浙江新高考学业水平考试数学试题

...wd......wd......wd...2017年11月浙江省新高考学业水平考试数学试卷一、选择题：本大题共18小题，每题3分，共54分．在每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．〔3分〕〔2017•浙江学业考试〕集合A={1，2，3}，B={1，3，4}，则A∪B=〔〕A．{1，3} B．{1，2，3} C．{1，3，4} D．{1，2，3，4}2．〔3分〕〔2017•浙江学业考试〕向量=〔4，3〕，则||=〔〕A．3 B．4 C．5 D．73．〔3分〕〔2017•浙江学业考试〕设θ为锐角，sinθ=，则cosθ=〔〕A． B． C． D．4．〔3分〕〔2017•浙江学业考试〕log2=〔〕A．﹣2 B．﹣ C． D．25．〔3分〕〔2017•浙江学业考试〕以下函数中，最小正周期为π的是〔〕A．y=sinx B．y=cosx C．y=tanx D．y=sin6．〔3分〕〔2017•浙江学业考试〕函数y=的定义域是〔〕A．〔﹣1，2] B．[﹣1，2] C．〔﹣1，2〕 D．[﹣1，2〕7．〔3分〕〔2017•浙江学业考试〕点〔0，0〕到直线x+y﹣1=0的距离是〔〕A． B． C．1 D．8．〔3分〕〔2017•浙江学业考试〕设不等式组所表示的平面区域为M，则点〔1，0〕，〔3，2〕，〔﹣1，1〕中在M内的个数为〔〕A．0 B．1 C．2 D．39．〔3分〕〔2017•浙江学业考试〕函数f〔x〕=x•ln|x|的图象可能是〔〕A． B． C． D．10．〔3分〕〔2017•浙江学业考试〕假设直线l不平行于平面α，且l⊄α，则〔〕A．α内的所有直线与l异面B．α内只存在有限条直线与l共面C．α内存在唯一直线与l平行D．α内存在无数条直线与l相交11．〔3分〕〔2017•浙江学业考试〕图〔1〕是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1截去三棱锥A1﹣AB1D1后的几何体，将其绕着棱DD1逆时针旋转45°，得到如图〔2〕的几何体的正视图为〔〕A． B． C． D．12．〔3分〕〔2017•浙江学业考试〕过圆x2+y2﹣2x﹣8=0的圆心，且与直线x+2y=0垂直的直线方程是〔〕A．2x﹣y+2=0 B．x+2y﹣1=0 C．2x+y﹣2=0 D．2x﹣y﹣2=013．〔3分〕〔2017•浙江学业考试〕a，b是实数，则“|a|＜1且|b|＜1〞是“a2+b2＜1〞的〔〕A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件14．〔3分〕〔2017•浙江学业考试〕设A，B为椭圆〔a＞b＞0〕的左、右顶点，P为椭圆上异于A，B的点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，假设k1•k2=﹣，则该椭圆的离心率为〔〕A． B． C． D．15．〔3分〕〔2017•浙江学业考试〕数列{an}的前n项和Sn满足Sn=an﹣n，n∈N*，则以下为等比数列的是〔〕A．{an+1} B．{an﹣1} C．{Sn+1} D．{Sn﹣1}16．〔3分〕〔2017•浙江学业考试〕正实数x，y满足x+y=1，则的最小值是〔〕A．3+ B．2+2 C．5 D．17．〔3分〕〔2017•浙江学业考试〕1是函数f〔x〕=ax2+bx+c〔a＞b＞c〕的一个零点，假设存在实数x0．使得f〔x0〕＜0．则f〔x〕的另一个零点可能是〔〕A．x0﹣3 B．x0﹣ C．x0+ D．x0+218．〔3分〕〔2017•浙江学业考试〕等腰直角△ABC斜边CB上一点P满足CP≤CB，将△CAP沿AP翻折至△C′AP，使二面角C′﹣AP﹣B为60°，记直线C′A，C′B，C′P与平面APB所成角分别为α，β，γ，则〔〕A．α＜β＜γ B．α＜γ＜β C．β＜α＜γ D．γ＜α＜β二.填空题19．〔6分〕〔2017•浙江学业考试〕设数列{an}的前n项和为Sn，假设an=2n﹣1，n∈N*，则a1=，S3=．20．〔3分〕〔2017•浙江学业考试〕双曲线﹣=1的渐近线方程是．21．〔3分〕〔2017•浙江学业考试〕假设不等式|2x﹣a|+|x+1|≥1的解集为R，则实数a的取值范围是．22．〔3分〕〔2017•浙江学业考试〕正四面体A﹣BCD的棱长为2，空间动点P满足||=2，则的取值范围是．三.解答题23．〔10分〕〔2017•浙江学业考试〕在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cosA=．〔1〕求角A的大小；〔2〕假设b=2，c=3，求a的值；〔3〕求2sinB+cos〔〕的最大值．24．〔10分〕〔2017•浙江学业考试〕如图，抛物线x2=y与直线y=1交于M，N两点，Q为该抛物线上异于M，N的任意一点，直线MQ与x轴、y轴分别交于点A，B，直线NQ与x轴，y轴分别交于点C，D．〔1〕求M，N两点的坐标；〔2〕证明：B，D两点关于原点O的对称；〔3〕设△QBD，△QCA的面积分别为S1，S2，假设点Q在直线y=1的下方，求S2﹣S1的最小值．25．〔11分〕〔2017•浙江学业考试〕函数g〔x〕=﹣t•2x+1﹣3x+1，h〔x〕=t•2x﹣3x，其中x，t∈R．〔1〕求g〔2〕﹣h〔2〕的值〔用t表示〕；〔2〕定义[1，+∞〕上的函数f〔x〕如下：f〔x〕=〔k∈N*〕．假设f〔x〕在[1，m〕上是减函数，当实数m取最大值时，求t的取值范围．2017年11月浙江省新高考学业水平考试数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共18小题，每题3分，共54分．在每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．〔3分〕〔2017•浙江学业考试〕集合A={1，2，3}，B={1，3，4}，则A∪B=〔〕A．{1，3} B．{1，2，3} C．{1，3，4} D．{1，2，3，4}【分析】根据并集的定义写出A∪B．【解答】解：集合A={1，2，3}，B={1，3，4}，则A∪B={1，2，3，4}．应选：D．【点评】此题考察了并集的定义与运算问题，是根基题．2．〔3分〕〔2017•浙江学业考试〕向量=〔4，3〕，则||=〔〕A．3 B．4 C．5 D．7【分析】根据平面向量的模长公式计算可得．【解答】解：因为向量=〔4，3〕，则||==5；应选C．【点评】此题考察了平面向量的模长计算；属于根基题．3．〔3分〕〔2017•浙江学业考试〕设θ为锐角，sinθ=，则cosθ=〔〕A． B． C． D．【分析】根据同角三角函数的根本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，求得cosθ的值．【解答】解：∵θ为锐角，sinθ=，则cosθ==，应选：D．【点评】此题主要考察同角三角函数的根本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，属于根基题．4．〔3分〕〔2017•浙江学业考试〕log2=〔〕A．﹣2 B．﹣ C． D．2【分析】直接利用对数运算法则化简求解即可．【解答】解：log2=log21﹣log24=﹣2．应选：A．【点评】此题考察对数的运算法则的应用，考察计算能力．5．〔3分〕〔2017•浙江学业考试〕以下函数中，最小正周期为π的是〔〕A．y=sinx B．y=cosx C．y=tanx D．y=sin【分析】求出函数的周期，即可判断选项．【解答】解：y=sinx，y=cosx的周期是2π，y=sin的周期是4π，y=tanx的周期是π；应选：C．【点评】此题考察三角函数的周期的求法，是根基题．6．〔3分〕〔2017•浙江学业考试〕函数y=的定义域是〔〕A．〔﹣1，2] B．[﹣1，2] C．〔﹣1，2〕 D．[﹣1，2〕【分析】根据二次根式的性质求出函数的定义域即可．【解答】解：由题意得：，解得：﹣1＜x≤2，故函数的定义域是〔﹣1，2]，应选：A．【点评】此题考察了求函数的定义域问题，考察二次根式的性质，是一道根基题．7．〔3分〕〔2017•浙江学业考试〕点〔0，0〕到直线x+y﹣1=0的距离是〔〕A． B． C．1 D．【分析】利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：点〔0，0〕到直线x+y﹣1=0的距离d==．应选：A．【点评】此题考察了点到直线的距离公式，考察了推理能力与计算能力，属于根基题．8．〔3分〕〔2017•浙江学业考试〕设不等式组所表示的平面区域为M，则点〔1，0〕，〔3，2〕，〔﹣1，1〕中在M内的个数为〔〕A．0 B．1 C．2 D．3【分析】验证点的坐标是否满足不等式组，即可得到结果．【解答】解：不等式组所表示的平面区域为M，点〔1，0〕，代入不等式组，不等式组成立，所以〔1，0〕，在平面区域M内．点〔3，2〕，代入不等式组，不等式组不成立，所以〔3，2〕，不在平面区域M内．点〔﹣1，1〕，代入不等式组，不等式组不成立，所以〔﹣1，1〕，不在平面区域M内．应选：B．【点评】此题考察线性规划的应用，点的坐标与可行域的关系，是根基题．9．〔3分〕〔2017•浙江学业考试〕函数f〔x〕=x•ln|x|的图象可能是〔〕A． B． C． D．【分析】判断函数的奇偶性排除选项，利用特殊点的位置排除选项即可．【解答】解：函数f〔x〕=x•ln|x|是奇函数，排除选项A，C；当x=时，y=，对应点在x轴下方，排除B；应选：D．【点评】此题考察函数的图象的判断，函数的奇偶性以及特殊点的位置是判断函数的图象的常用方法．10．〔3分〕〔2017•浙江学业考试〕假设直线l不平行于平面α，且l⊄α，则〔〕A．α内的所有直线与l异面B．α内只存在有限条直线与l共面C．α内存在唯一直线与l平行D．α内存在无数条直线与l相交【分析】根据线面相交得出结论．【解答】解：由题意可知直线l与平面α只有1个交点，设l∩α=A，则α内所有过A点的直线与l都相交，应选D．【点评】此题考察了空间线面位置关系，属于根基题．11．〔3分〕〔2017•浙江学业考试〕图〔1〕是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1截去三棱锥A1﹣AB1D1后的几何体，将其绕着棱DD1逆时针旋转45°，得到如图〔2〕的几何体的正视图为〔〕A． B． C． D．【分析】正视图是光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图，结合三视图的作法，即可判断出其正视图．【解答】解：由题意可知几何体正视图的轮廓是长方形，底面对角线DB在正视图的长为，棱CC1在正视图中的投影为虚线，D1A，B1A在正视图中为实线；故该几何体的正视图为B．应选：B【点评】此题考察三视图与几何体的关系，从正视图的定义可以判断出题中的正视图，同时要注意能看见的轮廓线和棱用实线表示，不能看见的轮廓线和棱用虚线表示．12．〔3分〕〔2017•浙江学业考试〕过圆x2+y2﹣2x﹣8=0的圆心，且与直线x+2y=0垂直的直线方程是〔〕A．2x﹣y+2=0 B．x+2y﹣1=0 C．2x+y﹣2=0 D．2x﹣y﹣2=0【分析】求出圆心坐标和直线斜率，利用点斜式方程得出直线方程．【解答】解：圆的圆心为〔1，0〕，直线x+2y=0的斜率为﹣，∴所求直线的方程为y=2〔x﹣1〕，即2x﹣y﹣2=0．应选D．【点评】此题考察了直线方程，属于根基题．13．〔3分〕〔2017•浙江学业考试〕a，b是实数，则“|a|＜1且|b|＜1〞是“a2+b2＜1〞的〔〕A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义进展判断即可．【解答】解：“|a|＜1且|b|＜1〞，不一定能推出“a2+b2＜1，例如a=b=0.8，即充分性不成立，假设a2+b2＜1一定能推出a|＜1且|b|＜1，即必要性成立，故“|a|＜1且|b|＜1〞是“a2+b2＜1〞的必要不充分条件，应选：B．【点评】此题主要考察充分条件和必要条件的判断，比照根基．14．〔3分〕〔2017•浙江学业考试〕设A，B为椭圆〔a＞b＞0〕的左、右顶点，P为椭圆上异于A，B的点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，假设k1•k2=﹣，则该椭圆的离心率为〔〕A． B． C． D．【分析】由题意可得A〔﹣a，0〕，B〔a，0〕，设P〔x0，y0〕，由题意可得ab的关系式，结合椭圆系数的关系和离心率的定义可得．【解答】解：由题意可得A〔﹣a，0〕，B〔a，0〕，设P〔x0，y0〕，则由P在椭圆上可得y02=•b2，①∵直线AP与BP的斜率之积为﹣，∴=﹣，②把①代入②化简可得=，∴=，∴离心率e=．应选：C．【点评】此题考察椭圆的简单性质，涉及椭圆的离心率和直线的斜率公式，属中档题．15．〔3分〕〔2017•浙江学业考试〕数列{an}的前n项和Sn满足Sn=an﹣n，n∈N*，则以下为等比数列的是〔〕A．{an+1} B．{an﹣1} C．{Sn+1} D．{Sn﹣1}【分析】根据题意，将Sn=an﹣n作为①式，由此可得Sn﹣1=an﹣1﹣n+1，②，将两式相减，变形可得an=3an﹣1+2，③，进而分析可得an+1=3〔an﹣1+1〕，结合等比数列的定义分析即可得答案．【解答】解：根据题意，数列{an}满足Sn=an﹣n，①，则有Sn﹣1=an﹣1﹣n+1，②，①﹣②可得：Sn﹣Sn﹣1=〔an﹣an﹣1〕﹣1，即an=3an﹣1+2，③对③变形可得：an+1=3〔an﹣1+1〕，即数列{an+1}为等比数列，应选：A．【点评】此题考察数列的递推公式以及等比数列的判定，关键是求出数列{an}的通项公式．16．〔3分〕〔2017•浙江学业考试〕正实数x，y满足x+y=1，则的最小值是〔〕A．3+ B．2+2 C．5 D．【分析】利用“1〞的代换，然后利用根本不等式求解即可．【解答】解：正实数x，y满足x+y=1，则==2+≥2+2=2．当且仅当x==2﹣时取等号．应选：B．【点评】此题考察根本不等式在最值中的应用，考察计算能力．17．〔3分〕〔2017•浙江学业考试〕1是函数f〔x〕=ax2+bx+c〔a＞b＞c〕的一个零点，假设存在实数x0．使得f〔x0〕＜0．则f〔x〕的另一个零点可能是〔〕A．x0﹣3 B．x0﹣ C．x0+ D．x0+2【分析】由题意可得a＞b＞c，则a＞0，c＜0，且|a|＞|b|，得，然后分类分析得答案．【解答】解：∵1是函数f〔x〕=ax2+bx+c的一个零点，∴a+b+c=0，∵a＞b＞c，∴a＞0，c＜0，且|a|＞|b|，得，函数f〔x〕=ax2+bx+c的图象是开口向上的抛物线，其对称轴方程为x=﹣，则＜＜，画出函数大致图象如图：当0≤，函数的另一零点x1∈[﹣1，0〕，x0∈〔﹣1，1〕，则x0﹣3∈〔﹣4，﹣2〕，∈〔，〕，∈〔，〕，x0+2∈〔1，3〕；当﹣＜＜0，函数的另一零点x1∈〔﹣2，﹣1〕，x0∈〔﹣2，1〕，则x0﹣3∈〔﹣5，﹣2〕，∈〔，〕，∈〔﹣，〕，x0+2∈〔0，3〕．综上，f〔x〕的另一个零点可能是．应选：B．【点评】此题考察根的存在性及根的个数判断，考察数形结合的解题思想方法及分类讨论的数学思想方法，是中档题．18．〔3分〕〔2017•浙江学业考试〕等腰直角△ABC斜边CB上一点P满足CP≤CB，将△CAP沿AP翻折至△C′AP，使二面角C′﹣AP﹣B为60°，记直线C′A，C′B，C′P与平面APB所成角分别为α，β，γ，则〔〕A．α＜β＜γ B．α＜γ＜β C．β＜α＜γ D．γ＜α＜β【分析】建设坐标系，找出C′在平面ABC上的射影N，判断N到A，B，P三点的距离大小得出结论．【解答】解：以A为原点建设平面直角坐标系如以以下列图：过C作CM⊥AP，垂足为H，使得CH=MH，设MH的中点为N，∵二面角C′﹣AP﹣B为60°，∴C′在平面ABC上的射影为N．连接NP，NA，NB．显然NP＜NA．设AC=AB=1，则CH=sin∠PAC，∴CN=CH=sin∠PAC，∴N到直线AC的距离d=CN•sin∠ACN＜sin∠PAC，∵CP≤，∴sin∠PAC≤．∴d＜，即N在直线y=下方，∴NA＜NB．设C′到平面ABC的距离为h，则tanα=，tanβ=，tanγ=，∵NP＜NA＜NB，∴tanγ＞tanα＞tanβ，即γ＞α＞β．应选C．【点评】此题考察了空间角的大小比照，属于中档题．二.填空题19．〔6分〕〔2017•浙江学业考试〕设数列{an}的前n项和为Sn，假设an=2n﹣1，n∈N*，则a1=1，S3=9．【分析】由an=2n﹣1，n∈N*，依次求出数列的前3项，由此能求出结果．【解答】解：∵数列{an}的前n项和为Sn，an=2n﹣1，n∈N*，∴a1=2×1﹣1=1，a2=2×2﹣1=3，a3=2×3﹣1=5，∴S3=1+3+5=9．故答案为：1，9．【点评】此题考察数列的首项和前3项和的求法，考察数列的通项公式、前n项和公式等根基知识，考察运算求解能力，考察函数与方程思想，是根基题．20．〔3分〕〔2017•浙江学业考试〕双曲线﹣=1的渐近线方程是．【分析】根据双曲线的渐近线方程即可得到结论．【解答】解：∵双曲线的方程﹣=1，∴a2=9，b2=16，即a=3，b=4，则双曲线的渐近线方程为，故答案为：．【点评】此题主要考察双曲线渐近线的判断，根据双曲线的方程确定a，b是解决此题的关键．比照根基．21．〔3分〕〔2017•浙江学业考试〕假设不等式|2x﹣a|+|x+1|≥1的解集为R，则实数a的取值范围是〔﹣∞，﹣4]∪[0．+∞〕．【分析】令f〔x〕=|2x﹣a|+|x+1|，由不等式|2x﹣a|+|x+1|≥1的解集为R可得：f〔〕≥1，且f〔﹣1〕≥1，进而得到答案．【解答】解：令f〔x〕=|2x﹣a|+|x+1|，∵不等式|2x﹣a|+|x+1|≥1的解集为R，∴f〔〕≥1，且f〔﹣1〕≥1，∴|+1|≥1，且|﹣2﹣a|≥1，∴a≤﹣4或a≥0．即实数a的取值范围是：〔﹣∞，﹣4]∪[0．+∞〕故答案为：〔﹣∞，﹣4]∪[0．+∞〕【点评】此题考察的知识点是绝对值不等式的解法，函数恒成立问题，难度中档．22．〔3分〕〔2017•浙江学业考试〕正四面体A﹣BCD的棱长为2，空间动点P满足||=2，则的取值范围是[0，4]．【分析】建设空间中坐标系，设P〔x，y，z〕，求出关于x，y，z的表达式，根据||=2得出x，y，z的范围，利用简单线性规划得出答案．【解答】解：设BC的中点为M，则||=|2|=2，∴||=1，即P在以M为球心，以1为半径的球面上．以M为原点建设如以以下列图的空间坐标系如以以下列图：则A〔，0，〕，D〔，0，0〕，设P〔x，y，z〕，则=〔x﹣，y，z﹣〕，=〔，0，﹣〕，∴=x﹣z+2，∵P在以M为球心，以1为半径的球面上，∴x2+y2+z2=1，∵0≤y2≤1，0≤x2+z2≤1．令x﹣z+2=m，则直线x﹣z+2﹣m=0与单位圆x2+z2=1相切时，截距取得最值，令=1，解得m=0或m=4．∴的取值范围是[0，4]．【点评】此题考察了平面向量的数量积运算，属于中档题．三.解答题23．〔10分〕〔2017•浙江学业考试〕在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cosA=．〔1〕求角A的大小；〔2〕假设b=2，c=3，求a的值；〔3〕求2sinB+cos〔〕的最大值．【分析】〔1〕根据cosA=，求得A的值．〔2〕由题意利用余弦定理，求得a的值．〔3〕利用两角和差的三角公式化简解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得2sinB+cos〔〕的最大值．【解答】解：〔1〕△ABC中，∵cosA=，∴A=．〔2〕假设b=2，c=3，则a===．〔3〕2sinB+cos〔〕=2sinB+cosB﹣sinB=sinB+cosB=sin〔B+〕，∵B∈〔0，〕，∴B+∈〔，〕，故当B+=时，2sinB+cos〔〕取得最大值为．【点评】此题主要考察根据三角函数的值求角，余弦定理，两角和差的三角公式，正弦函数的定义域和值域，属于根基题．24．〔10分〕〔2017•浙江学业考试〕如图，抛物线x2=y与直线y=1交于M，N两点，Q为该抛物线上异于M，N的任意一点，直线MQ与x轴、y轴分别交于点A，B，直线NQ与x轴，y轴分别交于点C，D．〔1〕求M，N两点的坐标；〔2〕证明：B，D两点关于原点O的对称；〔3〕设△QBD，△QCA的面积分别为S1，S2，假设点Q在直线y=1的下方，求S2﹣S1的最小值．【分析】〔1〕由得M，N两点的坐标为M〔﹣1，1〕，N〔1，1〕〔2〕设点Q的坐标为〔〕，得点B坐标为〔0，x0〕，点D坐标为〔0，﹣x0〕，可得B，D两点关于原点O的对称．〔3〕由〔2〕得|BD|=2|x0|，S1=|BD||x0|=x02．在直线MQ的方程中令y=0，得点A坐标为〔，0〕，在直线NQ的方程中令y=0，得点C坐标为〔，0〕，S2═|AC||x02|=，令t=1﹣x02，t∈〔0，1]，则S2﹣S1=2t+﹣3≥2﹣3即可．【解答】解：〔1〕由得或∴M，N两点的坐标为M〔﹣1