中考数学专项复习提升：实数及其运算（讲义6考点+2命题点11种题型（含6种解题技巧））（解析版）

第一章数与式

第01讲实数及其运算

（思维导图+6考点+2命题点11种题型（含6种解题技巧））

01考情透视•目标导航•►题型02无理数的识别

02知识导图•思维引航•►题型03科学记数法

03考点突破•考法探究＞题型04无理数的估算

考点一实数的分类＞题型05实数的大小比较

考点二数轴、相反数、绝对值、倒数•►题型06实数与数轴

考点三科学记数法＞题型07平方根、立方根

考点四平方根、立方根命题点二实数的运算

考点五比较实数的大小＞题型01非负性的应用

考点六实数的运算•►题型02实数的简单运算

04题型精研•考向洞悉＞题型03实数的混合运算

命题点一实数的基础•►题型04与实数有关的新定义问题

＞题型01正负数的意义

考情透视•目标导航

中考考点考有频率新课标要求

理解有理数、无理数的概念，知道实数是由有理数和无理数组

★★

实数的分类

成的

了解实数与数轴上的点一一对应；能用数轴上的点表示实数；

★★★

数轴、相反数、绝对值、

能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数和

倒数

绝对值

科学记数法★★会用科学记数法表示数

了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平

★★

平方根、立方根

方根、算术平方根、立方根；了解乘方与开方互为逆运算.

实数比较大小★★能用有理数估计一个无理数的大致范围；能比较实数的大小.

理解乘方的意义；掌握有理数的加减、乘、除、乘方及简单的

★★★

实数的相关计算混合运算（以三步以内为主）;理解有理数的运算律，能运用运

算律简化运算.

【考情分析】实数是初中数学的基础内容，也是必考内容，试题形式多样，考查较多的是实数与数轴结合、

实数的混合运算及科学记数法，试题难度都不大，在实数的混合运算中，注意符号和运算顺序是解题的关

键，实数的混合运算涉及的知识点较多，包含去绝对值、非零数的0次幕、负整数指数幕及特殊角的三角

函数值等，每个知识点都要求准确掌握.

知识导图•思维引航

IEg?大于0隹瞰

iESfflg®I-----------

o6^ass；、朝（g>0关于会牢记as小于0隹敝

oi殳有例数£E^±用点表示数

且到原点距离相等位于原点两《«相反数的几何意义•不1^1两~^^

绝对值数轴上表示出的点到原点的距离

非负性

去绝对值，看符号

科学期aX1°r

1sa<10,

程数的常见类型近似数不确定，大维I,四舍五人的数

有效数字YiS堤5从左边第一G3E0K）数字起.到末位S序止,所解数字

-WOI非fils平方根xBa的平内g

爆的

VawO(awO)|a

学

知

实

法

正数>0>负数识

------------------------1JSBUtESSS频<］强或萩循环<J徵

数

指

两个鳗比较大小，绝对值大的数反而小I-----------------------梳

导

理

蹦上右边的点表示的数大于左边的点表示的数数轴比较法及Hh

其

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a-OVOOoVbl算

实数的大，iEwa»

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•?=loo=6（o>0>b>0）T按一撰卜上

fiWSS

若a>0.8>0.则QyoQA平方H冬法I------------

比较被开方数邮数相同比较被开方数-----------

有理B的运算法!8吸性质等同样睡

化简绝对值时，没有判断绝对值符号中各个数a试子的正负

—翔的混合计算■两变"频错误""|学习误区先进行乘方和开方运算

再算乘除

用科学诩法表示数时，容易把n的值算错运算*

曷S胤）隘

如maggse,则

考点突破•考法探究

考点一实数的分类

1.正数与负数

正数：大于0的数叫做正数，如：0.5,三，+2等.

a

负数：小于0的数叫做负数.如：-0.5,一三，-2,-（+1）等.

2.有理数及分类

有理数：整数和分数统称为有理数.（【实质】可以写成&形式的数，其中m,n为整数且mWO）

m

【补充】有限小数和无限循环小数可以转化为分数，因此有限小数和无限循环小数是有理数.

例：0.53（分数形式：1），1.333333…（分数形式：》，«,整数3（分数形式：置等.

‘正整数正有理数;正整数

整数<0正分数

有理数分类:有理数（按定义分类）<负整数有理数（按符号分类）■0

'正分数负有理数，负整数

分数•

负分数负分数

3.无理数

无理数：无限不循环小数叫做无理数.

【补充】无限不循环小数不能化成分数，因此无限不循环小数不是有理数.

常见的无理数：

1）一般的无限不循环小数，如0.43241…，7.6385661…等

2）开方开不尽的数，如：v2、冷等.

［易错］带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数.

3）与圆周率”有关的数，如5口，3+m?等.

4）看似有规律循环实际上是无限不循环的小数，如0.1010010001（两个1之间依次增加1个0）…

5）某些三角函数，如sin60°、cos20°.

【注意】无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数.

4.实数及其分类

实数的定义：有理数和无理数统称为实数.

＞（有限小数或无限循环小数）

实数的分类:

•针对训练

1.（2024•山东淄博•中考真题）下列运算结果是正数的是（）

A.3TB.-32C.-|-3|D.-V3

【答案】A

【分析】题考查了正数的定义，负整数指数幕的运算，绝对值的化简，乘方，算术平方根的意义，熟练掌

握运算法则是解题的关键.

根据正数的定义，负整数指数幕的运算，绝对值的化简，乘方，算术平方根的意义计算选择即可.

【详解】解:A、3T=（是正数，符合题意；

B、—32=-9是负数，不符合题意；

C、一|一3|=-3是负数，不符合题意；

D、-百是负数，不符合题意；

故选：A.

2.（2024・四川凉山•中考真题）下列各数中：5,-3,0,-25.8,+2,负数有（）

A.I个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】本题考查了对正数和负数定义的理解，难度不大，注意0既不是正数也不是负数.

根据正数和负数的定义判断即可，注意：0既不是负数也不是正数.

【详解】解：5>0,是正数；

-|<o,是负数；

-3<0,是负数；

0既不是正数，也不是负数；

-25.8<0,是负数；

+2>0,是正数；

负数有一玄-3,-25.8,共3个.

故选：C.

3.（2024•山东日照•中考真题）实数一0,代,1732中无理数是（）

A—B.。C.V5D,1.732

【答案】C

【分析】本题考查了无理数，解答本题的关键掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环

小数，③含有1T的数.根据无理数的定义，“无限不循环的小数是无理数”逐个分析判断即可.

【详解】解:0,1.732都是有理数，而是无理数.

故选：C

4.（2024.四川雅安・中考真题）将-2,Mit,0,V2,3.14这6个数分别写在6张同样的卡片上，从中随机

抽取1张，卡片上的数为有理数的概率是.

【答案】|

【分析】本题考查概率的求法与运用，有理数与无理数的识别，一般方法：如果一个事件有w种可能，而

且这些事件的可能性相同，其中事件A出现加种结果，那么事件A的概率尸⑷哼先根据无理数的定

义得到取到有理数的有-2,*0,3.14这4种结果，再根据概率公式即可求解.

【详解】解：将-2,",m0,V2,3.14这6个数分别写在6张相同的卡片上，字面朝下随意放在桌上，

任取一张，有6种等可能结果，其中取到有理数的有-2,条0,3.14这4种结果，

所以取到有理数的概率为:=

63

故答案为：|.

考点二数轴、相反数、绝对值、倒数

1.数轴

数轴的定义：在数学中，通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴.

数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可.

【补充】

1）数轴是一条可以向两端无限延伸的直线；

2）数轴三要素是“规定”的，通常，我们习惯性向右为正方向，原点的位置和单位长度的大小要依据实际

情况灵活选取，但是一旦选定后就不能随意改变；

3）在同一条数轴上，单位长度的大小必须统一，要根据实际问题灵活选取单位长度的大小.

4）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.

实数与数轴上点的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点都表示一

个实数，实数与数轴上的点一一对应.

2.相反数

相反数：只有符号不同的两个数称为互为相反数，相反数是成队出现的.

性质：1）【热考】若a,b互为相反数，则a+b=0；反之，若a+b=0,则若a,b互为相反数.

2）一个有理数有且只有一个相反数；

3）正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；0的相反数是0.

几何意义：1）互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到原点的距离相等且位于原点的两侧.

2）位于原点的两侧且到原点距离相等的点，所表示的两个数互为相反数.

3.绝对值

绝对值：数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值，记为1a1.

a（a>0）

绝对值的代数意义:正数的绝对值是它本身;0绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数,即同=0（。=0）.

-«（4Z<0）

【易混易错】

1）若|a|=a（或|a|-a=0）,则aNO,若|a|=-a（或|a|+a=O）,则aWO.

2）任何一个有理数的绝对值都是非负数，即a取任意实数，都有|a|20.

3）当绝对值符号里的数的正负不能确定时，要分类讨论，即将其分成大于0,小于0,等于0这三类讨论.

4.倒数

倒数：1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数.

【易混易错】

1）0没有倒数，倒数是本身的只有1和-1.

2）若a、b互为倒数，则ab=l.

3）互为倒数的两个数必定同号（同为正数或同为负数）

针对训练

1.（2024•江苏苏州•中考真题）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（）

A.-3B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】本题考查了绝对值的定义，一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离.到原点距离最近

的点，即绝对值最小的点，首先求出各个数的绝对值，即可作出判断.

【详解】解：：|一3|=3,山=1,|2|=2,|3|=3,1<2<3,

...与原点距离最近的是1,

故选：B.

2.（2024.黑龙江大庆.中考真题）下列各组数中，互为相反数的是（）

-1

A.|—2024|和一2024B.2024和表

-1

C.|一2024|和2024D.—2024和自

【答案】A

【分析】本题考查相反数.根据只有符号不同的两个数互为相反数，结合绝对值的意义逐项判断即可.

【详解】解:A、|-2024|=2024和-2024互为相反数，故A选项符合题意；

B、2024和总互为倒数，故B选项不符合题意；

C、1-20241=2024和2024不互为相反数，故C选项不符合题意；

D、-2024和募不互为相反数，故D选项不符合题意；

故选：A.

3.（2024•内蒙古包头•中考真题）若九互为倒数，且满足Tn+rrm=3,贝比的值为（）

A.-B.-C.2D.4

42

【答案】B

【分析】本题主要考查了倒数的定义，根据九互为倒数，则771•九=1,把7U•几=1代入m+7H71=3,即

可得出机的值，进一步即可得出〃的值.

【详解】解：・・・加,71互为倒数，

m-n=1,

m+mn=3,

,\m=2,

则71=p

故选：B.

4.（2024・西藏・中考真题）若％与y互为相反数，z的倒数是一3,贝1J2%+2y-3z的值为（）

A.-9B.-1C.9D.1

【答案】D

【分析】本题考查了相反数、倒数、求代数式的值，根据相反数和倒数的定义得出x+y=0,z=-|,将

式子变形为2（x+y）-3z,整体代入计算即可得解，熟练掌握相反数、倒数的定义是解此题的关键.

【详解】解：与y互为相反数，z的倒数是—3,

1

.・.%+।y=n0,z=--

2.x+2y-3z—2（%+y）-3z=2x0-3x（-j=0+1=1,

故选：D.

5.（2024.山东德州.中考真题）实数〃，。在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（）

ab

_____।।।A

-1012

A.\a\>\b\B.a+b<0

C.a+2>b+2D.\ct-1|>\b-11

【答案】D

【分析】本题主要考查了数轴与实数的运算法则，掌握实数与数轴的基本知识是解题的关键.根据点在数

轴上的位置，判断数的大小关系，不等式的性质及绝对值的意义判断出式子的大小即可.

【详解】解：根据数轴得a<0<1<6,

\ci\<+b>0,a+2<b+2,|a—11>\b-11,

故选：D.

6.（2023益阳市三模）已知a、b互为相反数,c、d为倒数，且问=3,则窸+（—。日产池+标的值为

【答案】10

【分析】本题考查了相反数、倒数的定义，绝对值的性质，代数式求值，利用相反数、倒数的定义和绝对

值的性质可求得a+b=0,cd=l,m2=9,再代入算式计算即可求解，掌握相反数、倒数的定义和绝对

值的性质是解题的关键.

【详解】解：b互为相反数，c、d为倒数，

/.a+h=0,cd=1,

V\m\=3,

Am2=9,

・・.原式=0+（一1产24+9=io,

故答案为：10.

考点三科学记数法

1.科学记数法

定义：把一个数A表示成axHT的形式（其中n为整数），这种记数法叫做科学记数法.

类别a的确定n的确定示例

A|>10n为正整数，"小数点左5500000=5.5xl06

移的位数

a=5.5,n=6

l^|a|<10

0<|A|<ln为负整数，n=J、数点右-0.0000055=-5.5x10^

移的位数

a=-5.5,n=6-

【补充】

1）用科学记数法表示数时，不改变数的符号，只是改变数的书写形式而已，可以方便地表示日常生活中遇

到的一些很大或很小的数.

2）一个负数也可以用科学记数法表示.

3）科学记数法的常见类型：

①直接将像26000000、320万这样的较大数字用科学记数法表示；

②将450km或35nm换算单位后用科学记数法表示；

③根据题意，先计算，再将计算结果用科学记数法表示.

2.近似数

准确数：在日常生活或生产实际中，能准确地表示一些数的量，成为准确数.

近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个数的近似数.

精确度：近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.

【补充】对于带单位的数或用科学记数法表示的近似数axlO",a的末位数字在还原后的数中是哪一位，

就说这个近似数精确到哪一位.

有效数字的概念：从左边第一位非0的数字到精确数位的所有的数字.例：0.012有两个个有效数字：1,2；

3.6万有两个有效数字：3,6；4.360x104有四个有效数字:4,3,6,0.

针对训练

1.（2024.内蒙古.中考真题）2023年呼和浩特市政府工作报告中指出，我市主要经济指标增速达到十年来最

好水平.地区生产总值完成3802亿元.数据“3802亿”用科学记数法表示为.

【答案】3.802X1011

【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成ax10"的形式，其中1<㈤<10,n为整数，这种记数的

方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移

动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.根据科学记数法的定义即可得.

【详解】解:3802亿=3.802X103X108=3.802X1011,

故答案为：3.802x1011.

2.（2024・上海•中考真题）科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容量约为2x105GB,一张普

通唱片的容量约为25GB,则蓝光唱片的容量是普通唱片的倍.（用科学记数法表示）

【答案】8X103

【分析】本题考查科学记数法，按照定义，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为ax10%其中1<|a|<

10,7i为整数，按要求表示即可得到答案，确定a与n的值是解决问题的关键.

【详解】解：蓝光唱片的容量是普通唱片的誓=8000=8x1。3倍，

故答案为：8x103.

3.（2024・四川广元・中考真题）2023年10月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家，以表彰他们“为研究物

质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”.什么是阿秒？1阿秒是10T8秒，也就是十亿分之一秒的

十亿分之一.目前世界上最短的单个阿秒