中考数学专项复习提升：尺规作图与定义、命题、定理（讲义2考点+2命题点18种题型）（解析版）

第七章图形的变化

第30讲尺规作图与定义，命题，定理

（思维导图+2考点+2命题点18种题型）

01考情透视•目标导航＞题型07作垂线

02知识导图•思维引航•►题型08作等腰三角形

03考点突破•考法探究＞题型09画圆

考点一尺规作图•►题型10过圆外一点作圆的切线

考点二定义、命题、定理■题型11作正多边形

04题型精研•考向洞悉＞题型12格点作图

命题点一尺规作图＞题型13无刻度直尺作图

•►题型01作线段＞题型14最短路径问题

•►题型02作一个角等于已知角命题点二定义、命题、定理

•►题型03尺规作角的和、差＞题型01判断是否是命题

＞题型04过直线外一点作已知直线的平行线＞题型02判定命题的真假

•►题型05作三角形■题型03写成命题的逆命题

•►题型06作角平分线■题型04反证法

考情透视•目标导航

中考考点考杳频率新课标要求

尺规作图★★能用尺规作图

通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义.

★

定义、命题、

结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念.会识

定理

别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立.

【命题预测】本考点内容以考查尺规作图和真假命题为主，年年考查，是广大考生的得分点，分值为6分

左右.预计2024年各地中考还将继续考查这两个知识点.中考对尺规作图的考查涉及多种形式，不再是

单一的对作图技法操作进行考查，而是把作图与计算、证明、分析、判断等数学思维活动有效融合，既体

现了动手实践的数学思维活动，也考查了学生运用数学思考解决问题的能力，为避免丢分，学生应扎实掌

握.

知识导图•思维引航

定义判断T牛事的语句

题设已知事项I

^6

结论推出的事项

真命题

分类I---------

假命题

证明推理过程

尺规作图与定义，命题，定理

真命题继续推理的依据

先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么

关

尺规作图键读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题

切记作图中一定要保留作图痕迹

考点突破•考法探究

考点一尺规作图

定义：最基本、最常用的尺规作图，通常称作基本作图,

五种基本作图：

1）作一条线段等于已知线段

己知线段a1a1

求作线段0A,使0A等于a

.\A

作法1）任作一条射线OP；

o~r----尸

2）以点0为圆心，a的长为半径画弧，交0P于点A,则线段0A即

为所求

依据圆上的点到圆心的距离等于半径.

2）作一个角等于已知角

已知ZA0B

求作NA'0'B',使/A'O'B'=/AOBX

作法1）作射线O'A'；

2）以点0为圆心，任意长为半径画弧，交0A于点C,交0B于点D；

3）以点0'为圆心，0C的长为半径画弧，交O'A'于点E；

4）以点E为圆心，CD的长为半径画弧，交前弧于点F；

5）经过点F作射线O'B',乙A'O'B'即为所求.

依据1）三边分别相等的两个三角形全等；E

2）全等三角形的对应角相等；

3）两点确定一条直线.

3）作已知角的角平分线

己知ZAOBB

求作射线0P,使/AOP=NBOP

作法1）以点0为圆心，适当长为半径画弧，交0A于点M,交0B于点N；

2）分别以点M、N为圆心，大于‘MN的长为半径画弧，两弧在NA0B的

2B

内部相交于点P；/*

3）作射线0P,射线0P即为所求.

依据1）三边分别相等的两个三角形全等；

2）全等三角形的对应角相等；

3）两点确定一条直线.

4）过一点作已知直线的垂线

已知直线AB和AB上的一点M

求作AB的垂线，使它经过点M

作法作平角乙ACB的平分线MF.直线MF就是所求作的垂线.

AMBAJ-IMEB

已知直线AB和AB外一点M

求作AB的垂线，使它经过点M

M

作法1）任意取一点P,使点P和点M在AB的两旁；

ABA^p-

2）以点M为圆心，MP的长为半径作弧，交AB于点C和点D；D-B

3）分别以点C和点D为圆心，大于』CD的长为半径作弧，乏

2

两弧相交于点E；

4）作直线EM,直线EM就是所求作的垂线.

依据1）等腰三角形“三线合一”；

2）两点确定一条直线.

5）作线段的垂直平分线

已知线段AB

求作线段AB的垂直平分线

作法I）分别以点A和点B为圆心，大于LAB的长为半径作弧，两弧

2

相交于点M和点N；L

2）作直线MN,直线MN就是线段AB的垂直平分线.

依据1）到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；

2）两点确定一条直线.

尺规作图的关键：

1）先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么；

2）读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题；

3）切记作图中一定要保留作图痕迹；

4）无刻度直尺作图通常会与等腰三角形的判定，三角形中位线定理，矩形的性质和勾股定理等几何知识点

结合，熟练掌握相关性质是解题关键.

针对训练

1.（2024.吉林长春.中考真题）如图，在A4BC中，。是边4B的中点.按下列要求作图:

①以点B为圆心、适当长为半径画弧，交线段B。于点D,交BC于点E；

②以点。为圆心、BD长为半径画弧，交线段04于点F；

③以点F为圆心、DE长为半径画弧，交前一条弧于点G,点G与点C在直线同侧；

④作直线。G,交4C于点M.下列结论不一定成立的是（）

A.AAOM=ZBB.ZOMC+ZC=180°

C.AM=CMD.OM=-AB

2

【答案】D

【分析】本题主要考查了作一个角等于已知角，平行线的性质和判定，平行线分线段成比例定理，解题的

关键是熟练掌握相关的性质，先根据作图得出=根据平行线的判定得出。MIIBC,根据平行线的

性质得出NOMC+NC=180。，根据平行线分线段成比例得出空=第=1,即可得出AM=CM.

CMOB

【详解】解：A.根据作图可知：乙4OM=/B一定成立，故A不符合题意；

B.•:乙AOM=LB,

•••△OMC+NC=180。一定成立，故B不符合题意；

C.二。是边的中点，

：.A0=B0,

9：OM\\BC,

,AMAOy

••—=1,

CMOB

.♦.AM=CM一定成立，故C不符合题意；

D.不一定成立，故D符合题意.

2.（2024・四川・中考真题）如图，在AABC中，AB=AC,NA=40。，按如下步骤作图：①以点8为圆心，

适当长为半径画弧，分别交B4BC于点、D,E-,②分别以点D,E为圆心，大于长为半径画弧，两弧在

乙4BC的内部相交于点F,作射线BF交AC于点G.贝吐4BG的大小为度.

【答案】35

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的尺规作法，熟练掌握等腰三角形的性质和角平分线的

尺规作法是解题的关键.根据4B=AC,NA=40。，由等边对等角，结合三角形内角和定理，可得乙4BC=

^ACB=70°,由尺规作图过程可知BG为N&BC的角平分线，由此可得=乙GBC=^ABC=35°.

【详解】解：••・AB=AC,乙4=40°,

•••/.ABC=Z.ACB=70°,

根据尺规作图过程，可知BG为N4BC的角平分线，

.­.乙IBG=乙GBC=-/LABC=35°,

2

故乙4BG=35°,

故答案为:35。.

3.（2024山东德州•中考真题）已知乙4。8,点尸为04上一点，用尺规作图，过点尸作。8的平行线.下列

作图痕迹不正确的是（）

【分析】本题考查作图-复杂作图.作一个角等于已知角，作一个角的平分线，平分线的判定，菱形的判定

和性质，据此判断即可.

【详解】解：A、由作图知，。。是乙4。8的平分线，且PO=PC,

/.z.1=z2,zl=43,

Az.2=43,

：.PC\\OB,故本选项不符合题意;

B、由作图知，PD是乙4PC的平分线，且PO=OC,

.-.Z3=Z4,zl=Z2,不能说明N2与N4相等，

...四边形POCD是菱形，

：.PC\\OB,故本选项不符合题意;

：.PC\\OB,故本选项不符合题意;

4.（2024.广东广州.中考真题）如图，Rt△力BC中”AB=90°.

A

(1)尺规作图：作AC边上的中线B。(保留作图痕迹，不写作法)；

(2)在(1)所作的图中，将中线B。绕点。逆时针旋转180。得到。0,连接AD,CD.求证：四边形48CD是矩

形.

【答案】(1)作图见解析

(2)证明见解析

【分析】本题考查的是作线段的垂直平分线，矩形的判定，平行四边形的判定与性质,旋转的性质；

(1)作出线段2C的垂直平分线EF交2C于点O,连接B。，则线段B。即为所求；

(2)先证明四边形48CD为平行四边形，再结合矩形的判定可得结论.

【详解】(1)解：如图，线段B。即为所求;

(2)证明：如图,

•.•由作图可得：AO=C0,由旋转可得：BO=D0,

四边形2BCD为平行四边形,

;乙4BC=90°,

二四边形4BCD为矩形.

考点二定义、命题、定理

1.命题

定义：判断一件事情的语句，叫做命题.

组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由己知事项推出的事项.

表达形式：可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结

论.

2.真命题、假命题

内容举例注意

真命如果题设成立，那么结论一定成对顶角不相等说明一个命题是真命题,需从已知出发,经过一

题立的命题，叫做真命题步步推理，最后得出正确结论

假命命题中题设成立时，不能保证结相等的角是对判定一个命题是假命题,只要举出一个例子（反

题论一定成立的命题，叫做假命题顶角例），使它符合命题的题设，但不满足结论即可

3.逆命题

逆命题：把原命题的结论作为命题的题设，把原命题的题设作为命题的结论，所组成的命题叫做原命题的

逆命题.

互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命

题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它

的逆命题.

4.公理、定理

公理：如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，

这样的真命题叫做公理.如：两点之间线段最短.

定理：如果一个命题可以从公理或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步作

为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫做定理.

5.互逆定理

互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，

其中一个定理叫做另一个定理的逆定理.

6.反证法

定义：先假设原命题的结论不正确，然后从这个假设出发，经过逐步推理论证，最后得出与学过的概念、

基本事实、已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果，这种证明的方法叫做反证法.

反证法的步骤：①假设命题结论的反面正确；②从假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、定理、定义或

已知条件相矛盾的结论；③说明假设不成立，从而得出原命题正确.

针对训练

1.（2024.江苏宿迁•中考真题）请写出定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理.

【答案】同位角相等，两直线平行

【分析】本题考查了逆定理的改写，根据题意，将题设与结论交换位置即可.

【详解】解：定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理是同位角相等，两直线平行，

故答案为：同位角相等，两直线平行.

2.（2024.山东潍坊•中考真题）下列命题是真命题的有（）

A.若a=6,贝!|ac=6c

B.若a>6,则ac>6c

C.两个有理数的积仍为有理数

D.两个无理数的积仍为无理数

【答案】AC

【分析】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了等式及不等式的性质、无理数及有理数的积.利用等

式及不等式的性质、无理数及有理数的积分别判断后即可确定正确的选项.

【详解】

解：A、由等式的性质可得，若a=b,则ac=bc,原命题为真命题；

B、由不等式的性质可得，若a>b,且c>0,则ac>bc,原命题为假命题；

C、两个有理数的积仍为有理数，原命题为真命题；

D、两个无理数的积不一定为无理数，比如鱼又虎=2,原命题为假命题.

故选：AC.

3.（2022・上海.中考真题）下列说法正确的是（）

A.命题一定有逆命题B.所有的定理一定有逆定理

C.真命题的逆命题一定是真命题D.假命题的逆命题一定是假命题

【答案】A

【分析】根据命题的定义和定理及其逆定理之间的关系，分别举出反例，再进行判断，即可得出答案.

【详解】解：A、命题一定有逆命题，故此选项符合题意；

B、定理不一定有逆定理，如：全等三角形对应角相等没有逆定理，故此选项不符合题意；

C、真命题的逆命题不一定是真命题，如：对顶角相等的逆命题是：相等的两个角是对顶角，它是假命题而

不是真命题，故此选项不符合题意；

D、假命题的逆命题定不一定是假命题，如：相等的两个角是对顶角的逆命题是：对顶角相等，它是真命题，

故此选项不符合题意.

故选：A.

【点睛】本题考查了命题与定理，掌握好命题的真假及互逆命题的概念是解题的关键.把一个命题的条件

和结论互换就得到它的逆命题，所有的命题都有逆命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题.

4.（2022•黑龙江绥化•中考真题）下列命题中是假命题的是（）

A.三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半

B.如果两个角互为邻补角，那么这两个角一定相等

C.从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角

D.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

【答案】B

【分析】利用三角形的中位线定理、邻补角性质、切线长定理以及直角三角形斜边上的中线的性质分别判

断后即可确定正确的选项.

【详解】解：A.三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，是真命题，故此选项不

符合题意；

B.如果两个角互为邻补角，那么这两个角不一定相等，故此选项是假命题，符合题意；

C.从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角，是真

命题，故此选项不符合题意；

D.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是真命题，故此选项不符合题意；

故选：B

【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解三角形的中位线定理、邻补角性质、切线长定理以

及直角三角形斜边上的中线的性质.

题型精研•考向洞悉

命题点一尺规作图

＞题型01作线段

1.（2023•山西太原•模拟预测）已知线段a、b、c.

b

（1）用直尺和圆规作出一条线段AB,使它等于a+c-6.（保留作图痕迹，检查无误后用水笔描黑，包括痕

迹）

（2）若a=6,b=4,c=7,点C是线段4B的中点，求力C的长.

【答案】（1）作图见解析

（2）4.5

【分析】（1）作射线4M,在射线4M上顺次截取2E=a,EF=c,在线段R4上截取FB=b,则线段48即为

所求；

（2）由（1）中结论及已知条件，求得4B的长，再利用线段中点的性质即可解得AC的长.

【详解】（1）解：如图，线段48即为所求：

（2）如图,

AB=a+c—b=6+7—4=9

•・•点C是线段4B的中点，

11

AC--AB=-x9=4.5

22

即4C的长4.5.

【点睛】本题考查基本作图、线段的和差、线段的中点等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键.

2.（2024・河北•模拟预测）如图，在Rt△力BC中，AACB=90°,以点A为圆心，4C长为半径画弧，交AB于

点、D,再分别以8,。为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于Af,N两点，作直线MN分别交4B于点

E,若4。=3,BE=1,贝l|BC的长为（）

A.3B.4C.4.5D.5

【答案】B

【分析】本题考查了，作图等长线段，作图垂直平分线，勾股定理，解题的关键是：由作图方法得到等量

关系式.根据取等长线段的做法，垂直平分线的做法，得到aC=2D=3,DE=BE,即可求出力B=AD+

BD=5,在RtAABC中，由勾股定理即可求解.

【详解】解：根据作图可得：AC=AD=3,MN为的垂直平分线，

•••BE=1,

•••BD—2BE—2,

•••AB=AD+BD=5,

•••乙ACB=90°,

BC=7AB2-"2=4,

故选：B.

3.(2024.广东.模拟预测)如图，在等边AABC中，AD为BC边上的高.

(1)实践与操作：利用尺规，以CD为边在CD下方作等边ACDE,延长ED交42于点M；(要求：尺规作图并保

留作图痕迹、不写作法，标明字母)

(2)应用与证明：在(1)的条件下，证明CE=BM.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题考查了作线段，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识.熟练掌握作线

段，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键.

(1)如图，分别以C、D为圆心，CD的长为半径画弧，交点为E,连接CE、DE,则等边ACDE即为所作，

延长ED交4B于点M,点M即为所作；

(2)证明△BMDSACED(ASA),进而可证CE=BM.

【详解】(1)解：如图，分别以C、。为圆心，CD的长为半径画弧，交点为E,连接CE、DE,则CD=CE=DE,

等边ACDE即为所作，延长ED交力B于点M,点M即为所作；

(2)证明：•・•△ABC为等边三角形，力。为BC边上的高,

=^ACB=60°,BD=CD,

•.,等边△CDE,

；/ECD=60°,

.,2B=Z-ECD,

又"MDB=乙EDC,

.*.△BMD=△CED(ASA),

；,CE=BM.

＞题型02作一个角等于已知角

1.（2024•北京・中考真题）下面是“作一个角使其等于N40B”的尺规作图方法.

B.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等

C.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等

D.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等

【答案】A

【分析】根据基本作图中，判定三角形全等的依据是边边边，解答即可.

本题考查了作一个角等于已知角的基本作图，熟练掌握作图的依据是解题的关键.

【详解】解：根据上述基本作图，可得。C=O'C',OD=O'D',CD=CD',

故可得判定三角形全等的依据是边边边，

故选A.

2.（2024河南.中考真题）如图，在RtAABC中，CD是斜边48上的中线，BEIIDC交4C的延长线于点E.

ADB

⑴请用无刻度的直尺和圆规作"CM,使NEC"=乙4,且射线CM交BE于点”保留作图痕迹，不写作法）.

（2）证明（1）中得到的四边形CD8F是菱形

【答案】（1）见解析

（2）见解析

【分析】本题考查了尺规作图，菱形的判定，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是：

（1）根据作一个角等于已知角的方法作图即可；

（2）先证明四边形CDBF是平行四边形，然后利用直角三角形斜边中线的性质得出CD=BD=143,最后

根据菱形的判定即可得证.

【详解】⑴解：如图,

（2）证明：•♦2ECM=",

■.CMWAB,

■.■BEWDC,

••・四边形CD8F是平行四边形，

•在RtZkABC中，CD是斜边4B上的中线，

■.CD=BD=-AB,

2

平行四边形CDBF是菱形.

3（2021•山东青岛•中考真题）已知：/。及其一边上的两点4B.

求作：Rt^ABC,使NC=90。，且点C在4。内部，ABAC=ZO.

【答案】见解析

【分析】先在NO的内部作ND43=NO,再过3点作A。的垂线，垂足为C点.

【详解】解：如图，放AABC为所作.

【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基

本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.

＞题型03尺规作角的和、差

1.（2024•江苏扬州•中考真题）如图，已知NP4Q及4P边上一点C.

（1）用无刻度直尺和圆规在射线4Q上求作点0,使得NCOQ=2NC4Q；（保留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）的条件下，以点。为圆心，以。力为半径的圆交射线4Q于点B,用无刻度直尺和圆规在射线CP上

求作点M，使点M到点C的距离与点M到射线力Q的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法）

（3）在（1）、（2）的条件下，若sinA=|,CM=12,求8M的长.

【答案】（1）作图见详解

⑵作图见详解

（3）BM=6A/5

【分析】（1）根据尺规作角等于已知角的方法即可求解；

（2）根据尺规作圆，作垂线的方法即可求解；

（3）根据作图可得“勿14Q,CM=WM=12,是直径，结合锐角三角函数的定义可得4M的值，根据

勾股定理可求出4C的值，在直角△BCM中运用勾股定理即可求解.

【详解】（1）解：如图所示，

P

4K

/J/o

••Z-COQ=2Z.CAQ；

点o即为所求

(2)解：如图所示，

连接BC,以点B为圆心，以BC为半径画弧交AQ于点以点当为圆心，以任意长为半径画弧交4Q于点的,

DI,分别以点G，劣为圆心，以大于3为半径画弧，交于点6，连接B/1并延长交2P于点M,

必B是直径，

.•.乙4cB=90°,即BCJ.4P,

根据作图可得B1G=B]DrC16=D/1，

1AQ,即乙MB]B=90°,MB1是点M到4Q的距离,

,•BC=BBi，

・・・Rt△BCM=RtABBiM(HL),

・・.CM=

点M即为所求点的位置；

(3)解：如图所示，

根据作图可得，NCOQ=2NC4Q,MC=MW=12,MW1AQ,连接BC,

•••在RtMMW中，sin/l=筹=|,

…=-5-W-M=-5-X-1-2=2“0,

33

■.AC=AM-CM=20-12=8,

,MB是直径,

：.^ACB=90°,

•••s.i.nZ=——BC=-3

AB5

设BC=3x,贝！MB=5%,

.•.在RtAABC中，(5x)2=(3x)2+82,

解得，x=2（负值舍去）,

-'-BC=3%=6,

在Rt△BCM中，BM=y/CM2+BC2=V122+62=6西.

【点睛】本题主要考查尺规作角等于已知角，尺规作垂线，勾股定理，锐角三角函数的定义等知识的综合,

掌握以上知识的综合运用是解题的关键.

2.（2022•江苏镇江・中考真题）操作探究题

（1）已知力C是半圆。的直径，"OB=（詈）。5是正整数，且几不是3的倍数）是半圆。的一个圆心角.

操作：如图1,分别将半圆。的圆心角“OB=（詈）。（n取1、4、5、10）所对的弧三等分（要求：仅用圆

规作图，不写作法，保留作图痕迹）;

n=5n=10

图I

从上面的操作我发现，就是利用60°、圈T所对的弧去找僵f的三分

之一即篝T所对的孤•

交流：当几=11时，可以仅用圆规将半圆。的圆心角乙40B=（詈）。所对的弧三等分吗?

我发现了它们之间的数量关系是4x9工|°-60。=第:

我再试试：当”=28时.嚼|°、60»、匿］°之间存在数量关系

因此可以仅用圆规将半K1O的圆心角乙所对的弧三等分.

探究：你认为当n满足什么条件时，就可以仅用圆规将半圆。的圆心角/2。8=（詈）。所对的弧三等分？说

说你的理由.

（2）如图2,。。的圆周角NPMQ=（―）。.为了将这个圆的圆周14等分，请作出它的一条14等分弧⑦（要

求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）.

Q

【答案】⑴作图见解析；交流：60。—9x（罢）。=偿）。，或19x（詈）。一2x60。=G）。；

探究：正整数n5不是3的倍数），理由见解析

（2）作图见解析

【分析】（1）由操作可知，如果（*）。可以用60。与（詈）。的线性表示，那么该圆弧就可以被三等分

（2）将圆周14等分就是把NPMQ=（等）。所对的圆周角NQOP所对弧三等分即可,给出一种算法：180。-

540°r180°

——x2=——

77

【详解】⑴

操作：

图中的J、5点即为三等分点图中的C点即为三等分点

图中的C点即为三等分点图中的。点即为三等分点

交流：60。-9x（詈）。=（缴。，或19x（翳）。-2X60。=鬻）。；

探究：设60。-卜（詈）。=（第。，解得n=3k+l（k为非负整数）.

或设人（詈）。—60。=（第。，解得n=3k-l（k为正整数）.

所以对于正整数n（n不是3的倍数），都可以仅用圆规将半圆。的圆心角乙4OB=（詈）。所对的弧三等分;

（2）

【点睛】本题考查了用圆规作图的基本技能，需要准确理解题意，对于复杂图形的作图要学会将其转化成

基本图形去作，本题第二问利用转化思想，转化为第一问的思路从而得以解决，这也是本题求解的关键.

＞题型04过直线外一点作已知直线的平行线

1.（2024.山东青岛.中考真题）已知：如图，四边形4BCD,E为。C边上一点.

求作：四边形内一点尸，使EPIIBC,且点尸到4B,4。的距离相等.

【答案】见解析

【分析】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，解题的关键是掌握作角平分线和作一个角等于已知角

的尺规作图方法.作乙D4B的平分线4M,以E为顶点，ED为一边作乙DEN=NC,EN交AM于P,点P即为

所求.

【详解】解：作的平分线ZM,以E为顶点，ED为一边作乙DEN=LC,EN交AM于P,如图，点P即

为所求.

2.(2024•河南新乡•模拟预测)如图，一次函数丫=久—2的图象与反比例函数y=?的图象交于A,8(3,n)两

点，且直线与坐标轴分别交于尸，Q两点.

(1)求m和n的值；

(2)已知点”(0,2),请用无刻度的直尺和圆规过点M作直线4B的平行线(保留作图痕迹，不写作法);

(3)若(2)中所作的平行线交了轴负半轴于点N,连接NP,QM,求四边形NPQM的面积.

【答案】(l)m=3,n=l

(2)见解析

(3)8

【分析】本题考查一次函数与反比例函数综合，尺规作图：

(1)将B(3,n)代入y=x-2可得w的值，将8(3,几)代入y=?可得利的值；

(2)以知为顶点，y轴为角的一边，作一个角等于NMP8即可；

(3)先求出直线4B与坐标轴的交点坐标，可得AOMN为腰长是2的等腰直角三角形，再根据S四边形痔。.

c.cPM'OQ,PM,ONnn-p-

S^PMQ+S“MN=22即可求解,

【详解】(1)解：一次函数y=%—2经过点8(3,九)，代入解得九二1,

・・・8(3,1)在反比例函数y=3的图象上,

••.TH=1x3=3；

(2)解：所作平行线如图所示：

(3)解：由(1)知反比例函数解析式为y=：,

当x=0时，y=0—2=—2,

当y=0时，0=%—2,

解得：%=2,

则y=%-2交坐标轴于Q(2,0),P(0,-2),

.•.OP=0Q=0M=2,PM=4,

.,ZOMN=4)PQ=45°,

.*.△OMN为腰长是2的等腰直角三角形，

__PMOQPMON_4X24x2_

,3四边形NPQM="PMQ十'△PMN=一h—十一\一

＞题型05作三角形

1.(2022•广西贵港•中考真题)尺规作图(保留作图痕迹，不要求写出作法):

如图，已知线段相，n.求作△ABC,使乙4=90°,AB=m,BC=n.

n

【答案】见解析

【分析】作直线/及/上一点4过点A作/的垂线；在/上截取48=小；作8。=九；即可得到AaBC.

【详解】解：如图所示：AABC为所求.

注：(1)作直线/及/上一点A；

(2)过点A作/的垂线；

(3)在/上截取=m；

(4)作BC=n.

【点睛】本题考查作图一复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型.

2.(2023•江苏南京・中考真题)在平面内，将一个多边形先绕自身的顶点4旋转一个角度火0。<8<180。),

再将旋转后的多边形以点a为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为k,称这种变

换为自旋转位似变换.若顺时针旋转，记作7(4顺。，fc);若逆时针旋转，记作7(4,逆仇k).

例如：如图①，先将AABC绕点B逆时针旋转50。，得到△&BG，再将Aa/G以点B为位似中心缩小到原

来的点得到A&BCZ，这个变换记作T(B,逆50。，

(1)如图②，ZkABC经过T(C,顺60。，2)得到用尺规作出△49C.(保留作图痕迹)

(2)如图③，AABC经过7(B,逆a,kJ得至IJAEBD,AaBC经过T(C,顺0,得至IJAFDC,连接4E,AF.求

证：四边形4FDE是平行四边形.

D

E.

(3)如图④，在△ABC中，乙4=150。,48=2,4C=1.若AaBC经过(2)中的变换得到的四边形4FDE

是正方形.

①用尺规作出点。(保留作图痕迹，写出必要的文字说明)；

②直接写出力E的长.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)①见解析；②竽

【分析】(1)旋转60。，可作等边三角形DBC,ACE,从而得出B点和点4对应点D,E,进而作出图形；

(2)根据AEBD和AABC位似，AFDC与△ABC位似得出NEBD=N力BC,髻=铝，笠=级，进而推出4

ABBCCDBC

EBAfDBC,从而殷=再，进而得出4E=DF,同理可得：DE=AF,从而推出四边形力FDE是平行四边

CDBC

形；

(3)要使EL4FDE是正方形，应使NE4F=90°,AE=AF,从而得出NB4E+^FAC=270°-AC=120°,

从而得出4OBC+乙DCB=120°,从而N8DC=60°,于是作等边△BCG,保证480。=NG=60°,作直径BD,

保证BD=2CD,这样得出作法.

【详解】(1)解：如图1,

图1

1.以B为圆心，BC为半径画弧，以C为圆心，8c为半径画弧，两弧在BC的上方交于点。，分别以力，C为圆

心，以力C为半径画弧，两弧交于点E,

2.延长CD至B',使。8'=CD,延长CE至4,使4E=CE,连接4B',

则444C就是求作的三角形；

(2)证明：•••△EBO和位彳以，△FOC与位彳以,

BE_BDDFAB

Z.EBD=Z.ABC,

AB~BCCDBC9

•••Z-EBA=乙DBC,

EBADBC,

AEAB

:.---=----,

CDBC

AEDF

--=--9

CDCD

AE=DF,

同理可得：DE=AF,

.•・四边形4FDE是平行四边形;

(3)解：如图2,

2.作等边三角形BCG的外接圆0,作直径BD,连接CD,

3.作N08E=Z_ABC,Z.BDE=/.ACB,延长84,交O。于F,连接CF,DF,

则四边形4FDE是正方形,

证明：由上知：AEBAfDBC,AFAC-ADBC,

AE_AB_2AF_AC1

/.BAE=Z.DCB,/.FAC=乙DBC,CD-BC~BC"BD~BCBC‘

Z.BAE+Z-FAC=Z-DCB+/JDBC,

要使团/FOE是正方形，应使乙E/F=90。，AE=AF,

・•・乙BAE+乙FAC+乙BAC=270°,BD=2CD,

•••/-BAE+/.FAC=270°-Z.BAC=270°-150°=120°,

・•・(DBC+乙DCB=120°,

(BDC=60°,

・•・作等边△BCG,保证乙BDC=4G=60。，作直径BD,保证BO=2CD,这样得出作法；

•••乙ABE=乙DBC=30°,/LEAB=(BCD=90°,AB=2,

厂V3Nn2^3

AAE=—AB=—.

33

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，确定圆的条件，尺规作图等知识，解决问题

的关键是较强的分析能力.

＞题型06作角平分线

1.(2024・西藏・中考真题)如图，在RtAdBC中，ZC=90°,以点8为圆心，适当长为半径作弧，分别交BC,

于点。，E,再分别以点。，E为圆心，大于:DE的长为半径作弧，两弧在乙48。的内部相交于点P,作

射线BP交4C于点F.已知CF=3,AF=5,贝IjBF的长为.

【答案】3V5

【分析】本题考查了作图-基本作图：作角平分线，角平分线的性质定理，勾股定理及全等三角形的判定与

性质等知识.根据基本作图可判断BF平分N4BC,过尸作FG14B于G,再利用角平分线的性质得到GF=

CF=3,根据勾股定理求出力G=-xlAF2-FG2=V52-32=4,证明Rt△CBFmRt△GBF,得出BG=BC,

设BG=BC=x,则48=4+x,AC=AF+CF=5+3=8,根据勾股定理得出8?+/=(4+乂尸，求出

x=6,根据勾股定理求出BF=VCF2+BC2=V32+62=3V5.

【详解】解：过/作FG1AB于G,

：.GF=CF=3,

在Rt△4FG中根据勾股定理得：AG=y/AF2-FG2=V52-32=4,

VFG=CF,BF=BF,

•••Rt△CBF三RtAGBF(HL),

BG-BC,

设BG=BC=x,贝!MB=4+X,AC=AF+CF=5+3=8,

在口△ABC中，根据勾股定理得：

AC2+BC2=AB2,

即：82+x2=(4+x)2,

解得：x=6,

BC=6,

在Rt△8CF中根据勾股定理得：BF=yJCF2+BC2=V32+62=3星.

故答案为：3瓜

2.(2024.江苏宿迁•中考真题)如图，在AABC中，NB=50。，NC=30。，4。是高，以点A为圆心，力B长

为半径画弧，交力C于点E,再分别以8、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在ABAC的内部交于点

F,作射线4F,贝吐£MF=.

【分析】本题主要考查角平分线的作法及三角形内角和定理，根据题意得出力F平分NB4C,然后利用三角形

内角和定理求解即可.

【详解】解：因为NB=50。，ZC=30°,

所以N84C=180°-50°-30°=100°,

根据题意得：4F平分NB4C,

所以NB4F=l^BAC=50°,

因为4。为高，

所以N8D4=90°,

所以NB/W=180°-50°-90°=40°,

所以N£MF=/.BAF-/.BAD=50°-40°=10°,

故答案为：10。.

3.（2024・江苏无锡・中考真题）如图，在A48C中，AB>AC.

（1）尺规作图：作NB4C的角平分线，在角平分线上确定点D,使得DB=DC；（不写作法，保留痕迹）

（2）在（1）的条件下，若NBAC=90。，4B=7,AC=5,则2。的长是多少？（请直接写出4。的值）

【答案】（1）见详解

（2）672

【分析】（1）作NB4C的角平分线和线段BC的垂直平分线相交于点。，即为所求.

（2）过点£＞作。E1交28与点E,过点£）作DF14C交AC与点R先利用角平分线的性质定理证明四边

形2EDF为正方形，设4E=49=EO=DF=x,贝!=7—x,FC=5-x,以。8=DC为等量关系利用

勾股定理解出x,在利用勾股定理即可求出4D.

【详解】（1）解：如下图：4。即为所求.

（2）过点D作OE1交48与点E,过点。作OF1AC交2C与点F,

贝4ED=Z.AFD=90°,

又:乙BAC=90°

••・四边形4EDF为矩形，

必。是N84C的平分线，

：.DE=DF,

••・四边形4EDF为正方形，

••AE=AF=ED=DF,

设/E=AF=ED=DF=X,

■,■BE=AB-AE=7—x,FC=AC-AF=5—x,

在RtABED中，BO?=E£)2+8E2=%2+(7一%)2,

在RtACFD中，CD2=DF2+FC2=%2+(5-%)2,

■：DB=DC

：.DB2=DC2

■■-x2+(7—x)2—x2+(5—x)2

解得：x=6,

■.AD=VXF2+DF2=V62+62=6V2.

【点睛】本题主要考查了作角平分线以及垂直平分线，角平分线的性质定理，正方形的判定以及勾股定理

的应用，作出图形以及辅助线是解题的关键.

＞题型07作垂线

1.（2021•江苏南京・中考真题）如图，已知尸是。。外一点.用两种不同的方法过点尸作。。的一条切线.要

求：

（1）用直尺和圆规作图；

（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明.

【答案】答案见解析.

【分析】方法一：作出。尸的垂直平分线，交。P于点A,再以点A为圆心，以长为半径画弧，交。。于点

Q，连结P。，尸0即为所求.

方法二：根据等腰三角形的性质三线合一作。。的切线，作射线P。，交O。于点M,N,以P为圆心，P。为

半径作OP,以。为圆心，MN的长为半径画弧交OP于点2,连接24,。4,。4交0。于点3,则APA。是等腰

三角形，。8=［。4贝IJPB1Q4,PB即为所求.

作法：连结尸。，分别以尸、。为圆心，大于孑。的长度为半径画弧，交于两点，连结两点交PO于点A；

以点A为圆心，用长为半径画弧，交。。于点。连结尸。，P。即为所求.

作法：作射线P0,交O。于点M,N,以P为圆心，P。为半径作OP,以。为圆心，MN的长为半径画弧交OP于

点4,连接以,。4。4交00于点B，则AP力。是等腰三角形，08=卯4则PBLCM,PB即为所求.

【点睛】本题考查了作图一复杂作图，涉及垂直平分线的作法，角平分线的作法，等腰三角形的作法，

圆的作法等知识点.复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图.解题的关键是熟悉基本几何图形的性

质，结合基本几何图形的性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.

＞题型08作等腰三角形

1.（2024•福建泉州•模拟预测）如图，在RtAAOB中，乙4。3=90。，2。=3,B0=4,C是直线B0上一个

动点，若AABC是等腰三角形.

⑵求0C的长.

【答案】(1)见