直线与圆、圆与圆的位置关系（原卷版）

专题36直线与圆、圆与圆的位置关系

【考点预测】

一.直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系有3种，相离，相切和相交

二.直线与圆的位置关系判断

（1）几何法（圆心到直线的距离和半径关系）

圆心36）到直线Ax+By+C=O的距离，则d=阴+劭+CI:

7A2+B2

直线与圆相交，交于两点P,Q,\PQ\=2y/r2-d2；

d=ro直线与圆相切；

直线与圆相离

（2）代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）

JAx+By+C=0

由「工一幻,+⑶一份,二产'

消元得到一元二次方程pf+qx+f=O,pd+f=0判别式为△,贝I］：

A>0。直线与圆相交；

A=0o直线与圆相切；

A<0o直线与圆相离.

三.两圆位置关系的判断

用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：

设两圆的半径分别是民厂，（不妨设尺>厂），且两圆的圆心距为d,则：

两圆相交；

d=R+ro两圆外切；

R—厂</<R+厂。两圆相离

d=R—厂。两圆内切；

04d<R—厂。两圆内含（d=0时两圆为同心圆）

设两个圆的半径分别为R,r,R>r,圆心距为d,则两圆的位置关系可用下表来表示:

位置关系相离外切相交内切内含

d>R+「d=R+rR—r<d<R+rd—R—r

几何特征d<R—r

无实一组实一组实

代数特征两组实数解无实数解

数解数解数解

公切线条数43210

【方法技巧与总结】

关于圆的切线的几个重要结论

(1)过圆X2+y2=产上一点尸(%,%)的圆的切线方程为为y=产.

(2)过圆。-02+。-力2=产上一点产(毛,％)的圆的切线方程为

(%-a)(x-a)+(%-t>)(y-t>)=r2

(3)过圆彳2+9+Dx+号+尸=0上一点产(毛,%)的圆的切线方程为

xox+yoy+D-^^+E-^^+F=O

(4)求过圆/户外一点产(毛,%)的圆的切线方程时，应注意理解：

①所求切线一定有两条；

②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论.设切线方程为丁-%=%。-%)，利用圆

心到切线的距离等于半径，列出关于左的方程，求出左值.若求出的％值有两个，则说明斜率不存在的情形

不符合题意；若求出的左值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意.

【题型归纳目录】

题型一：直线与圆的相交关系(含弦长、面积问题)

题型二：直线与圆的相切关系、切点弦问题

题型三：直线与圆的相离关系

题型四：圆与圆的位置关系

题型五：两圆的公共弦问题

【典例例题】

题型一：直线与圆的相交关系(含弦长、面积问题)

例1.(2022•青海玉树•高三阶段练习(理))已知直线x+y-耳=0与圆C：(x+1)2+(y-l)2=2a2-2a+l

相交于点A,B,若ABC是正三角形，则实数。=()

A.-2B.2C.--D.g

22

例2.(2022•全国•高三专题练习)已知直线>=依(左>0)与圆C:(x-2y+(y_l)2=4相交于A,8两点

|AB|=2A/3,贝廉=()

1415

A.-B.-C.-D.—

53212

例3.(多选题)(2022•山东青岛•二模)已知C:V+y2-6x=0,则下述正确的是()

A.圆C的半径r=38.点(1,20)在圆C的内部

C.直线/:x+百y+3=0与圆C相切D.圆C':(x+lY+y2=4与圆C相交

例4.（多选题）（2022•全国•南京外国语学校模拟预测）已知圆C："-5）2+（＞-3）2=2,直线/：y^ax+1,

则下列说法正确的是（）

A.当。=0时，直线/与圆C相离

B.若直线/是圆C的一条对称轴，则。=：

C.已知点N为圆C上的动点，若直线/上存在点P,使得〃VPC=45。，则a的最大值为g

D.已知M（5,3+夜），A（s,f）,N为圆C上不同于M的一点，若/M4N=90。，则，的最大值为逑土U

例5.（多选题）（2022•江苏•高二单元测试）设有一组圆G：（x-4+（yj）2=4（AeR）,下列命题正确

的是（）

A.不论上如何变化，圆心始终在一条直线上

B.存在圆C«经过点（3,0）

C.存在定直线始终与圆Ck相切

(30内<7230

D.若圆Ck上总存在两点到原点的距离为1,则上w

[22)[22)

例6.（多选题）（2022•河北沧州•二模）已知直线/:内+勿-2=0,圆C:（x-af+（y-6）2=2,则下歹I]

结论正确的有（）

A.若a-b=l,则直线/恒过定点（2,-2）

B.若a=6,则圆C可能过点（0,3）

C.若〃+户=2,则圆C关于直线/对称

D.若/+/=1,则直线/与圆C相交所得的弦长为2

例7.（多选题）（2022•河北•高三阶段练习）已知圆M:（x+l）2+（y+l）2=4,直线/：x+y-2=0,尸为

直线/上的动点，过点尸作圆加的切线P4P8,切点为A,B,则下列说法正确的是（）

A.四边形面积的最小值为4

B.当直线AB的方程为x+y=0时，NAPB最小

C.已知圆上有且仅有两点到直线/的距离相等且为d,则de（2&-2,2&+2）

D.若动直线4，/,且4交圆M于C、。两点，且弦长COe（2点,26），则直线乙纵截距的取值范围为

（-2,-点）5近,2）

例8.（多选题）（2022•全国•高三专题练习）已知圆C的方程为（x+iy+y2=4,贝l]（）

A.若过点（0,1）的直线被圆C截得的弦长为26，则该直线方程为，=1

B.圆C上的点到直线3x-4y-12=0的最大距离为5

C.在圆C上存在点。，使得。到点（-M）的距离为4

D.圆C上的任一点M到两个定点0（0,0）、A（3,0）的距离之比为g

例9.（多选题）（2022•全国•模拟预测）（多选）已知圆C:（x-iy+（y-2）2=25,直线

/:（2m+l）x+（m+l）y-7m-4=0.则以下几个命题正确的有（）

A.直线/恒过定点（3,1）B.圆C被y轴截得的弦长为4后

C.直线/与圆C恒相交D直线/被圆C截得最长弦长时，直线/的方程为2x-y-5=o

例10.（多选题）（2022辽宁一模）己知圆的圆心在直线尤=-2上，且与2=0相切于点。上1,6）,

过点。（-1,0）作圆的两条互相垂直的弦AE、BF.则下列结论正确的是（）

A.圆的方程为：（x+2y+y2=4

B.弦AE的长度的最大值为2班

C.四边形A3EP面积的最大值为4君

D.该线段AE、3尸的中点分别为M、N,直线恒过定点，go）

例11.（2022•全国•高二专题练习）若圆C：M+y2-2x-2y=0上至少有三个不同点到直线/:、=履的距离

为正，则上的取值范围

2

例12.（2022•山东烟台•三模）已知动点尸到点4（1,0）的距离是到点3（1,3）的距离的2倍，记尸点的轨迹

为C,直线丫=辰+1交C于N两点，。（1,4）,若的面积为2,则实数上的值为.

例13.（2022•河南•高三阶段练习（文））直线y=2x+l与圆C：/+/一4》-5=0相交于"，N两点、,

则河=.

例14.（2022•天津•高考真题）若直线x-y+〃工=0（〃工＞0）与圆（尤-iy+（y-l）2=3相交所得的弦长为机，

贝|］机=.

例15.（2022•全国•模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，过点A（0,-3）的直线/与圆C：d+⑶一2了=9相

交于Af,N两点，若“40JV=tsAACM，则直线/的斜率为.

例16.（2022•全国•高三专题练习（文））已知曲线+4%-3与直线fcv-y+kT=0有两个不同的交点，

则实数k的取值范围是.

例17.（2022•全国•高三专题练习）已知直线/：2小一〉一8"2-3=0和圆C：%2+/-6x+12y+20=0.

（1）求圆C的圆心、半径

（2）求证：无论加为何值，直线/总与圆C有交点；

（3）机为何值时，直线/被圆C截得的弦最短？求出此时的弦长.

例18.（2022•全国•模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，点/（3,0），,直线/:（2机+1卜-（4机一1）

y+1=0（mNO）,动点尸满足1PMi=2|PN|,则动点尸的轨迹「的方程为,若「的对称中心为C,I

与「交于4B两点,则的方程为ABC面积的最大值为.

【方法技巧与总结】

（1）研究直线与圆的相交问题，应牢牢记住三长关系，即半径长,、弦心距d和半径r之间形成的数

2

量关系（§2+/=/.

（2）弦长问题

①利用垂径定理：半径r，圆心到直线的距离弦长/具有的关系/=储+二）2,这也是求弦长最常

用的方法.

②利用交点坐标:若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长.

③利用弦长公式：设直线/:>=履+6,与圆的两交点（为，%）,（9，%），将直线方程代入圆的方程，

消元后利用根与系数关系得弦长：/="正1%-%|=J（1+刊）［（%+/产-i=Jd+八）•g-

题型二：直线与圆的相切关系、切点弦问题

例19.（2022•湖北•模拟预测）已知圆0：M+y2=3,/为过"（1,0）的圆的切线，A为/上任一点，过

A作圆N：（x+2）2+V=4的切线，则切线长的最小值是.

例20.（2022•天津市第四十七中学模拟预测）过点尸（2,2）与圆（x-l）2+/=5相切的直线是.

例21.（2022•全国•高三专题练习）已知圆。：贝次+丁=4,过点。（2,4）作圆的切线，则切线的方程为

例22.（2022•广东•高三开学考试）过点尸（2,2）作圆/+,2=4的两条切线，切点分别为A、B,则直线A3

的方程为.

例23.（2022•河南•郑州四中高三阶段练习（文））已知圆（7:炉+/一4x-2y+l=0,点尸是直线y=4上

的动点，过P作圆的两条切线，切点分别为A,B,则|A@的最小值为.

例24.（2022全国•高三专题练习汨知直线/：x-y+1=。，若尸为/上的动点，过点P作，：C:（x-5>+;/=9

的切线R4、PB,切点为A、B,当IPCWA8I最小时，直线A8的方程为.

一

例25.（2022•全国•高三专题练习）已知点。是直线/：x-y-4=。上的动点，过点。作圆0：x2+y2=4

的切线，切点分别为A,B,则切点弦A8所在直线恒过定点.

例26.（多选题）（2022•江苏省赣榆高级中学模拟预测）已知点M在直线/：丫-4=无（％-3）上，点N在圆

O：f+y2=9上，则下列说法正确的是（）

A.点N至卜的最大距离为8

B.若/被圆0所截得的弦长最大，则女=]

C.若/为圆。的切线，则k的取值范围为[。，盘，

D.若点M也在圆。上，则。至I"的距离的最大值为3

例27.（2022•河南•温县第一高级中学高三阶段练习（理））设尸为直线3无-4>+11=0上的动点，过点P

作圆C：d+y2_2尤-2y+l=0的两条切线，切点分别为A,B,则四边形B1C8面积的最小值为（）.

A.垃B.y/3C.76D.2

例28.（2022•全国•高三专题练习）已知“（3,4）是半径为1的动圆C上一点，尸为圆。：尤?+丁=i上一

动点，过点尸作圆C的切线，切点分别为A,B,则当取最大值时，的外接圆的方程为（）

A.x2+y2-3x-4j-6=0B.x2+y2-3x-4y+6=0

C.x2+y2-3x-4y=0D.x2+-4.r-3y=0

例29.（多选题）（2022唉国•模拟预测）已知直线/：x-y+5=0,过直线上任意一点M作圆C：（x_3y+y2=4

的两条切线，切点分别为4B,则有（

A.四边形MACB面积的最小值为4近B.NAMB最大度数为60。

C.直线A8过定点。.|相|的最小值为相

【方法技巧与总结】

（1）圆的切线方程的求法

①点%）在圆上,

法一：利用切线的斜率勺与圆心和该点连线的斜率的”的乘积等于-1,即kOM-k,=-l.

法二：圆心O到直线/的距离等于半径r.

②点M（%o，%）在圆外，则设切线方程：丁-%二以无一毛），变成一般式：西-丁+%-飙=。，因为与

圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出鼠

注意：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有

一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上.

（2）常见圆的切线方程

2

过圆炉+）2=/2上一点p（%0,%）的切线方程是/x+=r.

过圆（x-a）2+（y—力）2=/上一点玖毛,为）的切线方程是（犬0—〃）（％_〃）+（%一纵,一切二产.

过圆％2+丁=户外一点尸（七,%）作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为%^+%丁=，

过曲线上尸（毛,%）,做曲线的切线，只需把/替换为X/,/替换为为y,X替换为血产,y替换

为%+y即可,因此可得到上面的结论.

2

题型三：直线与圆的相离关系

例30.（2022•荔湾区校级模拟）由直线y=x+l上的点向圆（尤-3）2+（y+2）2=l引切线，则切线长的最小值

为（）

A.V17B.3A/2C.y/19D.2石

例31.已知点尸为圆C:（x-Ip+（y-If=2上的动点，则尸点到直线/:x-y+4=0的距离的最小值为

例32.（2022•洛阳二模）已知点p（无,y）是直线fcc+y+4=0（左＞0）上一动点，PA,P3是圆C:f+丁一2丁=0

的两条切线，A、3是切点，若四边形R4cB的最小面积是2,则%的值为一.

例33.（2022春•个旧市校级期末）已知圆。：/+V=i和定点A（2,1）,由圆。外一点尸3,力向圆O引

切线PQ,切点为。，且满足|尸。|=|上4|.

（1）求实数。、6间满足的等量关系；

（2）求线段尸。长的最小值.

例34.（多选题）（2022•全国•模拟预测）已知点P在圆。/+/=4上，点4（3,0）,8（0,4）,则（）

A.点尸到直线A3的距离最大值为?

B.满足AP_LBP的点P有3个

C.过点8作圆。的两切线，切点分别为则直线MN的方程为y=l

D.2|R4|+|P@的最小值是2亚

【方法技巧与总结】

关于直线与圆的相离问题的题目大多是最值问题，即直线上的点与圆上的点的最近或最远距离问题，

这样的题目往往要转化为直线上的点与圆心距离的最近和最远距离再加减半径长的问题.

题型四：圆与圆的位置关系

例35.（2022•全国•高三专题练习）已知圆G:（尤-2y+（y-2）2=广（4>0）,圆

C2：（x+l）2+（y+l）2=42（2>0）,圆G与圆G相切，并且两圆的一条外公切线的斜率为7,则也为

例36.（2022•全国•高考真题）写出与圆x2+y2=i和（x-3）2+（y-4>=16都相切的一条直线的方程

例37.（2022•黑龙江•双鸭山一中高三开学考试（文））若圆G：Y+y2=4与圆C2：/+y2-6x-8y+根=0

外切，则实数加的值是（）

A.-24B.-16C.24D.16

例38.（2022•广西桂林•模拟预测（文））圆G：x2+V-14x=0与圆C2：（x-3）2+（y-4）2=15的位置关系

为（）

A.相交B.内切C.外切。.相离

例39.（2022•陕西•西安中学一模（理））在平面直角坐标系xQy中，圆C1：x?+/+2x-6y+6=0与圆C?：

x2+y2-4^+2y+4=0,则两圆的公切线的条数是（）

A.4条B.3条C.2条D1条

例40.（2022•全国•高三专题练习）圆d+（y-2）2=4与圆V+2mx+y2+W-i=。至少有三条公切线，

则m的取值范围是（）

A.卜00,-B.[6,+℃）

C.D.

例41.（2022•云南师大附中高三阶段练习（文））已知圆。仃*+9=2,圆5：x2+y2-/7/.r-my-2=0

（meR且〃zr0）,则圆。i与圆。2的公切线有（）

A.4条B.C.2条D3条

例42.（2022•山东聊城•二模）已知点尸在圆0：X2+/=4±,点A（-3,0）,B（0,4）,满足APL3尸的

点P的个数为（）

A.3B.2C.1D.0

例43.（2022•云南省下关第一中学高三开学考试）若圆Y+y2=i上总存在两个点到点（a,l）的距离为2,

则实数。的取值范围是（）

A.（-2四,0）5。,2@B.（一2"2①

C.（-1,0）」（0,1）D.（-1,1）

o

例44.（2022•福建•三明一中模拟预测）已知圆。：/+、2=],圆M：（x-a）2+（y-l）2=i,若圆M上存

■7T

在点P,过点P作圆。的两条切线，切点分别为A,B,使得ZAP2=m，则实数a的取值范围是（）

A.[-715,715]B.[-有，百]C.[括，后]D.[-715,-^][73,715]

例45,（2022•全国•高三专题练习）已知圆Ci：N+y2+4Qx+4〃2—4=0和圆C2：x2+y2—2/?y+/?2—1=0

11

只有一条公切线，若a,匹7?且〃厚0,则冬+与的最小值为（）

ab

A.3B.8C.4D.9

例46.（2022•河南•模拟预测（文））下列方程中，圆£：炉-2%+丁=0与圆C2：4/+4y2=9的公切线方程

是（）

A.%+百y+3=0B.x+gy-3=0

C.y/3x+y+3=0D.y/3x~y~3-0

【方法技巧与总结】

已知两圆半径分别为不弓，两圆的圆心距为d,则：

（1）两圆外离o弓+&vd；

（2）两圆外切o4+G=d；

（3）两圆相交|<d<q+弓；

（4）两圆内切0|么一弓1=。；

（5）两圆内含o|彳一々|>d；

题型五：两圆的公共弦问题

例47.（2022哈国•高三专题练习）设点尸为直线2%+丁-2=。上的点，过点尸作圆C：x2+y2+2x+2y-2=0

的两条切线，切点分别为A,B,当四边形必C3的面积取得最小值时，此时直线A8的方程为（）

A.2x—y—l=QB.2x+y—l=0

C.2x—y+l=0D.2%+y+l=0

例48.（2022•河南•二模（文））已知圆C：尤？+/一米+2y=。与圆C?:无？+/+0一2=。的公共弦所在直

线恒过点尸，则点尸的坐标为()

A.(1,-1)B.(-1,-1)C.(-U)D.(1,1)

例49.(2022•浙江省普陀中学高三阶段练习)圆Q:(尤-l)2+(y-l)2=28与a：x2+(y-4)2=18的公共弦

长为()

A.2君B.276C.3历D.6他

例50.(2022•全国•高三专题练习)圆C|：x2+y2-2x-3=。与圆G：/+/+4尤-2y+l=0公共弦所

在直线的方程为()

A.3x+y+l=0B.3%-y+l=0C.3x+y+2=0D.3x-y+2=0

例51.(2022.全国.高三专题练习)已知圆C]:Y+必=/与圆：(尤-4+(-4r2(r>0)交于不同

的4(4凶)，3优,必)两点，下列结论正确的有()

A.%+々。8.%+必=2b

22

C.2axl+2byx=a+bD.-x2)+Z?(yj-y2)=0

例52.(2022•全国•高三专题练习)已知圆&：x?+y2-2尤-3=0与圆a2：尤z+V-4x+2y+3=0相交于点A,

B,则四边形A。田。2的面积是()

A.1B.2C.3D.4

【方法技巧与总结】

两圆的公共弦方程为两圆方程相减可得.

【过关测试】

一、单选题

1.不论上为何值，直线依+>-1+软=0都与圆相交，则该圆的方程可以是()

A.(x-2F+(y+l)2=25B.(%+1)2+(y+2)2=25

C.(X-3)2+(J+4)2=25D.(尤+炉+(y+3)2=25

2.已知圆。：x2+/=10,已知直线/：依+勿=2a-b(a,Z?eR)与圆。的交点分别M,N,当直线/被圆

O截得的弦长最小时，|加朋=()

A.正B.正C.275D.375

22

3.过点(2,3)的直线/与圆C：尤2+丁+4》+3=。交于A,B两点，当弦|明取最大值时，直线/的方程为()

A.3九一4y+6=0B.3x-4y-6=0C.4%-3y+8=0D.4x+3y-8=0

4.若直线/：3工+4了+<2=/0(。€、!<)与圆0：c/+c>2=9交于不同的两点4、8,且iuu口r4n+u0n,q=A/<火lU_U卜fliq，则4=()

A.±5y/5B.±3A/5C.±2君D.±5

5.若点A（LO）,8（0,3）到直线/的距离分别为1和4,则这样的直线/共有（）条

A.4B.3C.2D.1

6.已知圆C:d+/+2欧=0（a>0）截直线氐-y=0所得的弦长为2班，则圆C与圆C':（x-l）2+（y+l）2=l

的位置关系是（）

A.相离B.外切C.相交D.内切

7.设A(-2,0),B(2,0),7为坐标原点,点尸满足I尸AF+I尸8匹16,若直线区-》+6=0上存在点。使得

JT

NPQO=r，则实数上的取值范围为()

-V14g

A，[FTB.一一———,+1»

I2JL2J

J⑹「石〜]八「妍君一

C.-<»,--——,+(»D-

22-T5T

8.点M为直线y=-升4上一点，过点〃作圆。：元2+^=4的切线加尸，MQ,切点分别为P,Q,当四边

形MPOQ的面积最小时，直线PQ的方程为（）

A.x~\~y—2=0B.x-i-y—5/2=0

C.x+y—1=0D.x+y+l=0

二、多选题

9.已知圆。：兀2+）2一4%=。和直线/：履一>+1-2左=0,则（）

A.直线/与圆。的位置关系无法判定

B.当左=1时，圆C上的点到直线/的最远距离为2+变

2

C.当圆C上有且仅有3个点到直线/的距离等于1时，k=0

D.如果直线/与圆C相交于两点，则弦的中点的轨迹是一个圆

10.已知圆C：x2+y2=4,直线/过点p（-2,4）,若将圆C向上平移4个单位长度，再向右平移3个单位

长度得到圆C',则下列说法正确的有（）

A.若直线/与圆C相切，则直线/的方程为3x+4y—10=0

B.若直线/与圆C交于A,8两点，且ABC的面积为2,则直线/的方程为x+y—2=0或

7x+y+10=0

C.若过点（2,0）的直线厂与圆C交于M,N两点，则当aCMN面积最大时，直线/'的斜率为1或一1

D.若。是x轴上的动点，QR,QS分别切圆C'于R,S两点，则直线RS恒过一个定点

11.已知点P（X»）是圆C:（X-1）2+/=4上的任意一点，直线/