中考数学-数形结合

第九讲数形结合思想

【中考热点分析】

数形结合思想就就是数学中重要得思想方法，她根据数学问题中得条件和结论之间得

内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义,使数量关系和几何图形巧妙得结合起来，并

充分利用这种结合,探求解决问题得思路，使问题得以解决得思考方法。几何图形得形象直观,

便于理解;代数方法得一般性,解题过程得操作性强，便于把握。

【经典考题讲练】

3

例1、（2015衢州）如图，已知直线丁=-^^+3分别交x轴、了轴于点/、8/就就是抛物

线y=-2f+2工+5得一个动点，其横坐标为为过点P且平行于了轴得直线交直线

3°

y=-^X+3于点Q,则当PQ=BQ时，a得值就就是、

例2、（2014•广州）已知平面直甭坐标系中两定点/（-1,0）,8（4,0）,抛物线『=加+扭：_2

3工0）过点4、瓦顶点为。、点8巩〃）缶<0）为抛物线上一点、

⑴求抛物线得解析式与顶点。得坐标、

（2）当NAPS为钝角叱求m得取值范围、

35

（3）若根>亍,当/4PS为直角时，将该抛物线向左或向右平移处m）个单位，点P、C

移动后对应得点分别记为，就就是否存在书使得，首尾依次连接/、B、p's所构

成得多边形得周长最短?若存在，求2值并说明抛物线平移得方向;若不存在，请说明理由、

解析：（1）待定系数法求解析式即可,求得解析式后转换成顶点式即可、2©）因为AB为直径,

所以当抛物线上得点P在OC得内部时，满足ZAPB为钝角，所以-1Vm<0,或3<m<4、

（3）左右平移时，使A'D+DB"最短即可，那么作出点C'关于x轴对称点得坐标为C”,得

到直线P"C"得解析式,然后把A点得坐标代入即可、

1

[^―i-2=0Ct——

答案：（1）解:依题意把AB得坐标代入得：\；解得：2

16。+48-4=0八二

2

1)3

抛物线解析式为y=5--QX-2

：,顶点横坐标X=-2=2,将X=2代入抛物线得》=_工X(2)2_2X(N)_2=_W

2a2222228

■:哈令

13

(2)如图，当/力郎=90♦时，设。(而5与2-/%-2),

1、3

则&£)=豌)+1,QF"=4-4，%F=之与一？，。—2

过3作,直线j||x轴，AEX/,BFX/

..LAED-LBFD

AE_DF

丽=而

(注意用整体代入法)

解得石=0,刍=3

£1(0-2)^(3-2)

当P在他,之间时,＞904

二.一1＜切＜0或3＜加＜4时，乙4PB为钝角、

(3)依题意切〉3,且/上尸8=90’

尸(3,-2)

设尸,C移动£(1〉0向右,£＜。向左)

:'P(3+L2)C(33+L2g5)

20

连接RC',PC',PB

则C曜pc=AB+8P+P'Cf+C'A

又43,FC'得长度不变

二.四边形周长最小，只需BP+C%最小即可

将。％沿X轴向右平移5各单位到BC"处

F'沿工轴对称为F"

13

...当且仅当F"、B、C*三点共线叱8P+G4最小，且最小为P*C*，此时C"(5+』,-

L13、，,25

.(—+z)k+8=——

产(3+1,2),设过得直线为、=以+3,代入，28;

(3+t)k+b=2

41

284141(3+2)

即»=----x+-------+2

2828

8=112^+2

28

将8(4,0)代入,得:-31x4+41。+0+2=0,解得I=-—

282841

:当，P、C向左移动”单位时，此时四边形ABP'C'周长最小。

41

例3、(2012杭州)如图，AE切。。于点E,AT交0O于点M,N,线段OE

交AT于点C,OB_LAT于点B,已知/EAT=30°,AE=3，5,AfM=2x/^、

(1)求ZCOB得度数；(2)求。。得半径R；(3)点F在。。上(而宝就就

是劣弧)，且EF=5,把△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使她得两个

顶点分别与点E,F重合、在EF得同一侧，这样得三角形共有多少个？

您能在其中找出另一个顶点在。。上得三角形吗？请在图中画出这个

三角形，并求出这个三角形与^OBC得周长之比、

A

解:⑴/E切。。于点E,：.OELAE,

-：08_1/7,，在401万和4。。8中,/AEC=ZCBO=90

而/方。0=/4位，/CO8=/4=30°、(3分)

图(1)

⑵在Rt^/CE■中,/万=3//=30

.,.EC=AE-tan30°=3、

如图⑴，连接0M

MN

在Rt4MoB中,OM=R,MB=~=J22,

：.OB=7喃一町=V^-22、

在RtZkCOS中,NCO8=30°,

OB_2A^2m_____

OC=cos300337斤—22、

-/OC+EC=R,：.3.7F—22+3=R

整理得欠2+18^—115=0,即（H+23）你一5）=0,

，区=-23（不符合题意,舍去），或R=5,：.R=5,（8分）

（3）在石厂得同一侧，满足题意得三角形共有6个，如图（2）（3）（4）,每个图有2个满足题意得三

角形、

能找出另一个顶点也在。。上得三角形，如图（1）,延长石。交O。于。，连接。6则△DFE

为符合条件得三角形、

由题意得,△AEE’s△。刀。、

2■CY产DE10

由（2）得,。石=2欠=10，。。=~^"22'=2CY\OBC=oc=2=5.（14分）

【解答策略提炼】

解题策略，数形结合思想包含"以形助教"和"以数助形"两个方面，即用数形结合思想解题

可分两类:一就就是依形判教，用形解决数得问题，常见于借助数轴、函数图像、几何图形来求

解代数问题；二十就数论形，用数解决形得问题，常见于运用恒等变形、建立方程（组卜面积转

换等求解几何问题。

【专项达标训练】

一、填空题

1.如图所示,在梯形ABCD中,AD//BC,/ABC=90°,AD=AB=6,BC=14,点M就就是线段

BC上一定点，且MC=8,动点P从C点出发沿C—D—A-B得路线运动，运动到点B停止,

在点P得运动过程中，使APMC为等腰三角形得点P有（）个。

2.已知抛物线y=ax2-2ax-l+a（a>0）与直线x=2,x=3,y=1围成得正方形有公共点，则a

得取值范围就就是。

3.如图，抛物线y=;x?+bx-2与X轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A(-l,0)，点M(m,O)

就就是x轴上得一个动点，当MC+MD得值最小时,m得值就就是24/41。

4.抛物线y=ax2+bx+c(aW0)与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若AA

BC就就是直角三角形，则ac二、

5、如图,半径为rl得圆内切于半径为r2得圆，切点为P,过圆心01得直线与

rl

002交于A、B,与。O1交于C、D,已知AC:CD：DB=3:4:2,则厂2=、

二、解答题

6.(1)如图,四边形ABCD中,/区4少=72。°,/8=/D=90°，在BC、CD上分

别找一点M、N,使4AMN周长最小时，求/AMN+/ANM得度数。

k2

(2)如图，直线y=左卜+b与双曲线y=—交于A、B两点，其横坐标分别为1

x

和5,求不等式上l%v—+b得解集。

x

7、如图,AC为。。疹在左，B就就是OO外一点八B交OO于E点，过E点作OO

得切线，交BC于D点,DE=DC,作瓦」AC于F点，交AD于M点。(1)求证:BC

就就是。O得切线。(2)EM=FM.

8、(2015•鄂州)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=i+2与x轴交于点A,与y轴交

于点C、抛物线y=ax2+bx+c得对称轴就就是*=-弓且经过A、C两点，与x轴得另一交点

为点B、

(1XD直接写出点B得坐标;②求抛物线解析式、

(2)若点P为直线AC上方得抛物线上得一点，连接PA,PC、求APAC得面积得最大值，并

求出此时点P得坐标、

(3)抛物线上就就是否存在点M,过点M作MN垂直x轴于点N,使得以点A、M、N为顶点

得三角形与AABC相似？若存在，求出点M得坐标；若不存在,请说明理由、

【基础重点轮动】

选择题

1.(—；尸+(L百)°+，(-2)2得值为()

A.-lB、-3C、1D、0

2.要使分式二一有意义，则x得取值范围就就是（）

x-1

A.xWlB、x<lC、x>1D、xW—1

3.对于函数y=2下列说法错误得就就是（）

X

A、她得图象分布在一、三象限

B、她得图象既就就是轴对称图形又就就是

中心对称图形

C、当x>0时,y得值随x得增大而增大

D、当X<0时,y得值随x得增大而减小

4.如图,PA、PB就就是OO得切线，切点就就是A、B,已知/P=60°,OA=3,那么/AOB

所对弧得长度为（）o

5.抛物线y=x2+bx+c（aro）图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得得图像解

析式为=x?-2x—3,则b,c得值为（）o

A.b=2,c=2B、b=2,c=0C、b=-2,c=-lD、b=-3,c=2

6.如图，4ABC中,CD，AB,垂足为D。下列条件中，不能证明△ABC就就是直角三角形得

就就是（）

A、对角线互相垂直且相等得四边形就就是正方形

B、有两边和一角对应相等得两个三角形全等

C、两条对角线相等得平行四边形就就是矩形

D、两边相等得平行四边形就就是菱形

8、如图所示，正方形网格中，网格线得交点称为格点。已知A、B就就是两格点，如果C

也就就是图中得格点，且使得AABC为等腰三角形，则C点得个数就就是（C）

As6D、9

填空题

9.如图，直线11II12II13,点A、B、C分别在在直线11、12、13上，若/1=70

22=50°，则/ABC=度。

第9题图第10题图

10、如图某水库堤坝横断面迎水坡AB得坡比就就是1:、回,堤坝高BC=50m,则迎水坡面

AB得长度就就是。

11、某课外小组得同学们在社会实践活动中调查了20户家庭某月得用电量，如下表所示:

»用电量（度）120140160180200

户数23672

则这20户家庭该月用电量得众数和中位数分别就就是

12.已知菱形ABCD得边长就就是8,点E在直线AD上，若DE=3，连接BE与对角线AC

相交于点M,则SAABM得值为______________

第10讲综合性解答问题

【中考热点分析】

代数型综合题就就是指以代数知识为主得或以代数变形技巧为主得一类综合

题，涉及知识:主要包括方程、函数、不等式等内容。解题策略:用到得数学思想

方法有化归思想、分类思想、数形结合思想以及代入法、待定系数法、配方法

等。

几何型综合题就就是指以几何知识为主或者以几何变换为主得一类综合题。涉

及知识:主要包括几何得定义、公理、定理、几何变换等内容。解题策略:解决几

何型综合题得关键就就是把代数知识与几何图形得性质以及计算与证明有机融

合起来，进行分析、推理，从而达到解决问题得目得。

代数和几何型综合题就就是指以代数知识与几何知识综合运用得一类综合题。

涉及知识:代数与几何得重要知识点和多种数学思想方法。

【经典考题讲练】

例1、如图，已知矩形048c中，04=2,4咫4,双曲线y=&(k>0)与矩形两边AB.

X

8c分别交于石、Fo

(1)若“就就是得中点，求产点得坐标；

(2)若将沿直线石尸对折陷点落在x轴上得D点，作EGLOC,垂足为G,证明△后

并求上得值。

例2、(2014•十堰)已知抛前线Ci：y=a(x+1)2-2得顶点为A,且经过点B(-2,-l)、

(1)求A点得坐标和抛物线

⑵如图1,将抛物线Ci向m-

D两点，求S^OAC：SZSOAD得值

(3)如图2,若过P(-4,0),Q(0,2)彳°七"E在(2)中抛物线C2对称轴右侧部分(含顶点)

例1题图

运动，直线m过点C和点E、问:就嬴仁令-付红直线m,使直线l,m与x轴围成得三角形和直线

分析：(1)由抛物线得顶点式易得顶点A坐标，把点B得坐标代入抛物线得解析式即可解决

问题、

(2)根据平移法则求出抛物线C2得解析式，用待定系数法求出直线AB得解析式，再通过解方程

组求出抛物线C2与直线AB得交点C、D得坐标，就可以求出SZ\OAC:SZ\OAD得值、

(3)设直线m与y轴交于点G,直线l,m与x轴围成得三角形和直线1,m与y轴围成得三角

形形状、位置随着点G得变化而变化，故需对点G得位置进行讨论，借助于相似三角形得判

定与性质、三角函数得增减性等知识求出符合条件得点G得坐标，从而求出相应得直线m得

解析式、

例3、(10分)(2015•桂林)如图，四边形ABCD就就是OO得内接正方形,AB=4,PC、P

D就就是<30得两条切线，C、D为切点、

⑴如图1,求。。得半径；

(2)如图1,若点E就就是BC得中点，连接PE,求PE得长度；

(3)如图2,若点M就就是BC边上任意一点(不含B、C),以点M为直角顶点，在BC得上方作

ZAMN=90°，交直线CP于点N,求证：AM=MN、

分析:(1)利用切线得性质以及正方形得判定与性质得出OO得半径即可；

(2)利用垂径定理得出OE，BC,/OCE=45°,进而利用勾股定理得出即可；

(3)在AB上截取BF=BM,利用(1)中所求，得出NECP=135°,再利用全等三角形得判

定与性质得出即可、

【解答策略提炼】

1、代数综合题就就是以代数知识及代数变形为主得综合题。主要包括方程、函

数、不等式等内容。解题策略:用到得数学思想方法有化归思想、分类思想、数

形结合思想以及代入法、待定系数法、配方法等。解代数综合题要注意方程、

不等式和函数、统计等知识点之间得横向联系和数学思想方法、解题技巧得灵

活运用，要抓住题意，化整为零，层层深入，各个击破，从而解决问题。

2、几何综合题考查得图形种类多、条件隐晦，在观察方法上要注意从三角形、四

边形、圆得定义、性质、判定来观察分析图形，通过寻找、分解、构造基本图形

以发现图形特征;在思考方法上分析挖掘题目得隐含条件,注意结合代数知识与

几何图形得性质思考，不断得由已知想未知，为解决问题创造条件。

【专项达标训练】

一、填空题

1.如图，在四边形ABCD中,AB=4,BC=7,CD=2,AD=x，则x得取值范围就就

是0

2.如图，在4ABC中,AB=AC,D在AB上,BD=AB,则ZA得取值范围就就是。

4

第2题图

BC=4、若以C

点为圆心,r为半径所作得圆与斜边AB只有一个公共点，则r

得取值范围就就是O

4.如图，矩形ABCD中,E为DC得中点,AD：AB=M:2,CP:BP=1:2,连接EP并延长，交AB

得延长线于点F,AP、BE相交于点O、下列结论:①EP平分NCEB;②△EBPs^EFB;③

AABPcnAECP;④AOAP=OB2、其中正确得序号就就是、（把您认

为正确得序号都填上）

5.（2015南通）关于X得一元二次方程ax2-3x-l=0得两个不相等得实数根都在-1和0之间（不

包括-1和0）,则a得取值范围就就是o

二、解答题

6、（2014牡丹江）（2014年黑龙江牡丹江）如图，在RtZiABC中,/ACB=90°,AC=8,B

C=6,CD_LAB于点D、点P从点D出发,沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线

段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度,当点P运动到C时，两点都

停止、设运动时间为t秒、

（1）求线段CD得长；

（2）设ACPQ得面积为S,求S与t之间得函数关系式，并确定在运动过程中就就是否存在某

一时刻3使得SACPQC^ABCM9：100?若存在，求出t得值;若不存在，说明理由、

（3）当t为何值时，ACPCJ为等腰三甭形？

备用图1备用图

2

分析.•设AD=px,AB=2x，根据矩形的性质得出AD=BC=W

x,AB=CD=x,/D=/C=/ABC=90。，DCIIAB,求出DE=CE=x,CP=^x,BP=^x,根据

PCCE

tanzCEP=^7,tan/EBC而，求出/CEP=30。，zEBC=30°,zCEB=60°,即可判断①；证出

/F=/EBPKLPEB=/PEB,即可推出△EBP-AEFB,判断②即可；证△ECP-^FBKl

△ABPsAFBP,即可判断①，证出△AOB-ABOP,得出第=绛,推出OB2=AO・OP,即可

UrUH

判断③.

AB=2x,

•：四边形ABCD是矩形,

.*.AD=BC=-j3x,AB=CD=x,zD=xC=z,ABC=90°tDCIIAB,

.・E为CD中点,

.'.DE=CE=x,

/CP：BP=1：2,

.•.CP再x,BP=^x,

、再

---tanxCEP=f|J…CEx小

tanzEBC=^=瓦=y

---------D

.-.xCEP=30°,zEBC=30",

-.•xC=90°,

.".xCEB=60°,

.-.xBEP=3O°=^CEP,

即EP平分/CEB一••①正确；

•/DCIIAB,

.-.xCEP=zF=3O°,

---xEBP=3O°,

.-.xF=zEBP,

zPEB=/PEB,

/.△EBP-AEFB，:②正确；

•■•DCIIAB,

.-.△ECP-AFBP,

ECCP1

"BF=5P=2，

・•.ECJBF,

・；E为CD中点,

AB=CD,

.".EC=1CD=1AB,

.-.AB=BF,

在AAB丽4FBP中

'AB=BF

<乙4BP=4FBP=9Q。,

BP=BP

.'.△ABPsAFBP,

,■•△ECP>-AFBP,

•AADD-Acro••

7.(2013•连云港)如图，已知一次函数y=2x+2得图像与y轴交于点B,与反比

例函数y=kl/x得图像得一个交点为A(l,m),过点B作AB得垂线BD,与反比例

函数y=k2/x交于点D(n,-2)、1(*)求kl和k2得值；

(2)若直线48、BD分别交x轴于点C、E,试问在y轴上就就是否存在一个点

F,使得△BDFs^ACE?若存在，求出点F得坐标;若不存在,请说明理由、

分析：。)将A坐标代入一次函数解析式中求出m的值，确定出A的坐标，将A坐标代入反

比例函数y=%中即可求出kl的值；过A作AM垂直于y轴，过D作DN垂直于y轴，可得出一对

X

直角相等,再由AC垂直于BD,利用同角的余角相等得到一对角相等，利用两对对应角相

等的两三角形相似得到三角形ABM与三角形BDN相似，由相似得比例,求出DN的长，确定

出D的坐标，代入反比例函数y=±中即可求出k2的值；

X

(2)在y轴上存在一个点F,使得△BDF-4ACE,此时F(0,-8),理由为：由y=2x+2求出

C坐标，由0B=0N=2,DN=8,可得出0E为三角形BDN的中位线,求出0E的长，进而利用

两点间的朝公"出AE,CE,AC,BD的长，吸，EBO=，ACE=，EAC,若

△BDF-ZiACE,得到比例式，求出BF的长，即可确定出此时F的坐标，

再利用BD=DF时，进而得出即可.

解答：解：(1)将A(1,m)代入一次函数y=2x+2中，得：m=2+2=4，即A(1,4),

将A(1,4)代入反比例解析式y2得：kl=4；

X

过A作AM,渊,过酢DN"©,

••./AMB=/DNB=90°,

.♦.NBAM+ZABM=90°,

•;AC±BD,KJzABD=90°,

LABM+/DBN=90°,

zBAM=/DBN,

.•.△ABMMBDN,

.4AfBM__12

'"BN=DN'叫=DN'

.••DN=8,

•••D(8,-2),

将D坐标代入y=”得：k2=-16；

X

(2)符合条件的F坐标为(0,-8),理由为：

由y=2x+2,求出C坐标为（-1,0）,

-OB=ON=2,DN=8,

.-.0E=4,

可得AE=5,CE=5,AC=2j5,BD=4j5,zEBO=zACE=zEAC,

SABDF-AACE,唬■笺,即若写,

解得：BF=10,

则F(0,-8).

综上所述：F点坐标为(0,-8)时，△BDF-^ACE.

融.•此题考查了反比例综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质,待定系数法

确定函数解析式，坐标与图形性质,熟练掌握待定系数法是解本尊的关健.

8、(2015温州)如图八B就就是半圆。得直径,CDJ_AB于点C,交半.圆于点E,DF切半

圆于点F、已次口/AEF=135°、

⑴求证：DF//AB；

(2)若OC=CE,BF=2后，求DE得长、

9、(2015•海南)如图，二次函数y=ax2+bx+3得图象与x轴相交于

点A(-3,0)、B(1,0),与y轴相交于点C,点G就就是二次函数图象得顶点，直线GC交x

轴于点H(3,0),AD平行GC交y轴于点D、

(1)求该二次函数得表达式;

⑵求证:四边形ACHD就就是正方形;

(3)如图2,点M(t,p)就就是该二次函数图象上得动点,并且点M在第二象限内，过点M得直线

y=kx交二次函数得图象于另一点N、

①若四边形ADCM得面积为S,请求出S关于t得函数表达式，并写出t得取值范围;

21

②若ACMN得面积等于4,请求出此时①中S得值、

一、选择题

2%+2

1、(2013、山西)解分式方程——+----=3时，去分母后变形为()