云南省昆明市2025届高三“三诊一模”摸底诊断测试数学试题（含答案与解析）

机密★启用前

昆明市2025届高三“三诊一模”摸底诊断测试

数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡

上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条

形码.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡交回.

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

II

1.已知向量”。2),坂=(1,0),贝I]”‘一()

A.72B.V3C.2D.75

-1+；

2.复数---在复平面内对应的点所在的象限为()

1

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

3.已知集合/={-1,0,1,2},3={Wy=3x+l,x〉0},则()

A.-B.OeZHB

C.leJPlSD.2&A^B

4.某次测试成绩X〜N(105,225),记成绩120分以上为优秀，则此次测试的优秀率约为()

参考数据：若万~阳〃，0"2),则尸(〃一erVXV〃+b)合0.6827,P(/z-2c<X<ju+2cr)®0.9545.

A.31.73%B.15.87%

C.4.55%D.2.28%

5已知函数/(x)=-1(。>0),实数加，"满足/(")+/(〃)=4,/(加)/(〃)=3,则/(〃?〃)=()

A.1B.7C.8D.12

6.已知点片(-夜,0),月(、历,0),动点P满足|尸国一|尸乙|=2,当点尸的纵坐标是?时，点尸到坐标原

点的距离是()

A.—B.-C.-D.1

222

7.已知一个圆锥的顶点和底面圆都在球。的球面上，若圆锥的母线与球。的半径之比为百，则圆锥与球。

的体积之比等于()

137693

A.——B.—C.—D.-

3232328

8.从几何体的某一顶点开始，沿着棱不间断、不重复地画完所有棱的画法称为'一笔画”.下列几何体可决一

笔画''的是()

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.设8是一个随机试验中的两个事件，若尸(2)=L，=P(AB)=L则()

234

-21

A.P(5)=-B.P(B\A)=-

-i5

C.P(AB)=—D.P(A+B)=-

10.已知函数/(x)=cos(sinx)-sin(cosx),则()

A./(x)图象关于y轴对称B.2兀是歹=/(x)的一个周期

c./(X)在(0,m单调递减D./(X)图象恒在X轴的上方

11.“四叶草”形态优美、寓意美好.已知曲线。：(/+/)3=(4中)2,其形态极像“四叶草。设。为坐

标原点，尸为C上异于原点的一点，过点尸作直线。尸的垂线交坐标轴于A,3两点，则()

A.。有4条对称轴B.C围成的面积大于4兀

C.\AB\=4D.AOZB的面积最大值为4

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知函数/(》)==二(xwO)满足/(x)=/(3,则实数。=______.

x+ax

13.围棋是世界上最古老的棋类游戏之一.一副围棋的棋子分黑白两种颜色，现有6枚黑色棋子和2枚白

色棋子随机排成一行，每枚棋子排在每个位置可能性相等，则两端是同色棋子的概率为.

14.已知函数/(x)=|lnx|,曲线y=/(x)在A,3两点(不重合)处的切线互相垂直，垂足为“，两切

线分别交了轴于C,。两点，设面积为S,若S<2恒成立，则2的最小值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知△/3C内角/,8,C所对的边分别为a,b,c,asin5=bsvn.2A.

(1)求A；

⑵若。=6,2AB-AC=\5,求△/届的周长.

16.已知抛物线C:y2=4x的焦点为/，直线/过尸与C交于A,B两点,。为坐标原点，直线。/交C

的准线于点。.

(1)当/的倾斜角为:时，求|45|；

(2)求直线AD的斜率；

(3)若。，F,B,。四点共圆，求该圆的半径.

17.如图，四棱台48CD—451G，的底面为正方形，AB=2A[Bi，E为的中点.

AB

(1)证明：£，//平面8£>G；

(2)若侧面DCGA为等腰梯形，ED,:DtD:DE=y/u：3:2.

(i)证明：平面。CG2，平面48C。；

(ii)求平面BDCA和平面夹角的余弦值.

18.已知函数/(x)=(a+2)e*+ae~*-2x(oeR).

(1)若4=0,求/(X)的极值；

(2)讨论/(x)的单调性.

19.已知数列｛%｝,%=9,%=3见+6-3”,S"是｛%｝的前〃项和.

(1)证明：数列｛才｝为等差数歹!I；

(2)求S"；

，2«，〃为奇数，

Sn-n

(3)若4T"(1+1，记数列也｝的前〃项和为北，证明:

(_1)”置—,〃为偶数

参考数据：ln270.69.

参考答案

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

II

1,已知向量”。2),取=(1,0),则”‘一()

A.V2B.V3C.2D.75

【答案】D

【解析】

【分析】首先求出"—力，再根据坐标法计算其模.

【详解】因为2=(0,2),3=(1,0)，

所以Q—刃=(0,2)—(1,0)=(—1,2),

所以归_q=J(_lJ+22=卮

故选：D

-1+i

2.复数在复平面内对应的点所在的象限为()

1

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】首先要将复数化简为。+历的形式，其中。为实部，6为虚部.根据复数的运算法则进行化简，然

后根据实部和虚部的正负确定其在复平面内对应的点所在的象限.

.、斗左力.,,A,A.u—1+i(—1+i)xi—i+，—i—1.

【详解】化简复数z/-----=----------=------=-----=1+1,

iixi-1-1

对于复数1+i,实部。=1,虚部6=1.

-1+i

因为实部1〉0,虚部1〉0,所以复数——在复平面内对应的点CU)在第一象限.

1

故选：A.

3.已知集合/={-1,0,1,2},5={v|j=3x+l,x>0},则()

A.B.OeNHB

C.le^PlSD.2£幺05

【答案】D

【解析】

【分析】先根据已知求出集合瓦再根据交集定义计算求解再判断即可.

【详解】因为5={引了=3》+1,%〉0}=卜»)1},

又因为N={-l,0,l,2},所以Nc8={2},则2eNc8.

故选：D.

4.某次测试成绩X〜N(105,225),记成绩120分以上为优秀，则此次测试的优秀率约为()

参考数据：若X~N(〃，cr2),则尸(〃—FTVXW〃+(T)”0.6827,P(//-2a<X<ju+2a)®0.9545.

A.31.73%B.15.87%

C.4.55%D.2.28%

【答案】B

【解析】

【分析】根据正态分布的对称性，结合题中参考数据，即可求得优秀率.

【详解】因为120=105+15=〃+^,所以由正态分布性质得120分以上的概率为

—0.6827)=0.15865,

故优秀率约为15.87%.

故选：B.

5.已知函数/(x)=--1(a>0),实数"满足/(")+/(〃)=4,7(加)/(〃)=3,则/(加)=()

A.1B.7C,8D.12

【答案】B

【解析】

【分析】由已知条件代入运算可得(机〃『=8,求得

ma+na=6

【详解】根据题意，可得。“八/°x、，可得(机"『=8,

f(mn)={mnf-1=7

故选：B.

6.已知点片(-夜,0),F,(V2,0),动点P满足|尸图一|尸闾=2,当点尸的纵坐标是:时，点尸到坐标原

点的距离是()

A.—B.-C.-D.1

222

【答案】A

【解析】

【分析】根据给定条件，利用双曲线的定义求出点尸的轨迹方程，求出点P的坐标即可得解.

【详解】设P(x,y),由归周一|尸闾=2<2应=|片鸟得点尸的轨迹是以耳心为焦点，

实轴长为2的双曲线右支，方程为「=1小〉0),当y=g时，、2=[,

所以点？到坐标原点的距离是,：+(夕=.

故选：A

7.已知一个圆锥的顶点和底面圆都在球。的球面上，若圆锥的母线与球。的半径之比为百，则圆锥与球。

的体积之比等于()

【答案】C

【解析】

【分析】画出草图，通过已知条件建立等式关系，逐步推导圆锥和球的相关参数，然后代入体积公式求出

体积比.

【详解】设圆锥底面半径和高分别为心力，则母线/=，邸+〃2,

显然球。为圆锥外接球，设半径为凡由（〃-£）2+/=氏2,可得R=〃+7=」.

2h2h

又因为圆锥的母线与球。的半径之比为G，即!=

]23

联立可得/=6氏，将/=G氏代入可得〃=彳氏.

27z2

3______3

再将/=出氏和〃=5氏代入/=，/+〃2,可得r=7火2.

14

然后求圆锥体积匕与球。体积匕之比：圆锥体积匕球的体积匕=1成3.

3_/?2_/?

〃=—R代入上式可得,2_9

o--------------=—

47?332

故选：C.

8.从几何体的某一顶点开始，沿着棱不间断、不重复地画完所有棱的画法称为'一笔画”.下列几何体可以‘一

笔画”的是（）

A.B.

【答案】C

【解析】

【分析】根据一笔画的要求，先找到都是偶点的图形，一定可以一笔画，再验证奇点的图形是否符合一笔

画的条件.

【详解】从一顶点出发的边数为双数的顶点叫偶点，凡是偶点组成的图形一定可以一笔画，所以c选项正

确；

从一顶点出发的边数为单数的顶点叫奇点，凡是奇点组成的图形，必须满足只有两个奇点，其余点为偶点

才可以一笔画，

而ABD选项图形中，每个点都是奇点，所以不能一笔画.

故选：C

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.设8是一个随机试验中的两个事件，若尸(2)=L，P(B)=L,P(AB)=L贝U()

234

-21

A.P(5)=-B.P(B\A)=-

-15

C.P(AB)=—D.P(A+B)=-

126

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据对立事件的概率公式判断A,根据条件概率公式判断B,根据全概率公式判断C,根据和事件

的概率公式判断D.

【详解】因为尸(幺)=1,P⑻=上,P(AB)=]

234

-/、12

所以0(8)=1—尸(8)=1——=故A正确；

J

P(B|A)=J,/J=-7-=—,故B正确；

产⑷£2.

2

因为尸(8)=尸(48+办)=尸(48)+尸(办)，

所以尸(初)=尸(8)-尸(48)=；—；=',故C正确；

1117

P{A+B)=P[A}+P(B')-P[AB)=-+---=—,故D错误.

故选：ABC

10.已知函数/(x)=cos(sinx)-sin(cosx),则()

A./(x)图象关于了轴对称B.2兀是丁=/(x)的一个周期

C./(x)在(0,兀)单调递减D./(x)图象恒在x轴的上方

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据偶函数的定义判断A,计算/(x+2兀)=/(x)即可判断B,利用特殊值判断C,根据正弦函

数的性质及诱导公式判断D.

【详解】函数/(x)=cos(sinx)—sin(cosx)的定义域为R,

又

/(-%)=cos(sin(-X))—sin(cos(-X)=cos(-sinx)-sin(cosx)=cos(sinx)-sin(cosx)=f(x),

所以/(X)为偶函数，则/(X)图象关于了轴对称，故A正确；

因为/(x+2兀)=cos(sin(x+27i))-sin(cos(x+27i))=cos(sinx)-sin(cosx)=/(x),

所以2兀是y=/(x)的一个周期，故B正确；

因为/(0)=cos(sin0)-sin(cos0)=1-sin1>0,

f(7i)=cos(sinit)-sin(cosK)=1+sin1>0,

又140,2，所以sinl>0,所以/⑼</(兀)且/(x)在定义域R上连续，

所以/(x)在(0,兀)不可能单调递减，故C错误；

因为一l<sinx«l,

7T7T7T

当OVsinxVl时，—1<---sinx(一且一14cosx<1,

222

又因为sinx+cosx=V^sin|x+—兀4y，

4

LLt、t兀._71/兀

所以cosx<——sinx，Bp-1<cosx<——sinx<—，

222

.(n

由^=5由》在—mg上单调递增，所以sin（cosx）<sin---sinx=cos(sinx),

2)

所以/(%)=cos(sinx)-sin(cosx)>0；

7C7T

当一IVsinxVO时，——14一+$指工<一且一1<cosx<1,

222

又因为cosx-sinx=J^cosx+—<V2<—,

LLr、t兀.an1/兀./兀

所以cosx<—+smx,BP-I<cosx<—+smx<—,

222

兀兀(7Cl

由^=5皿%在——，一上单调递增，所以sin(cosx)<sin—+sinx=cos(sinx),

所以f(x)-cos(sinx)-sin(cosx)>0；

综上可得：对VxwR,/（x）〉0恒成立，即/（%）图象恒在％轴的上方，故D正确.

故选：ABD

H.“四叶草”形态优美、寓意美好.已知曲线。：（/+/）3=（4孙）2,其形态极像“四叶草。设。为坐

标原点，P为C上异于原点的一点，过点尸作直线。尸的垂线交坐标轴于A,B两点，则（）

A.。有4条对称轴B.C围成的面积大于4兀

C.\AB\=4D.ACMB的面积最大值为4

【答案】ACD

【解析】

【分析】对A,通过方程中的变换得新曲线的对称轴判断；对B,由该曲线在以原点为圆心，半径为2的

圆内，故面积小于圆的面积判断；对C,设点尸（根,〃），求出直线48,点4台的坐标，结合

（川+〃2丫=（4加〃『求解；对口，由|48|=4结合］。尸|<2,得解.

【详解】对于A,将x换为-x方程不变，所以曲线关于7轴对称;

将》换为方程不变，所以曲线关于x轴对称；

将X换为了，了换为X方程不变，所以曲线关于y=x对称；

将x换为二”，了换为一8方程不变，所以曲线关于>=-X对称;

所以曲线C有4条对称轴，故A正确；

对于B,•.•（》2+了2）3=163）24]6乂X+-V=4（必+/）-,则》2+/44,

I2J

所以曲线C包含在圆X?+了2=4的内部，因为圆尤2+/=4的面积为4兀，

所以曲线C的面积小于4n,故B错误；

对于C,设点尸（见〃），则左0?=2，且（/+〃2丫=（4冽〃）2,

所以直线AB:y—n=---（x-m）,即mx+ny=加？+/,

n

22（2,2\

A八/曰m+7?日口口口加+〃

令x=0,得=-------，BPB0,--------,

〃In）

27<2,2A

人八/曰加+〃m+«

令>=0,得x=-------，即4--------，0，

m{mJ

对于D,由C可知，.回=4,又一+/«4,则|。尸|<2,

邺|。尸|=2]。尸|<4,当且仅当点尸在圆/+丁=4上时等号成立,故D正确.

【点睛】关键点点睛：本题求曲线C的对称轴，关键是通过替换方程中x，V去分析证明.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知函数/（x）="J（xwO）满足/（x）=/d）,则实数。=________.

X+QX

【答案】1

【解析】

【分析】根据/(x)=/d)推导出("D即可得到"1=0,解得即可.

JC

【详解】因为函数"X)="J(X*0)满足/(x)=/(-),

x+ax

j.

则^^=-^=7^,即l+”=x2+a,所以(。-1乂/-1)=0,

x+a1.1+cix

x-

所以a-1=0,解得a=l,经检验符合题意.

故答案为：1

13.围棋是世界上最古老的棋类游戏之一.一副围棋的棋子分黑白两种颜色，现有6枚黑色棋子和2枚白

色棋子随机排成一行，每枚棋子排在每个位置可能性相等，则两端是同色棋子的概率为.

4

【答案】~

【解析】

【分析】计算两端棋子颜色不同的概率，再使用对立事件概率的性质即可.

【详解】若两端的棋子颜色不同，那么两端的棋子的颜色分布有2种可能，中间的棋子的颜色分布有

r=6种可能.

2x6334

所以两端棋子颜色不同的概率为"cf故两端是同色棋子的概率为P=1-,二,.

4

故答案为：一.

7

14.已知函数/(x)=|lnx|,曲线y=/(x)在A,3两点(不重合)处的切线互相垂直，垂足为〃，两切

线分别交了轴于C,。两点，设面积为S,若S<4恒成立，则久的最小值为.

【答案】I

【解析】

2

【分析】先根据已知条件求出国々=1，进而得至再求出“"一17T，根据马的范围得出S

的范围，最后根据S<2恒成立求出4的最小值.

-lnx,0<x<1

【详解】由函数/(x)=|lnx[=<,设0<玉<1<%2，4(国,一1口西)，5(x,lnx).

lnx,x>l22

对夕=-lnx(O<x<1)求导得V=--,所以在点A处切线4:y=----x+1-In.

〜x国

对>=lnx(x>l)求导得y=—,所以在点8处切线4：y=-x-1+Inx.

XX22

11I

因为切线垂直，则一不.『二一1，所以

1

此时C(O,l-lnXi),因为石马=1，即石=[,所以C(0,l+lnx2),B(0,-l+lnx2),于是|CD|=2.

111

y=----x+1-Iny=-xx+1+Inx

玉I22

由<，因为再々=1，再=一，则<1,,

v=——x-1+Inx2

y=-x-l+lnx2",马一

x2

212

x

解得H二T,因为s==7,

I2-1-------12-------

Xz%2

1c

又21,根据基本不等式/+云〉2,所以S<1.

由S<2恒成立，则彳e[l,+00).则彳的最小值为1.

故答案为：1.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知△48C内角4,B,C所对的边分别为a,6,c,<7sin5=6sin2^4.

(I)求A；

⑵若a=6,2AB-AC=15,求△/届的周长.

JT

【答案】(1)/=—

3

(2)15

【解析】

【分析】(1)利用正弦定理边化角，及二倍角公式化简求解；

(2)由2万.就=15得be=15,结合余弦定理求得b+c=9,得解.

【小问1详解】

由正弦定理及二倍角公式得sin4sin8=2sinBsin4cos4,

因为力，5£(0,兀)，所以sin4〉0,sin5>0,故cosZ='，

2

71

所以/=一.

3

【小问2详解】

由2万•％=15，得2AccosN=15,则bc=15,

由余弦定理得/=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-3bc,

所以(b+c)2="+36c=81,故b+c=9,

所以△Z3C周长为a+Hc=15.

16.已知抛物线C:/=4x的焦点为尸，直线/过/与。交于A,5两点，。为坐标原点，直线04交C

的准线于点。.

(1)当/的倾斜角为:时，求H到；

(2)求直线AD的斜率；

(3)若。，F,B,。四点共圆，求该圆的半径.

【答案】(1)8(2)0

⑶£1

4

【解析】

【分析】(1)可利用直线方程与抛物线方程联立，再根据弦长公式计算.(2)需要先求出8、。两点坐标,

通过直线。4与准线方程求出。点坐标，再结合直线48与抛物线方程求出3点坐标.(3)若。，F,B,

。四点共圆，根据圆内接四边形的性质求出相关关系，进而求出圆的半径.

【小问1详解】

由题意知，抛物线C焦点/坐标为(1,0),直线/的方程为x=y+l,

2

,fy=4x9,

联,则v?—4y-4=0,所以必+%=4,必为=-4，

x=y+l

所以M邳=也|必-刃=及&乂+%)?=8.

【小问2详解】

设直线48的方程为工=叼+1,幺(国,必),8(%,%)，

”2—4x4

联立,,,j2-4mv-4=0,所以必+%=4M，%%=一4,所以%=—,

x=my+1%

VV=』=』=」

直线幺。方程为y=」x,所以点。的纵坐标为切一百一X-必，

FT

所以％=为，直线8。的斜率为0.

【小问3详解】

由题意知，0(0,0),尸(1,0),5(X2，%),。(-1,%)，不妨设A在第一象限，

因为。，F,B,。四点共圆，直线平行x轴，故可设圆心坐标为(：))，圆半径为R,

二^一=5，即X?=2,所以8(2,—2也')，

R2=:+〃=|+(-2>/2-Z))2,

解得6?=：,故氏2=卫，所以R=皮.

884

17.如图，四棱台4BCD—451GA的底面为正方形，AB=2AXBX,E为的中点.

77l\

]/:0::*/I[II\\

/**/If\

////II\

/胀;....u

Ll____________

AB

(1)证明：£，//平面BOG；

(2)若侧面DCG2为等腰梯形，ED,:DtD:DE=4u：3:2.

(i)证明：平面。CGAJ■平面48CD；

(ii)求平面8QG和平面夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析；

(2)(i)证明见解析；(ii)—.

【解析】

【分析】(1)取8。中点为M,证明四边形EMGA为平行四边形，得EDJ/MQ,利用线面平行的判

定定理证明；

(2)(i)由勾股定理可得ED，DQ,即又ADLDC,可证NO，平面。CG2,由面面

垂直的判断定理得证；(ii)过。点作直线。Z,平面Z5CD,以。为坐标原点建立如图坐标系

D-xyz,求出平面和平面8DG的法向量，代入公式运算得解.

【小问1详解】

取BD中点为连结EN,QM,由E为40的中点得EM7/43,EM=-AB,

2

在四棱台中，由已知得4G//Z8,Dfix=^AB,所以EM//。]。，EM=DG，

所以四边形EMCQ]为平行四边形，则EDJ/MQ,

又MC[u平面BDC-EQZ平面BDC,,

所以EQ//平面ADG.

【小问2详解】

(i)因为£口：2。：£>£=巫：3:2,所以皮>；=口加+。炉，

所以皮即40，£>]£>,

又/OLOC,DXD[}DC=D,£>C,DQu平面。CCQ1,

所以40,平面。CG2，

由4Du平面ABCD,故平面DCCn1平面ABCD.

(ii)过。点作直线DZL平面N5C。，以。为坐标原点建立如图坐标系。-巧N,

不妨设4片=2,则48=4,

因为平面。J"平面45CD,且侧面QCG。为等腰梯形，易求得四棱台的高为20，

则。(0,1,2次)，幺(4,0,0),8(4,4,0),q(0,3,2a),

所以西=(0,1,2四)，A4=(4,0,0),丽=(4,4,0),西=(0,3,2收)，

设平面4DD4的一个法向量为1=(x,y,z),

y+2A/2Z=0

4x=0

令z=1,得平面NDQ4的一个法向量为1=(0,-272,1),

同理，得平面ADG的一个法向量为元=(2亚,-2亚,3),

——►I|"1,〃211

wn)|=l।=—,

H1；2

所以平面BDCX和平面NDD/1夹角的余弦值为—.

18.已知函数/(x)=(a+2)e*+0b-2x(aeR).

(1)若a=0,求/(x)的极值;

(2)讨论/(x)的单调性.

【答案】(1)无极大值，极小值为/(0)=2

(2)答案见解析

【解析】

【分析】(1)求出/(x)的解析式和定义域，根据导数求解；

(2)求出/'(X),分aV—2、—2<a<—1、a=—1、一1<a<0和a20结合导数即可求解.

【小问1详解】

x

a=0时，f(x)=2e-2x.t定义域为R,

f'(x)=2ex-2,由/'(x)=0得x=0,

当x<0时,f'(x)<0,/(x)单调递减，

当x>0时,f'(x)>0,/(x)单调递增，

所以/(X)有极小值，无极大值，极小值为/(0)=2；

【小问2详解】

/(x)=(a+2)e，-ae-*1-2=©+2)e*+a](e=l),

ex

①当aW—2时，a+2<0,(a+2)e'+a<0,

x

当xe(-e,O)时，e<1,f(x)>0,/(x)单调递增,

当xe(O,+8)时，e*〉l，/,(%)<0,/(x)单调递减;

②当—2<a<—1时，a+2>0,二<T，ln(一一^-)>0,

、a+2a+2

"2)卜+工卜I

r(x)=

e*

xx

xe(-oo,0)时,e-l<0，e+—^-<0,f(x)>0,/(x)单调递增，

xefo,lnf--二八时，e，—1〉0，ex+^-<0,f(x)<0,/(x)单调递减,

IIa+2JJq+2

xe(ln(-T)，+8)时,ex-l>0,e，+—>0,f(x)>0,/(x)单调递增;

Q+2a+2

③当。=—1时，r(x)=^^>0,/(x)在R上单调递增；

④当一1<。<0时，a+2>0,-l<^-<0,ln(--^)<0,

'Q+2Q+2

xx

xe(_oo,ln(--^))时,e-l<0,e+—^—<0,f(x)>0,/(x)单调递增,

xe(ln(-T)，°)时，e，—1<0，e，+T>0,f(x)<0,/(x)单调递减，

a+2a+2

xx

xe(0,+oo)时,e-l>0«e+—^->0,f'(x)>0,/(x)单调递增；

⑤当Q20时，(a+2)ex+a>0,

xe(-e,0)时，e*<l，f(x)<0,/(x)单调递减，

x

xe(0,+8)时,e>l，f'(x)>0,/(x)单调递增.

【点睛】关键点点睛：本题(2)关键在于对。取值范围的正确分类.

19.已知数列｛%｝,q=9,an+I=3a„+6-3",S”是｛%｝的前〃项和.

(1)证明：数列｛岌｝为等差数列;

⑵求s“；

q2n,〃为奇数，

s-〃

(3)若“，，记数列出｝的前〃项和为北，证明：&<1.

(-庐1/一,〃为偶数

S,

参考数据：ln2。0.69.

【答案】(1)证明见解析

(2)5“=/3用

(3)证明见解析

【解析】

【分析】(1)根据等差数列通项公式证明即可；

(2)应用错位相减法计算求和即可；

(3)分奇偶应用等比数列求和，再构造函数应用导函数判断函数的单调性结合累加法及对数运算证明即

可.

【小问1详解】

由题，得瑞-岌=2；

又母=3,所以数列｛去｝是以3为首项，2为公差的等差数列.

【小问2详解】

由(1)可知上=3+2("-1)=2〃+1,故。“=(2"+1>3".

Sn=3x3'+5x3?+7x33+…+(2"-1>3"7+(2"+1).3",

则3S"=3x32+5x33+7x34+---+(2n-l)-3"+(2M+1)-3M+1,

两式相减得,

12n<

-2Sn=3x3+2-(3+3'+…+3"一+3")-(2n+l)-3

=9+-(2??+l)-3,,+1