C．8tan53° D．2．（2024秋•威县期末）如图，从点P观测点B的俯角是（）A．∠HPB B．∠CPB C．∠APB D．∠PBA3．（2024秋•榆树市校级期末）南湖大桥是长春的重要桥梁，某同学在校外实践活动中对此开展测量活动，在桥外点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB＝a，则此时大桥主架顶端离水面的高CD为（）A．asinα+asinβ B．acosα+acosβ C．atanα+atanβ D．acotα+acotβ4．（2024秋•宿松县期末）如图，小明先在凉亭A处测得湖心岛C在其北偏西15°的方向上，又从A处向正东方向行驶200米到达凉亭B处，测得湖心岛C在其北偏西60°的方向上，则凉亭B与湖心岛C之间的距离为（）A．400米 B．（1003+100）米C．（1002+100）米 D．（1003-5．（2025•汕头模拟）港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”，某校九年级学生为了测量该主塔的高度，站在B处看塔顶A，仰角为60°，然后向后走160米（BC＝160米），到达C处，此时看塔顶A，仰角为30°，则该主塔的高度是（）A．80米 B．803米 C．160米 D．80二．填空题（共5小题）6．（2024秋•博山区期末）如图，无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为30°，底部C的俯角为60°，无人机与旗杆的水平距离AD为6m，则该校的旗杆高约为m．（结果保留根号）7．（2024秋•烟台期末）有一轮船由东向西航行，在A处测得西偏北15°有一灯塔P，继续航行10海里后到B处，又测得灯塔P在西偏北30°，如果轮船航向不变，则灯塔与船之间的最近距离是海里．8．（2024秋•栖霞市期末）如图，已知点C与某建筑物底端B相距220米（点C与点B在同一水平面上），某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡CD行走130米至坡顶D处，斜坡CD的坡比i＝1：2.4，在D处测得该建筑物顶端A的俯视角为20°，则建筑物AB的高度约为．（精确到1米，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）9．（2024秋•通辽期末）数学兴趣小组在测量教学楼高度的活动中需要测量观察教学楼顶P的视线与水平线的夹角，他们制作了一个简易测角仪，使用方法如下：如图1所示，量角器的圆心O在垂直于地面的支杆OM一端上，量角器90°刻度线ON与支杆OM重合．如图2所示，绕点O转动量角器，使教学楼顶P与直径两端点A，B在同一条直线上，此时视线OP与水平线OC的夹角∠POC＝∠MON．请用你学过的一个几何知识解释简易测角仪的工作原理：．10．（2024秋•临泉县期末）在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵杨树的高度．如图，AB，BC，CD在同一平面内，点C，D在同一水平线上．从点C测得杨树底端B点的仰角是30°，BC长6米，在距离C点4米处的D点测得杨树顶端A点的仰角为45°，则杨树AB的高度为米．三．解答题（共5小题）11．（2025•碑林区校级一模）“绿水青山就是金山银山”．为了解学校附近山坡边一棵直立的大树的高度，该校数学兴趣小组进行实地测量，如图，在坡顶的点C处测得大树顶端A的仰角为53°，大树底端B的俯角为45°；又在同一水平线上的点D处，测得顶端A的仰角为26.5°．已知CD＝4米，求大树AB的高度．（结果精确到1米）（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.90，tan26.5°≈0.50）12．（2025•南山区校级一模）2024年，中国国产游戏3A大作《黑神话：悟空》一经上线，即火爆全球，反映了中国文化的对全世界的吸引力．作为重要取景地的济南四门塔是中国现存唯一的隋代石塔，也是中国现存最早、保存最完整的单层亭阁式佛塔，某兴趣小组利用所学知识开展以“测量四门塔的高度”为主题的活动，并写出如下报告：课题测量四门塔的高度测量工具测角仪、无人机等测量示意图测量过程如图②，测量小组使无人机在点A处以10m/s的速度竖直上升8s后，飞行至点B处，在点B处测得塔顶D的俯角为20°，然后沿水平方向向左飞行至点C处，在点C处测得塔顶D和点A的俯角均为45°．说明点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，且点A，E在同一水平线上，DE⊥AE．结果精确到1m．（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）（1）求无人机从点B到点C处的飞行距离；（2）求四门塔DE的高度．13．（2024秋•河北区期末）如图，甲、乙两座建筑物的水平距离BC为80m，从甲的顶部A处测得乙的顶部D处的俯角为50°，测得底部C处的俯角为62°．求甲、乙建筑物的高度AB和DC（结果取整数）．参考数据：tan50°≈1.19，tan62°≈1.88．14．（2024秋•宁强县期末）宜宾五粮液集团公司的鹏程广场有五粮液标志性建筑物——五粮液瓶楼，2003年被大世界基尼斯评定为“全球规模最大的实物广告”．小张学习了解直角三角形后，想用所学知识测量五粮液瓶楼的高度．在垂直地面的五粮液瓶楼前阶梯下有一广场，小张在阶梯CD前26米A处（AC＝26米）测得瓶楼顶B的仰角为45°，走上阶梯CD，在D处测得瓶楼顶B的仰角为60°，又知道阶梯CD的坡度i＝1：2，阶梯CD的坡面长度为65（1）求阶梯CD的垂直高度；（2）求瓶楼高度．15．（2024秋•渝北区期末）如图，一艘货船从A港口出发，需要运至其正北方向260海里处的港口B，由于航道条件限制，货船有两种可能的航行路线：①由港口A出发，经港口C，D休整，最后驶向港口B；②由港口A出发，经港口E休整，最后驶向港口B（休整时间忽略不计）．经勘测，港口C在港口A东北方向，港口D在港口C正北方向80海里处，港口D在港口B东南方向，港口E在港口B南偏西60°方向，港口E在港口A北偏西30°方向.(（1）求港口A和港口E之间的距离．（结果保留根号）（2）考虑到航行时间和成本，货船需要选择路程更短的路线，请通过计算说明是选择路线①还是路线②．（结果精确到个位）

2024-2025学年下学期初中数学北师大新版九年级期中必刷常考题之利用三角函数测高参考答案与试题解析题号12345答案DBCBB一．选择题（共5小题）1．（2025•南山区校级一模）如图，一枚运载火箭从地面L处发射，雷达站R与发射点L水平距离为8km，当火箭到达A点时，雷达站测得仰角为53°，则这枚火箭此时的高度AL为（）km．A．8sin53° B．8cos53° C．8tan53° D．【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】D【分析】根据题意可得：AL⊥LR，然后在Rt△ALR中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．【解答】解：由题意得：AL⊥LR，在Rt△ALR中，LR＝8km，∠ARL＝53°，∴AL＝LR•tan53°＝8tan53°（km），∴这枚火箭此时的高度AL为8tan53°km，故选：D．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．2．（2024秋•威县期末）如图，从点P观测点B的俯角是（）A．∠HPB B．∠CPB C．∠APB D．∠PBA【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．【答案】B【分析】根据俯角的定义求解即可．【解答】解：∵水平线与视线的夹角，即是俯角，∴从点P观测点B的俯角为∠CPB，故选：B．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解答本题的关键要明确：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．3．（2024秋•榆树市校级期末）南湖大桥是长春的重要桥梁，某同学在校外实践活动中对此开展测量活动，在桥外点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB＝a，则此时大桥主架顶端离水面的高CD为（）A．asinα+asinβ B．acosα+acosβ C．atanα+atanβ D．acotα+acotβ【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．【答案】C【分析】根据直角三角形锐角三角函数求出BC、BD，即可求解．【解答】解：如图，在Rt△ABC中，tanα=BC∴BC＝AB•tanα＝atanα，在Rt△ABD中，tanβ=BD∴BD＝AB•tanβ＝atanβ，∴CD＝BC+BD＝atanα+atanβ．故选：C．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解题的关键．4．（2024秋•宿松县期末）如图，小明先在凉亭A处测得湖心岛C在其北偏西15°的方向上，又从A处向正东方向行驶200米到达凉亭B处，测得湖心岛C在其北偏西60°的方向上，则凉亭B与湖心岛C之间的距离为（）A．400米 B．（1003+100）米C．（1002+100）米 D．（1003-【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．【专题】解直角三角形及其应用；几何直观．【答案】B【分析】过点A作AD⊥BC于点D．由题意可得∠ABD＝30°，∠ACB＝45°，在Rt△ABD中，sin30°=ADAB=AD200=12，cos30°=BDAB=BD200=32，解得AD＝100，BD=1003，在Rt△ACD【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D．由题意可得∠ABD＝30°，∠ACB＝45°，在Rt△ABD中，AB＝200米，∠ABD＝30°，∴sin30°=ADAB=AD200解得AD＝100，BD=1003在Rt△ACD中，∠ACB＝45°，则AD＝CD＝100米，∴BC＝BD+CD＝（1003+故选：B．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．5．（2025•汕头模拟）港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”，某校九年级学生为了测量该主塔的高度，站在B处看塔顶A，仰角为60°，然后向后走160米（BC＝160米），到达C处，此时看塔顶A，仰角为30°，则该主塔的高度是（）A．80米 B．803米 C．160米 D．80【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】B【分析】过点A作AD⊥CB，垂足为D，先根据三角形的外角性质可得∠BAC＝∠ACD＝30°，从而可得AB＝BC＝160米，然后在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，即可解答．【解答】解：过点A作AD⊥CB，垂足为D，∵∠ABD是△ABC的一个外角，∠ABD＝60°，∠ACD＝30°，∴∠BAC＝∠ABD﹣∠ACD＝30°，∴∠BAC＝∠ACD＝30°，∴AB＝BC＝160米，在Rt△ABD中，AD＝AB•sin60°＝160×32=∴该主塔的高度是803米，故选：B．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．二．填空题（共5小题）6．（2024秋•博山区期末）如图，无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为30°，底部C的俯角为60°，无人机与旗杆的水平距离AD为6m，则该校的旗杆高约为83m．（结果保留根号）【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．【答案】83．【分析】分别在Rt△ABD和Rt△ACD中利用锐角三角函数关系得出BD，DC的长，进而求出该旗杆的高度．【解答】解：在Rt△ABD，AD＝6米，∠BAD＝30°，∴tan30°=BD解得：BD＝23米，在Rt△ACD，AD＝6米，∠CAD＝60°，∴tan60°=CD解得：DC＝63米，故该校的旗杆高约为：BC＝BD+DC＝23+6故答案为：83．【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握直角三角形中锐角三角函数关系是解题关键．7．（2024秋•烟台期末）有一轮船由东向西航行，在A处测得西偏北15°有一灯塔P，继续航行10海里后到B处，又测得灯塔P在西偏北30°，如果轮船航向不变，则灯塔与船之间的最近距离是5海里．【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．【答案】见试题解答内容【分析】作PD⊥AB于D，则PD即为所求距离．根据已知先求得BP的长，再根据三角函数即可求得PD的长．【解答】解：由题意得，∠1＝15°，∠2＝30°，AB＝10．∴∠APB＝∠2﹣∠1＝15°．∴∠1＝∠APB＝15°．∴AB＝PB＝10．作PD⊥AB于D．在Rt△PDB中，∠2＝30°，∴PD=12PB=12【点评】此题考查的是方向角在实际生活中的运用，解答此类题目关键是构造直角三角形，利用解直角三角形的知识解答．8．（2024秋•栖霞市期末）如图，已知点C与某建筑物底端B相距220米（点C与点B在同一水平面上），某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡CD行走130米至坡顶D处，斜坡CD的坡比i＝1：2.4，在D处测得该建筑物顶端A的俯视角为20°，则建筑物AB的高度约为14米．（精确到1米，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．【答案】14米．【分析】过D点作DH⊥BC于H点，过A点作AE⊥DH于E点，如图，先根据坡度的定义得到DHCH=512，则设DH＝5x米，则CH＝12x米，利用勾股定理得到CD＝13x，所以13x＝130，求出x得到DH＝50米，CH＝120米，再计算出BH＝AE＝100米，接着在Rt△ADE中利用俯角的定义和平行线的性质得到∠DAE＝20°，则利用正切的定义可计算出DE＝36.4米，然后计算出【解答】解：过D点作DH⊥BC于H点，过A点作AE⊥DH于E点，如图，在Rt△CDH中，∵斜坡CD的坡比i＝1：2.4，∴DHCH设DH＝5x米，则CH＝12x米，∴CD=(5x)∴13x＝130，解得x＝10，∴DH＝50米，CH＝120米，∵BC＝220米，∴BH＝BC﹣CH＝100米，∴AE＝100米，在Rt△ADE中，∵∠DAE＝20°，∴tanDAE＝tan20°=DEAE∴DE＝100×0.364＝36.4（米），∴EH＝DH﹣EH＝50﹣36.4＝13.6（米），∴AB＝EH＝13.6米≈14米．答：建筑物AB的高度约为14米．故答案为：14米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角与俯角问题：解决此类问题要了解仰角与俯角的定义，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．也考查了坡度．9．（2024秋•通辽期末）数学兴趣小组在测量教学楼高度的活动中需要测量观察教学楼顶P的视线与水平线的夹角，他们制作了一个简易测角仪，使用方法如下：如图1所示，量角器的圆心O在垂直于地面的支杆OM一端上，量角器90°刻度线ON与支杆OM重合．如图2所示，绕点O转动量角器，使教学楼顶P与直径两端点A，B在同一条直线上，此时视线OP与水平线OC的夹角∠POC＝∠MON．请用你学过的一个几何知识解释简易测角仪的工作原理：同角的余角相等．【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】线段、角、相交线与平行线；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．【答案】同角的余角相等．【分析】由图可得∠POC与∠CON互余，∠MON与∠CON互余，得到∠POC＝∠MON是运用“同角的余角相等”，据此可解答．【解答】解：∵ON是90°刻度线，∴∠PON＝90°，∴∠POC与∠CON互余，∵支杆OM垂直地面，OC是水平线，∴∠COM＝90°，∴∠MON与∠CON互余，根据“同角的余角相等”可得∠POC＝∠MON．故答案为：同角的余角相等．【点评】本题考查等角或同角的余角相等，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．10．（2024秋•临泉县期末）在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵杨树的高度．如图，AB，BC，CD在同一平面内，点C，D在同一水平线上．从点C测得杨树底端B点的仰角是30°，BC长6米，在距离C点4米处的D点测得杨树顶端A点的仰角为45°，则杨树AB的高度为（1+33）米．【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．【答案】（1+33）．【分析】延长AB交DC于H，得到∠AHD＝90°，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：延长AB交DC于H，则∠AHD＝90°，∵∠BCH＝30°，BC＝6米，∴BH=12BC＝3米，CH=32BC∵∠ADC＝45°，∴AH＝DH＝CD+CH＝（4+33）米，∴AB＝AH﹣BH＝（4+33-3）米＝（1+33故答案为：（1+33）米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确地作出辅助线是解题的关键．三．解答题（共5小题）11．（2025•碑林区校级一模）“绿水青山就是金山银山”．为了解学校附近山坡边一棵直立的大树的高度，该校数学兴趣小组进行实地测量，如图，在坡顶的点C处测得大树顶端A的仰角为53°，大树底端B的俯角为45°；又在同一水平线上的点D处，测得顶端A的仰角为26.5°．已知CD＝4米，求大树AB的高度．（结果精确到1米）（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.90，tan26.5°≈0.50）【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．【答案】6米．【分析】延长DC交AB于点E，则DE⊥AB，由已知条件易得BE＝CE，AC＝DC＝4米，再利用锐角三角函数的定义即可求出AE、CE的长，进而可求出BE的长，然后根据AB＝AE+EB即可得解．【解答】解：在坡顶的点C处测得大树顶端A的仰角为53°，大树底端B的俯角为45°；又在同一水平线上的点D处，测得顶端A的仰角为26.5°，如图，延长DC交AB于点E，则DE⊥AB，∴∠AED＝∠BEC＝90°，∵∠BCE＝45°，∴∠B＝45°＝∠BCE，∴BE＝CE，∵∠ACE＝53°，∠ADC＝26.5°，∴∠DAC＝53°﹣26.5°＝26.5°，∴∠DAC＝∠ADC，∴AC＝DC＝4米，在Rt△ACE中，AE＝AC•sin53°≈4×0.80＝3.2（米），CE＝AC•cos53°≈4×0.60＝2.4（米），∴BE＝CE＝2.4米，∴AB＝AE+EB＝3.2+2.4＝5.6≈6（米），∴大树AB的高度约为6米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟练掌握解直角三角形的相关计算是解题的关键．12．（2025•南山区校级一模）2024年，中国国产游戏3A大作《黑神话：悟空》一经上线，即火爆全球，反映了中国文化的对全世界的吸引力．作为重要取景地的济南四门塔是中国现存唯一的隋代石塔，也是中国现存最早、保存最完整的单层亭阁式佛塔，某兴趣小组利用所学知识开展以“测量四门塔的高度”为主题的活动，并写出如下报告：课题测量四门塔的高度测量工具测角仪、无人机等测量示意图测量过程如图②，测量小组使无人机在点A处以10m/s的速度竖直上升8s后，飞行至点B处，在点B处测得塔顶D的俯角为20°，然后沿水平方向向左飞行至点C处，在点C处测得塔顶D和点A的俯角均为45°．说明点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，且点A，E在同一水平线上，DE⊥AE．结果精确到1m．（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）（1）求无人机从点B到点C处的飞行距离；（2）求四门塔DE的高度．【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．【答案】（1）80m；（2）35m．【分析】（1）根据题意求出AB，再根据等腰直角三角形的性质求出BC；（2）延长ED交BC的延长线于点F，设DE＝xm，用x表示出DF、BF，根据正切的定义列出方程，解方程得到答案．【解答】解：（1）由题意可知：AB＝10×8＝80（m），在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴BC＝AB＝80m，答：无人机从点B到点C处的飞行距离为80m；（2）如图，延长ED交BC的延长线于点F，则四边形ABFE为矩形，∴EF＝AB＝80m，设DE＝xm，则DF＝（80﹣x）m，在Rt△DFC中，∠DFC＝45°，则FC＝DF＝（80﹣x）m，∴BF＝CF+BC＝（160﹣x）m，在Rt△BFD中，∠FBD＝20°，∵tan∠∴DF＝BF•tan∠FBD，即80﹣x＝（160﹣x）×0.36，∴80﹣x＝57.6﹣0.36x，x﹣0.36x＝80﹣57.6，x＝35，答：四门塔DE的高度约为35m．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．13．（2024秋•河北区期末）如图，甲、乙两座建筑物的水平距离BC为80m，从甲的顶部A处测得乙的顶部D处的俯角为50°，测得底部C处的俯角为62°．求甲、乙建筑物的高度AB和DC（结果取整数）．参考数据：tan50°≈1.19，tan62°≈1.88．【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】甲建筑物的高度AB约为150m，乙建筑物的高度DC约为55m．【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据题意可得：DE＝BC＝80m，BE＝CD，AF∥DE∥BC，从而可得∠ADE＝∠FAD＝50°，∠ACB＝∠FAC＝62°，然后分别在Rt△ADE和Rt△ACB中，利用锐角三角函数的定义求出AE和AB的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【解答】解：如图：过点D作DE⊥AB于E，由题意得：DE＝BC＝80m，BE＝CD，AF∥DE∥BC，∴∠ADE＝∠FAD＝50°，∠ACB＝∠FAC＝62°，在Rt△ADE中，tan∠∴AE＝DE•tan∠ADE≈80×1.19＝95.2（m），在Rt△ACB中，tan∠∴AB＝BC•tan∠ACB≈80×1.88＝150.4≈150（m），∴CD＝BE＝AB﹣AE＝150.4﹣95.2≈55（m），∴甲建筑物的高度AB约为150m，乙建筑物的高度DC约为55m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．14．（2024秋•宁强县期末）宜宾五粮液集团公司的鹏程广场有五粮液标志性建筑物——五粮液瓶楼，2003年被大世界基尼斯评定为“全球规模最大的实物广告”．小张学习了解直角三角形后，想用所学知识测量五粮液瓶楼的高度．在垂直地面的五粮液瓶楼前阶梯下有一广场，小张在阶梯CD前26米A处（AC＝26米）测得瓶楼顶B的仰角为45°，走上阶梯CD，在D处测得瓶楼顶B的仰角为60°，又知道阶梯CD的坡度i＝1：2，阶梯CD的坡面长度为65（1）求阶梯CD的垂直高度；（2）求瓶楼高度．【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】（1）CD的垂直高度DM为6米；（2）瓶盖高度为（48+163）米．【分析】（1）延长AC与BE相交于点H，过点D作DM垂直AH，垂足于点M．设DM为x米，则CM＝2x米，利用勾股定理构建方程求解；（2）设BE为y米，根据BH＝AH，构建方程求解．【解答】解：（1）延长AC与BE相交于点H，过点D作DM垂直AH，垂足于点M．∵CD的坡比为1：2，∴tan∠DCM=DM设DM为x米，则CM＝2x米，∴x2+（2x）2＝（65解得x＝6（﹣6舍去）所以CD的垂直高度DM为6米；（2）设BE为y米，在Rt△BED中∠BDE＝60°，∴tan60°=BE∴DE=33又∵CM＝2DM＝12，∠A＝45°，∴BH＝AH，y+6=33y解得y＝48+163，∴瓶盖高度为（48+163）米．【点评】本题考查解直角三角形﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．15．（2024秋•渝北区期末）如图，一艘货船从A港口出发，需要运至其正北方向260海里处的港口B，由于航道条件限制，货船有两种可能的航行路线：①由港口A出发，经港口C，D休整，最后驶向港口B；②由港口A出发，经港口E休整，最后驶向港口B（休整时间忽略不计）．经勘测，港口C在港口A东北方向，港口D在港口C正北方向80海里处，港口D在港口B东南方向，港口E在港口B南偏西60°方向，港口E在港口A北偏西30°方向.(（1）求港口A和港口E之间的距离．（结果保留根号）（2）考虑到航行时间和成本，货船需要选择路程更短的路线，请通过计算说明是选择路线①还是路线②．（结果精确到个位）【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题；勾股定理的应用．【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．【答案】（1）港口A和港口E之间的距离为1303海里；（2）选择路线②更短，理由见解答部分．【分析】（1）连接AB，作EF⊥AB于点F，易得∠BEA＝90°，那么可得BE的长度，进而根据勾股定理可得AE的长度；（2）作DM⊥AB于点M，CN⊥AB于点N，易得△BMD≌△ANC，那么可得BM和DN的长度，进而求出两条路线的长度，比较即可得到较短的路线．【解答】解：（1）连